দ্বিপদ উপপাদ্য (Binomial Theorem)

দ্বিপদ উপপাদ্য (Binomial Theorem)

ভূমিকা (Introduction):- দ্বিপদ কথার অর্থ হল দুটি পদ । যে রাশিতে দুটি পদ থাকে তাকে দ্বিপদ রাশি বলা হয় । যেমন -  2x + 5,  ax + b, ax - cy ইত্যাদি এরা প্রত্যেকে দ্বিপদ রাশি । আমরা দ্বিপদ রাশি (a + x) এর বর্গ কিংবা ঘনের অর্থাৎ ${\left( {a + x} \right)^2}$ কিংবা ${\left( {a + x} \right)^3}$ মান সহজেই নির্ণয় করতে পারি । কিন্তু ${\left( {a + x} \right)^n}$ (n যেকোন ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা) এর মান সহজে নির্ণয় করা যায় না । এই জাতীয় দ্বিপদ রাশির প্রকাশের জন্য একটি সাধারণ সূত্র ব্যবহার করি, এই সাধারণ সূত্রকেই বীজগণিতের ভাষায় দ্বিপদ উপপাদ্য (Binomial Theorem) বলে । 

দ্বিপদ উপপাদ্যের সাহায্যে আমরা সহজেই যেকোনো দ্বিপদ রাশির যেকোনো ঘাতের মান প্রকাশ করতে পারি । এই উপপাদ্যটি Sir Isaac Newton আবিষ্কার করেছেন । 

ধনাত্মক অখণ্ড সূচকের ক্ষেত্রে দ্বিপদ উপপাদ্য (Binomial Theorem for a Positive Integral Index)

উপপাদ্যের প্রতিপাদ্য বিষয়  (Statement of the theorem)

n যেকোন ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা হলে (a + x) এই দ্বিপদ রাশির n তম ঘাতের বিস্তার হল

$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {a + x} \right)}^n} = {a^n} + {}^nC_1{a^{n - 1}}x + {}^nC_2{a^{n - 2}}{x^2} + {}^nC_3{a^{n - 3}}{x^3} + .............. + {}^nC_r{a^{n - r}}{x^r} + .......... + {x^n} \to (i)}\\ {or,{{\left( {a + x} \right)}^n} = {a^n} + n{a^{n - 1}}x + \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}{a^{n - 2}}{x^2} + \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}}{a^{n - 3}}{x^3} + ................ + \frac{{n!}}{{r!\left( {n - r} \right)!}}{a^{n - r}}{x^r} + .......... + {x^n} \to (ii)} \end{array}$

a ও x এর যেকোন বাস্তব মানের জন্য । 

প্রমাণ :- আমরা জানি ${\left( {a + x} \right)^2} = {a^2} + 2ax + {x^2} = {a^2} + {}^2C_1ax + {x^2}$ ........... (i)

একই ভাবে

${\left( {a + x} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}x + 3a{x^2} + {x^3} = {a^3} + {}^3C_1{a^2}x + {}^3C_2a{x^2} + {x^3}$ ..... (ii)

উপরের (i) ও (ii) থেকে পাই দ্বিপদ উপপাদ্য n = 2 অথবা n = 3 এর ক্ষেত্রে সত্য । 

এখন ধরা যাক যদি n = m এর ক্ষেত্রে দ্বিপদ উপপাদ্যটি সত্য, তাহলে 

$\eqalign{   & {\left( {a + x} \right)^m} = {a^m} + {}^mC_1{a^{m - 1}}x + {}^mC_2{a^{m - 2}}{x^2} + {}^mC_3{a^{m - 3}}{x^3} + .......  \cr   & ........... + C_r^m{a^{m - r}}{x^r} + ............ + {x^m}............(iii) \cr}$

