চতুর্থ অধ্যায়ঃ অসীম শ্রেণি ( Infinite Series )

চতুর্থ অধ্যায়ঃ অসীম শ্রেণি ( Infinite Series )

 

সূচনা ( Introduction )

            আমরা জানি শ্রেণি দুই প্রকারের হয়। (১) সসীম শ্রেণি ( Finite Series ) এবং (২) অসীম শ্রেণি ( Infinite Series )। 

          যেসব শ্রেণির পদসংখ্যা সসীম ( finite ) তাদের সসীম শ্রেণি বলে। অন্যভাবে যেসব শ্রেণির পদসংখ্যা অসংখ্য বা অসীম তাদের অসীম শ্রেণি বলে। আমরা যেসব শ্রেণি নিয়ে পূর্বে আলোচনা করেছি তা হল সসীম শ্রেণি। 

                               সাধারণত একটি সসীম শ্রেণিকে ${u_1} + {u_2} + {u_3} + ..............{u_n}$ এবং একটি অসীম শ্রেণিকে ${u_1} + {u_2} + {u_3} + ..............{u_n} + ...............\infty$ আকারে প্রকাশ করা হয়। যেখানে ${u_n}$ হল n তম পদ। 

    স্পষ্টতই , একটি সসীম শ্রেণির নির্দিষ্ট সংখ্যক পদের সমষ্টি সর্বদা একটি সসীম রাশি হবে , কিন্তু একটি অসীম শ্রেণির পদগুলির সমষ্টির মান সসীম বা অসীম দুই হতে পারে। 

       এই অধ্যায়ে আমরা চার প্রকার অসীম শ্রেণি সম্পর্কে আলোচনা করবো। 

1. অসীম গুণোত্তর শ্রেণি ( Infinite Geometric Series )
2. সাধারণ আকারে দ্বিপদ উপপাদ্য ( Binomial Theorem in General Form)
3. সূচক শ্রেণি ( Exponential Series )
4. লগারিদম শ্রেণি ( Logarithmic Series )

                                                অসীম গুণোত্তর শ্রেণি ( Infinite Geometric Series )

                                       $a + ar + a{r^2} + ............ + a{r^{n - 1}} + ............\infty$..............(i)

উপরের আকারে অসীম গুণোত্তর শ্রেণিকে প্রকাশ করা হয়। a হল প্রথম পদ এবং r হল সাধারণ অনুপাত। 

${S_n}$ যদি (i) এর n সংখ্যক ( n সসীম সংখ্যক পদসংখ্যা ) পদের যোগফলকে সূচিত করে , তবে 

${S_n} = a\frac{{1 - {r^n}}}{{1 - r}} = \frac{a}{{1 - r}} - \frac{{a{r^n}}}{{1 - r}}$

n এর মান যখন অসীম হয় তখন তাকে গাণিতিক প্রতীকের সাহায্যে নিম্নলিখিত ভাবে প্রকাশ করা হয় 

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{a}{{1 - r}} - \frac{{a{r^n}}}{{1 - r}}} \right)$

r এর মানের উপর অসীম শ্রেণির যোগফলের মান বিভিন্ন হতে পারে। 

(১) যখন r প্রকৃত ভগ্নাংশ $\left( { - 1 < r < 1} \right)$

r প্রকৃত ভগ্নাংশ হলে , ${r^n}$ এবং শুন্য এর মধ্যে যে পার্থক্য হয় তা যেকোন ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা হোক , তার থেকেও ক্ষুদ্র করা যায় , যদি n এর মান যথেষ্ট বৃহৎ সংখ্যা ধরা হয়। 

অতএব   $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = 0$ যখন $\left( { - 1 < r < 1} \right)$

সুতরাং , $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = \frac{a}{{1 - r}}$

সুতরাং যখন $\left( { - 1 < r < 1} \right)$ তখন অসীম গুণোত্তর শ্রেণির যোগফলের অস্তিত্ব আছে এবং এর মান

= $\frac{a}{{1 - r}}$

(২) যখন r প্রকৃত ভগ্নাংশ নয় ( r > 1বা, r< -1 )

যদি r > 1 এবং r < -1 হয় , তবে n এর যে কোন বৃহৎ মানের জন্য ${r^n}$ এর মান আমাদের কল্পনার সম্ভব যেকোন মানের থেকে বৃহৎ হবে। সেজন্য n এর মান অসীমের দিকে অগ্রসর হলে ${r^n}$ এর মান কোনো নির্দিষ্ট অসীমের দিকে অগ্রসর হয়। সুতরাং n অসীমের দিকে অগ্রসর হলে ${S_n}$ এর কোনো সসীম মান পাওয়া যায় না। 

সুতরাং যদি r > 1 এবং r < -1 হয় তাহলে অসীম গুণোত্তর শ্রেণির কোনো যোগফল নেই। 

সংক্ষিপ্তকরণ ( Summarisation )

(i)  r প্রকৃত ভগ্নাংশ অর্থাৎ $\left( { - 1 < r < 1} \right)$ হলে ,

$a + ar + a{r^2} + ..........\infty  = \frac{a}{{1 - r}}$ হবে। 

বিশেষ ক্ষেত্রে a = 1 হলে , $1 + r + {r^2} + ..........\infty  = \frac{1}{{1 - r}}$ হবে। 

(ii)  r প্রকৃত ভগ্নাংশ না হলে r > 1 এবং r < -1 এর জন্য $a + ar + a{r^2} + ..........\infty$

কোনো যোগফল নেই। 

উদাহরণ 1. $0.\dot 3\dot 6$ এই আবৃত্ত দশমিককে মূলদ সংখ্যায় প্রকাশ করো। 

সমাধান : 

$\begin{array}{l} 0.\dot 3\dot 6\\  = 0.363636.........\infty \\  = 0.36 + 0.0036 + 0.000036 + ...........\infty \\  = \frac{{36}}{{{{10}^2}}} + \frac{{36}}{{{{10}^4}}} + \frac{{36}}{{{{10}^6}}} + ..............\infty  \end{array}$

[ এটি একটি অসীম গুণোত্তর শ্রেণি। যার প্রথম পদ হল $\frac{{36}}{{{{10}^2}}}$ এবং সাধারণ অনুপাত হল $\frac{1}{{{{10}^2}}}$ .স্পষ্টতই $- 1 < \frac{1}{{{{10}^2}}} < 1$.]

