Madhyamik Exam (WBBSE) -2013 Mathematics Suggestion

                      Madhyamik Exam (WBBSE) -2013 Mathematics Suggestion

                                                           Part - I

1. (i) কোনো সংখ্যার 20% এর 10% হল 40,  সংখ্যাটি কী  ?

    (ii) যদি a এবং b দুটি ধনাত্মক সংখ্যা হয় এবং  a > b,  তবে নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলির মধ্যে কোনটি সত্য ?

        (a) ${1 \over b} - {1 \over a} < 0$  (b) $- a >  - b$  (c) ${a^2} - {b^2} < 0$    (d) $- {1 \over a} > {1 \over b}$

    (iii) যদি ${\left( {2x - y} \right)^2} + {\left( {3y - z} \right)^2} = 0$ তবে  x : z এর মান বাহির কর ।

    (iv) মান নির্ণয় কর $\sqrt {5 + \sqrt {11 + \sqrt {19 + \sqrt {29 + \sqrt {49} } } } }$

    (v)  ABCD একটি বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়ম এবং $AB \parallel DC$ যদি AB বৃত্তের ব্যাস হয় এবং $\angle CAB  = {30^ \circ }$ তবে $\angle ADC$ =  কত ?

   (vi) যদি $\cos \theta  = p$ এবং $\sin \theta  = q$, তবে p এবং q এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় কর ।    ($\theta$ বহির্ভূত)

2. (i) যদি $a + b + c = 0$ হয় তবে ${{a + b} \over c} - {{2b} \over {c + a}} + {{b + c} \over a}$ এর মান নির্ণয় কর ।

   (ii) যদি $A \propto {1 \over B}$,  $B \propto {1 \over C}$,  $C \propto {1 \over D}$ হয় তবে A এবং D এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করো ।  

  (iii) যদি ${p \over {2{p^2} + 5p - 2}} = {1 \over 6}$ তবে $p - {1 \over p}$=  ?

  (iv) 8 cm এবং 3 cm  ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুটি বৃত্তের সরল সাধারণ সম্পর্কের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর ।

  (v)  ABCD  একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, $\angle ABC = {60^ \circ }$ । যদি O বৃত্তটির কেন্দ্র হয় তবে $\angle OAC$ এর মান কত  ?

 (vi)  কোনো নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের দুই প্রান্তের ভূমির ক্ষেত্রফলের সমষ্টি যদি উহার বক্রতলের ক্ষেত্রফলের ${1 \over 3}$ এর সঙ্গে সমান হয় তবে চোঙটির উচ্চতা এবং ব্যাসের অনুপাত কত ?

 (vii)  কোনো সমকোণী ত্রিভুজের দুইটি সুক্ষ্মকোণের মান  x° এবং  y° তবে ${\cos ^2}x^\circ  + {\cos ^2}y^\circ  + 2\cos (x^\circ  + y^\circ )$=  কত  ?  

                                                    Part - II

3.  যেকোনো দুইটি প্রশ্নের উত্তর দাও :-                                                                                 [2 x 5 = 10]

  (a)  একপ্রকার জার্মান সিলভারে তামা, দস্তা ও নিকেলের অনুপাত 4 : 3 : 2 ; এরূপ 54 কেজি জার্মান সিলভারে কত কেজি দস্তা মেশালে সেই অনুপাত 6 : 5 : 3 হবে  ?

  (b)  একজন ব্যক্তি 1500 টাকায় কিছু দ্রব্য ক্রয় করেন । তিনি ঐ সকল দ্রব্যের ${1 \over 3}$ অংশ  4%  ক্ষতিতে বিক্রি করেন । তিনি বাকি দ্রব্য কি হারে বিক্রয় করলে মোটের উপর তিনি 4% লাভ করবেন ?

  (c) কোনো সংস্থা দুই ব্যক্তিকে যথাক্রমে 6%  ও  7%  সরল সুদে ঋণ দিয়ে বছরের শেষে উভয়ের নিকট থেকে 385 টাকা সুদ পায় । ঐ সংস্থা যদি প্রথম ব্যক্তিকে 7% হারে এবং দ্বিতীয় ব্যক্তিকে 6% হারে সুদ দিতো তাহলে ঐ সংস্থা 10 টাকা বেশি সুদ পেত  । ঐ সংস্থা কাকে কত টাকা ধার দিয়েছিল ?