এখন দেখাতে হবে (m +1) এর জন্য এই বিবৃতিটি সত্য দেখাতে হবে 

$\begin{array}{l} {\left( {a + x} \right)^{m + 1}}\\  = {\left( {a + x} \right)^m}\left( {a + x} \right)\\  = \left( {{a^m} + {}^mC_1{a^{m - 1}}x + {}^mC{}_2{a^{m - 2}}{x^2} + {}^mC_3{a^{m - 3}}{x^3} + .................. + {}^mC_r{a^{m - r}}{x^r} + ............ + {x^m}} \right)\left( {a + x} \right)\\  = {a^{m + 1}} + {}^mC_1{a^{m - 1 + 1}}x + {}^mC_2{a^{m - 2 + 1}}{x^2} + {}^mC_3{a^{m - 3 + 1}}{x^3} + ............... + {}^mC_r{a^{m - r + 1}}{x^r} + .......... + {x^m}a + {a^m}x + {}^mC_1{a^{m - 1}}{x^2} + {}^mC{}_2{a^{m - 2}}{x^3} + {}^mC_3{a^{m - 3}}{x^4} + .................. + {}^mC_r{a^{m - r}}{x^{r + 1}} + ........ + {x^{m + 1}}\\  = {a^{m + 1}} + {a^m}\left( { {}^mC_1 + 1} \right)x + {a^{m - 1}}\left( { {}^mC_2 + {}^mC_1} \right){x^2} + {a^{m - 2}}\left( { {}^mC_3 + {}^mC_2} \right){x^3} + .............. + {a^{m + 1 - r}}\left( { {}^mC_r + {}^mC_{r - 1}} \right){x^r} + ............. + {x^{m + 1}}\\  = {a^{m + 1}} + {}^{m+1}C_1{a^{m + 1 - 1}}x + {}^{m+1}C_2{a^{m + 1 - 2}}{x^2} + ........ + {}^{m+1}C_r{a^{m + 1 - r}}{x^r} + ......{x^{m + 1}}\\  = {\left( {a + x} \right)^{m + 1}} \end{array}$

স্পটতই দেখা যাচ্ছে n = (m +1) এর জন্য বিবৃতিটি সত্য যদি n = m এর জন্য বিবৃতিটি সত্য হয় । এখন n = 2 এর জন্য বিবৃতিটি সত্য, এবং যদি n = m এর জন্য বিবৃতিটি সত্য হলে n = (m +1) এর জন্য বিবৃতিটি সত্য হবে । অতএব গাণিতিক আরোহণ তত্ত্বের সাহায্যে আমরা বলতে পারি n যে কোন স্বাভাবিক সংখ্যার জন্য বিবৃতিটি সত্য হবে । অতএব 

$\eqalign{   & {\left( {a + x} \right)^n} = {a^n} + {}^nC_1{a^{n - 1}}x + {}^nC_2{a^{n - 2}}{x^2} + {}^nC_3{a^{n - 3}}{x^3} + .......  \cr   & ........... + C_r^n{a^{n - r}}{x^r} + ............ + {x^n} \cr}$

দ্রষ্টব্য

(i) যদি কোন রাশিকে একটি শ্রেণীর আকারে প্রকাশ করা হয় তবে ওই শ্রেণীকে বলা হয় বিস্তৃতি (Expansion) ।.

(ii) যেহেতু ${}^n{C_0} = {}^n{C_n} = 1$ এবং ${x^0} = {a^0} = 1$ সুতরাং ${\left( {a - x} \right)^n}$ এর বিস্তৃতি নিম্নলিখিত আকারে লেখা যায় 

${\left( {a + x} \right)^n} = {}^n{C_0}{a^n}{x^0} + {}^n{C_1}{a^{n - 1}}{x^1} + {}^n{C_2}{a^{n - 2}}{x^2} + ............ + {}^n{C_r}{a^{n - r}}{x^r} + .......... + {}^n{C_n}{a^0}{x^n}$

(i) ${\left( {a - x} \right)^n}$ এর বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা হল (n + 1) ।

(ii) যেকোন x এর সূচক ওই পদটির ক্রমিক অবস্থান অপেক্ষা 1 কম । যেকোন পদে a ও x এর সূচকের সমষ্টি সর্বদাই n ।

কয়েকটি বিশেষ দ্বিপদ রাশির বিস্তৃতি (Expansions of some Important Binomial Expressions)

(1) ${\left( {1 + x} \right)^n}$ এর বিস্তৃতি (n যেকোন অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যা)