$= \frac{{\frac{{36}}{{{{10}^2}}}}}{{1 - \frac{1}{{{{10}^2}}}}} = \frac{{36}}{{100}} \times \frac{{100}}{{99}} = \frac{4}{{11}}$

 

উদাহরণ 2. ${S_1},{S_2},{S_3},..........{S_n}$ যদি n সংখ্যক অসীম গুণোত্তর শ্রেণির যোগফল হয় , যাদের প্রথম পদ যথাক্রমে 1 , 2 , 3 , .......,n এবং সাধারণ অনুপাত যথাক্রমে $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},........,\frac{1}{{n + 1}}$ হয় তবে দেখাও যে,

${S_1} + {S_2} + {S_3} + ............... + {S_n} = \frac{{n\left( {n + 3} \right)}}{2}$

সমাধান : ${S_1}$ হল একটি অসীম গুণোত্তর শ্রেণির যোগফল যার প্রথম পদ হল 1 এবং সাধারণ অনুপাত হল $\frac{1}{2}$. স্পষ্টতই $- 1 < \frac{1}{2} < 1$ .

অতএব ${S_1} = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2$

 আবার ${S_2}$ হল একটি অসীম গুণোত্তর শ্রেণির যোগফল যার প্রথম পদ হল 2 এবং সাধারণ অনুপাত হল $\frac{1}{3}$. স্পষ্টতই $- 1 < \frac{1}{3} < 1$ .

অতএব ${S_2} = \frac{2}{{1 - \frac{1}{3}}} = 3$

অনুরূপে ${S_3} = 4,{S_4} = 5,............,{S_n} = n + 1$

$\begin{array}{l} {S_1} + {S_2} + {S_3} + ................. + {S_n}\\  = 2 + 3 + 4 + ............ + \left( {n + 1} \right)\\  = \frac{n}{2}\left( {2 + n + 1} \right) = \frac{{n\left( {n + 3} \right)}}{2} \end{array}$

 

উদাহরণ 3. যদি $x = 1 + a + {a^2} + .............\infty$ এবং $y = 1 + b + {b^2} + .............\infty$ হয় , তবে প্রমাণ করো যে 

$1 + ab + {a^2}{b^2} + .............\infty  = \frac{{xy}}{{x + y - 1}}$

যখন $\left( { - 1 < a < 1} \right)$ এবং $\left( { - 1 < b < 1} \right)$ .

সমাধান : $x = 1 + a + {a^2} + .............\infty$ এটি একটি অসীম গুণোত্তর শ্রেণি। যেখানে প্রথম পদ =1 এবং সাধারণ অনুপাত = a  প্রশ্নানুযায়ী $\left( { - 1 < a < 1} \right)$ .

অতএব 

$\begin{array}{l} x = 1 + a + {a^2} + ........\infty \\  \Rightarrow x = \frac{1}{{1 - a}}\\  \Rightarrow 1 - a = \frac{1}{x}\\  \Rightarrow a = 1 - \frac{1}{x} = \frac{{x - 1}}{x} \end{array}$

 $y = 1 + b + {b^2} + .............\infty$ এটি একটি অসীম গুণোত্তর শ্রেণি। যেখানে প্রথম পদ =1 এবং সাধারণ অনুপাত = b  প্রশ্নানুযায়ী $\left( { - 1 < b < 1} \right)$ .

অনুরূপে আমরা প্রমাণ করতে পারি $b = \frac{{y - 1}}{y}$.

এখন দেখা যাচ্ছে $1 + ab + {a^2}{b^2} + .............\infty$ একটি অসীম গুণোত্তর শ্রেণি , যার প্রথম পদ = 1এবং সাধারণ অনুপাত = ab . প্রশ্নানুসারে $\left( { - 1 < a < 1} \right)$ এবং $\left( { - 1 < b < 1} \right)$ .সুতরাং  $\left( { - 1 < ab < 1} \right)$ হবে। 

অতএব 

$1 + ab + {a^2}{b^2} + ........\infty  = \frac{1}{{1 - ab}}$

এখন 

$\begin{array}{l} \frac{1}{{1 - ab}}\\  = \frac{1}{{1 - \left( {\frac{{x - 1}}{x}} \right)\left( {\frac{{y - 1}}{y}} \right)}}\\  = \frac{1}{{\frac{{xy - \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)}}{{xy}}}}\\  = \frac{{xy}}{{xy - xy + x + y - 1}}\\  = \frac{{xy}}{{x + y - 1}} \end{array}$

সুতরাং প্রমাণিত যে $1 + ab + {a^2}{b^2} + .............\infty  = \frac{{xy}}{{x + y - 1}}$.