  (d) কোনো রাজ্যে পথ নিরাপত্তা সংক্রান্ত প্রচারাভিযানের মাধ্যমে পথ দুর্ঘটনা প্রতি বছর তার পূর্ব বছরের তুলনায় 10% হ্রাস পেয়েছে  ।  বর্তমান বছরে ঐ রাজ্যে যদি  2916 টি পথ দুর্ঘটনা ঘটে তবে  3 বছর পূর্বে ঐ রাজ্যের পথ দুর্ঘটনার সংখ্যা কত ছিল ?

4.  যেকোনো দুইটি প্রশ্নের উত্তর দাও :-                                         [4]

  (a) গ.সা.গু. নির্ণয় কর ${x^3} + {x^2} - 12x$,  $2{x^3} - 18x$ এবং ${x^4} - 27x$

  (b) ল.সা.গু. নির্ণয় কর ${x^4} - x$,  ${x^4} + {x^2} + 1$ এবং ${x^3} - 2{x^2} + x$

5. সমাধান কর :-  (যে কোনো একটি)                                          [3]

  (a)  ${1 \over x} + {5 \over y} = {{21} \over 4}$,  ${{x + y} \over {x - y}} = {5 \over 3}$  [অপনয়ন অথবা বজ্রগুণন পদ্ধতিতে]   

  (b)  ${{x - 3} \over {x + 3}} - {{x + 3} \over {x - 3}} + 6{6 \over 7} = 0$

6. যেকোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :-                                        [4]

  (a) কোনো আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 4 মিটার বৃদ্ধি করলে এবং প্রস্থ 4 মিটার কমালে উহার ক্ষেত্রফল 24 বর্গমিটার হ্রাস পায় । কিন্তু যদি দৈর্ঘ্য 4 মিটার কমানো হয় এবং প্রস্থ 5 মিটার বাড়ানো হয় তবে ক্ষেত্রফল একই থাকে । আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর ।    

  (b) একটি ধনাত্মক সংখ্যা অপর একটি ধনাত্মক সংখ্যা অপেক্ষা  4 অধিক । ঐ দুই ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল উহাদের সমষ্টি অপেক্ষা 44 অধিক । সংখ্যা দুটি নির্ণয় কর ।

7. অসমীকরণগুলির লেখচিত্র অঙ্কন কর এবং উহাদের সমাধান অঞ্চল নির্ণয় কর  (যে কোনো একটি)          [4]

  (a) $x + y \le 15$,  $x \ge 2$ এবং $y \ge  - 3$

  (b) $x + y \ge 10$,  $x \ge 2$ এবং $y \ge 3$

8.   যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :-                                                                                      [3]

   (a) যদি $(x + y - z)a = (y + z - x)b = (z + x - y)c = (x + y + z)d$ তাহলে প্রমাণ করো যে ${1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} = {1 \over d}$

   (b) যদি ${{a + b} \over {b + c}} = {{c + d} \over {d + a}}$ তাহলে প্রমাণ করো যে $c = a$ অথবা $a + b + c + d = 0$

9.   যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :-                                                                                    [5]

   (a)  যদি $a \propto b$ এবং $b \propto c$ তবে দেখাও যে, $abc{(a + b + c)^3} \propto {(ab + bc + ca)^3}$

   (b)  যদি ${1 \over y} - {1 \over x} \propto {1 \over {x - y}}$ তবে প্রমাণ করো যে, ${x^2} + {y^2} \propto xy$

10.   যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :-                                                                              [3]

   (a) যদি $x = {{\sqrt 7  + \sqrt 3 } \over {\sqrt 7  - \sqrt 3 }}$ এবং $xy = 1$, তবে $3{x^2} - 5xy + 3{y^2}$ এর মান কত ?

