দ্বিঘাত সমীকরণের তত্ত্ব (Theory of Quadratic Equation)
ভূমিকা ( Introduction )
যে সমীকরণে অজ্ঞাত রাশির বৃহত্তম সূচকের মান দুই হলে তাকে দুই ঘাতবিশিষ্ট বা দ্বিঘাত সমীকরণ(second degree or quadratic equation)বলে।একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ আকার হল [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0[/tex] যেখানে [tex]a\left( { \ne 0} \right),b,c[/tex] তিনটি ধ্রুবক রাশি।[tex]a,b[/tex] হল যথাক্রমে [tex]{x^2},x[/tex]এর সহগ এবং cকে সমীকরণটির ধ্রুবক পদ বলে।
যে দ্বিঘাত সমীকরণে [tex]b = 0[/tex] হয় অর্থাৎ সমীকরণের সাধারণ আকার হয় [tex]a \cdot {x^2} + c = 0[/tex] তাকে বিশুদ্ধ দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।অন্যভাবে যে দ্বিঘাত সমীকরণে [tex]b \ne 0[/tex] হয় অর্থাৎ সমীকরণের সাধারণ আকার হয় [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0[/tex] তাকে মিশ্র দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।যেমন [tex]{x^2} - 16 = 0,9{x^2} - 25 = 0[/tex]হল বিশুদ্ধ দ্বিঘাত সমীকরণ কিন্তু [tex]2{x^2} + 3x + 5 = 0[/tex] হল মিশ্র দ্বিঘাত সমীকরণ।
উপপাদ্য(Theorem)
উপপাদ্য ১৷[tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\left( {a \ne 0} \right)[/tex] দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ [tex]\alpha [/tex] হলে [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c[/tex] রাশিমালার একটি উৎপাদক হবে [tex]\left( {x - \alpha } \right)[/tex] বিপরীতক্রমে [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c[/tex] রাশিমালার একটি উৎপাদক [tex]\left( {x - \alpha } \right)[/tex] হলে [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0[/tex] সমীকরণের একটি বীজ হবে [tex]\alpha [/tex] ।
প্রমান: প্রশ্নানুযায়ী [tex]\alpha [/tex] হল [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0[/tex] সমীকরণের একটি বীজ।
[tex]a \cdot {\alpha ^2} + b \cdot \alpha + c = 0[/tex]
এখন
[tex]\begin{array}{l}
a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = (a \cdot {x^2} + b \cdot x + c) - \left( {a \cdot {\alpha ^2} + b \cdot \alpha + c} \right)\\
= a\left( {{x^2} - {\alpha ^2}} \right) + b\left( {x - \alpha } \right)\\
= a\left( {x + \alpha } \right)\left( {x - \alpha } \right) + b\left( {x - \alpha } \right)\\
= \left( {x - \alpha } \right)\left\{ {a\left( {x + \alpha } \right) + b} \right\}
\end{array}[/tex]
অতএব [tex]\left( {x - \alpha } \right)[/tex] হল [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c[/tex] রাশিমালার উৎপাদক।
বিপরীতক্রমে যদি [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c[/tex] রাশিমালার একটি উৎপাদক [tex]\left( {x - \alpha } \right)[/tex]হয় তাহলে আমরা লিখতে পারি
[tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = \left( {x - \alpha } \right)\left( {px + q} \right),\left( {p \ne 0} \right)[/tex] যেখানে pও qহল ধ্রুবক।
উপরের সমীকরণে [tex]x = \alpha [/tex] বসিয়ে পাই।
[tex]\begin{array}{l}
a \cdot {\alpha ^2} + b \cdot \alpha + c = \left( {\alpha - \alpha } \right)\left( {p\alpha + q} \right)\\
\Rightarrow a \cdot {\alpha ^2} + b \cdot \alpha + c = 0 \cdot \left( {p\alpha + q} \right)\\
\Rightarrow a \cdot {\alpha ^2} + b \cdot \alpha + c = 0
\end{array}[/tex]
অতএব প্রমানিত [tex]\alpha [/tex] হল [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0[/tex]এই সমীকরণের একটি বীজ।
উপপাদ্য ২৷একটি দ্বিঘাত সমীকরণে কেবলমাত্র দুটি বীজ থাকবে।
