Madhyamik Examination (WBBSE) - 2019 MATHEMATICS (Bengali Version)

2019

MATHEMATICS

Compulsory

Time — 3 Hours 15 Minutes

(First 15 minutes for reading the question paper)

Full Marks — 90 — For Regular Candidates

Full Marks — 100 — For External Candidates

[1, 2, 3, 4 প্রশ্নগুলির উত্তর প্রশ্নসংখ্যা লিখে অবশ্যই ক্রমানুযায়ী উত্তরপত্রের প্রথম দিকে লিখতে হবে । এর জন্য প্রয়োজনবোধে গণনা ও চিত্র অঙ্কন উত্তরপত্রের ডানদিকে মার্জিন ট্রেনে করতে হবে । কোনো প্রকার সারণি বা গণকযন্ত্র ব্যবহার করা যাবে না । গণনার প্রয়োজনে পাই $\pi$ -এর আসন্ন মান ${{22} \over 7}$ ধরে নিতে হবে । দরকার মতো গ্রাফ পেপার দেওয়া হবে । পাটিগণিতের অঙ্ক বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে করা যেতে পারে ।]

                                             [দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য 11 নং প্রশ্নের বিকল্প দেওয়া আছে 14 নং পৃষ্ঠায় ]

                                 [ 16 নং প্রশ্ন কেবলমাত্র বহিরাগত পরীক্ষার্থীদের জন্য 15 এবং 16 নং পৃষ্ঠায় দেওয়া আছে ]

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো :         1 x 6 = 6

    [i]  কোনো অংশীদারি ব্যবসায়ে দুই বন্ধুর প্রাপ্ত লভ্যাংশের অনুপাত ${{1 \over 2} : {1 \over 3}}$ হলে, তাদের মূলধনের অনুপাত—

    (a) 2 : 3          (b) 3 : 2        (c) 1 : 1       (d) 5 : 3

    [ii] যদি $p + q = \sqrt {13}$ এবং $p - q = \sqrt 5$ হয়, তাহলে pq -এর মান—

    (a) 2         (b) 18        (c) 9          (d) 8

  [iii] কোনো বৃত্তের কেন্দ্র O এবং ব্যাস AB । ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ । $\angle ABC = 65^o$ , $\angle DAC = 40^o$ হলে $\angle BCD$-এর মান —

     (a) $75^o$       (b) $105^o$          (c) $115^o$        (d) $80^o$

  [iv] $\tan \alpha + \cot \alpha = 2$ হলে $\tan^{13} \alpha + \cot^{13} \alpha$ -এর মান—

      (a) 13         (b) 2        (c) 1         (d) 0

 [v] $2\sqrt 6$ সেমি বাহু বিশিষ্ট দুটি ঘনক পাশাপাশি রাখলে উৎপন্ন আয়তঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে—

      (a) 10 সেমি        (b) 6 সেমি         (c) 2 সেমি         (d) 12 সেমি

[vi] $x_1, x_2, x_3, ......., x_{10}$ রাশিগুলির গড় 20 হলে $x_1 + 4 , x_2 + 4, x_3 + 4, ......., x_{10} + 4$ রাশিগুলির গড় হবে —

       (a) 20         (b) 24        (c) 40        (d) 10

2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে-কোনো পাঁচটি ):         1 x 5 = 5

    [i] এক ব্যক্তি ব্যাংকে 100 টাকা জমা রেখে, 2 বছর পর সমূল চক্রবৃদ্ধি পেলেন 121 টাকা । বার্ষিক সুদের হার ছিল ____ % ।

    [ii] দুটি দ্বিঘাত করণীর যোগফল ও গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা হলে করনীদ্বয় ______ করণী ।

    [iii] দুটি ত্রিভুজের ভূমি একই সরলরেখায় অবস্থিত এবং ত্রিভুজ দুটির অপর শীর্ষ বিন্দুটি সাধারন হলে, ত্রিভুজ দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত ভূমির দৈর্ঘ্যের অনুপাতের _____ ।

