WBJEE Mathematics Question Paper 2012 (Beng)

               Subject: Mathematics                          

 

Duration : Two Hours                                                                                         Maximum Marks :100

Q. 1 - Q. 60 প্রতিটি প্রশ্নে এক নম্বর আছে ।

 

1.   কোনো জটিল রাশি z  যদি $\left | z + {2 \over z}\right | = 2$ শর্তটি সিদ্ধ করে, তাহলে |z| -এর চরম মান হবে 

        (A) $\sqrt 3$      (B) $\sqrt 3 + \sqrt 2$      (C) $\sqrt 3 + 1$      (D) $\sqrt 3 - 1$

 

2.   x এবং y  বাস্তব সংখ্যাদ্বয়ের জন্য যদি$\left\( \frac {3}{2} + i \frac {\sqrt 3}{2}\right ) ^{50} = 3^{25} (x + iy)$হয়, তাহলে (x, y) এই ক্রমিক জোড়ের মান হবে

      (A) (-3, 0)        (B) (0, 3)        (C) (0, -3)      (D) $\left\( \frac {1}{2}, \frac {\sqrt 3}{2}\right )$

 

3.   $\frac {z - 1}{z + 1}$যদি একটি বিশুদ্ধ কাল্পনিক রাশি হয়, তাহলে

      (A) $\left | z \right | =  \frac {1}{2}$     (B) $\left | z \right | = 1$     (C) $\left | z \right | = 2$      (D) $\left | z \right | = 3$

 

4.  কোনো একটি পরীক্ষায় একটি শ্রেণীর 100 জন ছাত্রছাত্রীর মধ্যে 50 জন অঙ্কে, 45 জন পদার্থবিদ্যায়, 40 জন জীববিদ্যায় এবং 32 জন তিনটি বিষয়ের মধ্যে ঠিক দুটিতে অকৃতকার্য হয়েছে । যদি মাত্র একজন সববিষয়ে কৃতকার্য হয়ে থাকে, তবে যে কজন ছাত্র সব বিষয়ে অকৃতকার্য হয়েছে, তাদের সংখ্যা

      (A) 12      (B) 4      (C) 2      (D) প্রদত্ত তথ্য থেকে নির্ণয় করা যাবেনা

 

5.  একটি গাড়ির নম্বর ইংরাজী বর্ণমালার 2 টি অক্ষর এবং 4 টি অঙ্ক দ্বারা গঠিত হয়, যার প্রথম অঙ্কটি শূন্য নয় । তাহলে পৃথক পৃথক নম্বর যুক্ত মোট গাড়ির সংখ্যা হবে

      (A) $26^2 \times 10^4$     (B) ${}^{26}{P_2} \times {}^{10}{P_4}$    (C) ${}^{26}{P_2} \times 9 \times {}^{10}{P_3}$      (D) ${26}^2 \times 9 \times {10}^3$

 

6.   'IRRATIONAL' শব্দটির সবগুলি অক্ষর ব্যবহার করে যতগুলি শব্দ লেখা যায়, তার সংখ্যা হল

      (A) $\frac {10 !}{{(2 !)}^3}$      (B) $\frac {10 !}{{(2 !)}^2}$      (C) $\frac {10 !}{2 !}$   (D) $10 !$

 

7.   চারজন বক্তা একটি সভায় এমনভাবে বক্তব্য রাখবেন যাতে বক্তা Q সর্বদাই বক্তা P -এর পরে বক্তব্য রাখেন । তাহলে যতভাবে বক্তাদের ক্রম তৈরি করা যেতে পারে তার সংখ্যাটি হল

       (A) 256        (B) 128       (C) 24      (D) 12

 

8.   একটি সুষম 100 -ভুজের কর্ণসংখ্যা হল

       (A) 4950       (B) 4850     (C) 4750      (D) 4650

 

9.   n একটি ধ্বনাত্মক পূর্ণসংখ্যা । (1 + x)ⁿ -এর বিস্তৃতির দ্বিতীয়, তৃতীয় এবং চতুর্থ পদগুলিতে x -এর ঘাতের সহগগুলি যদি সমান্তর প্রগতিতে থাকে, তাহলে x -এর বিজোড় ঘাতগুলির সহগগুলির যোগফল হল 