${\left( {a + x} \right)^n}$ এর বিস্তৃতিতে a = 1 বসিয়ে পাই 

${\left( {1 + x} \right)^n} = 1 + {}^n{C_1}x + {}^n{C_2}{x^2} + {}^n{C_3}{x^3} + ........... + {}^n{C_r}{x^r} + .............. + {x^n}$

(2) ${\left( {a - x} \right)^n}$ এর বিস্তৃতি (n যেকোন অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যা)

${\left( {a + x} \right)^n}$ এর বিস্তৃতিতে x = -x বসিয়ে পাই 

$\begin{array}{l} {\left( {a - x} \right)^n} = {a^n} + {}^n{C_1}{a^{n - 1}}\left( { - x} \right) + {}^n{C_2}{a^{n - 2}}{\left( { - x} \right)^2} + {}^n{C_3}{a^{n - 3}}{\left( { - x} \right)^3} + ........... + {}^n{C_r}{a^{n - r}}{\left( { - x} \right)^r} + ......... + {\left( { - x} \right)^n}\\  \Rightarrow {\left( {a - x} \right)^n} = {a^n} - {}^n{C_1}{a^{n - 1}}x + {}^n{C_2}{a^{n - 2}}{x^2} - {}^n{C_3}{a^{n - 3}}{x^3} + ......... + {}^n{C_r}{a^{n - r}}{\left( { - x} \right)^r} + ......... + {\left( { - x} \right)^n} \end{array}$

(3) ${\left( {1 - x} \right)^n}$ এর বিস্তৃতি (n যেকোন অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যা)

${\left( {1 + x} \right)^n}$ এর বিস্তৃতিতে x = -x বসিয়ে পাই 

$\begin{array}{l} {\left( {1 - x} \right)^n} = 1 + {}^n{C_1}\left( { - x} \right) + {}^n{C_2}{\left( { - x} \right)^2} + {}^n{C_3}{\left( { - x} \right)^3} + ........... + {}^n{C_r}{\left( { - x} \right)^r} + ......... + {\left( { - x} \right)^n}\\  \Rightarrow {\left( {1 - x} \right)^n} = 1 - {}^n{C_1}x + {}^n{C_2}{x^2} - {}^n{C_3}{x^3} + ......... + {}^n{C_r}{\left( { - x} \right)^r} + ......... + {\left( { - x} \right)^n} \end{array}$

বিস্তৃতির সাধারণ পদ নির্ণয় (To find the general term of Expansion)

${\left( {a + x} \right)^n}$ এর বিস্তৃতিতে (n যেকোন অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যা) (r + 1) তম পদটিকে সাধারণ পদ বলে । সাধারণত এই পদকে ${t_{r + 1}}$ দ্বারা সূচিত করা হয় । 

${\left( {a + x} \right)^n} = {a^n} + {}^n{C_1}{a^{n - 1}}x + {}^n{C_2}{a^{n - 2}}{x^2} + ............ + {}^n{C_r}{a^{n - r}}{x^r} + .......... + {x^n}$

উপরের বিস্তৃতি থেকে দেখা যায় যে 

$\begin{array}{l} {t_1}  = {}^n{C_0}{a^{n - 0}}{x^0}\\ {t_2}  = {}^n{C_1}{a^{n - 1}}{x^1}\\ {t_3}  ={}^n{C_2}{a^{n - 2}}{x^2}\\ {t_4}  = {}^n{C_3}{a^{n - 3}}{x^3} \end{array}$

এবং সাধারণভাবে ${t_{r + 1}} = (r + 1) তম পদ = {}^n{C_r}{a^{n - r}}{x^r}$ 

দ্রষ্টব্য 

(i) ${\left( {1 + x} \right)^n}$ এর বিস্তৃতিতে (r +1) তম পদ = ${t_{r + 1}} = {}^n{C_r}{x^r}$

(ii) ${\left( {1 - x} \right)^n}$ এর বিস্তৃতিতে (r +1) তম পদ = ${t_{r + 1}} = {-1^r}{}^n{C_r}{x^r}$