   [iv] ${{ \cos 53^o } \over {\sin 37^o }}$ -এর সরলতম মান _____।

   [v] একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের তলসংখ্যা _____ ।

   [vi] $x_1, x_2, ..., x_{100}$ চলগুলি উর্ধ্বক্রমে থাকলে, এদের মধ্যমা ______ ।

3. সত্য বা মিথ্যা লেখো ( যে-কোনো পাঁচটি) :         1 x 5 = 5

   [i] বার্ষিক 10% হারে 100 টাকার 1 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের পার্থক্য 1 টাকা ।

   [ii] $ab : c^2$ , $bc : a^2$ এবং $ca : b^2$ -এর যৌগিক অনুপাত $1 : 1$ ।

   [iii] তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে একটি মাত্র বৃত্ত আঁকা যায় ।

   [iv] $\sin 30^o + \sin 60^o > \sin 90^o$  ।

   [v] একই ভূমি ও একই উচ্চতাবিশিষ্ট একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু ও একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের আয়তনের অনুপাত 1 : 3 হবে ।

  [vi] 2, 3, 9, 10, 9, 3, 9 তথ্যের মধ্যমার মান 10 ।

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে-কোনো দশটি ):        2 x 10 = 20

  [i] বার্ষিক 5% সরল সুদের হারে কত টাকার মাসিক সুদ 1 টাকা হবে তা নির্ণয় করো ।

  [ii] এক অংশীদারী ব্যবসায় তিনজনের মূলধনের অনুপাত 3 ; 5 ; 8 । প্রথম ব্যক্তির লাভ তৃতীয় ব্যক্তির লাভের থেকে 60 টাকা কম হলে ব্যবসায় মোট কত লাভ হয়েছিল ?

  [iii] ${a \over 2} =  {b \over 3} = {c \over 4} = {{2a -3b + 4c} \over p}$ হলে, p -এর মান কত ?

  [iv] $x \propto y^2$ এবং $y = 2a$ , $x = a$ হলে দেখাও যে $y^2 = 4ax$ ।

  [v] ABCD ট্রাপিজিয়ামের $BC \parallel AD$ এবং AD = 4 সেমি । AC ও BD কর্ণদ্বয় এমনভাবে O বিন্দুতে ছেদ করে যে ${{AO} \over {OC}} = {{DO} \over {OB}} = {1 \over 2}$ হয় । BC -এর দৈর্ঘ্য কত ?

  [vi] একটি বৃত্তে দুটি জ্যা AB এবং AC পরস্পর লম্ব । AB = 4 সেমি এবং AC = 3 সেমি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো ।

  [vii] $\triangle ABC$ -এর $\angle ABC = 90^o$ এবং $BD \bot AC$, যদি AB = 5 সেমি এবং BC = 12 সেমি হয়, তবে BD -এর দৈর্ঘ্য কত ?

   [viii] $\theta \left( {{O^ \circ } \le \theta  \le 90^ \circ} \right)$ এর কোন মান /মানগুলির জন্য $2 \sin \theta \cos \theta = \cos \theta$ হবে ?

   [ix] $\sin 10 \theta = \cos 8 \theta$ এবং $10 \theta$ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে, $\tan 9 \theta$ -এর মান নির্ণয় করো ।

   [x]  একটি আয়তঘনাকৃতি ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে a, b এবং c একক এবং a + b + c = 25, ab + bc + ca = 240.5 হলে ঘরটির মধ্যে যে বৃহত্তম দণ্ডটি রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য কত হবে ?

  [xi]  একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ভূমির ক্ষেত্রফলের $\sqrt 5$ গুন । শঙ্কুটির উচ্চতা ও ভূমির ব্যাসার্ধের অনুপাত কত ?

  [xii]  প্রথম (2n + 1) সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যবর্তী সংখ্যা ${{n + 103} \over 3}$ হলে, n -এর মান নির্ণয় করো ।

5. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :          5

   [i]  যদি 6 মাস অন্তর সুদ, আসলের সঙ্গে যুক্ত হয় তাহলে বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 8000 টাকার $1 {1 \over 2}$ বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি ও চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে ?