       (A) 32       (B) 64       (C) 128       (D) 256

 

10.  ধরা যাক  f(x) = ax² + bx + c,   g(x) = px² + qx + r ,  যেখানে  f (l) = g(1),    f (2) = g(2)  এবং  f (3) - g(3) = 2  । তাহলে  f (4) - g(4) -এর মান হল

       (A) 4      (B) 5     (C) 6     (D) 7

 

11.   1 x 1! + 2 x 2! + ...... + 50 x 50!  শ্রেণীটির যোগফল হল

       (A) 51!     (B) 51! - 1     (C) 51! + 1     (D) 2 x 51!

 

12.   সমান্তর প্রগতিভুক্ত 6 টি সংখ্যার সমষ্টি 3 এবং প্রথম পদটি দ্বিতীয় পদের 4 গুণ । তাহলে পঞ্চম পদটি হল

       (A) -15      (B) -3       (C) 9     (D) -4

 

13.   $1 + {1 \over 3} + {1.3 \over 3.6} + {1.3.5 \over 3.6.9} + {1.3.5.7 \over 3.6.9.12} + ...$

        অসীম শ্রেণীটির সমষ্টি হল

       (A) $\sqrt 2$      (B) $\sqrt 3$       (C) $\sqrt {3 \over 2}$       (D) $\sqrt {1 \over 3}$

 

14.   x² + x + a = 0  এবং x² + ax + 1 = 0 সমীকরণদ্বয়ের একটি বাস্তব সাধারণ বীজ থাকতে পারে 

       (A)  a -এর কোনো মানের জন্যই নয়     

       (B)  a -এর একটি মাত্র মানের জন্য

       (C)  a -এর দুটি মাত্র মানের জন্য 

       (D)  a -এর তিনটি মাত্র মানের জন্য

 

15.   একটি গুণোত্তর প্রগতির P -তম,  Q -তম এবং  R -তম পদগুলি যদি যথাক্রমে 64, 27, এবং 36 হয়, তাহলে P + 2Q এর মান হল

        (A) R         (B) 2R        (C) 3R         (D) 4R

 

16.    α,  β,  p এবং q হল এমন চারটি বাস্তবরাশি যাতে $(\alpha + \sqrt \beta )$এবং$(\alpha - \sqrt \beta )$হল x² + px + q = 0 সমীকরণের বীজ । তাহলে (p² - 4q)(p²x² + 4px) - 16q = 0 সমীকরণের বীজগুলি হল  

      (A) $\left ( \frac {1}{\alpha} + \frac {1}{\sqrt \beta} \right )$এবং$\left ( \frac {1}{\alpha} - \frac {1}{\sqrt \beta} \right )$ 

      (B) $\left ( \frac {1}{\sqrt \alpha} + \frac {1}{\beta} \right )$এবং$\left ( \frac {1}{\sqrt \alpha} - \frac {1}{\beta} \right )$

      (C) $\left ( \frac {1}{\sqrt \alpha} + \frac {1}{\sqrt \beta} \right )$এবং$\left ( \frac {1}{\sqrt \alpha} - \frac {1}{\sqrt \beta} \right )$

      (D) $\left ( \sqrt \alpha + \sqrt \beta \right )$এবং$\left ( \sqrt \alpha - \sqrt \beta \right )$

 

17.    $\log_2(x^2 + 2x - 1) = 1$ সমীকরণটির কতগুলি সমাধান সম্ভব ?