প্রমান: [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0,\left( {a \ne 0} \right)[/tex]হল একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
[tex]\begin{array}{l}
a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\\
\Rightarrow {x^2} + \frac{b}{a} \cdot x + \frac{c}{a} = 0\\
\Rightarrow {x^2} + 2\frac{b}{{2a}} \cdot x + {\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2} - {\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2} + \frac{c}{a} = 0\\
\Rightarrow {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \left( {\frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} - \frac{c}{a}} \right) = 0\\
\Rightarrow {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \left( {\frac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}} \right) = 0\\
\Rightarrow {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - {\left( {\frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}} \right)^2} = 0\\
\Rightarrow \left( {x + \frac{b}{{2a}} + \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}} \right)\left( {x + \frac{b}{{2a}} - \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}} \right) = 0\\
\Rightarrow \left\{ {x - \left( {\frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}} \right)} \right\}\left\{ {x - \left( {\frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}} \right)} \right\} = 0\\
\Rightarrow \left( {x - \alpha } \right)\left( {x - \beta } \right) = 0
\end{array}[/tex]
যেখানে [tex]\alpha = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}},\beta = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}[/tex]
স্পষ্টতই দেখা যাচ্ছে উপরের সমীকরণের কেবলমাত্র দুটি বীজ আছে।
বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য
বাস্তব কিংবা জটিল সহগবিশিষ্ট প্রত্যেক বীজগণিতীয় সমীকরণের কমপক্ষে একটি বাস্তব অথবা কাল্পনিক বীজ থাকবে
উপপাদ্য ৩৷ কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের দুটির বেশি বীজ থাকতে পারেনা।
প্রমান : [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0,\left( {a \ne 0} \right)[/tex]হল একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
মৌলিক উপপাদ্য অনুযায়ী মনে করি[tex]\alpha [/tex] হল উপরের দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ।
অতএব [tex]\left( {x - \alpha } \right)[/tex] হবে[tex] \cdot {x^2} + b \cdot x + c[/tex] এই রাশিমালার একটি উৎপাদক।
[tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = \left( {x - \alpha } \right)\left( {px + q} \right),\left( {p \ne 0} \right) \to \left( 1 \right)[/tex]
যেখানে pও qহল ধ্রুবক।
মৌলিক উপপাদ্য অনুযায়ী মনে করি [tex]\beta [/tex] হল [tex]px + q = 0[/tex] সমীকরণের বীজ।
[tex]p\beta + q = 0[/tex] এবং [tex]\left( {x - \beta } \right)[/tex] হল [tex]px + q[/tex] রাশিমালার উৎপাদক।
[tex]px + q = \left( {x - \beta } \right) \cdot r \to \left( 2 \right)[/tex]
যেখানে rহল ধ্রুবক([tex]px + q[/tex]একঘাত রাশিকে[tex]\left( {x - \beta } \right)[/tex]দিয়ে ভাগ করলে ধ্রুবক rপাওয়া যায়)।
(2)এর মান (1)কে বসিয়ে পাই
[tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = \left( {x - \alpha } \right) \cdot \left( {x - \beta } \right) \cdot r \to \left( 3 \right)[/tex]
(3)এর উভয়পক্ষে [tex]{x^2}[/tex] এর সহগ তুলনা করে পাই[tex]r = a[/tex]
সুতরাং [tex]a{x^2} + bx + c = a\left( {x - \alpha } \right)\left( {x - \beta } \right) \to \left( 4 \right)[/tex]