  [ii] দুই বন্ধু যথাক্রমে 40,000 টাকা ও 50,000 টাকা দিয়ে একটি অংশীদারি ব্যবসা শুরু করে । তাদের মধ্যে একটি চুক্তি হয় যে, লাভের 50% নিজেদের মধ্যে সমান ভাগে এবং লাভের অবশিষ্টাংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ হবে । প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশ যদি দ্বিতীয় বন্ধুর লভ্যাংশ অপেক্ষা 800  টাকা কম হয়, তবে প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশ কত ?

  6. যে-কোনো একটি প্রশ্নের সমাধান করো :           3

      [i] $x^2 + x + 1 = 0$ সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করো ।

     [ii] কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কম হলে 30 টাকায় আরও তিনটি বেশি কলম পাওয়া যাবে । কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করো ।

 7. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :         3

     [i] সরল করো : ${4 \sqrt 3 \over {2 - \sqrt 2}} - {30 \over {4 \sqrt 3 - \sqrt {18}}} - { \sqrt {18} \over {3 - \sqrt {12}}}$

   [ii] যদি $\left ({1 \over x} - {1 \over y} \right ) \propto {1 \over {x - y}}$ হয় তবে দেখাও যে, $\left ( x^2 + y^2 \right ) \propto xy$  । 

 8. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :          3

     [i] (3x - 2y) : (x + 3y) = 5 : 6 হলে, (2x - 5y) : (3x + 4y) নির্ণয় করো ।

    [ii] যদি ${{b + c - a} \over {y + z - x}} = {{c + a - b} \over {z + x - y}} = {{a + b - c} \over {x + y - z}}$ হয়, তবে প্রমাণ করো যে, ${a \over x} = { b \over y} = {c \over z}$ ।

9. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :           5

   [i] অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ — প্রমাণ করো ।

   [ii] প্রমাণ করো যে, যদি দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে, তাহলে স্পর্শ বিন্দুটি কেন্দ্র দুটির সংযোজক সরলরেখাশের উপর অবস্থিত হবে ।

10.  যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:         3

    [i] O কেন্দ্রীয় বৃত্তের পরিলিখিত চতুর্ভুজ ABCD হলে প্রমাণ করো যে, AB + CD = BC + DA ।

    [ii] $\triangle ABC$ -এর $\angle A$ সমকোণ এবং BP ও CQ দুটি মধ্যমা হলে, প্রমাণ করো যে, $5 BC^2 = 4 \left ( BP^2 + CQ^2 \right )$  ।

11. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:       5

    [i]  ABC একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করো যার BC = 7 সেমি,  AB = 5 সেমি এবং AC = 6 সেমি । ABC ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন করো । ( কেবলমাত্র অঙ্কন চিহ্ন দিতে হবে )

   [ii]  4 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্ত অঙ্কন করো । বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 6.5 সেমি দূরে কোনো বহিঃস্থ বিন্দু থেকে ওই বৃত্তের দুটি স্পর্শক অঙ্কন করো ।

12. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও:          3 x 2 = 6

    [i]  $\triangle ABC$ -এর $\angle C = 90^o$, যদি BC = m এবং AC = n হয় তবে দেখাও যে, $m \sin A + n \sin B = \sqrt {m^2 + n^2}$

    [ii] মান নির্ণয় করো : ${4 \over 3 } \cot^2 30^o + 3 \sin^2 60^o - 2 \cos ec^o 60^o - {3 \over 4} \tan^2 30^o$

    [iii] যদি $\angle P + \angle Q = 90^o$ হয়, তবে দেখাও যে, $\sqrt {{ \sin P} \over {\cos Q}} - \sin P \cos Q = \cos^2 P$

13. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :     5

     [i] 600 মিটার চওড়া কোনো নদীর একটি ঘাট থেকে দুটি নৌকা দুটি ভিন্ন অভিমুখে নদীর ওপারে যাওয়ার জন্য রওনা দিল । যদি প্রথম নৌকাটি নদীর এপারের সঙ্গে 30° কোণ এবং দ্বিতীয় নৌকাটি প্রথম নৌকার গতিপথের সঙ্গে 90° কোণ করে চলে ওপারে পৌঁছায় তাহলে ওপারে পৌঁছানোর পরে নৌকা দুটির মধ্যে দূরত্ব কত হবে ?