        (A) 0       (B) 1      (C) 2       (D) 3

 

18.   $1 + {1 \over 2}{}^n{C_1} + {1 \over 3}{}^n{C_2} + ... + \frac {1}{n+1} {}^n{C_n}$ শ্রেণীটির যোগফল

       (A) ${{{2^{n+1}-1}} \over {n+1}}$      (B) $\frac {3(2^n -1)}{2n}$      (C) $\frac {2^n +1}{n+1}$      (D) $\frac {2^n+1}{2n}$

 

19.   $\sum ^{\infty} _{r=2}\frac {1 + 2 + ... + (r -1)}{r!}$ -এর মান হল

       (A) $e$       (B) $2e$       (C) $\frac {e}{2}$       (D) $\frac {3e}{2}$

 

20.    যদি $P = \left| {\matrix{ {{1}} & {{2}} & {{1}} \cr {{1}} & {{3}} & {{1}} \cr } } \right|$এবং$Q = PP^r$ হয়, তাহলে Q -এর নির্ণায়কের মান হল

      (A) $2$        (B) $-2$        (C) $1$        (D) $0$

 

21.   $1! + 2! + ... + 95!$ কে 15 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ হয়

       (A) $14$       (B) $3$       (C) $1$      (D) $0$

 

22    P, Q, R  যদি PQR ত্রিভুজের তিনটি কোণ হয়, তাহলে

       $\left| {\matrix{ {{-1}} & {{\cos R}} & {{\cos Q}} \cr {{\cos R}} & {{-1}} & {{\cos P}} \cr {{\cos Q}} & {{\cos P}} & {{-1}} \cr } } \right|$

       নির্ণায়কটির মান হল

       (A) $-1$        (B) $0$      (C) ${1 \over 2}$       (D) $1$

 

23.   a -এর কতগুলি বাস্তব মানের জন্য

        $x + 3y + 5z =ax$

        $5x + y + 3z =ay$

        $3x + 5y + z =az$

        সমীকরণসমূহের অসীমসংখ্যক সমাধান থাকবে ?

       (A) $1$       (B) $2$       (C) $4$       (D) $6$

 

24.    $\left{ a_1,a_2,a_3,a_4 \right }$থেকে$\left{ b_1,b_2,b_3,b_4,b_5,b_6,b_7 \right }$-এ সর্বমোট ঐকিক চিত্রণের (one-one into mappings) সংখ্যা হল 

        (A) 400       (B) 420      (C) 800       (D) 840

 

25.    ধরা যাক ${(1 + x)}^{10} = \sum ^{10} _{r=0}c,x^r$ এবং ${(1 + x)}^{7} = \sum ^{7} _{r=0}d,x^r$  । যদি $P = \sum ^{5} _{r=0}c_{2r}$ এবং $Q = \sum ^{3} _{r=0}d_{2r + 1}$হয়, তাহলে${P \over Q}$-এর মান হল

        (A) 4        (B) 8       (C) 16      (D) 32

 

26.   তাসের দুটি প্যাকেটকে ভালোভাবে মিশিয়ে দিয়ে তার থেকে যদৃচ্ছভাবে 26টি তাস একজন খেলোয়াড়কে দেওয়া হল । তাহলে ঐ খেলোয়াড়ের প্রতিটি তাসই ভিন্ন পাওয়ার সম্ভাবনা হল

       (A) ${}^{52}{C_{26}} / {}^{104}{C_{26}}$

       (B) $2 \times {}^{52}{C_{26}} / {}^{104}{C_{26}}$

       (C) $2^{13} \times {}^{52}{C_{26}} / {}^{104}{C_{26}}$

       (D) $2^{26} \times {}^{52}{C_{26}} / {}^{104}{C_{26}}$

 

27.   একটি পাত্রে 8 টি লাল এবং 5 টি সাদা বল আছে । সেখান থেকে যদৃচ্ছভাবে তিনটি বল তোলা হল । তাহলে দুরকম রঙেরই বল তোলার সম্ভাবনা হল

       (A) ${49 \over 143}$      (B) ${70 \over 143}$      (C) ${3 \over 13}$        (D) ${10 \over 13}$

 

28.   দুটি মুদ্রা আছে । একটি ঝোঁকশূন্য (fair) এবং অন্যটির দুদিকেই হেড (head) । একটি মুদ্রা নির্বাচন করা হল এবং নির্বাচিত মুদ্রাটিকে একবার টস (toss) করা হল । ধরা যাক. ঝোঁকশূন্য মুদ্রাটি নির্বাচনের সম্ভাবনা${3 \over 4}$ । টসে যদি হেড এসে থাকে, তবে দুই হেড-ওয়ালা মুদ্রাটি নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা হল

