লগারিদম (Logarithm)

লগারিদম (Logarithm)

ভূমিকা ( Introduction )

          আমরা দেখেছি যদি a ও xবাস্তব রাশি হয় তাহলে ${a^x}\left( {a \ne 0} \right)$  রাশির a কে নিধান এবং xকে ঘাতের সূচক বা শুধু ঘাত বলে। মনে করি ${a^x} = m(m > 0)$ তাহলে a ও xএর মান জানা থাকলে আমরা  mএর মান জানতে পারি। উদাহরণস্বরূপ ${5^2} = m \Rightarrow m = 25$ , আবার m ও xএর মান জানা থাকলে আমরা a মান জাতে পারি। উদাহরণস্বরূপ ${a^5} = 32 \Rightarrow a = 2$ , কিন্তু a ও mএর মান জানা থাকলে আমরা সবসময় xএর মান জানতে পারিনা যেমন ${4^x} = 16 \Rightarrow x = 2,{3^x} = 16$ এখানে প্রথম উদাহরণের ক্ষেত্রে xএর মান জানতে পারি কিন্তু দ্বিতীয় উদাহরণের ক্ষেত্রে xএর মান জানতে পারছিনা।বীজগণিতের যে বিশেষ পদ্ধতিতে ${a^x} = m$ সম্পর্ক থেকে xএর মান পাওয়া যায় তাকে লগারিদম বলে।

লগারিদমের সংজ্ঞা(Definition of Logarithm)

${a^x} = m(a > 0,m > 0,a \ne 1)$ হলে x কে a নিধানের সাপেক্ষে mসংখ্যাটির লগারিদম বলে। $x = {\log _a}m$ এই আকারে লগারিদম প্রকাশ করা হয়।

$x = {\log _a}m$ কে বলা হয় “x is a logarithm  of m to the base a”

অতএব ${a^x} = m \Rightarrow x = {\log _a}m$

দৃষ্টান্ত

·         নিধান না জানা থাকলে কোনো সংখ্যার লগারিদম সম্ভব নয়।

·         কোনো সংখ্যার লগারিদমের মান নির্দীষ্ট নয় তা নিধানের উপর নির্ভর করে।

·         যদি $m < 0$ হয় তবে xএর মান অবাস্তব।

ধনাত্মক যেকোনো নিধান $a\left( {a \ne 0} \right)$  সাপেক্ষে 1এর লগারদমের মান শূন্য হবে।

আমরা জানি ${a^0} = 1\left( {a \ne 0} \right) \Rightarrow {\log _a}1 = 0$

যদি নিধান ও সংখ্যা উভয়েই ধনাত্মক এবং পরস্পর সমান হয় তবে সংখ্যাটির লগারিদমেন মান সর্বদা 1হবে।

প্রমান: $\begin{array}{l} a = m\\  \Rightarrow {a^x} = a\\  \Rightarrow x = {\log _a}a = 1 \end{array}$

যদি $x = {\log _a}m$ হয় তবে ${a^{{{\log }_a}m}} = m$ হবে।

প্রমান: $\begin{array}{l} x = {\log _a}m\\  \Rightarrow {a^x} = m\\  \Rightarrow {a^{{{\log }_a}m}} = m \end{array}$

লগারিদমের সাধারণ সূত্রাবলি(General laws of logarithm)

1.       ${\log _a}\left( {mn} \right) = {\log _a}m + {\log _a}n$

2.       ${\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _a}m - {\log _a}n$

3.       ${\log _a}{m^p} = p{\log _a}m$

4.       ${\log _a}m = {\log _b}m \times {\log _a}b$

যেখানে $m,n,a,b > 0,a \ne 1,b \ne 1,p$ যেকোনো বাস্তব রাশি।

সূত্রবলিরপ্রমাণ(Proof of laws)

1.       ${\log _a}\left( {mn} \right) = {\log _a}m + {\log _a}n$

মনে করি

$\begin{array}{l} {a^x} = m \to \left( 1 \right)\\  \Rightarrow x = {\log _a}m \to \left( 2 \right)\\ {a^y} = n \to \left( 3 \right)\\  \Rightarrow y = {\log _a}n \to \left( 4 \right) \end{array}$

$\left( 1 \right) \cdot \left( 3 \right)$ করে পাই

$\begin{array}{l} {a^x} \cdot {a^y} = mn\\  \Rightarrow {a^{x + y}} = mn\\  \Rightarrow x + y = {\log _a}\left( {mn} \right)\\  \Rightarrow {\log _a}\left( {mn} \right) = x + y\\  \Rightarrow {\log _a}\left( {mn} \right) = {\log _a}m + {\log _a}n \end{array}$

[(2) ও (4)থেকে পাই]

2.       ${\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _a}m - {\log _a}n$

