ষষ্ট অধ্যায়ঃ ম্যাট্রিক্স তত্ত্ব ( Theory of Matrix )

সংক্ষিপ্তকরণ -[ Summarisation ]

(1)  ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা :  $m \cdot n$ সংখ্যক সংখ্যা $m$- সংখ্যক সারি এবং  $n$- সংখ্যক স্তম্ভের মাধ্যমে আয়তাকারে সজ্জিত হলে সজ্জাকে একটি  $m \times n$  ক্রমের ম্যাট্রিক্স বলা হয় । সজ্জাটিকে একটি বর্গ ( square ) ম্যাট্রিক্স বলা হয় যখন $m = n$ ; (অর্থাৎ $m \ne n$ হলে ) সজ্জাটিকে একটি আয়তকার ( rectangular ) ম্যাট্রিক্স বলে  ।

(2)  শূন্য ( null or zero ) ম্যাট্রিক্স : কোনো ম্যাট্রিক্সের প্রত্যেকটি পদ শূন্য হলে তাকে  শূন্য ম্যাট্রিক্স বলা হয় এবং একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স 0 প্রতিক দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।

(3) একক  (unit or identity) ম্যাট্রিক্স : কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সের  প্রারম্ভিক  কর্ণ বরাবর  প্রত্যেকটি পদের মান 'এক ' ( অর্থাৎ 1 ) এবং অবশিষ্ট সব পদের মান শূন্য হলে তাকে একক ম্যাট্রিক্স বলা হয় এবং তা সাধারনত $I$ অক্ষর  দ্বারা প্রকাশ করা হয়  ।

(4) ম্যাট্রিক্সের সমতা (equality of matrices): দুটি ম্যাট্রিক্স পরস্পর সমান বলা হবে যদি তারা একই ক্রমের হয় এবং  তাদের অনুরূপ স্থানে একই পদ থাকে ; দুটি ম্যাট্রিক্স  $A$ ও  $B$ -এর সমতা $A = B$  দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।

(5) সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স ও নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স  ( singular and non-singular matrices ): একটি বর্গ  ম্যাট্রিক্স  $A$-এর পদগুলি দিয়ে গঠিত নির্ণায়ককে  $A$ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক বলা হয় এবং তা det  $A$  অথবা  $\left| A \right|$ আকারে প্রকাশ করা হয় ।  det $A=0$ হলে $A$ ম্যাট্রিক্সকে  সিঙ্গুলার এবং  det $A \ne 0$  হলে তাকে নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স বলা হয় ।

(6) পরিবর্ত ম্যাট্রিক্স (tanspose of a matrix) :  মনে করা যাক  $A$  একটি প্রদত্ত  $m \times n$ ক্রমের ম্যাট্রিক্স ;  $A$ ম্যাট্রিক্সের সারি ও স্তম্ভসমূহের পদগুলি যথাক্রমে স্তম্ভ ও সারি বরাবর লিখে যে $m \times n$ ক্রমের ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে $A$ ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত ম্যাট্রিক্স বলা হয় এবং তা ${A^'}$  বা ${A^t}$ বা ${A^T}$ প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।

(7)  প্রতিসম ও বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স  ( symmetric and skew symmetric ) :  একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স  $A$ -কে প্রতিসম বলা হবে যদি ${A^T} = A$ ; আবার  ${A^T} =  - A$  হলে ,  $A$ ম্যাট্রিক্স  বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স বলা হয়, এখানে  ${A^T}$ হল $A$ -এর পরিবর্ত  ম্যাট্রিক্স ।

(8) একটি ম্যাট্রিক্সের স্কেলার গুণ (scalar multiplication of a matirx ):  একটি ম্যাট্রিক্স $A$ এবং একটি স্কেলার $k$-এর গুণফল হল একটি ম্যাট্রিক্স  যার প্রত্যেকটি পদ  $A$  ম্যাট্রিক্সের  প্রত্যেকটি পদের $k$ গুণ এবং $kA$ আকারে প্রকাশ করা হয় ।

(9) দুটি ম্যাট্রিক্সের যোগফল ও বিয়োগফল ( addition and subtraction of two matrices ) :  দুটি ম্যাট্রিক্স  $A$ ও $B$ -এর যোগফল ও বিয়োগফল সংজ্ঞাত হয় যখন তারা একই ক্রমের ম্যাট্রিক্স  । $A$  ও $B$ উভয়েই  $m \times n$  ক্রমের  ম্যাট্রিক্স হলে তাদের যোগফল $(A + B)$ -ও $m \times n$ ক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে ,যার পদসমূহ $A$ ও $B$ -এর অনুরূপ পদ দুটির সমষ্টির সাহায্যে নির্ণয় করা হয় । $A$ ও $B$  ম্যাট্রিক্সের  বিয়োগফল $A$ ম্যাট্রিক্সের সঙ্গে ঋণাত্মক $B$ ম্যাট্রিক্সের যোগফলের সাহায্যে সংজ্ঞাত হয় অর্থাৎ $A - B = A + ( - B) = A + ( - 1)B$  ।

(10)  $A,B,C$  একই ক্রমের তিনটি ম্যাট্রিক্স হলে ,
    (i)   $A + B = B + A$
   (ii)   $(A + B) + C = A + (B + C)$
  (iii)   $k(A + B) = kA + kB$ , যেখানে $k$ একটি স্কেলার
  (iv)   $A + O = O + A = A$
  (v)    $A + ( - A) = ( - A) + A = O$  যেখানে $O$ হল শূন্য ম্যাট্রিক্স ।
  (vi)   $A + C = B + C$  হলে $A = B$ ।