   [ii] একটি তিনতলা বাড়ির ছাদে 3.6 মিটার দৈর্ঘ্যের একটি পতাকা দণ্ড আছে । রাস্তার কোনো একস্থান থেকে দেখলে পতাকা দণ্ডটির চুড়া ও পাদদেশের উন্নতি কোণ যথাক্রমে 50° ও 45° হয় । বাড়িটির উচ্চতা কত ? ( ধরে নাও $\tan 50^o = 1.2$ )

14. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও:   4 x 2 = 8

  [i] ঘনকাকৃতি একটি জলপূর্ণ চৌবাচ্চা থেকে সমান মাপের 64 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির ${1 \over 3}$ অংশ জলপূর্ণ থাকে । চৌবাচ্চাটির বাহুর দৈর্ঘ্য যদি 1.2 মিটার হয়, তবে প্রতিটি বালতিতে কত লিটার জল ধরে (1 ঘনডেসিমিটার = 1 লিটার)

  [ii] একটি তারের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাস 50% কমানো হল । আয়তন অপরিবর্তিত রাখতে হলে তারটির দৈর্ঘ্য কত শতাংশ বাড়াতে হবে ?

  [iii] লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবু তৈরি করতে 77 বর্গমিটার ত্রিপল লেগেছে । তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা যদি 7 মিটার হয়, তবে তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল কত ?

15. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও:         4 x 2 = 8 

  [i] যদি নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকার যৌগিক গড় 54 হয়, তবে K -এর মান নির্ণয় করো :

[ii} নীচের প্রদত্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি থেকে পরিসংখ্যা বিভাজন ছক তৈরি করে তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করো :

[iii] নীচের তালিকা থেকে একটি বিদ্যালয়ের দশম শ্রেণির 52 জন ছাত্রের গড় নম্বর প্রত্যক্ষ পদ্ধতি ও কল্পিত গড় পদ্ধতিতে নির্ণয় করো:

                                      [দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য বিকল্প প্রশ্ন ]

11.  যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :              5

    [i] একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের পরিমাপ দেওয়া থাকলে ঐ ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন প্রণালী বর্ণনা করো ।

    [ii] কোনো বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তের দুটি স্পর্শক অঙ্কন প্রণালী বর্ণনা করো ।

                                       [বহিরাগত পরীক্ষার্থীদের জন্য অতিরিক্ত প্রশ্ন ]

16. (a) যে কোনো তিনটি প্রশ্নের উত্তর দাও :            2 x 3 = 6

         [i] p : q = 5 : 7 এবং p + q = - 4 হলে (3p + 2q) এর মান কত ?

         [ii] বার্ষিক 10% সরল সুদে কত বছরে সুদ আসলের ${3 \over 5}$ অংশ হবে ?

         [iii] একটি ঘড়ির ঘন্টার কাঁটার প্রান্তবিন্দু 1 ঘন্টা আবর্তনে যে পরিমাণ কোন উৎপন্ন করে তার বৃত্তীয় মান কত ?

         [iv] $x = 2 + \sqrt 5$ এবং xy = - 1 হলে x - y -এর মান কত ?

      (b) যে কোন চারটি প্রশ্নের উত্তর দাও :          1 x 4 = 4

         [i] x² + ax + 3 = 0 সমীকরণের বীজ 1 হলে a -এর মান কত ?

         [ii] তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল 64 হলে, তাদের মধ্যসমানুপাতী কত ?

         [iii] x² - kx + 4 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে k -এর মান কত ?

         [iv]  1, 2, 3, 5, 8, 6, 9, 11 এবং 4 সংখ্যাগুলির মধ্যমা কত ?

         [v] A 9 মাসের জন্য 600 টাকা এবং B  5 মাসের জন্য 700 টাকা কোনো ব্যবসায় নিয়োজিত করলে, তাদের লভ্যাংশের অনুপাত কত ?

 ***