(4)নং সমীকরণ থেকে পাই [tex]x = \alpha [/tex] অথবা [tex]x = \beta [/tex] হলে [tex]a{x^2} + bx + c = 0[/tex] হয়।
অতএব [tex]x = \alpha ,x = \beta [/tex] হল [tex]a{x^2} + bx + c = 0[/tex] সমীকরণের দুটি বীজ।
এখন মনে করি [tex]\gamma ,\left( {\gamma \ne \alpha ,\gamma \ne \beta } \right)[/tex] হল উপরের সমীকরণের আরো একটি বীজ।
সুতরাং [tex]\gamma [/tex] (4)নং সমীকরণকে সিদ্ধ করবে
[tex]a{\gamma ^2} + b\gamma + c = a\left( {\gamma - \alpha } \right)\left( {\gamma - \beta } \right) \ne 0(a \ne 0)[/tex]
অতএব [tex]\gamma [/tex] [tex]a{x^2} + bx + c = 0[/tex] সমীকরণের বীজ হতে পারেনা।
সুতরাং প্রমানিত কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের দুটির বেশি বীজ থাকতে পারেনা।
বিকল্প পদ্ধতি
যদি সম্ভব হয় মনে করি
[tex]a{x^2} + bx + c = 0,(a \ne 0) \to \left( 1 \right)[/tex]
সমীকরণের তিনটি বীজ হল [tex]\alpha ,\beta ,\gamma \left( {\alpha \ne \beta \ne \gamma } \right)[/tex]
[tex]\begin{array}{l}
a{\alpha ^2} + b\alpha + c = 0 \to \left( 2 \right)\\
a{\beta ^2} + b\beta + c = 0 \to \left( 3 \right)\\
a{\gamma ^2} + b\gamma + c = 0 \to \left( 4 \right)
\end{array}[/tex]
এখন (2)-(3)করে পাই
[tex]\begin{array}{l}
(a{\alpha ^2} + b\alpha + c) - \left( {a{\beta ^2} + b\beta + c} \right) = 0\\
\Rightarrow a\left( {\alpha + \beta } \right)\left( {\alpha - \beta } \right) + b\left( {\alpha - \beta } \right) = 0\\
\Rightarrow \left( {\alpha - \beta } \right)\left\{ {a\left( {\alpha + \beta } \right) + b} \right\} = 0,\left( {\alpha \ne \beta } \right)\\
\Rightarrow \left\{ {a\left( {\alpha + \beta } \right) + b} \right\} = 0 \to \left( 5 \right)
\end{array}[/tex]
অনুরূপে (3)-(4)করে পাই
[tex]\left\{ {a\left( {\beta + \gamma } \right) + b} \right\} = 0 \to \left( 6 \right)[/tex]
(5)-(6)করে পাই
[tex]\begin{array}{l}
\{ a\left( {\alpha + \beta } \right) + b\} - \left\{ {a\left( {\beta + \gamma } \right) + b} \right\} = 0\\
\Rightarrow a\left( {\alpha - \gamma } \right) = 0\\
\Rightarrow \alpha - \gamma = 0,\left( {a \ne 0} \right)\\
\Rightarrow \alpha = \gamma \to \left( 7 \right)
\end{array}[/tex]
(7)থেকে বোঝা যায় (1)এর কেবলমাত্র দুটি বীজ থাকবে।
উপপাদ্য ৪৷বাস্তব সহগ বিশিষ্ট কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ কাল্পনিক রাশি হলে অন্য বীজটি প্রতিযোগী কাল্পনিক রাশি হবে।
প্রমান [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0,\left( {a \ne 0} \right) \to \left( 1 \right)[/tex]
হল একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
যেখানে [tex]a,b,c[/tex] সহগ গুলি বাস্তব এবং এদের একটি কাল্পনিক বীজ হল [tex](\alpha + i\beta )[/tex]([tex]\alpha ,\beta [/tex] হল বাস্তব ও [tex]i = \sqrt { - 1} [/tex] ) ।
অতএব [tex](\alpha + i\beta )[/tex] (1)নং সমীকরণকে সিদ্ধ করবে।
[tex]\begin{array}{l}
a{\left( {\alpha + i\beta } \right)^2} + b\left( {\alpha + i\beta } \right) + c = 0\\
\Rightarrow a\left( {{\alpha ^2} + 2i\alpha \beta - {\beta ^2}} \right) + b\left( {\alpha + i\beta } \right) + c = 0\\
\Rightarrow a({\alpha ^2} - {\beta ^2}) + b\alpha + c + i\left( {2a\alpha \beta + b\beta } \right) = 0\\
\Rightarrow a\left( {{\alpha ^2} - {\beta ^2}} \right) + b\alpha + c = 0 \to \left( 2 \right)\\
2a\alpha \beta + b\beta = 0 \to \left( 3 \right)\\
\left( {p + iq = 0 \Rightarrow p = 0,q = 0} \right)