মনে করি

$\begin{array}{l} {a^x} = m \to \left( 1 \right)\\  \Rightarrow x = {\log _a}m \to \left( 2 \right)\\ {a^y} = n \to \left( 3 \right)\\  \Rightarrow y = {\log _a}n \to \left( 4 \right) \end{array}$

$\frac{{\left( 1 \right)}}{{\left( 3 \right)}}$ করে পাই

$\begin{array}{l} \frac{{{a^x}}}{{{a^y}}} = \frac{m}{n}\\  \Rightarrow {a^{x - y}} = \frac{m}{n}\\  \Rightarrow x - y = {\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right)\\  \Rightarrow {\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _a}m - {\log _a}n \end{array}$

        [(2) ও (4)থেকে পাই]

3.       ${\log _a}{m^p} = p{\log _a}m$

মনে করি

 $\begin{array}{l} x = {\log _a}m \to (1)\\  \Rightarrow {a^x} = m \to (2)\\ y = {\log _a}{m^p} \to (3)\\  \Rightarrow {a^y} = {m^p} \to (4) \end{array}$

(2)ও(4)থেকে পাই

$\begin{array}{l} {a^y} = {m^p}\\  \Rightarrow {a^y} = {\left( {{a^x}} \right)^p}\\  \Rightarrow {a^y} = {a^{xp}}\\  \Rightarrow y = xp\\  \Rightarrow {\log _a}{m^p} = p{\log _a}m \end{array}$

অনুসিদ্ধান্ত: ${\log _a}\sqrt[n]{m} = {\log _a}{m^{\frac{1}{n}}} = \frac{1}{n}{\log _a}m$

4.       ${\log _a}m = {\log _b}m \times {\log _a}b$

মনে করি

$\begin{array}{l} x = {\log _a}m \Rightarrow {a^x} = m \to \left( 1 \right)\\ y = {\log _b}m \Rightarrow {b^y} = m \to \left( 2 \right)\\ z = {\log _a}b \Rightarrow {a^z} = b \to \left( 3 \right) \end{array}$

অতএব

$\begin{array}{l} {a^x} = {b^y}\left[ {\left( 1 \right),\left( 2 \right)} \right]\\  \Rightarrow {a^x} = {\left( {{a^z}} \right)^y}\left[ {\left( 3 \right)} \right]\\  \Rightarrow {a^x} = {a^{zy}}\\  \Rightarrow x = zy\\  \Rightarrow {\log _a}m = {\log _a}b \times {\log _b}m\left[ {\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)} \right] \end{array}$

অনুসিদ্ধান্ত:

 $\begin{array}{l} {\log _a}b \times {\log _b}a = 1\\  \Rightarrow {\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}} \end{array}$

আবার আমরা প্রমান করতে পারি ${\log _b}m = \frac{{{{\log }_a}m}}{{{{\log }_a}b}}$

সংক্ষিপ্তকরণ(Summarisation)

$m,n,a,b > 0,a \ne 1,b \ne 1,p$ যেকোনো বাস্তব রাশি হলে,

1.    ${\log _a}1 = 0$

2.   ${\log _a}a = 1$

3.   ${a^{{{\log }_a}m}} = m$

4.   ${\log _a}\left( {mn} \right) = {\log _a}m + {\log _a}n$

5.   ${\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _a}m - {\log _a}n$

6.   ${\log _a}{m^p} = p{\log _a}m$

7.   ${\log _a}m = {\log _b}m \times {\log _a}b$

8.   ${\log _a}b \times {\log _b}a = 1$

9.   ${\log _b}a = \frac{1}{{{{\log }_a}b}}$

10.   ${\log _b}m = \frac{{{{\log }_a}m}}{{{{\log }_a}b}}$

উদাহরণ ১৷

প্রমান করো  $7\log \frac{{10}}{9} + 3\log \frac{{81}}{{80}} = 2\log \frac{{25}}{{24}} + \log 2$   [H.S '82]

প্রমান:

$\begin{array}{l} 7\log \frac{{10}}{9} + 3\log \frac{{81}}{{80}}\\  = 7\left( {\log 10 - \log 9} \right) + 3\left( {\log 81 - \log 80} \right)\\  = 7\log 10 + 3\log 81 - \left( {7\log 9 + 3\log 80} \right)\\  = 7\log \left( {2 \times 5} \right) + 3\log {3^4} - 7\log {3^2} - 3\log ({2^4} \times 5)\\  = 7\log 2 + 7\log 5 + 12\log 3 - 14\log 3 - 12\log 2 - 3\log 5\\  =  - 5\log 2 - 2\log 3 + 4\log 5\\  = 2\log {5^2} + \log 2 - 6\log 2 - 2\log 3\\  = 2\log 25 - 2\log {2^3} - 2\log 3 + \log 2\\  = 2\log \frac{{25}}{{8 \times 3}} + \log 2\\  = 2\log \frac{{25}}{{24}} + \log 2\left( {proved} \right) \end{array}$