(iii) ${\left( {a - x} \right)^n}$ এর বিস্তৃতিতে (r +1) তম পদ = ${t_{r + 1}} = {-1^r}{}^n{C_r}{a^{n - r}}{x^r}$

বিস্তৃতির মধ্যমপদ নির্ণয় (To find the middle term of Expansion)

${\left( {a - x} \right)^n}$ এর বিস্তৃতিতে (n যেকোন অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যা) পদসংখ্যা হল (n+1) । সুতরাং n মান যদি যুগ্ম হয় তাহলে পদসংখ্যা হয় অযুগ্ম । তখন মধ্যমপদের সংখ্যা হবে একটি । আবার n এর মান যদি অযুগ্ম হয় তাহলে পদসংখ্যা হয় যুগ্ম । তখন মধ্যমপদের সংখ্যা হয় দুটি । 

n এর মান যখন যুগ্ম 

মনে করি n = 2m, যেখানে m যেকোন ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা । সুতরাং ${\left( {a + x} \right)^n}$ এর বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা হবে (2m + 1).স্পটতই মধ্যম পদটি হবে (m + 1) তম পদ । কারণ (m + 1) তম পদের উভয় পাশে m সংখ্যক করে পদ থাকে । অতএব নির্ণেয় মধ্যমপদ হল (m + 1) তম পদ বা $\left( {\frac{n}{2} + 1} \right)$ তম পদ এবং পদটি হল 

${t_{\frac{n}{2} + 1}} = {}^n{C_{\frac{n}{2}}}{a^{n - \frac{n}{2}}}{x^{\frac{n}{2}}} = {}^n{C_{\frac{n}{2}}}{a^{\frac{n}{2}}}{x^{\frac{n}{2}}}$

n এর মান যখন অযুগ্ম 

মনে করি n = (2m + 1), যেখানে m যেকোন ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা । সুতরাং ${\left( {a + x} \right)^n}$ এর বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা হবে (2m + 1+1) = (2m + 2) । এক্ষেত্রে বিস্তৃতিতে দুটি মধ্যমপদ থাকবে এবং এই পদদুটি হবে (m + 1) তম এবং (m + 2 ) তম । কারণ এই পদ দুটির উভয়পাশে m সংখ্যক পদ আছে । 

এখন $n = \left( {2m + 1} \right) \Rightarrow m = \frac{{n - 1}}{2}$

অতএব নির্ণেয় মধ্যমপদ দুটি হল  

$\left( {\frac{{n - 1}}{2} + 1} \right)$ তম , $\left( {\frac{{n - 1}}{2} + 2} \right)$ তম পদ 

প্রথম মধ্যমপদ = $\left( {\frac{{n - 1}}{2} + 1} \right)$ তম পদ 

$\Rightarrow {t_{\frac{{n - 1}}{2} + 1}} = {}^n{C_{\frac{{n - 1}}{2}}}{a^{n - \frac{{n - 1}}{2}}}{x^{\frac{{n - 1}}{2}}} = {}^n{C_{\frac{{n - 1}}{2}}}{a^{\frac{{n + 1}}{2}}}{x^{\frac{{n - 1}}{2}}}$

দ্বিতীয় মধ্যমপদ = $\left( {\frac{{n + 1}}{2} + 1} \right)$ তম পদ 

$\Rightarrow {t_{\frac{{n + 1}}{2} + 1}} = {}^n{C_{\frac{{n + 1}}{2}}}{a^{n - \frac{{n + 1}}{2}}}{x^{\frac{{n + 1}}{2}}} = {}^n{C_{\frac{{n + 1}}{2}}}{a^{\frac{{n - 1}}{2}}}{x^{\frac{{n + 1}}{2}}}$

${\left( {a + x} \right)^n}$ বা ${\left( {1 + x} \right)^n}$ এর বিস্তৃতিতে প্রথম ও শেষ দিক থেকে সমদূরবর্তী পদের সহগ সমান হবে (In the Expansion ${\left( {a + x} \right)^n}$ or ${\left( {1 + x} \right)^n}$, the coefficients of terms Equidistant from the beginning and the end are equal)