\end{array}[/tex]
আমরা [tex]x = \left( {\alpha - i\beta } \right)[/tex] [tex],\left( {a{x^2} + bx + c} \right)[/tex] রাশিতে বসিয়ে পাই।
[tex]\begin{array}{l}
a{\left( {\alpha - i\beta } \right)^2} + b\left( {\alpha - i\beta } \right) + c\\
= a\left( {{\alpha ^2} - 2i\alpha \beta - {\beta ^2}} \right) + b\left( {\alpha - i\beta } \right) + c\\
= a({\alpha ^2} - {\beta ^2}) + b\alpha + c - i\left( {2a\alpha \beta + b\beta } \right)\\
= 0
\end{array}[/tex]
[(2)ও (3)থেকে পাই]
অতএব[tex]\left( {\alpha - i\beta } \right)[/tex] [tex],\left( {a{x^2} + bx + c} \right)[/tex]রাশিকে সিদ্ধ করছে।সুতরাং [tex]\left( {\alpha - i\beta } \right)[/tex]হল(1)নং সমীকরণের অন্য আর একটি বীজ।বিপরীভাবে আমরা দেখাতে পারি যদি [tex]\left( {\alpha - i\beta } \right)[/tex](1)নং সমীকরণের একটি বীজ হয় তবে অন্যটি হবে [tex](\alpha + i\beta )[/tex]।
কিন্তু [tex]\left( {\alpha + i\beta } \right),\left( {\alpha - i\beta } \right)[/tex] হল প্রতিযোগী কাল্পনিক রাশি।অতএব প্রমানিত বাস্তব সহগ বিশিষ্ট কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ কাল্পনিক রাশি হলে অন্য বীজটি প্রতিযোগী কাল্পনিক রাশি হবে।
উপপাদ্য ৫৷ মূলদ সহগ বিশিষ্ট কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অমূলদ রাশি হলে অন্য বীজটি প্রতিযোগী অমূলদ রাশি হবে।
প্রমান [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0,\left( {a \ne 0} \right) \to \left( 1 \right)[/tex]
হল একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
যেখানে [tex]a,b,c[/tex] সহগ গুলি মূলদ এবং এদের একটি অমূলদ বীজ হল [tex]p + \sqrt q [/tex] (যেখানে pমূলদ রাশি [tex]\sqrt q [/tex] হল অমূলদ রাশি)।
অতএব [tex]p + \sqrt q [/tex](1)নং সমীকরণকে সিদ্ধ করবে।
[tex]\begin{array}{l}
a{\left( {p + \sqrt q } \right)^2} + b\left( {p + \sqrt q } \right) + c = 0\\
\Rightarrow a\left( {{p^2} + 2p\sqrt q + q} \right) + bp + b\sqrt q + c = 0\\
\Rightarrow a\left( {{p^2} + q} \right) + bp + c + \left( {2p + b} \right)\sqrt q = 0\\
\Rightarrow a\left( {{p^2} + q} \right) + bp + c = 0 \to \left( 2 \right)\\
\left( {2p + b} \right) = 0 \to \left( 3 \right)
\end{array}[/tex]
এখন [tex]x = (p - \sqrt q )[/tex] কে [tex],\left( {a{x^2} + bx + c} \right)[/tex]রাশিতে বসিয়ে পাই
[tex]\begin{array}{l}
a{\left( {p - \sqrt q } \right)^2} + b\left( {p - \sqrt q } \right) + c\\
= a\left( {{p^2} - 2p\sqrt q + q} \right) + bp - b\sqrt q + c\\
= a\left( {{p^2} + q} \right) + bp + c - \left( {2p + b} \right)\sqrt q \\
= 0 - 0\\
= 0
\end{array}[/tex] [(2)ও (3)থেকে পাই]
অতএব [tex]\left( {p - \sqrt q } \right)[/tex] হল (1)নং সমীকরণের অন্য আর একটি বীজ।বিপরীভাবে আমরা দেখাতে পারি যদি [tex]\left( {p - \sqrt q } \right)[/tex] (1)নং সমীকরণের একটি বীজ হয় তবে অন্যটি হবে[tex]p + \sqrt q [/tex] ।কিন্তু [tex]\left( {p + \sqrt q } \right),\left( {p - \sqrt q } \right)[/tex] হল প্রতিযোগী অমূলদ রাশি।অতএব প্রমানিত মূলদ সহগ বিশিষ্ট কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অমূলদ রাশি হলে অন্য বীজটি প্রতিযোগী অমূলদ রাশি হবে।
দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ ও সহগের সম্বন্ধ নির্ণয়(To find the relation between roots and coefficient of a Quadratic equation)
[tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0,\left( {a \ne 0} \right) \to \left( 1 \right)[/tex]