     (A) ${3 \over 5}$       (B) ${2 \over 5}$       (C) ${1 \over 5}$       (D) ${2 \over 7}$

 

29.    ধরা যাক বাস্তবসংখ্যার সেট R এবং  f : R → R  ও  g : R → R  অপেক্ষকদ্বয়ের সংজ্ঞা নিম্নরূপ  f(x) = x² + 2x - 3 এবং  g(x) = x + 1 । তাহলে x -এর যে মানের জন্য  f (g(x)) = g(f (x)) সেটি হল

       (A) -1      (B) 0      (C) 1     (D) 2

 

30.    a, b, c  যদি সমান্তর প্রগতিভুক্ত হয়, তাহলে ax² - 2bx + c = 0 সমীকরণটির বীজগুলি হল

       (A) $1$এবং${c \over a}$   (B) $-{1 \over a}$এবং$-c$   (C) $-1$এবং$-{c \over a}$    (D) $-2$এবং$-{c \over 2a}$

 

31.   যদি $\sin^{-1} x + \sin^{-1}y + \sin^{-1}z = \frac {3 \pi}{2}$ হয়, তাহলে $x^9 + y^9 + z^9 - \frac {1}{x^9 y^9 z^9}$-এর মান হল

      (A) 0           (B) 1          (C) 2          (D) 3

 

32.   PQR ত্রিভুজে P, Q, R কোণের বিপরীত বাহু গুলি যথাক্রমে  p, q, r  । যদি r² sin P sin Q = pq  হয়, তাহলে ত্রিভুজটি হল 

     (A) সমবাহু (equilateral)

     (B) সুক্ষ্মকোণী, কিন্তু সমবাহু নয় (acute angled but not equilateral)

     (C) স্থুলকোণী (obtuseangled)

     (D) সমকোণী (right angled)

 

33.  PQR ত্রিভুজে P, Q, R কোণের বিপরীত বাহু গুলি যথাক্রমে  p, q, r  । তাহলে$2pr \sin \left\( \frac {P-Q+R}{2}\right)$এর মান হল

       (A) p² + q² + r²        (B) p² + r² - q²         (C) q² + r² - p²        (D) p² + q² - r²

 

34.   PQR ত্রিভুজে  P (2, -3),  Q (-2, 1) শীর্ষবিন্দু । যদি ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র 2x + 3y = 1 রেখাটির ওপর অবস্থিত হয়, তাহলে  R বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ হবে  

      (A) 2x + 3y = 9          (B) 2x - 3y = 7          (C) 3x + 2y = 5          (D) 3x - 2y = 5

 

35.   ${\lim }\limits_{x \to 0} \frac {\pi^x-1}{\sqrt{1+x}-1}$-এর মান

       (A) অস্তিত্বহীন (does not exist)     (B) equals log_e(π²)      (C) 1       (D) 10 এবং 11 -এর মধ্যে থাকবে

 

36.   যদি f  একটি বাস্তবমানসম্পন্ন অন্তরকলনযোগ্য অপেক্ষক হয় । x -এর সমস্তবাস্তব মানের জন্য যদি  f(x)f '(x) < 0 হয়, তাহলে 

      (A)  f (x) আবশ্যিকভাবে একটি বর্ধমান অপেক্ষক ।

      (B)  f (x) আবশ্যিকভাবে একটি হ্রাসমান অপেক্ষক ।

      (C)  |f(x)| আবশ্যিকভাবে একটি বর্ধমান অপেক্ষক ।

      (D)  |f(x)| আবশ্যিকভাবে একটি হ্রাসমান অপেক্ষক ।

 

37.   Rolle -এর উপপাদ্য [-2, 2] অন্তরালে (interval) যে অপেক্ষকটির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য সেটি হল

      (A) f(x) = x³        (B) f(x) = 4x⁴       (C) f(x) = 2x³ + 3        (D) f(x) = π|x|

 

38.   $25 \frac {d^2 y}{dx^2} - 10 \frac {dy}{dx} + y = 0$, $y(0) = 1$, $y(1) = 2e^{-1/5}$-এর সমাধান হবে