স্পটতই ${\left( {a + x} \right)^n}$ বা ${\left( {1 + x} \right)^n}$ এর বিস্তৃতিতে প্রথম (r + 1) তম পদের সহগ হল ${}^n{C_r}$ । আবার শেষের দিক থেকে (r + 1) তম পদের সহগ হল ${}^n{C_{n -r }}$ । 

সূত্রানুযায়ী ${}^n{C_r}$ = ${}^n{C_{n -r }}$

অতএব প্রথম দিক থেকে (r + 1) তম পদের সহগ = শেষের দিক থেকে (r + 1) তম পদের সহগ । 

সুতরাং প্রমাণিত প্রথম ও শেষ দিক থেকে সমদূরবর্তী পদের সহগ সমান হবে । 

দ্বিপদ সহগ সমূহের ধর্ম (Properties of Binomial Coefficients)

অনেক সময় দ্বিপদ সহগ সমূহ ${}^n{C_0},{}^n{C_1},{}^n{C_2},.............,{}^n{C_r},..............,{}^n{C_n}$ গুলিকে সংক্ষেপে  ${C_0},{C_1},{C_2},.............,{C_r},..............,{C_n}$ এই আকারে লেখা হয় । 

সুতরাং 

$\begin{array}{l} {\left( {1 + x} \right)^n} = {}^n{C_0} + {}^n{C_1}x + {}^n{C_2}{x^2} + ................ + {}^n{C_r}{x^r} + ............ + {}^n{C_n}{x^n}\\  \Rightarrow {\left( {1 + x} \right)^n} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2} + ................ + {C_r}{x^r} + ............. + {C_n}{x^n} \end{array}$

দ্বিপদ সহগ সমূহের নিম্নলিখিত দুটি বৈশিষ্ট আছে । 

(১) ${\left( {1 + x} \right)^n}$ এর বিস্তৃতিতে সহগ সমূহের সমষ্টি = ${2^n}$

আমরা জানি

 ${\left( {1 + x} \right)^n} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2} + ................ + {C_r}{x^r} + ............. + {C_n}{x^n}$

এখন x = 1 বসিয়ে পাই 

$\begin{array}{l} {\left( {1 + 1} \right)^n} = {C_0} + {C_1} + {C_2} + ................ + {C_r} + ............. + {C_n}\\  \Rightarrow {2^n} = {C_0} + {C_1} + {C_2} + ................ + {C_r} + ............. + {C_n} \end{array}$

অতএব ${\left( {1 + x} \right)^n}$ এর বিস্তৃতিতে সহগ সমূহের সমষ্টি = ${2^n}$ প্রমাণিত । 

(২) ${\left( {1 + x} \right)^n}$ এর বিস্তৃতিতে জোড় স্থানীয় সহগ সমূহের সমষ্টি = বিজোড় স্থানীয় সহগ সমূহের সমষ্টি = ${2^{n - 1}}$

আমরা জানি

 ${\left( {1 + x} \right)^n} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2} + ................ + {C_r}{x^r} + ............. + {C_n}{x^n}$............. (i)

এখন (i) কে x এর স্থানে -x বসিয়ে পাই 

${\left( {1 - x} \right)^n} = {C_0} - {C_1}x + {C_2}{x^2} - ............. + {\left( { - 1} \right)^r}{C_r}{x ^r}+ ......... + {\left( { - 1} \right)^n}{x^n}..........(ii)$

(i) + (ii) করে পাই 

${\left( {1 + x} \right)^n} + {\left( {1 - x} \right)^n} = 2\left[ {{C_0} + {C_2}{x^2} + {C_4}{x^4} + ..........} \right]$.............. (iii)

(iii) নং সমীকরণে x = 1 বসিয়ে পাই 

$\begin{array}{l} {\left( {1 + 1} \right)^n} + {\left( {1 - 1} \right)^n} = 2\left[ {{C_0} + {C_2}{1^2} + {C_4}{1^4} + ..........} \right]\\  \Rightarrow {2^n} + 0 = 2\left[ {{C_0} + {C_2} + {C_4} + ...........} \right]\\  \Rightarrow {C_0} + {C_2} + {C_4} + ........... = {2^{n - 1}} \end{array}$