হল একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।[tex]{x^2},x[/tex] এর সহগ হল যথাক্রমে [tex]a,b[/tex] এবং cহল ধ্রুবক ।মনে করি [tex]\alpha ,\beta [/tex] হল (1)নং সমীকরণের দুটি বীজ।
[tex]\begin{array}{l}
a{x^2} + bx + c = 0\\
\Rightarrow {x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\\
\Rightarrow {x^2} + 2\frac{b}{{2a}}x + \frac{c}{a} = 0\\
\Rightarrow {x^2} + 2\frac{b}{{2a}}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} + \frac{c}{a} - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = 0\\
\Rightarrow {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \left( {\frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} - \frac{c}{a}} \right) = 0\\
\Rightarrow {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \left( {\frac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}} \right)\\
\Rightarrow x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\\
\Rightarrow x = - \frac{b}{{2a}} \pm \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\\
\Rightarrow x = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}
\end{array}[/tex]
মনে করি [tex]\alpha = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}},\beta = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}[/tex]
[tex]\begin{array}{l}
\alpha + \beta = - \frac{b}{a} \to \left( 2 \right)\\
\alpha \beta = \left( {\frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}} \right) \times \left( {\frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}} \right)\\
= \frac{{{b^2} - {b^2} + 4ac}}{{4{a^2}}}\\
= \frac{c}{a}\\
\Rightarrow \alpha \beta = \frac{c}{a} \to \left( 3 \right)
\end{array}[/tex]
(2)ও (3)থেকে আমরা বীজ ও সহগের মধ্যে সম্বন্ধ পাই।
দুটি বীজ জানা থাকলে দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন(Formation of the Quadratic equation whose roots are given)
[tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0,\left( {a \ne 0} \right) \to \left( 1 \right)[/tex]
হল একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ আকার।।মনে করি [tex]\alpha ,\beta [/tex] হল সমীকরণের দুটি বীজ।
এখন
[tex]\begin{array}{l}
a{x^2} + bx + c = 0\\
\Rightarrow {x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\\
\Rightarrow {x^2} - \left( { - \frac{b}{a}} \right)x + \frac{c}{a} = 0\\
\Rightarrow {x^2} - \left( {\alpha + \beta } \right)x + \alpha \beta = 0\left[ {\left( {\alpha + \beta } \right) = - \frac{b}{a},\alpha \beta = \frac{c}{a}} \right]
\end{array}[/tex]
অতএব [tex]{x^2} - [/tex] (দুটি বীজের সমষ্টি)[tex]x + [/tex] (বীজ দুটির গুনফল)[tex] = 0[/tex]
অতএব প্রমানিত কোনো সমীকরণের দুটি দেওয়া থাকলে সমীকরণটি নির্ণয় করা যায়।
দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজের প্রকৃতি নির্ণয় (To find the nature of the roots of a Quadratic Equation)
সাধারণ আকারের দ্বিঘাত সমীকরণ হল
[tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0,\left( {a \ne 0} \right) \to \left( 1 \right)[/tex]
যদি[tex]\alpha ,\beta [/tex] হল (1)নং সমীকরণের দুটি বীজ তবে
[tex]\alpha = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}},\beta = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}[/tex]
মনে করি [tex]a,b,c[/tex] হল বাস্তব মূলদ সংখ্যা।[tex]\alpha ,\beta [/tex] প্রকৃতি [tex]{b^2} - 4ac[/tex] দ্বারা নির্ণীত হয় বলে [tex]{b^2} - 4ac[/tex] কে নিরূপক(discriminant)বলা হয়।নিরূপকের উপর ভিত্তি করে দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের প্রকৃতি কী রূপ হতে পারে তা নিম্নেআালচনা করা হল।