   (A) $y = e^{5x} + e^{-5x}$    (B) $y = (1 + x)e^{5x}$     (C) $y = (1 + x)e^{x \over 5}$     (D) $y = (1 + x)e^{-{x \over 5}}$

 

39.  y² = 8x অধিবৃত্তটির ওপরের একটি বিন্দু থেকে অধিবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু যোগ করলে যে জ্যা পাওয়া যায়, তার মধ্যবিন্দু হল P । তাহলে P বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ হল 

    (A) $y^2 = 2x$     (B) $y^2 = 4x$      (C) $y^2 + \frac {x^2}{4} = 1$    (D) $x^2 + \frac {y^2}{4} = 1$

  

40.   x - 2y  রেখাটি${x^2 \over 4} + y = 1$উপবৃত্তকে P এবং Q বিন্দুতে ছেদ করে । PQ কে ব্যাস ধরে যে বৃত্তটি পাওয়া যাবে সেটির সমীকরণ হল

     (A) $x^2 + y^2 = {1 \over2}$     (B) $x^{2} + y^{2} = 1$     (C) $x^{2} + y^{2} = 2$     (D) $x^2 + y^2 = {5 \over 2}$ 

 

41.  ${x^2 \over 10} + {y^2 \over 8} = 1$উপবৃত্তের কেন্দ্র থেকে উপবৃত্তের ওপরের যে বিন্দুটির দুরত্ব 3 একক, সেটির উৎকেন্দ্রিক কোণ (প্রথম পাদে) হল

      (A) ${\pi \over 6}$       (B) ${\pi \over 4}$      (C) ${\pi \over 3}$      (D) ${\pi \over 2}$

 

42.   একটি পরাবৃত্তের অনুপ্রস্থ অক্ষটি x-অক্ষ বরাবর, যার দৈর্ঘ্য 2a । পরাবৃত্তটির নাভি এবং কেন্দ্র যোগ করলে যে রেখাংশ পাওয়া যায় সেটিকে পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু সমদ্বিখন্ডিত করে । তাহলে পরাবৃত্তটির সমীকরণ হল 

      (A) 6x² - y² = 3a²        (B) x² - 3y² = 3a²        (C) x² - 6y² = 3a²       (D) 3x² - y² = 3a²

 

43.   একটি চলমান বিন্দুর (8, 0) এবং (-8, 0) বিন্দুদ্বয় থেকে দুরত্বের ব্যবধান সর্বদাই 4 । তাহলে ঐ বিন্দুটির সঞ্চারপথ একটি

      (A) বৃত্ত (circle)       (B) অধিবৃত্ত (parabola)      (C) উপবৃত্ত (ellipse)       (D) পরাবৃত্ত (hyperbola)

 

44.   কতগুলি পূর্ণসংখ্যা m আছে যার জন্য 3x + 4y = 9 এবং y = mx + 1  সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর x -স্থানাঙ্কও একটি পূর্ণসংখ্যা ?

       (A) 0        (B) 2        (C) 4       (D) 1

 

45.  একটি সরলরেখা ( α , β ) বিন্দুগামী এবং দুটি অক্ষের মধ্যেকার রেখাংশটি ঐ বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয় । তাহলে${x \over \alpha} + {y \over \beta}$-এর মান হল

       (A) 0        (B) 1       (C) 2       (D) 4

 

46.   y² + 4x + 4y + k = 0 অধিবৃত্তটির নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য হল

        (A) 1       (B) 2       (C) 3       (D) 4

 

47.  দুটি বৃত্ত  x² +y² + 2x + 2ky + 6 = 0  এবং  x² +y² + 2ky + k = 0  লম্বভাবে ছেদ করে । তাহলে k -এর মান হল 

        (A) 2 বা$-{3 \over 2}$     (B) -2 বা$-{3 \over 2}$      (C) 2 বা${3 \over 2}$    (D) -2 বা${3 \over 2}$       

 

48.  যদি চারটি স্বতন্ত্র বিন্দু (2k, 3k),  (2,0),  (0,3),  (0,0) একই বৃত্তের ওপর অবস্থিত হয়, তাহলে