 

                                        সাধারণ আকারে দ্বিপদ উপপাদ্য ( Binomial Theorem in General Form)

n যেকোন বাস্তব সংখ্যা এবং x এর মানের সীমা ( -1 < x < 1 ) হলে , 

$\begin{array}{l} {\left( {1 + x} \right)^n} = 1 + n \cdot x + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{{2!}} \cdot {x^2} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{{3!}} \cdot {x^3} + ..........\\ ......... + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)......\left( {n - r + 1} \right)}}{{r!}} \cdot {x^r} + .......\infty ........(i) \end{array}$

(১)  n এর মান ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা হলে 

n ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা হলে , প্রথম (n + 1) সংখ্যক পদ ছাড়া পরবর্তী সমস্ত পদের মান শুন্য হবে , কারণ (i) থেকে দেখা যাচ্ছে যে ডানপক্ষে (r + 1) তম ও পরবর্তী প্রত্যেক পদে (n - r + 1) উৎপাদকটি থাকে এবং এই উৎপাদকের মান শুন্য হবে যদি r = n +1 হয়। অবশ্য এক্ষেত্রে বিস্তৃতির সব মানেই সত্য , কারণ বিস্তৃতির পদসংখ্যা সসীম। 

(২)  n এর মান ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা না হলে 

n ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা না হয়ে যদি ভগ্নাংশ ( ধনাত্মক বা ঋণাত্মক )হয় , অথবা ঋণাত্মক অখন্ড সংখ্যা হলে (i) বিস্তৃতি অসীম পর্যন্ত অগ্রসর হয়, কারণ বিস্তৃতির ডানপক্ষে কোনো পদের মান শুন্য হবে না , যেহেতু r এর সবসময় কেবল ধনাত্মক অখন্ড মান হয়। সুতরাং বিস্তৃতির অসীম পর্যন্ত সীমাস্থ মান ${\left( {1 + x} \right)^n}$ ; সুতরাং এটি অভিসারী শ্রেণি যখন ( -1 < x < 1 ) 

সুতরাং n ঋণাত্মক অখন্ড সংখ্যা বা ভগ্নাংশ হলে 

$\begin{array}{l} {\left( {1 + x} \right)^n} = 1 + n \cdot x + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{{2!}} \cdot {x^2} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{{3!}} \cdot {x^3} + ..........\\ ......... + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)......\left( {n - r + 1} \right)}}{{r!}} \cdot {x^r} + .......\infty ........(i) \end{array}$

যেখানে ( -1 < x < 1 ) .

 

কয়েকটি প্রয়োজনীয় বিস্তৃতি ( Some useful Expansions )

1. ${\left( {1 - x} \right)^{ - 1}} = 1 + x + {x^2} + {x^3} + ...........\infty$
2. ${\left( {1 + x} \right)^{ - 1}} = 1 - x + {x^2} - {x^3} + ...........\infty$
3. ${\left( {1 - x} \right)^{ - 2}} = 1 + 2x + 3{x^2} + 4{x^3} + ...........\infty$
4. ${\left( {1 + x} \right)^{ - 2}} = 1 - 2x + 3{x^2} - 4{x^3} + ...........\infty$
5. ${\left( {1 - x} \right)^{ - n}} = 1 + nx + \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2!}}{x^2} + \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{3!}}{x^3} + ...........\infty$
6. ${\left( {1 + x} \right)^{ - n}} = 1 - nx + \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2!}}{x^2} - \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{3!}}{x^3} + ...........\infty$

সংক্ষিপ্তকরণ ( Summarisation )

(i)  n এর মান ঋণাত্মক অখন্ড সংখ্যা বা ভগ্নাংশ ( ধনাত্মক বা ঋণাত্মক )হলে ,

$\begin{array}{l} {\left( {1 + x} \right)^n} = 1 + n \cdot x + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{{2!}} \cdot {x^2} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{{3!}} \cdot {x^3} + ..........\\ ......... + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)......\left( {n - r + 1} \right)}}{{r!}} \cdot {x^r} + .......\infty \end{array}$

যেখানে ( -1 < x < 1 ) 

(ii)  বিস্তৃতির সাধারণ পদ = ( r + 1 ) তম পদ = ${t_{r + 1}} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right).....\left( {n - r + 1} \right)}}{{r!}} \cdot {x^r}$

 

উদাহরণ 1. ${\left( {4 + 3a} \right)^{\frac{3}{2}}}$ চতুর্থ পদ পর্যন্ত বিস্তৃতি নির্ণয় করো। 

সমাধান : 

$\begin{array}{l} {\left( {4 + 3a} \right)^{\frac{3}{2}}}\\  = {\left\{ {4\left( {1 + \frac{{3a}}{4}} \right)} \right\}^{\frac{3}{2}}}\\  = {\left( {{2^2}} \right)^{\frac{3}{2}}}\left( {1 + \frac{3}{2} \cdot \frac{{3a}}{4} + \frac{{\frac{3}{2}\left( {\frac{3}{2} - 1} \right)}}{{2!}}{{\left( {\frac{{3a}}{4}} \right)}^2} + \frac{{\frac{3}{2}\left( {\frac{3}{2} - 1} \right)\left( {\frac{3}{2} - 2} \right)}}{{3!}}{{\left( {\frac{{3a}}{4}} \right)}^3} + ........\infty } \right)\\  = {2^3}\left( {1 + \frac{{9a}}{8} + \frac{{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{{9{a^2}}}{{16}} + \frac{{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right)}}{6} \cdot \frac{{27{a^3}}}{{64}} + ........\infty } \right)\\  = 8\left( {1 + \frac{{9a}}{8} + \frac{3}{8} \cdot \frac{{9{a^2}}}{{16}} - \frac{3}{{48}} \cdot \frac{{27{a^3}}}{{64}} + ........\infty } \right)\\  = 8 + 9a + \frac{{27}}{{16}}{a^2} - \frac{{27}}{{128}}{a^3} + ........\infty  \end{array}$

 

উদাহরণ 2. কোন শর্ত সিদ্ধ হলে ${\left( {1 - 2x} \right)^{ - \frac{1}{2}}}$ কে x এর ঘাতের উর্ধক্রমে বিস্তৃত করা সম্ভব ? শর্তটি সিদ্ধ হলে দেখাও যে , এই বিস্তৃতির ( r + 1 ) তম পদ হয় , 

$\frac{{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ...............\left( {2r - 1} \right)}}{{r!}} \cdot {x^r}$                       [H.S.  '90]