অর্থাৎ বিজোড় স্থানীয় পদগুলির সমষ্টি হবে ${2^{n - 1}}$ ।

অনুরূপে (i) - (ii) করে জোড় স্থানীয় পদগুলির সমষ্টি =  ${2^{n - 1}}$ পাই । 

${\left( {a + x} \right)^n}$ এর বিস্তৃতিতে বৃহত্তম পদ নির্ণয় ( a > 0 , x > 0 এবং n ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা) [To find the greatest term in the Expansion of ${\left( {a + x} \right)^n}$ ( a > 0 , x> 0 and n is positive integer)]

${\left( {a + x} \right)^n}$ বিস্তৃতির ( r + 1 ) তম ও r তম পদ যথাক্রমে ${t_{r + 1}}$ ও ${t_r}$ ।

যেখানে ${t_{r + 1}} = {}^n{C_r}{a^{n - r}}{x^r} এবং {t_r} = {}^n{C_{r - 1}}{a^{n - r + 1}}{x^{r - 1}}$ ।

এখন $\frac{{{t_{r + 1}}}}{{{t_r}}} = \frac{{{}^n{C_r}{a^{n - r}}{x^r}{t_r}}}{{{}^n{C_{r - 1}}{a^{n - r + 1}}{x^{r - 1}}}} = \frac{{{}^n{C_r}}}{{{}^n{C_{r - 1}}}}\frac{x}{a} = \left( {\frac{{n - r + 1}}{r}} \right)\frac{x}{a}$

স্পষ্টতই ${t_{r + 1}} > {t_r}$ হবে যখন $\left( {\frac{{n - r + 1}}{r}} \right)\frac{x}{a} > 1$............... (i)

$\begin{array}{l} \left( {\frac{{n - r + 1}}{r}} \right)\frac{x}{a} > 1\\  \Rightarrow \frac{{n - r + 1}}{r} > \frac{a}{x}\\  \Rightarrow \frac{{n + 1}}{r} - 1 > \frac{a}{x}\\  \Rightarrow \frac{{n + 1}}{r} > \frac{{a + x}}{x}\\  \Rightarrow r < \frac{{x\left( {n + 1} \right)}}{{a + x}} \end{array}$

একইভাবে যদি ${t_{r + 1}} = {t_r}$ হয় তবে ${r = \frac{{x\left( { n + 1} \right)}}{{a + x}}}$ ................... (ii)

এবং যদি ${r > \frac{{x\left( { n + 1} \right)}}{{a + x}}}$ তখন  ${t_{r + 1}} < {t_r}$ ............ (iii) হবে । 

এখন $\frac{{x\left( {n + 1} \right)}}{{a + x}}$ এর মান একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা বা ধনাত্মক ভগ্নাংশ হতে পারে । 

$\frac{{x\left( {n + 1} \right)}}{{a + x}}$ এর মান যখন একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা 

প্রথমত :  ধরা যাক $\frac{{x\left( {n + 1} \right)}}{{a + x}}$ = m যেখানে m যেকোন ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা । 

তাহলে ${t_{r + 1}} > {t_r}$ হবে যখন r < m হবে । অর্থাৎ r = 1 ,2 ,3 ,4 ,.........., (m - 1) হলে ${t_{r + 1}} > {t_r}$ হবে । 

সুতরাং  $\begin{array}{l} {t_2} > {t_1},{t_3} > {t_2},{t_4} > {t_3},.............{t_m} > {t_{m - 1}}\\  \Rightarrow {t_1} < {t_2} < {t_3} < {t_4} < ..........{t_{m - 1}} < {t_m}..............(iv) \end{array}$

যখন r = m হয় তখন  ${t_{m + 1}} = {t_m}$ হবে । 

আবার যদি  r > m হয়, তখন ${t_{r + 1}} < {t_r}$ হবে । 

অর্থাৎ r = (m + 1), (m + 2), (m +3)............... হলে , 

$\begin{array}{l} {t_{m + 2}} < {t_{m + 1}},{t_{m + 3}} < {t_{m + 2}},{t_{m + 4}} < {t_{m + 3}}...............\\  \Rightarrow {t_{m + 1}} > {t_{m + 2}} > {t_{m + 3}} > {t_{m + 4}}............ \end{array}$