       (A) k < 0        (B) 0 < k < 1       (C) k = 1       (D) k > 1

 

49.   A(b cos a,  b sin a)  এবং B(a cos β, a sin β), বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাটি M(x,y) বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হল যাতে  AM : MB = b : a  হয়, যেখানে a ≠ b । তাহলে$x \cos \frac {\alpha + \beta}{2} + y \sin \frac{\alpha + \beta}{2}$-এর মান হবে

      (A) 0      (B) 1       (C) -1       (D) a² + b²

 

50.   $\frac {x^2}{9} + y^2 = 1$উপবৃত্তটির নাভিদ্বয় P বিন্দুতে একটি সমকোণ উৎপন্ন করে । তবে P বিন্দুটির সঞ্চারপথ হল

      (A )x²+y² = l      (B) x²+ y² = 2       (C) x² + y² = 4      (D) x²+y² = 8

 

51.   $\frac {dy}{dx} = \frac {x + y + 1}{2x + 2y + 1}$-এর সাধারণ সমাধান হবে

       (A) log_e |3x + 3y + 2| + 3x + 6y = c       (B) log_e |3x + 3y + 2| - 3x + 6y = c

      (C) log_e |3x + 3y + 2| - 3x - 6y = c        (D) log_e |3x + 3y + 2| + 3x - 6y = c

 

52.   $\int_{\pi /6}^{\pi /2} \left ( \frac {1 + \sin 2x + \cos 2x}{\sin x + \cos x} \right )dx$ সমাকলটির মান

       (A) 16       (B) 8       (C) 4      (D) 1

 

53.   $\int_{0}^{\pi \over 2} \frac {1}{1 + {(\tan x )}^{101}}dx$-এর মান 

       (A) 1     (B) $\frac {\pi}{6}$     (C) $\frac {\pi}{8}$   (D) $\frac {\pi}{4}$

 

54.   $3x \log_e x \frac {dy}{dx} + y = 2 \log_e x$এই অন্তরকল সমীকরণটির সমাকল গুনক (integrating factor) হল

       (A) ${( \log_e x)}^3$     (B) ${\log_e (\log_e x)}$     (C) ${ \log_e x}$       (D) ${( \log_e x)}^{1 \over 3}$

 

55.    x Ɛ [0,π] অন্তরালে tan x + sec x = 2 cos x  সমীকরণটির কতগুলি সমাধান আছে ?    

        (A) 0      (B) 1       (C) 2       (D) 3

 

56.   $\int_{0}^{\pi \over 4} \frac { \sin x + \cos x}{3 + \sin 2x}dx$  সমাকলটির মান 

        (A) ${\log_e 2}$        (B) ${\log_e 3}$        (C) ${1 \over 4}{\log_e 2}$         (D) ${1 \over 4}{\log_e 3}$

 

57.    ধরা যাক $y = \left ({{3^x - 1} \over {3^x + 1}}\right ) \sin x + \log_e (1 + x) , x > -1$ । তাহলে$x = 0$ তে ${dy \over dx}$-এর মান হবে

        (A) 1         (B) 0        (C) -1        (D) -2

 

58.    [1, 6] অন্তরালে $f(x) = {x \over 8} + {2 \over x}$ অপেক্ষকটির চরম মান হল 

        (A) 1      (B) ${1 \over 8}$      (C) ${13 \over 12}$       (D) ${17 \over 8}$

 

59.    $-{ \pi \over 2} < x < {3 \pi \over 2}$অন্তরালে ${d \over dx} \left { \tan^{-1} \frac {\cos x}{1 + \sin x}\right }$ -এর মান

       (A) ${1 \over 2}$   (B) $- {1 \over 2}$   (C) $1$   (D) $\frac {\sin x}{{(1 + \sin x)}^{2}}$

 

60.    $\int_{-2}^{2} ( 1 + 2 \sin x) e^{\left | x \right |}dx$ সমাকলটির মান হল 

        (A) 0        (B) e² -1      (C) 2(e² -1)      (D) 1

 

 

 Q. 61 to Q. 80 carry two marks each.

 