উদাহরণ ২৷

প্রমান করো  ${\log _2}10 - {\log _8}125 = 1$[H.S '90]

প্রমান:

$\begin{array}{l} {\log _2}10 - {\log _8}125\\  = {\log _2}\left( {2 \times 5} \right) - {\log _8}{5^3}\\  = {\log _2}2 + {\log _2}5 - 3{\log _8}5\\  = 1 + {\log _2}5 - 3\frac{1}{{{{\log }_5}8}}\\  = 1 + {\log _2}5 - 3\frac{1}{{{{\log }_5}{2^3}}}\\  = 1 + {\log _2}5 - 3\frac{1}{{3{{\log }_5}2}}\\  = 1 + {\log _2}5 - \frac{1}{{{{\log }_5}2}}\\  = 1 + {\log _2}5 - {\log _2}5\\  = 1\left( {proved} \right) \end{array}$

উদাহরণ ৩৷

যদি $\frac{{\log x}}{{y - z}} = \frac{{\log y}}{{z - x}} = \frac{{\log z}}{{x - y}}$ হয় তবে দেখাও যে ${x^x}{y^y}{z^z} = 1$[H.S'2000]

প্রমান:

ধরি

$\begin{array}{l} \frac{{\log x}}{{y - z}} = \frac{{\log y}}{{z - x}} = \frac{{\log z}}{{x - y}} = k\\ \log x = k\left( {y - z} \right),\log y = k\left( {z - x} \right),\log z = k\left( {x - y} \right) \end{array}$

$\begin{array}{l} x\log x = xk\left( {y - z} \right)\\  \Rightarrow \log {x^x} = k\left( {xy - xz} \right) \to \left( 1 \right)\\ y\log y = yk(z - x)\\  \Rightarrow \log {y^y} = k(zy - xy) \to (2)\\ z\log z = zk(x - y)\\  \Rightarrow \log {z^z} = k(xz - yz) \to \left( 3 \right)\\ \left( 1 \right) + \left( 2 \right) + \left( 3 \right)\\ \log {x^x} + \log {y^y} + \log {z^z} = k\left( {xy - xz + yz - yx + xz - yz} \right)\\  \Rightarrow \log {x^x}{y^y}{z^z} = k \times 0\\  \Rightarrow \log {x^x}{y^y}{z^z} = 0\\  \Rightarrow {x^x}{y^y}{z^z} = 1\left( {proved} \right) \end{array}$

উদাহরণ ৪৷

সমাধান করো: ${\log _x}2 \cdot {\log _{\frac{x}{{16}}}}2 = {\log _{\frac{x}{{64}}}}2$ [H.S'95,Jt Ent'81]

সমাধান:

$\begin{array}{l} {\log _x}2 \cdot {\log _{\frac{x}{{16}}}}2 = {\log _{\frac{x}{{64}}}}2\\  \Rightarrow {\log _x}2 \cdot \frac{1}{{{{\log }_2}\frac{x}{{16}}}} = \frac{1}{{{{\log }_2}\frac{x}{{64}}}}\\  \Rightarrow {\log _x}2 \cdot {\log _2}\frac{x}{{64}} = {\log _2}\frac{x}{{16}}\\  \Rightarrow {\log _x}2\left( {{{\log }_2}x - {{\log }_2}64} \right) = {\log _2}x - {\log _2}16\\  \Rightarrow {\log _x}2 \cdot {\log _2}x - {\log _x}2 \cdot {\log _2}{2^6} = {\log _2}x - {\log _2}{2^4}\\  \Rightarrow 1 - {\log _x}2 \cdot 6{\log _2}2 = {\log _2}x - 4{\log _2}2\\  \Rightarrow 1 - 6{\log _x}2 = {\log _2}x - 4\\  \Rightarrow 6{\log _x}2 = 5 - {\log _2}x\\  \Rightarrow 6\frac{1}{{{{\log }_2}x}} = 5 - {\log _2}x\\  \Rightarrow 5{\log _2}x - {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} = 6\\  \Rightarrow {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} - 5{\log _2}x + 6 = 0\\  \Rightarrow {a^2} - 5a + 6 = 0\left[ {{{\log }_2}x = a} \right]\\  \Rightarrow \left( {a - 3} \right)\left( {a - 2} \right) = 0\\ a = 3 \Rightarrow {\log _2}x = 3 \Rightarrow x = {2^3} = 8\\ or,a = 2 \Rightarrow {\log _2}x = 2 \Rightarrow x = {2^2} = 4 \end{array}$