সমাধান : ${\left( {1 - 2x} \right)^{ - \frac{1}{2}}}$ কে x এর ঘাতের উর্ধক্রমে বিস্তৃত করার শর্ত হল 

$\left| {2x} \right| < 1 \Rightarrow \left| x \right| < \frac{1}{2} \Rightarrow  - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$

উপরের শর্ত সিদ্ধ হলে  ${\left( {1 - 2x} \right)^{ - \frac{1}{2}}}$ এর বিস্তৃতিতে ( r + 1 ) তম পদ হবে 

$\begin{array}{l} {t_{r + 1}} = \frac{{ - \frac{1}{2}\left( { - \frac{1}{2} - 1} \right)\left( { - \frac{1}{2} - 2} \right).......\left( { - \frac{1}{2} - r + 1} \right)}}{{r!}} \cdot {\left( { - 2x} \right)^r}\\  \Rightarrow {t_{r + 1}} = \frac{{ - \frac{1}{2}\left( { - \frac{3}{2}} \right)\left( { - \frac{5}{2}} \right)........\left( {\frac{{ - 1 - 2r + 2}}{2}} \right)}}{{r!}} \cdot {\left( { - 2x} \right)^r}\\  = \frac{{1 \cdot 3 \cdot 5..........\left( {2r - 1} \right)}}{{r!}} \cdot {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^r} \cdot {\left( { - 2x} \right)^r}\\  = \frac{{1 \cdot 3 \cdot 5..........\left( {2r - 1} \right)}}{{r!}} \cdot {x^r} \end{array}$

( প্রমাণিত )

 

উদাহরণ 3. সমষ্টি নির্ণয় করো $\frac{5}{{3 \cdot 6}} + \frac{{5 \cdot 7}}{{3 \cdot 6 \cdot 9}} + \frac{{5 \cdot 7 \cdot 9}}{{3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 12}} + ..........\infty$

সমাধান : 

$\begin{array}{l} \frac{5}{{3 \cdot 6}} + \frac{{5 \cdot 7}}{{3 \cdot 6 \cdot 9}} + \frac{{5 \cdot 7 \cdot 9}}{{3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 12}} + ..........\infty \\  = \frac{1}{3}\left\{ {\frac{{3 \cdot 5}}{{3 \cdot 6}} + \frac{{3 \cdot 5 \cdot 7}}{{3 \cdot 6 \cdot 9}} + \frac{{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9}}{{3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 12}} + ........\infty } \right\}\\  = \frac{1}{3}\left\{ {\frac{{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2}}}{2}{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} + \frac{{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{2}}}{6}{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^3} + \frac{{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{9}{2}}}{{24}}{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^4} + ......\infty } \right\}\\  = \frac{1}{3}\left\{ {1 + \left( {\frac{3}{2}} \right) \cdot \left( {\frac{2}{3}} \right) + \frac{{\frac{3}{2}\left( {\frac{3}{2} + 1} \right)}}{{2!}}{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} + \frac{{\frac{3}{2}\left( {\frac{3}{2} + 1} \right)\left( {\frac{3}{2} + 2} \right)}}{{3!}}{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^3} + \frac{{\frac{3}{2}\left( {\frac{3}{2} + 1} \right)\left( {\frac{3}{2} + 2} \right)\left( {\frac{3}{2} + 3} \right)}}{{4!}}{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^4} + .....\infty  - 1 - \left( {\frac{3}{2}} \right) \cdot \left( {\frac{2}{3}} \right)} \right\}\\  = \frac{1}{3}\{ {\left( {1 - \frac{2}{3}} \right)^{ - \frac{3}{2}}} - 1 - 1\} \\  = \frac{1}{3}\{ {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - \frac{3}{2}}} - 2\} \\  = \frac{1}{3}\left\{ {{3^{\frac{3}{2}}} - 2} \right\}\\  = \frac{1}{3}\left\{ {3\sqrt 3  - 2} \right\} \end{array}$

 

                                                                সূচক শ্রেণি ( Exponential Series )

আমরা জানি 

$\begin{array}{l} {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} = 1 + n \cdot \frac{1}{n} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{{2!}} \cdot \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{{3!}} \cdot \frac{1}{{{n^3}}} + ........\\  = 1 + 1 + \frac{1}{{2!}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{n}} \right) + \frac{1}{{3!}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{n}} \right) \cdot \left( {1 - \frac{2}{n}} \right) + ........ \end{array}$

এটি একটি অভেদ n এর সব মানে এটি সত্য। যখন n অসীমের দিকে অগ্রসর হয় তখন অভেদটির সীমাস্থ মান হয় 

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {1 + 1 + \frac{1}{{2!}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{n}} \right) + \frac{1}{{3!}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{n}} \right) \cdot \left( {1 - \frac{2}{n}} \right) + ........} \right\}\\  = 1 + 1 + \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{3!}} + ......... \end{array}$

যা একটি অসীম শ্রেণি। এই অসীম শ্রেণিকে সাধারণত e অক্ষর দ্বারা সূচিত করা হয়। একে e শ্রেণি বলে। 

$e = 1 + \frac{1}{{1!}} + \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{3!}} + .........$................(i)

e শ্রেণির দুটি বৈশিষ্ট্য আছে 

1. e এর মান সসীম ও 2 এবং 3 এর মধ্যবর্তী। 
2. e একটি অমেয় রাশি ( incommensurable number ) বা অমূলদ রাশি ( irrational number ).

বৈশিষ্ট্য দুটির প্রমাণ ( Proof of the properties )

e এর মান সসীম ও 2 এবং 3 এর মধ্যবর্তী

প্রমাণ : আমরা জানি $e = 1 + \frac{1}{{1!}} + \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{3!}} + .........$.