61.    যে সমস্ত জটিল রাশি z -এর জন্য 

        $arg \left ( \frac {z -2}{z + 2}\right ) = \frac {\pi}{3}$

        সেই z -গুলির সূচক বিন্দুগুলি অবস্থান করবে 

        (A) একটি বৃত্তের ওপর (circle)      (B) একটি সরলরেখার ওপর (straight line)     (C) একটি উপবৃত্তের ওপর (ellipse)     (D) একটি অধিবৃত্তের ওপর (parabola)

 

62.    ধরা যাক  a, b, c, p, q, r এমন ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা যেখানে a, b, c গুণোত্তর প্রগতিভুক্ত এবং a ^p = b^q = c ^r  ।  তাহলে 

       (A) p, q, r  গুণোত্তর প্রগতিভুক্ত      (B) p, q, r  সমান্তর প্রগতিভুক্ত        (C) p, q, r হরাত্মক প্রগতিভুক্ত      (D) p², q², r² সমান্তর প্রগতিভুক্ত

 

63.    একটি অসীম গুণোত্তর শ্রেণীর সমষ্টি S_k , যার প্রথম পদ k  এবং সাধারণ অনুপাত $\frac {k}{k + 1} \left ( k > 0 \right )$ । তাহলে

       $\sum ^{\infty} _{k=1}\frac {{(-1)}^k}{{S_{k}}$

       এর মান হবে

       (A) $\log_e 4$       (B) $\log_e 2 - 1$      (C) $1 - \log_e 2$       (D) $1 - \log_e 4$

 

64.   $2x^2 - ( a^3 + 8a - 1 )x + a^2 - 4a = 0$

        দ্বিঘাত সমীকরণটির (quadratic equation) ধনাত্মক ও ঋণাত্মক উভয় প্রকার বীজই আছে । তাহলে 

        (A) $a \le 0$        (B) $0  \lt a \lt 4$        (C) $4 \le a \lt 8$        (D) $a \ge 8$

 

65.   যদি $\log_e (x^2 - 16) \le \log_e(4x - 11)$ হয়, তবে

       (A) $4 \lt x \le 5$       (B) $x \lt - 4$or$x \gt 4$       (C) $-1 \le x \le 5$       (D) $x \le -1$or$x \gt 5$

 

66.   $1 + (1 + x) + ... + (1 + x)^{20}$

        এর বিস্তৃতিতে (expansion)  x¹⁰ এর সহগ (coefficient) হবে

       (A) ${}^{19}{C_{9}}$        (B) ${}^{20}{C_{10}}$       (C) ${}^{21}{C_{11}}$       (D) ${}^{22}{C_{12}}$

 

67.    $\lambda x + y + z = 3$

        $x - y - 2z = 6$

        $- x + y + z = \mu$

        সমীকরণ সমূহের        

       (A)   λ ≠ -1 এবং  μ এর সকল মানের জন্য অসীম সংখ্যক সমাধান থাকবে ।

       (B)   λ = -1 এবং  μ = 3 হলে অসীম সংখ্যক সমাধান থাকবে ।

       (C)   λ ≠ -1 হলে কোনো সমাধান থাকবে না ।

       (D)   λ = -1 এবং  μ = 3 হলে একটি মাত্র (unique) সমাধান থাকবে ।

 

68.   যদি A এবং  B দুটি ঘটনা এবং P(A^c) = 0.3,  P(B) = 0.4 and$P (A \cap B^c) = 0.5$ হয়, তাহলে 

        $P (B \left | A \cap B^c)$এর মান হবে

       (A) ${1 \over 4}$        (B) ${1 \over 3}$        (C) ${1 \over 2}$        (D) ${2 \over 3}$

 

69.   একটি ত্রিভুজের উচ্চতাগুলি p, q, r ; ক্ষেত্রফল S এবং পরিসীমা (perimeter) 2t । তাহলে 

        ${1 \over p}+{1 \over q}+{1 \over r}$ এর মান হবে

       (A) ${s \over t}$        (B) ${t \over s}$       (C) ${s \over 2t}$      (D) ${2s \over t}$

 