(i), (ii), (iii), (vi) থেকে দেখা যাচ্ছে $\frac{{x\left( {n + 1} \right)}}{{a + x}}$ = m, একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হলে m তম এবং (m + 1) তম পদ দুটি সমান হবে এবং তাদের যেকোন একটিই নির্ণেয় বৃহত্তম পদ হবে । 

দ্বিতীয়ত :  ধরা যাক $\frac{{x\left( {n + 1} \right)}}{{a + x}}$ = m + ধনাত্মক প্রকৃত ভগ্নাংশ, যেখানে m = 0 বা যেকোন ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা । 

তাহলে ${t_{r + 1}} > {t_r}; যখন r \le m$

অর্থাৎ $r = 1,2,3,................m, হলে {t_{r + 1}} > {t_r}$ হবে । 

অতএব ${t_2} > {t_1},{t_3} > {t_2},{t_4} > {t_5}............{t_{m + 1}} > {t_m}$

অর্থাৎ ${t_1} < {t_2} < {t_3} < {t_4} < .......... < {t_m} < {t_{m + 1}}$ ................... (v)

আবার ${t_{r + 1}} < {t_r}; যখন r \ge m + 1$

অর্থাৎ $r = m+1,m+2,m+3,................$, হলে ${t_{r + 1}} < {t_r}$ হবে । 

অতএব ${t_m+2} > {t_m+1},{t_m+3} > {t_m+2},{t_m+4} > {t_m+5} ............$

অর্থাৎ ${t_m+1} < {t_m+2} < {t_m+3} < {t_m+4} < ..........$ ........................ (vi)

এখন (v) ও (vi) থেকে পাই 

${t_1} < {t_2} < {t_3} < {t_4} ...........  < {t_m} < {t_{m + 1}} > {t_{m + 2}} > {t_{m + 3}} ..........$

স্পষ্টতই ${t_{m + 1}}$ পদের মান হবে বৃহত্তম ।  

সুতরাং $\frac{{\left( {n + 1} \right)x}}{{a + x}}=$ [m + ( একটি ধনাত্মক প্রকৃত ভগ্নাংশ হলে )], ( m + 1) তম পদের মান বৃহত্তম হবে । 

সংক্ষিপ্তকরণ :-

(1) n ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা হলে,
${(a + x)^n} = {a^n} + {}^n{c_1} \cdot {a^{n - 1}}{x^1} + {}^n{c_2} \cdot {a^{n - 2}}{x^2} +  \cdots  + {}^n{c_r} \cdot {a^{n - r}}{x^r} +  \cdots  + {x^n}$  .... (1)

(2)  (1) n যুগ্ম হলে, (1) বিস্তৃতির একটি মাধ্যম পদ থাকবে এবং মাধ্যম পদটি হবে $\left( {\frac{n}{2} + 1} \right)$ -তম পদ ;
       (2)  n অযুগ্ম হলে, (1) বিস্তৃতির দুটি মাধ্যম পদ থাকবে এবং পদটি দুটি যথাক্রমে $\left( {\frac{{n - 1}}{2} + 1} \right)$ -তম এবং $\left( {\frac{{n + 1}}{2} + 1} \right)$  -তম পদ  হবে ।

(3) ${(a + x)^n}$ -এর বিস্তৃতিতে m -তম অথবা, (m + 1) -তম পদ বৃহত্তম হবে যদি , $\frac{{(n + 1)x}}{{a + x}}$ = একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা m হয়, পক্ষান্তরে, $\frac{{(n + 1)x}}{{a + x}}$ = [একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (m) + একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ হলে ] , (m + 1) -তম পদটি বৃহত্তম পদ হবে ।

(4) (1)  বিস্তৃতির সাধারণ পদ = $(r + 1)$ তম পদ =  ${t_{r + 1}} = {}^n{c_r} \cdot {a^{n - r}}{x^r}$ ।

******