2012
MATHEMATICS
(Compulsory)
Time—Three Hours Fifteen Minutes (First FIFTEEN minutes for reading the question paper)
Full Marks 90 — For Regular Candidates
Full Marks 100 — For External Candidates
( দ্বিভাজিত পাঠ্যসূচী )
(Bifurcated Syllabus)
[ "প্রথম অংশ" -এর প্রশ্নগুলির উত্তর প্রশ্নসংখ্যা লিখে ক্রমানুযায়ী উত্তর-পত্রের প্রথম দিকে লিখতে হবে । এর জন্য প্রয়োজনীয় হিসাবপত্র ও চিত্র অঙ্কন আবশ্যিকভাবে উত্তর-পত্রের প্রথম দিকে মার্জিন টেনে ডান দিকে করতে হবে । কোনো প্রকার সারণী বা গণকযন্ত্র ব্যবহার করতে দেওয়া হবে না । প্রয়োজনে π =[tex]{22 \over 7}[/tex]ধরে নিতে হবে । প্রয়োজন মতো গ্রাফ পেপার দেওয়া হবে ।]
(দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য 7 নং ও 13 নং প্রশ্নের বিকল্প 8 নং পৃষ্ঠায় দেওয়া আছে ।)
প্রথম অংশ
এই অংশের সব প্রশ্নের উত্তর উত্তর-পত্রের প্রথম দিকে করতে হবে ।
1. সব প্রশ্নের উত্তর দাও :
(i) 10 দিন ও 2 মাস -এর অনুপাত লেখো । 1
(ii) 0 < x < 1 হলে L.C.M. of x6, x2, x3 এদের ল.সা.গু.হবে :
(a) x6 (b) x3 (c) x11 (d) x2 1
(iii) k -এর কোন মানের জন্য 3x + 4y =18; kx - 4y = 180 সহসমীকরণগুলির সমাধান থাকবে না ? 1
(iv) সঠিক উত্তর নির্বাচন করে বাক্যটি সম্পূর্ণ করো : 1
(0, 4) ও (0, -3) বিন্দু দুটির মধ্যে দুরত্ব হবে
(a) 1 একক (b) 7 একক (c) 5 একক (d) -5 একক
(v) PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের[tex] \angle PQR= 80^o[/tex], [tex]\angle RSP[/tex]-এর মান কত ? 1
(vi) [tex]\tan 70^o \times \tan 20^o [/tex] -এর সরলতম মান লেখো । 1
2. সব প্রশ্নের উত্তর দাও :-
(i) প্রথম 21 টি স্বাভাবিক সংখ্যার গড় 11; তাহলে প্রথম 20 টি স্বাভাবিক সংখ্যার গড় নির্ণয় করো । 2
(ii) x : y = 3 : 4 হলে (3y - x) : (2x + y) কত হবে ? 2
(iii) দেওয়া আছে 19 ≤ 2x - 1 ≤ 29 , x -এর চরম ও অবম মান নির্ণয় করো । 2
(iv) ABCD একটি সামন্তরিক এবং[tex]\angle B - \angle C = 60^o[/tex] ; [tex] \angle A [/tex]ও[tex] \angle D[/tex]নির্ণয় করো । 2
(v) △ ABC সমবাহু এবং AD মধ্যমা , ভরকেন্দ্র G , GD = 10 cm, GB -র দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো । 2
(vi) আয়তক্ষেত্রাকার পিরামিডের শীর্ষবিন্দু সংখ্যা, প্রান্তিকী সংখ্যা এবং তল সংখ্যা যথাক্রমে v, e এবং s ;
হলে v + s - e = কত ? 2
(vii) [tex]\tan \theta + \sec \theta ={1 \over 2}[/tex]হলে[tex]\sec \theta[/tex]-এর মান কত ? 2
3. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও (বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে উত্তর দেওয়া যাবে ):- 2 x 5 =10
(a) একটি পাত্রে সিরাপ ও জলের অনুপাত 3 : 5 এবং অপর একটি পাত্রে ঐ অনুপাত 6 : 1 ; এই দুই পাত্রের মিশ্রণ কী অনুপাতে মেশালে নতুন মিশ্রণে সিরাপ ও জলের অনুপাত 4 : 3 হবে ?
(b) উত্পাদন ব্যয়ের উপর 30% বাড়িয়ে মদন তাঁতি একটি বালুচরি শাড়ির দাম 8,580 টাকা ধার্য্য করলেন । বিক্রয়ের সময় তিনি ধার্য্যমূল্যের 10% ছাড় দিলেন । তাঁর লাভের শতকরা হার নির্ণয় করো ।
(c) এক ব্যক্তি তাঁর 12 এবং 14 বছরের দুই ছেলের জন্য 18,750 টাকা এমনভাবে ভাগ করে রেখে গেলেন যে যখন তারা 18 বছর বয়সে সাবালক হবে তখন 5% সরল সুদে প্রত্যেকে সুদে আসলে সমান টাকা পাবে । তিনি প্রত্যেকের জন্য কত টাকা রেখে গিয়েছিলেন ?