অতএব e = 2 + ধনাত্মক রাশি সমূহের সমষ্টি , সুতরাং e > 2

এখন $\frac{1}{{3!}} = \frac{1}{6} < \frac{1}{{{2^2}}},\frac{1}{{4!}} = \frac{1}{{24}} < \frac{1}{{{2^3}}}....$

$\begin{array}{l} e < 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ............\\  \Rightarrow e < 1 + \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 1 + 2 = 3 \end{array}$

দেখা যাচ্ছে 2 < e < 3 

e একটি অমেয় রাশি ( incommensurable number  ) বা অমূলদ রাশি ( irrational number )

প্রমাণ : যদি সম্ভব হয় ধরা যাক e একটি প্রমেয় রাশি ( commensurable number ) বা মূলদ রাশি ( rational number ). মনে করি $e = \frac{m}{n}$, যেখানে m ও n হল ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা এবং $n \ne 0$.

অতএব $\frac{m}{n} = 1 + \frac{1}{{1!}} + \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{3!}} + ........ + \frac{1}{{n!}} + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)!}} + ......$

উভয়পক্ষে n! গুণ করে পাই 

$m \cdot \left( {{n -1}!} \right) = n! + \frac{{n!}}{{1!}} + \frac{{n!}}{{2!}} + \frac{{n!}}{{3!}} + ....1 + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} + .......$

$\frac{1}{{\left( {n + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} + .......$=একটি অখণ্ড সংখ্যা। ....(ii)

[ $m \cdot \left( {n - 1} \right)!$ একটি অখন্ড সংখ্যা এবং $n! + \frac{{n!}}{{1!}} + \frac{{n!}}{{2!}} + \frac{{n!}}{{3!}} + ....1$ রাশিটি একটি অখন্ড সংখ্যা। তাই দুটি রাশির অন্তরও একটি অখন্ড সংখ্যা হবে ]

এখন , $\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} + ............ > \frac{1}{{n + 1}}$ যেহেতু প্রত্যেক পদ ধনাত্মক। 

আবার

 $\begin{array}{l} \frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} + ............\\  < \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)}} + \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^3}}} + ...... \end{array}$

অর্থাৎ 

$\begin{array}{l} \frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} + ............\\  < \frac{{\frac{1}{{n + 1}}}}{{1 - \frac{1}{{n + 1}}}} = \frac{1}{n} \end{array}$

সুতরাং (ii) $\frac{1}{{n + 1}}$ ও $\frac{1}{n}$ এর মধ্যবর্তী। অতএব (ii) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং একটি অখন্ড সংখ্যার মধ্যবতী , যা সম্ভব নয়। তাই e একটি প্রমেয় বা মূলদ রাশি হতে পারেনা। e একটি অমেয় রাশি। 

 

সূচক শ্রেণি ( Exponential Series )

${e^x} = 1 + \frac{x}{{1!}} + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + ........... + \frac{{{x^r}}}{{r!}} + .....\infty$

উপরের অসীম শ্রেণিটিকে সূচক শ্রেণি বলে। 

অভেদটির প্রমাণ 

$\begin{array}{l} {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^{nx}} = 1 + nx \cdot \frac{1}{n} + \frac{{nx \cdot \left( {nx - 1} \right)}}{{2!}} \cdot \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{{nx \cdot \left( {nx - 1} \right) \cdot \left( {nx - 2} \right)}}{{3!}} \cdot \frac{1}{{{n^3}}} + .......\infty \\  \Rightarrow {\left\{ {{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^n}} \right\}^x} = 1 + x + \frac{{x \cdot \left( {x - \frac{1}{n}} \right)}}{{2!}} + \frac{{x \cdot \left( {x - \frac{1}{n}} \right) \cdot \left( {x - \frac{2}{n}} \right)}}{{3!}} + ......\infty  \end{array}$

এখন $n \to \infty$ হলে ${\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} \to e$ আগেই প্রমাণ হয়েছে। 

অতএব n অসীমের দিকে অগ্রসর হলে আমরা পাই 

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left\{ {{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^n}} \right\}^x} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \{ 1 + x + \frac{{x \cdot \left( {x - \frac{1}{n}} \right)}}{{2!}} + \frac{{x \cdot \left( {x - \frac{1}{n}} \right) \cdot \left( {x - \frac{2}{n}} \right)}}{{3!}} + ......\infty \} \\  \Rightarrow {\left\{ {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^n}} \right\}^x} = 1 + \frac{x}{{1!}} + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}}.......\infty \\  \Rightarrow {e^x} = 1 + \frac{x}{{1!}} + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}}.......\infty  \end{array}$

 

${a^x}$ এর বিস্তৃতি ( Expansion of ${a^x}$ )

মনে করি ${\log _e}a = m \Rightarrow {e^m} = a$

$\begin{array}{l} {a^x} = {\left( {{e^m}} \right)^x} = {e^{mx}} = 1 + \frac{{mx}}{{1!}} + \frac{{{{\left( {mx} \right)}^2}}}{{2!}} + \frac{{{{\left( {mx} \right)}^3}}}{{3!}} + .......\infty \\  \Rightarrow {a^x} = 1 + \frac{{({{\log }_e}a)}}{{1!}} \cdot x + \frac{{{{\left( {{{\log }_e}a} \right)}^2}}}{{2!}} \cdot {x^2} + \frac{{{{\left( {{{\log }_e}a} \right)}^3}}}{{3!}} \cdot {x^3} + .......\infty  \end{array}$

 

সংক্ষিপ্তকরণ ( Summarisation )

1. x এর সব মানে ,

$\begin{array}{l} {e^x} = 1 + \frac{x}{{1!}} + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + .......... + \frac{{{x^r}}}{{r!}} + .....\infty \\ {e^{ - x}} = 1 - \frac{x}{{1!}} + \frac{{{x^2}}}{{2!}} - \frac{{{x^3}}}{{3!}} + ......... + {\left( { - 1} \right)^r} \cdot \frac{{{x^r}}}{{r!}} + ......\infty  \end{array}$

2.