   (b) সরল কর :- ${{\sqrt 5 } \over {\sqrt 3  + \sqrt 2 }} - {{3\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  + \sqrt 5 }} + {{2\sqrt 2 } \over {\sqrt 3  + \sqrt 5 }}$

11.   যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও :-                                                                    [2 x 5=10]

   (a)  প্রমাণ কর যে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক ।  

   (b) প্রমাণ কর যে, বৃত্তের বহিস্থ কোনো বিন্দু থেকে যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায় তাদের স্পর্শবিন্দু দুটির সাথে বহিস্থ বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ দুটি সমান এবং তারা কেন্দ্রে সমান কোণ উত্পন্ন করে ।     

  (c) যে কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হবে ।  

12.   যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :-                                           [3]

   (a) $\triangle ABC$ এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র O  । AD,   BC এর উপর লম্ব । প্রমাণ কর যে $\angle BAD = \angle OAC$

   (b)  AB   O কেন্দ্রীয় বৃত্তের জ্যা ।  A এবং B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি একে অপরকে C বিন্দুতে ছেদ করে ।  AD  ওই বৃত্তের ব্যাস । প্রমাণ কর যে $\angle ABC = \angle BAD$

13.  যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :-                                                [5]  

   (a)  একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন কর, যার অতিভুজ 10 cm এবং অপর একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 6.5 cm  ।  ঐ সমকোণী ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করো ।    

   (b)  দুটি বৃত্ত অঙ্কন কর যাদের ব্যাসার্ধ 4.4 cm এবং 1.6 cm । উহাদের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব 7 cm । ঐ বৃত্ত দুটির একটি তির্যক সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করো ।  

14.   যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :-                                              [3]

   (a)  একটি প্রিজমের ভূমি 6.25 বর্গসেমি. ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্র, উহার আয়তন 125 ঘনসেমি । প্রিজমটির উচ্চতা এবং পার্শ্বতলগুলির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।     

   (b) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমির ক্ষেত্রফল 1.54 বর্গমিটার, উচ্চতা 2.4 মিটার । শঙ্কুটির আয়তন নির্ণয় কর ।  

 15.  যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :-                                               [4]

    (a) 1 cm পুরু সীসার পাত দিয়ে তৈরি একটি ফাঁপা গোলকের বহিঃব্যাসার্ধ  6 cm. । গোলকটি গলিয়ে  2 cm ব্যাসার্ধের একটি লম্ব বৃত্তাকার দন্ড তৈরি করা হয় । দন্ডটির দৈর্ঘ্য কত ?   

   (b) একটি দু'মুখ খোলা ফাঁপা লোহার লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি পাইপের বহিঃব্যাসার্ধ এবং অন্তঃব্যাসার্ধ 15 cm এবং 13 cm যথাক্রমে । 1 বর্গ ডেসিমি রং করতে 0.25 টাকা লাগলে পাইপটি রং করতে মোট কত খরচ পড়বে ?

16.   যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও :-                                          [2 x 3=6]

   (a)  দুটি কোণের অনুপাত 3 : 5 উহাদের অন্তর 18° ।  বৃহত্তম কোণটির বাহ্যিক ও বৃত্তীয় মান নির্ণয় করো ।

  (b) যদি[ tex]{{\sec \theta  + \tan \theta } \over {\sec \theta  - \tan \theta }} = 2{{51} \over {79}}[/tex]  তাহলে $\sin \theta$ = ?

   (c)  প্রমাণ করো যে, $\sqrt {{{1 + \sin {{60}^ \circ }} \over {1 - \sin {{60}^ \circ }}}}  = {\sec ^2}{45^ \circ } + \tan {60^ \circ }$

   (d)  যদি α এবং ß পরস্পর পূরক হয় তবে প্রমাণ কর যে, $\tan \alpha  + \tan \beta  = \sec \alpha \sec \beta$

17.   যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :-                                        [5]

   (a) একটি পাখি ভূমিতলের সঙ্গে সমান্তরাল রেখায় 200 মিটার উঁচু দিয়ে উত্তর থেকে দক্ষিণ দিকে যাচ্ছিল । মাঠের মাঝখানে দাঁড়িয়ে সুশোভন প্রথমে পাখিটিকে উত্তরদিকে 30° কোণে দেখতে পেল ।  3 মিনিট পরে আবার দক্ষিণদিকে 45° কোণে দেখতে পেল । আসন্ন পূর্ণসংখ্যায় কিলোমিটারে পাখিটির গতিবেগ ঘন্টায় কত ছিল ?  

   (b) 12 মিটার উচ্চ একটি বাড়ি থেকে একটি ল্যাম্পপোস্টের চূড়া এবং পাদদেশের অবনতি কোণ যথাক্রমে 45° এবং  60° । ল্যাম্পপোস্টের উচ্চতা নির্ণয় করো ।  

[ধরে $\sqrt 3  = 1.732$]

***