(d) একটি মুদ্রণ যন্ত্রের বর্তমান মূল্য 1,80,000 টাকা , বার্ষিক অবচয় (মূল্যহ্রাস) -এর হার 10% হলে 3 বছর পর যন্ত্রটির মূল্য কত হবে ?
4. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 4
(a) গ.সা.গু. নির্ণয় করো : x2 + 3x + 2, 3x2 + x - 2 এবং 2x3 - x2 - 3x.
(b) ল.সা.গু. নির্ণয় করো : 15a3 (a + x)3, 20ax3 (a - x)3 এবং 36a2 x2(a2 - x2)2 .
5. সমাধান করো (যে কোনো একটি ): 3
(a) 3x - 4y = 1; 4x = 3y + 6 [অপনয়ন অথবা বজ্রগুণন পদ্ধতির সাহায্যে ]
(b) (x -7)(x - 9) = 195 .
6. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 4
(a) দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 7; সংখ্যাটির সঙ্গে 27 যোগ করলে সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় পরস্পর স্থান বিনিময় করে । সংখ্যাটি নির্ণয় করো ।
(b) একটি আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল 600 বর্গমিটার এবং পরিসীমা 100 মিটার । পার্কটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করো ।
7. নিম্নলিখিত অসমীকরণগুলির লেখচিত্র আঁকো এবং সমাধান অঞ্চল নির্দেশ করো (যে কোনো একটি ) : 4
(a) x ≥ -3; y ≥ 0 এবং x + y ≤ 10
(b) y ≤ 0; 3x + 2y + 6 ≥ 0 এবং 3x - 2y ≤ 6.
8. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 3
(a) দেওয়া আছে[tex]{{x+y} \over {x-y}} = {a \over b}[/tex], প্রমাণ করো[tex]{{y^{2}+xy} \over {x^{2}-xy}} = {{a^2-ab} \over {b^2+ab}}[/tex]
(b) যদি[tex] a : b = b : c[/tex] হয়, তবে দেখাও যে [tex]abc {(a + b + c)}^3 = {(ab + bc + ca)}^3[/tex].
9. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 3
(a) গোলকের আয়তন তার ব্যাসার্ধের ঘনের সাথে সরল ভেদে থাকে । একটি সীসার গোলকের ব্যাস 14 সেমি । ভেদের সাহায্যে প্রমাণ করো যে ঐ গোলকটি গলিয়ে 7 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট 8 টি গোলক তৈরি করা যাবে । (ধরে নাও গলনের ফলে আয়তন স্থির থাকে ।)
(b) দেওয়া আছে [tex]a \propto b[/tex] এবং [tex]b \propto c[/tex],দেখাও যে[tex]a^3 + b^3 + c^3 \propto 5abc[/tex].
10. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 3
(a) [tex]a = {{ \sqrt5+1} \over {\sqrt5-1}}[/tex]এবং[tex]b = {{\sqrt5-1} \over {\sqrt5+1}}[/tex],হলে [tex] {a^2 + ab + b^2} \over {a^2 - ab + b^2}[/tex]এর মান নির্ণয় করো ।
(b) সরল করো : [tex]{{4\sqrt 3 } \over {2 - \sqrt 2 }} - {{30} \over {4 \sqrt 3 - \sqrt {18}}} - {{\sqrt {18} \over {3 - \sqrt {12}}}[/tex]
11. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 2 x 5=10
(a) প্রমাণ করো যে ব্যাস নয় এরূপ কোনো জ্যা -কে যদি বৃত্তের কেন্দ্রগামী কোনো সরলরেখা সমদ্বিখন্ডিত করে, তাহলে ঐ সরলরেখা ঐ জ্যা-এর উপর লম্ব হবে ।
(b) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিস্থভাবে স্পর্শ করলে প্রমাণ করো স্পর্শবিন্দুটি কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখার উপর অবস্থিত ।
(c) "যদি কোনো সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করা হয় তবে ঐ লম্বের উভয় পার্শ্বস্থিত ত্রিভুজদ্বয় পরস্পর সদৃশ হবে । "- প্রমাণ করো ।
12. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 3
(a) ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB = DC, প্রমাণ করো যে AC = BD ।
(b) ABCD ট্রাপিজিয়মের AB || CD ; AC এবং BD কর্ণদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমাণ করো AO.OD = BO.OC.
13. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 5
(a) △ ABC -এর AB = 8 সেমি, BC = 6 সেমি এবং[tex] \angle ABC = 60^o[/tex]; ত্রিভুজটি আঁকো । ঐ ত্রিভুজটির পরিবৃত্তটিও আঁকো ।
( শুধুমাত্র অঙ্কন চিহ্ন প্রয়োজন )
(b) জ্যামিতিকভাবে[tex] 2 \sqrt 7[/tex]-এর মান নির্ণয় করো ।
( শুধুমাত্র অঙ্কন চিহ্ন প্রয়োজন )
14. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 3
(a) একটি পিরামিডের ভূমি 12 সেমি বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্র এবং ইহার আয়তন 576 ঘনমিটার । ইহাত তির্যক উচ্চতা কত ?