(11)  ম্যাট্রিক্সের গুণ (multiplication of matrices ):  দুটি  ম্যাট্রিক্স $A$ ও $B$ এর গুণফল $AB$  সংজ্ঞাত হয় যদি $A$ ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা (no of columns) $B$ ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যার (no of rows ) সমান হয় ।

$A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ এবং $B ={\left[ {{b_{ij}}} \right]_{p \times n}}$ হলে $AB$ গুণফল ম্যাট্রিক্স $m \times n$ ক্রমের হবে এবং তার $i$ -তম সারি ও $j$-তম স্তম্ভের সংযোগস্থলের  পদটি , $A$ ম্যাট্রিক্সের $i$ -তম সারির পদগুলি  $B$ ম্যাট্রিক্সের $j$ -তম  স্তম্ভের অনুরূপ পদগুলি পরপর গুণ করে ও গুণফল গুলির সমষ্টি নিয়ে , নির্ণয় করা হয় ।

(12) $A$, $B$  ও  $C$  তিনটি ম্যাট্রিক্স হলে ,
(i) সাধারণভাবে $AB \ne BA$ অর্থাৎ ম্যাট্রিক্সের গুণ সাধারণভাবে বিনিময় নিয়ম (commutative law) সিদ্ধ করে না ।
(ii) $(AB)C = A(BC)$ , যখন সংশ্লিষ্ট গুণফলগুলি সংজ্ঞাত  ।
(iii) $A(B + C) = AB + AC$  যখন সংশ্লিষ্ট  যোগফলগুলি ও গুণফলগুলি সংজ্ঞাত  ।
(iv) $CA = CB$  হলে $A = B$ হবে এমন স্থিরতা নেই ।
(v)  $A \cdot O = O \cdot A = O$  যেখানে $O$  হল শূন্য ম্যাট্রিক্স ।
(vi) $A \cdot I = I \cdot A = A$   যেখানে $I$  হল একক ম্যাট্রিক্স ।
(vii) $A \ne O$ ও $B \ne O$ হলেও $AB = O$  হতে পারে যেখানে  $O$ হল  শূন্য ম্যাট্রিক্স ।

(13) A বর্গ ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত ${A^T}$ এবং $A \cdot {A^T} = {A^T} \cdot A = 1$ হলে A -কে লম্ব (orthogonal) ম্যাট্রিক্স বলা হয় ।

14) A ও B  ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত যথাক্রমে ${A^T}$ ও ${B^T}$  হলে ,
(i)   ${({A^T})^T} = A$
(ii)  ${(A + B)^T} = {A^T} + {B^T}$
(iii) ${(A - B)^T} = {A^T} - {B^T}$
(iv  ${(AB)^T} = {B^T} \cdot {A^T}$

(15)  একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A- কে একটি প্রতিসম  (symmetric) ম্যাট্রিক্স এবং একটি বিপ্রাতিসম (skew-symmetric) ম্যাট্রিক্সের সমষ্টির আকারে প্রকাশ করা যায় অর্থাৎ ,
   $A = {1 \over 2}(A + {A^T}) + {1 \over 2}(A - {A^T})$
    যেখানে ${1 \over 2}(A + {A^T})$ একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স এবং  ${1 \over 2}(A - {A^T})$ একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স ।

(16)  অ্যাডজয়েন্ট বা অ্যাডজুগেট  ম্যাট্রিক্স ( adjoint or adjugate matrix ) A বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক $\left| A \right|$ এবং $\left| A \right|$ -র পদগুলির সহগুণনীয়কগুলি (co-factors) দ্বারা প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত (transpose) ম্যাট্রিক্সকে A ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট বলা হয় এবং তা Adj A  বা  Adj A  প্রতীক  দ্বারা  প্রকাশ করা হয় ।

(17) বিলোম বা বিপরীত ম্যাট্রিক্স ( inverse of a matrix ):  দুটি একই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স A ও B যদি এমন ভাবে সম্বন্ধযুক্ত হয় যে , $AB = BA = I$, যেখানে I  হল একই ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স তবে B ম্যাট্রিক্সকে A  ম্যাট্রিক্সের বিপরীত অথবা A ম্যাট্রিক্সকে B ম্যাট্রিক্সের বিপরীত বলা হয় ।  A ম্যাট্রিক্সের বিলোম বা বিপরীত ${A^{ - 1}}$ প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়  ।

(18) A বর্গ ম্যাট্রিক্সের বিপরীতের অস্তিত্ব থাকে যখন $\left| A \right| \ne 0$ এবং  ${A^{ - 1}} = {{AdjA} \over {\left| A \right|}}$ হয় ।

(19) A ও B দুটি  বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং  $\left| A \right| \ne 0$  ও $\left| B \right| \ne 0$  হলে
(i)   ${A^{ - 1}}A = A \cdot {A^{ - 1}} = I$
(ii)  ${({A^{ - 1}})^{ - 1}} = A$
(iii) ${({A^{ - 1}})^T} = {({A^T})^{ - 1}}$
(iv) ${(AB)^{ - 1}} = {B^{ - 1}} \cdot {A^{ - 1}}$