$\begin{array}{l} (i)e = 1 + \frac{1}{{1!}} + \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{3!}} + ..........\infty \\ (ii){e^{ - 1}} = 1 - \frac{1}{{1!}} + \frac{1}{{2!}} - \frac{1}{{3!}} + ...........\infty  \end{array}$

3. ${a^x} = 1 + \frac{{({{\log }_e}a)}}{{1!}} \cdot x + \frac{{{{\left( {{{\log }_e}a} \right)}^2}}}{{2!}} \cdot {x^2} + \frac{{{{\left( {{{\log }_e}a} \right)}^3}}}{{3!}} \cdot {x^3} + .......\infty$

 

উদাহরণ 1. দেখাও যে $m \ne 1$ হলে ,

$1 + \frac{{1 + m}}{{2!}} + \frac{{1 + m + {m^2}}}{{3!}} + \frac{{1 + m + {m^2} + {m^3}}}{{4!}} + .........\infty  = \frac{{{e^m} - e}}{{m - 1}}$               [H.S. '84]

সমাধান : মনে করি n তম পদ =${t_n}$.

অতএব ${t_n} = \frac{{1 + m + {m^2} + ......... + {m^{n - 1}}}}{{n!}} = \frac{{1 - {m^n}}}{{1 - m}} \cdot \frac{1}{{n!}}[m \ne 1]$

${t_1} = \frac{{1 - m}}{{1 - m}} \cdot \frac{1}{{1!}};{t_2} = \frac{{1 - {m^2}}}{{1 - m}} \cdot \frac{1}{{2!}};{t_3} = \frac{{1 - {m^3}}}{{1 - m}} \cdot \frac{1}{{3!}}$

প্রদত্ত অসীম শ্রেণিটি হল 

$\begin{array}{l} \frac{{1 - m}}{{1 - m}} \cdot \frac{1}{{1!}} + \frac{{1 - {m^2}}}{{1 - m}} \cdot \frac{1}{{2!}} + \frac{{1 - {m^3}}}{{1 - m}} \cdot \frac{1}{{3!}} + ........\infty \\  = \frac{1}{{1 - m}}\left[ {\frac{{\left( {1 - m} \right)}}{{1!}} + \frac{{\left( {1 - {m^2}} \right)}}{{2!}} + \frac{{\left( {1 - {m^3}} \right)}}{{3!}} + ......\infty } \right]\\  = \frac{1}{{1 - m}}\left[ {\left( {\frac{1}{{1!}} + \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{3!}} + .....\infty } \right) - \left( {\frac{m}{{1!}} + \frac{{{m^2}}}{{2!}} + \frac{{{m^3}}}{{3!}} + .....\infty } \right)} \right]\\  = \frac{1}{{1 - m}}\left[ {\left( {1 + \frac{1}{{1!}} + \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{3!}} + .....\infty } \right) - \left( {1 + \frac{m}{{1!}} + \frac{{{m^2}}}{{2!}} + \frac{{{m^3}}}{{3!}} + .....\infty } \right)} \right]\\  = \frac{1}{{1 - m}}\left[ {e - {e^m}} \right]\\  = \frac{{{e^m} - e}}{{m - 1}} \end{array}$

 

উদাহরণ 2. $\frac{{1 - 2x - 3{x^2}}}{{{e^x}}}$ এর বিস্তৃতিতে ${x^n}$  এর সহগ নির্ণয় করো।                                                                                                                                                                                                        [H.S. '00]

সমাধান : 

$\begin{array}{l} \frac{{1 - 2x - 3{x^2}}}{{{e^x}}}\\  = \left( {1 - 2x - 3{x^2}} \right){e^{ - x}}\\  = \left( {1 - 2x - 3{x^2}} \right)\left( {1 - \frac{x}{{1!}} + \frac{{{x^2}}}{{2!}} - \frac{{{x^3}}}{{3!}} + ....... + {{\left( { - 1} \right)}^{n - 2}} \cdot \frac{{{x^{n - 2}}}}{{\left( {n - 2} \right)!}} + {{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}} \cdot \frac{{{x^{n - 1}}}}{{\left( {n - 1} \right)!}} + {{\left( { - 1} \right)}^n}\frac{{{x^n}}}{{n!}} + ....\infty } \right) \end{array}$

ওপরের বিস্তৃতি থেকে দেখা যায় ${x^n}$ এর সহগ হল 

$\begin{array}{l} {\left( { - 1} \right)^n} \cdot \frac{1}{{n!}} - 2{\left( { - 1} \right)^{n - 1}} \cdot \frac{1}{{\left( {n - 1} \right)!}} - 3{\left( { - 1} \right)^{n - 2}} \cdot \frac{1}{{\left( {n - 2} \right)!}}\\  = {\left( { - 1} \right)^n} \cdot \frac{1}{{n!}}\left[ {1 + 2n - 3n\left( {n - 1} \right)} \right]\\  = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n!}}\left[ {1 + 5n - 3{n^2}} \right] \end{array}$

 

 

                                                              লগারিদম শ্রেণি ( Logarithmic Series )

যদি $\left( { - 1 < x \le 1} \right)$ হয় , তবে 

$x - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4} + ....... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}\frac{{{x^n}}}{n} + .......\infty$

এই শ্রেণিটি অভিসারী হয় এবং এর সমষ্টিকে ${\log _e}\left( {1 + x} \right)$ দ্বারা সূচিত করা হয়। অর্থাৎ 

${\log _e}\left( {1 + x} \right) = x - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4} + ....... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}\frac{{{x^n}}}{n} + .......\infty$                $\left( { - 1 < x \le 1} \right)$.......(i)

উপরের বিস্তৃতিকে লগারিদম শ্রেণি ( Logarithmic Series ) বলে। 

 

কয়েকটি বিশেষ ক্ষেত্র ( Some Special Case )