(b) একটি গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 5544 বর্গসেমি । গোলকটির আয়তন নির্ণয় করো ।
15. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 4
(a) একটি অর্ধগোলক ও একটি শঙ্কুর ভূমি ও উচ্চতা সমান । উহাদের আয়তনের অনুপাত এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় করো ।
(b) একটি তারের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাস 50% কমানো হল । আয়তন অপরিবর্তিত রাখতে হলে তারটির দৈর্ঘ্য কত শতাংশ বাড়াতে হবে ?.
16. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 2 x 3 = 6
(a) একটি সমকোণী ত্রিভুজের সুক্ষকোণদুটির অন্তর 30° ; ঐ কোণ দুটির মান ডিগ্রী ও রেডিয়ানে প্রকাশ করো ।
(b) [tex] \tan A = {x \over y}[/tex], [tex]{\cos A - \sin A} \over {\cos A + \sin A}[/tex]-এর মান নির্ণয় করো ।
(c) [tex] x \sin 60^o \cos^2 30^o ={{\tan^2 45^o \sec 60^o} \over {\cos ec 60^o}}[/tex]হলে, x -এর মান নির্ণয় করো ।
(d) △ ABC -এ প্রমাণ করো :[tex]\sin {{A+B} \over 2} + \cos {{ B+C} \over 2} = \cos {C \over 2} + \sin {A \over 2}[/tex].
17. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 5
(a) একটি জাহাজের ডেক জলতল থেকে 10 মিটার উঁচু । অপু জাহাজের ডেকের উপর দাঁড়িয়ে একটি বাতিঘরের শীর্ষবিন্দু 60° উন্নতি কোণে ও পাদদেশ 30° অবনতি কোণে দেখতে পেলেন । জাহাজ থেকে বাতিঘরের দুরত্ব এবং বাতিঘরটির উচ্চতা নির্ণয় করো ।
(b) 5√3 মিটার উঁচু একটি রেলওয়ে ওভারব্রিজের উপর দাঁড়িয়ে দূর্গা ব্রিজটির একদিকে একটি ধাবমান প্যাসেঞ্জার ট্রেনের ইঞ্জিনকে 30° অবনতি কোণে এবং 2 সেকেন্ড পরে ব্রিজের অপর দিকে ইঞ্জিনটিকে 60° অবনতি কোণে দেখতে পেলেন । দুর্গার অবস্থান রেল লাইনের উপর উলম্ব ভাবে ছিল যেখানে রেল লাইনটি সরল রেখে অবস্থিত । ট্রেনটির গতিবেগ নির্ণয় করো ।
[ দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য বিকল্প প্রশ্ন ]
7. নিম্নলিখিত প্রতিটি সমীকরণের লেখচিত্রের উপর দুটি করে বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো :
3x + 2y + 6 = 0 এবং x + y = 10. 4
13. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 5
(a) ত্রিভুজের দুটি বাহু এবং ঐ বাহুদ্বয়ের অন্তর্গত কোণটি প্রদত্ত । ত্রিভুজ অঙ্কনের প্রণালী বর্ণনা করো । ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কনের প্রণালীও বর্ণনা করো ।
(b) জ্যামিতিক ভাবে 28 -এর বর্গমূল নির্ণয়ের পদ্ধতি বর্ণনা করো ।
[ বহিরাগত পরীক্ষার্থীদের জন্য অতিরিক্ত প্রশ্ন ]
18. সব প্রশ্নের উত্তর দাও :
(i) ক্রয়মূল্যের উপর লাভের হার 25%; একটি ধুতির বিক্রয়মূল্য 75 টাকা হলে ধুতিতির ক্রয়্মুল্য নির্ণয় করো । 2
(ii) -a ও -b -এর মধ্যসমানুপাতী x ; x -এর মান নির্ণয় করো । (a এবং b ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ) 2
(iii) x এবং y ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং x > y . নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলির মধ্যে সঠিক বিবৃতিগুলি নির্দেশ করো :
(a)[tex]-x < y[/tex] (b)[tex] {1 \over x} > {1 \over y}[/tex] ,(c)[tex] -{1 \over x} > -{1 \over y}[/tex] (d)[tex] x^2 < y^2[/tex] 2
(iv) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের P বিন্দুতে AP স্পর্শক । OP = 3 সেমি এবং AP = 5 সেমি হলে AO -এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো । 2
(v) একটি অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ x সেমি । উহার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত হবে ? 1
(vi) sin 60° tan 45° cos 90° -এর মান কত ? 1
***