১৷ যদি নিরূপক ধনাত্মক হয় অর্থাৎ [tex]{b^2} - 4ac > 0[/tex] তবে (1)নং সমীকরণের দুটি বীজ [tex]\left( {\alpha ,\beta } \right)[/tex] বাস্তব এবং অসমান হবে।
২৷ যদি নিরূপকের মান শূন্য অর্থাৎ [tex]{b^2} - 4ac = 0[/tex] হয় তবে(1)নং সমীকরণের দুটি বীজ [tex]\left( {\alpha ,\beta } \right)[/tex] বাস্তব এবং সমান হবে।
৩৷ যদি নিরূপক ঋনাত্মক হয় অর্থাৎ[tex]{b^2} - 4ac < 0[/tex] হয় তবে(1)নং সমীকরণের দুটি বীজ [tex]\left( {\alpha ,\beta } \right)[/tex] অবাস্তব এবং অসমান হবে।
৪৷ যদি নিরূপকটি ধনাত্মক পূর্ণবর্গ হয় তবে (1)নং সমীকরণের দুটি বীজ [tex]\left( {\alpha ,\beta } \right)[/tex] বাস্তব ,মূলদ এবং অসমান হবে।
আর যদি নিরূপকটি ধনাত্মক কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে তবে (1)নং সমীকরণের দুটি বীজ [tex]\left( {\alpha ,\beta } \right)[/tex] বাস্তব ,অমূলদ এবং অসমান হবে।
৫৷ যদি aঅথবা bএর কোনো একটির মান অমূলদ হয় তবে [tex]{b^2} - 4ac[/tex] বা নিরূপকের মান পূর্ণবর্গ হলেও (1)নং সমীকরণের দুটি বীজ [tex]\left( {\alpha ,\beta } \right)[/tex] অমূলদ হবে।
দ্বিঘাত সীকরণের এক বা একাধিক সহগ শূন্য হলে বীজ দুটির প্রকৃতি নির্ণয়(To find the nature of roots of a Quadratic equation when one or more coefficients are zero)
সাধারণ আকারের দ্বিঘাত সমীকরণ হল
[tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0,\left( {a \ne 0} \right) \to \left( 1 \right)[/tex]
মনে করি a,b,cবাস্তব ও মূলদ।
যদি c=0হয় তবে (1)নং সমীকরণ থেকে পাই
[tex]\begin{array}{l}
a{x^2} + bx = 0\\
\Rightarrow x\left( {ax + b} \right) = 0
\end{array}[/tex]
[tex]x = 0[/tex] বা[tex]ax + b = 0 \Rightarrow x = - \frac{b}{a}[/tex]
সুতরাং দ্বিঘাত সমীকরণের ধ্রুবক পদ শূন্য হলে একটি বীজ শূন্য এবং অন্যটি বাস্তব ও মূলদ হয়।
যদি b=0হয় তবে (1)নং সমীকরণ থেকে পাই
[tex]\begin{array}{l}
a{x^2} + c = 0\\
\Rightarrow {x^2} = - \frac{c}{a}\\
\Rightarrow x = \pm \sqrt { - \frac{c}{a}}
\end{array}[/tex]
সুতরাং দ্বিঘাত সমীকরণের xএর সহগ পদ শূন্য হলে বীজ দুটির মান সমান হবে কিন্তু তারা বিপরীত চিহ্ন যুক্ত হয়।
যদি a=0হয় তখনও বীজের প্রকৃতি নির্ণয় করা যায়
মনে করি [tex]x = \frac{1}{y}[/tex] তাহলে সমীকরণ থেকে পাই
[tex]\begin{array}{l}
a\frac{1}{{{y^2}}} + b\frac{1}{y} + c = 0\\
\Rightarrow a + by + c{y^2} = 0 \to \left( 2 \right)\\
\Rightarrow by + c{y^2} = 0,\left( {a = 0} \right)\\
\Rightarrow y\left( {b + cy} \right) = 0
\end{array}[/tex]
অতএব [tex]y = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{y} = \frac{1}{0}[/tex] বা[tex]y = - \frac{b}{c} \Rightarrow x = \frac{1}{y} = - \frac{c}{b}[/tex]
এক্ষেত্রে একটি বীজের মান পাওয়া যায় সেটি বাস্তব ও মূলদ অন্যটি অনির্ণেয়।
যখন [tex]a = b = 0[/tex] (2)নং সমীকরণ থেকে পাই
[tex]\begin{array}{l}
c{y^2} = 0\\
\Rightarrow y = 0,0\\
\Rightarrow x = \frac{1}{y} = \frac{1}{0},\frac{1}{0}
\end{array}[/tex]
(1)নং সমীকরণের দুটি বীজ অনির্ণেয়।
যখন [tex]a = c = 0[/tex] (1)নং সমীকরণ থেকে পাই
এক্ষেত্রে একটি বীজের মান শূন্য অন্যটি অনির্ণেয়।
যখন [tex]b = c = 0[/tex] (1)নং সমীকরণ থেকে পাই
[tex]\begin{array}{l}
a{x^2} = 0\\
\Rightarrow x = 0,0
\end{array}[/tex]
এক্ষেত্রে দুটি বীজের মান শূন্য।
যখন [tex]a = b = c = 0[/tex] (1)নং সমীকরণ থেকে পাই
[tex]0 \cdot {x^2} + 0 \cdot x + 0 = 0[/tex]
এটি xএর যেকোনো মানে সিদ্ধ।
এক্ষেত্রে সমীকরণকে একটি অভেদ রূপে প্রকাশ করা যায়।
- 23349 views