1.  (i) বিস্তৃতিতে -x  , x এর স্থানে বসিয়ে পাই 

$\begin{array}{l} {\log _e}\left( {1 - x} \right) =  - x - \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4} - ..............\infty \\ \left( { - 1 \le x < 1} \right)     \end{array}$

                                                                           .................(ii)

2.  (i) বিস্তৃতিতে x = 1 বসিয়ে পাই 

$\begin{array}{l} {\log _e}\left( {1 + 1} \right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ..............\infty \\  \Rightarrow {\log _e}2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ..............\infty  \end{array}$

                                                                                  ..................(iii)

3.  (i) -(ii) করে পাই যখন ( -1 < x < 1 )

$\begin{array}{l} {\log _e}\left( {1 + x} \right) - {\log _e}\left( {1 - x} \right)\\  = \left( {x - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4} + .......\infty } \right) - \left( { - x - \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4} - .......\infty } \right)\\  \Rightarrow {\log _e}\left( {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right) = 2\left( {x + \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^5}}}{5} + .......\infty } \right)\\  \Rightarrow \frac{1}{2}{\log _e}\left( {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right) = \left( {x + \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^5}}}{5} + ......\infty } \right) \end{array}$

                                                                                  ......................(iv)

4.  (iv) নং সমীকরণে মনে করি $\frac{{1 + x}}{{1 - x}} = \frac{m}{n}$ (m > n ) .

অর্থাৎ $\frac{{1 + x + 1 - x}}{{1 + x - 1 + x}} = \frac{{m + n}}{{m - n}} \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{{m + n}}{{m - n}} \Rightarrow x = \frac{{m - n}}{{m + n}}$

${\log _e}\frac{m}{n} = 2\left[ {\left( {\frac{{m - n}}{{m + n}}} \right) + \frac{1}{3}{{\left( {\frac{{m - n}}{{m + n}}} \right)}^3} + \frac{1}{5}{{\left( {\frac{{m - n}}{{m + n}}} \right)}^5} + ......\infty } \right]$

                                                                                          .................(v)

5.  (v) নং সমীকরণে n = 1 বসিয়ে পাই 

${\log _e}m = 2\left[ {\left( {\frac{{m - 1}}{{m + 1}}} \right) + \frac{1}{3}{{\left( {\frac{{m - 1}}{{m + 1}}} \right)}^3} + \frac{1}{5}{{\left( {\frac{{m - 1}}{{m + 1}}} \right)}^5} + ......\infty } \right]$

                                                                                          ....................(vi)

6.  (v) নং সমীকরণে m = n + 1 বসিয়ে পাই

$\begin{array}{l} {\log _e}\frac{{n + 1}}{n} = 2\left[ {\left( {\frac{{n + 1 - n}}{{n + 1 + n}}} \right) + \frac{1}{3}{{\left( {\frac{{n + 1 - n}}{{n + 1 + n}}} \right)}^3} + \frac{1}{5}{{\left( {\frac{{n + 1 - n}}{{n + 1 + n}}} \right)}^5} + ......\infty } \right]\\  \Rightarrow {\log _e}\left( {n + 1} \right) - {\log _e}n = 2\left[ {\frac{1}{{\left( {2n + 1} \right)}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^3}}} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^5}}}} \right] \end{array}$

                                                                                              ..................(vii)

7.  (i) নং সমীকরণে $x = \frac{1}{n}$ এবং $x = ( - \frac{1}{n})$ বসিয়ে পাই 

$\begin{array}{l} {\log _e}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{2} \cdot {\left( {\frac{1}{n}} \right)^2} + \frac{1}{3} \cdot {\left( {\frac{1}{n}} \right)^3} - \frac{1}{4}{\left( {\frac{1}{n}} \right)^4} + ...........\infty \\  \Rightarrow {\log _e}\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{{2{n^2}}} + \frac{1}{{3{n^3}}} - \frac{1}{{4{n^4}}} + ..........\infty \\  \Rightarrow {\log _e}\left( {n + 1} \right) - {\log _e}n = \frac{1}{n} - \frac{1}{{2{n^2}}} + \frac{1}{{3{n^3}}} - \frac{1}{{4{n^4}}} + ..........\infty  \end{array}$

                                                                                                    .........(viii)

$\begin{array}{l} {\log _e}\left( {1 - \frac{1}{n}} \right) = ( - \frac{1}{n}) - \frac{1}{2} \cdot {\left( { - \frac{1}{n}} \right)^2} + \frac{1}{3} \cdot {\left( { - \frac{1}{n}} \right)^3} - \frac{1}{4}{\left( { - \frac{1}{n}} \right)^4} + ...........\infty \\  \Rightarrow {\log _e}\left( {\frac{{n - 1}}{n}} \right) =  - \frac{1}{n} - \frac{1}{{2{n^2}}} - \frac{1}{{3{n^3}}} - \frac{1}{{4{n^4}}} - ..........\infty \\  \Rightarrow {\log _e}\left( {n - 1} \right) - {\log _e}n =  - \frac{1}{n} - \frac{1}{{2{n^2}}} - \frac{1}{{3{n^3}}} - \frac{1}{{4{n^4}}} - ..........\infty \\  \Rightarrow {\log _e}n - {\log _e}\left( {n - 1} \right) = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2{n^2}}} + \frac{1}{{3{n^3}}} + \frac{1}{{4{n^4}}} + ..........\infty  \end{array}$

                                                                                       ........................(ix)

(viii) + (ix) করে পাই 

${\log _e}\left( {n + 1} \right) - {\log _e}\left( {n - 1} \right) = 2\left[ {\frac{1}{n} + \frac{1}{{3{n^3}}} + \frac{1}{{5{n^5}}} + ........\infty } \right]$

                                                                                               ...................(x)

 