70.    x² + y² = 4 এবং  (x - 2)² + y² = 1 বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্রবিন্দুদুটি যথাক্রমে C₁ এবং C₂ ।  P এবং  Q  বৃত্তদ্বয়ের ছেদবিন্দুদ্বয় হলে C₁ PQ এবং C₂ PQ  ত্রিভুজদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত হবে

        (A) 3 : 1      (B) 5 : 1      (C) 7 : 1       (D) 9 : 1

 

71.   x + 2y = 4  এবং  2x + y = 4  সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী একটি সরলরেখা অক্ষদ্বয়কে  A  এবং  B বিন্দুতে ছেদ করে ।  AB  সরলরেখার মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথটি হবে 

       (A) 3(x + y) = 2xy      (B) 2(x + y) = 3xy     (C) 2(x + y) = xy     (D) x + y = 3xy

 

72.    y² = 4x অধিবৃত্তটির (parabola) উপরে অবস্থিত P এবং Q বিন্দু ।  PQ রেখাংশটি অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দুতে সমকোণ উৎপন্ন করে ।  PQ যদি অধিবৃত্তের অক্ষকে R বিন্দুতে ছেদ করে, তাহলে R থেকে শীর্ষবিন্দুটির দুরত্ব

       (A) 1       (B) 2       (C) 4       (D) 6

 

73.    একটি ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র (incentre)  (1, 1) এবং একটি বাহুর সমীকরণ 3x + 4y + 3 = 0 । তাহলে ঐ ত্রিভুজের পরিবৃত্তের (circumcircle) সমীকরণ হল

       (A) x² + y² - 2x - 2y - 2 = 0 

       (B) x² + y² - 2x - 2y - 14 = 0

       (C) x² + y² - 2x - 2y + 2 = 0

       (D) x² + y² - 2x - 2y + 14 = 0

 

74.    ${\lim }\limits_{n \to \infty} \frac {{(n!)}^{1 \over n}}{{n}}$-এর মান

       (A) $1$       (B) ${1 \over e^2}$       (C) ${1 \over 2e}$       (D) ${1 \over e}$

 

75.    $y = x^3$, $y = {1 \over x}$,  $x = 2$ রেখাগুলির দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হল

       (A) $4 - \log_e 2$       (B) ${1 \over 4} + \log_e 2$       (C) $3 - \log_e 2$        (D) ${15 \over 4}- \log_e 2$

 

76.   y যদি$x \frac {dy}{dx} = \frac {y^2}{1- y \log x}$সমাকল সমীকরণটির এমন সমাধান হয় যাতে y(l) = 1, তাহলে y যে শর্তটিকে সিদ্ধ করবে সেটি হল

       (A) $y = x^{y-1}$       (B) $y = x^y$       (C) $y = x^{y+1}$      (D) $y = x^{y+2}$

 

77.    y = sin ^-1 x + x(l — x)  এবং  y = sin^-1 x - x(l - x) বক্ররেখাদ্বয়ের দ্বারা সীমাবদ্ধ প্রথমপাদে অবস্থিত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

        (A) $1$      (B) $\frac {1}{2}$      (C) $\frac {1}{3}$      (D) $\frac {1}{4}$

 

78.   $\int^5_1 \left [ \left | x - 3 \right | + \left | 1 - x \right | \right ] dx$ সমাকলটির মান 

       (A) 4      (B) 8     (C) 12      (D) 16

 

79.   (0, 3) অন্তরালে  f(x)  এবং  g(x) দুটি দুবার অন্তরকলনযোগ্য অপেক্ষক । যদি  f"(x) = g"(x),  f '(1) = 4, g'(1) = 6,  f(2) = 3, g(2) = 9 হয়, তাহলে  f(1) - g(1) -এর মান হবে 

      (A) 4     (B) -4     (C) 0      (D) -2

 

80.    ধরা যাক [x] বৃহত্তম সেই পূর্ণসংখ্যাটিকে সূচিত করে যেটি x -এর থেকে ছোট বা সমান । তাহলে

        $\int^1_{-1} \left ( \left | x \right | - 2 \left [ x \right ] \right ) dx$ -এর মান হল

        (A) 3      (B) 2       (C) -2       (D) -3

***