আমরা জানি ${\log _{10}}x = {\log _e}x \times {\log _{10}}e = \frac{{{{\log }_e}x}}{{{{\log }_e}10}} = \mu  \cdot {\log _e}x$ এই সমীকরণ অনুযায়ী আমরা যেকোন সংখ্যার লগারিদমের মান নির্ণয় করতে পারি। 

যেখানে $\mu  = \frac{1}{{{{\log }_e}10}} = \frac{1}{{2.3025822}} = 0.4342945..$

সংক্ষিপ্তকরণ ( Summarisation )

1. ${\log _e}\left( {1 + x} \right) = x - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4} + ...........\infty$ যখন $\left( { - 1 < x \le 1} \right)$
2. ${\log _e}\left( {1 - x} \right) =  - x - \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4} - ...........\infty$ যখন $\left( { - 1 \le x < 1} \right)$
3. $\frac{1}{2}{\log _e}\frac{{1 + x}}{{1 - x}} = x + \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^5}}}{5} + .............\infty$ যখন ( -1 < x < 1)
4. ${\log _e}2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ............\infty$
5. ${\log _{10}}m = \mu {\log _e}m$ যেখানে $\mu  = \frac{1}{{{{\log }_e}10}} = 0.4342945$, m যেকোন ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা। 

 

উদাহরণ 1. $y = x + \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^4}}}{4} + .....$ হলে দেখাও যে , $x = y - \frac{{{y^2}}}{{1!}} + \frac{{{y^3}}}{{2!}} - \frac{{{y^4}}}{{3!}} + .......$       [H.S.  '89]

সমাধান :

$\begin{array}{l} y = x + \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^4}}}{4} + ......\\  \Rightarrow  - y =  - x - \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4} - ......\\  \Rightarrow  - y = {\log _e}\left( {1 - x} \right)\\  \Rightarrow 1 - x = {e^{ - y}}\\  \Rightarrow 1 - x = 1 - \frac{y}{{1!}} + \frac{{{y^2}}}{{2!}} - \frac{{{y^3}}}{{3!}} + \frac{{{y^4}}}{{4!}} - ......\\  \Rightarrow  - x =  - \left( {\frac{y}{{1!}} - \frac{{{y^2}}}{{2!}} + \frac{{{y^3}}}{{3!}} - \frac{{{y^4}}}{{4!}} + ......} \right)\\  \Rightarrow x = y - \frac{{{y^2}}}{{2!}} + \frac{{{y^3}}}{{3!}} - \frac{{{y^4}}}{{4!}} + ..... \end{array}$

 

উদাহরণ 2.  দেখাও যে ${\log _2}e - {\log _4}e + {\log _8}e - {\log _{16}}e + .......\infty  = 1$       [H.S.   '94,'96,'00]

সমাধান : 

$\begin{array}{l} {\log _2}e - {\log _4}e + {\log _8}e - {\log _{16}}e + .......\infty \\  = \frac{1}{{{{\log }_e}2}} - \frac{1}{{{{\log }_e}4}} + \frac{1}{{{{\log }_e}8}} - \frac{1}{{{{\log }_e}16}} + .....\infty \\  = \frac{1}{{{{\log }_e}2}} - \frac{1}{{{{\log }_e}{2^2}}} + \frac{1}{{{{\log }_e}{2^3}}} - \frac{1}{{{{\log }_e}{2^4}}} + ......\infty \\  = \frac{1}{{{{\log }_e}2}} - \frac{1}{{2{{\log }_e}2}} + \frac{1}{{3{{\log }_e}2}} - \frac{1}{{4{{\log }_e}2}} + ........\infty \\  = \frac{1}{{{{\log }_e}2}}\left( {1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ......\infty } \right)\\  = \frac{1}{{{{\log }_e}2}} \times {\log _e}2 = 1 \end{array}$

 

উদাহরণ 3. দেখাও যে $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{{1 + 2}}{{{4^2}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{1 + 2 + {2^2}}}{{{4^3}}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{{1 + 2 + {2^2} + {2^3}}}{{{4^4}}} + .....\infty  = {\log _e}\left( {\frac{3}{2}} \right)$

                                                                                                                 [H.S.   '92]

সমাধান : এই অসীম শ্রেণির n তম পদ ${t_n}$ হলে 

$\begin{array}{l} {t_n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{{1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ..... + {2^{n - 1}}}}{{{4^n}}}\\  \Rightarrow {t_n} = \frac{1}{{n{4^n}}} \cdot \frac{{{2^n} - 1}}{{2 - 1}} = \frac{1}{n} \cdot \frac{{{2^n} - 1}}{{{4^n}}} = \frac{1}{n} \cdot \left( {\frac{1}{{{2^n}}} - \frac{1}{{{4^n}}}} \right) \end{array}$

অতএব ${t_1} = \frac{1}{1} \cdot \left( {\frac{1}{{{2^1}}} - \frac{1}{{{4^1}}}} \right),{t_2} = \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{4^2}}}} \right),{t_3} = \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{1}{{{2^3}}} - \frac{1}{{{4^3}}}} \right)$

এখন 

$\begin{array}{l} {t_1} + {t_2} + {t_3} + {t_4} + ........\infty \\  = \frac{1}{1} \cdot \left( {\frac{1}{{{2^1}}} - \frac{1}{{{4^1}}}} \right) + \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{4^2}}}} \right) + \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{1}{{{2^3}}} - \frac{1}{{{4^3}}}} \right) + ........\infty \\  = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{{2^3}}} + ........\infty } \right) - \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{{4^3}}} + ........\infty } \right)\\  =  - {\log _e}\left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + {\log _e}\left( {1 - \frac{1}{4}} \right)\\  =  - {\log _e}\left( {\frac{1}{2}} \right) + {\log _e}\left( {\frac{3}{4}} \right)\\  = {\log _e}\left( {\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}} \right)\\  = {\log _e}\left( {\frac{3}{4} \times 2} \right) = {\log _e}\left( {\frac{3}{2}} \right) \end{array}$