2022
MATHEMATICS
Time — 3 Hours 15 Minutes
(First 15 minutes for reading the question paper)
Full Marks — 90 — For Regular Candidates
Full Marks — 100 — For External Candidates
Special credit will be given for answers which are brief and to the point.
Marks will be deducted for spelling mistake, untidiness and bad handwriting.
[1, 2, 3, 4 প্রশ্নগুলির উত্তর প্রশ্নসংখ্যা লিখে অবশ্যই ক্রমানুযায়ী উত্তরপত্রের প্রথম দিকে লিখতে হবে । এর জন্য প্রয়োজনবোধে গণনা ও চিত্র অঙ্কন উত্তরপত্রের ডানদিকে মার্জিন টেনে করতে হবে । কোনো প্রকার সারণি বা গণকযন্ত্র ব্যবহার করা যাবে না । গণনার প্রয়োজনে [tex] \pi [/tex] -এর আসন্ন মান [tex]{{22} \over 7} [/tex] ধরে নিতে হবে । দরকার মতো গ্রাফ পেপার দেওয়া হবে । পাটিগণিতের অঙ্ক বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে করা যেতে পারে ।]
[দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য 11 নং প্রশ্নের বিকল্প দেওয়া আছে 7 নং পৃষ্ঠায় ]
[ অতিরিক্ত প্রশ্ন নং 13 কেবলমাত্র বহিরাগত পরীক্ষার্থীদের জন্য 8 নং পৃষ্ঠায় দেওয়া আছে ]
1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো : 1 x 6 = 6
(i) একটি গ্রামের বর্তমান জনসংখ্যা P এবং প্রতিবছর জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার 2r% হলে, n বছর পর জনসংখ্যা হবে :
(a) [tex] P{\left( {1 + {r \over {100}}} \right)^n} [/tex] (b) [tex] P{\left( {1 + {r \over {50}}} \right)^n} [/tex] (c) [tex] P{\left( {1 + {r \over {100}}} \right)^{2n}} [/tex] (d) [tex] P{\left( {1 - {r \over {100}}} \right)^n} [/tex]
(ii) ফতিমা, শ্রেয়া এবং স্মিতা তিনজনে মোট 6,000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে । এক বছর পরে ফতিমা, শ্রেয়া এবং স্মিতা যথাক্রমে লভ্যাংশের 50 টাকা, 100 টাকা এবং 150 টাকা পায় । স্মিতা ঐ ব্যবসায় নিয়োজিত করে :
(a) 1,000 টাকা (b) 2,000 টাকা (c) 3,000 টাকা (d) 4,000 টাকা
(iii) A : B = 2 : 3, B : C = 5 : 8, C : D = 6 : 7 হলে, A : D = কতো ?
(a) 2 : 7 (b) 7 : 2 (c) 5 : 8 (d) 5 : 14
(iv) 'O' কেন্দ্রীয় বৃত্তে PQ একটি ব্যাস; R বৃত্তের ওপর একটি বিন্দু এবং PR = RQ হ'লে [tex] \angle RPQ [/tex] এর মান :
(a) 30° (b) 90° (c) 60° (d) 45°
(v) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ বা ছেদ করলে বৃত্ত দুটির সাধারণ স্পর্শক সংখ্যা :
(a) 2 টি (b) 1টি (c) 3 টি (d) 4 টি
(vi) 2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন :
(a) [tex] {{32 \pi r^3} \over {3}} [/tex] ঘন একক (b) [tex] {{16 \pi r^3} \over {3}} [/tex] ঘন একক (c) [tex] {{8 \pi r^3} \over {3}} [/tex] ঘন একক (d) [tex] {{64 \pi r^3} \over {3}} [/tex] ঘন একক
2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে কোনো পাঁচটি ) : 1 x 5 = 5
(i) বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার r% এবং প্রথম বছরের মূলধন P টাকা হলে, দ্বিতীয় বছরের মূলধন ——— ।
(ii) [tex] 7 \sqrt {11} [/tex] একটি ——— সংখ্যা ।
(iii) কোনো গোলকের ব্যাসার্ধ r এবং আয়তন v হলে, [tex] v \propto [/tex] ——— ।
(iv) দুটি ত্রিভুজ সদৃশ হবে, যদি তাদের অনুরূপ বাহুগুলি ——— হয় ।
(v) একটি চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পুরক হলে, চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি ——— ।
(vi) সমকোণী চৌপলের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান হলে সেই ঘনবস্তুর বিশেষ নাম ——— ।
3. সত্য বা মিথ্যা লেখো ( যে কোনো পাঁচটি ) : 1 x 5 = 5
(i) অংশীদারি ব্যবসায় কমপক্ষে 3 জন লোকের দরকার ।
(ii) আসল ও সবৃদ্ধিমূলের মধ্যে সম্পর্কটি হল আসল < সবৃদ্ধিমূল ।
(iii) x2 = 100 সমীকরণের দুটি বীজ হল ±10 .
(iv) a ও b ব্যস্ত ভেদে থাকলে, [tex] {a \over b} [/tex] = ধ্রুবক হবে ।
(v) দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের একটি মাত্র সাধারণ স্পর্শক থাকবে ।
(vi) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা, ব্যাসার্ধ এবং তির্যক উচ্চতা সর্বদা একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুত্রয় ।
4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও ( যে কোনো দশটি ) : 2 x 10 = 20
(i) বার্ষিক সুদ আসলের [tex] {1 \over {16}} [/tex] অংশ হলে, 8 মাসে 690 টাকার সুদ কতো হবে ?
(ii) কোনো স্থানের লোকসংখ্যা 13,310 জন ছিল । কি হারে বৃদ্ধি পেলে 3 বছরে 17,280 জন হবে ?
(iii) কোনো ব্যবসাতে A, B, C এর মূলধনের অনুপাত [tex] {1 \over x } : {1 \over y } : {1 \over z }[/tex], বছরের শেষে ব্যবসাতে z টাকা ক্ষতি হয়েছে । C এর ক্ষতির পরিমাণ নির্ণয় করো ।
(iv) [tex] 7x^2 - 66x + 27 = 0 [/tex] সমীকরণটির বীজদ্বয়ের যোগফল ও গুণফলের অনুপাত কতো ?
(v) হরের করণী নিরসন করো :
[tex] {{12} \over { \sqrt {15} - 3}} [/tex]
(vi) 'O' কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি. এবং AB একটি জ্যা এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি., 'O' বিন্দু থেকে AB জ্যা এর দূরত্ব কতো ?
(vii) AOB বৃত্তের একটি ব্যাস যার কেন্দ্র O, C বৃত্তের উপর একটি বিন্দু । [tex] \angle OBC = 60°[/tex], হলে [tex] \angle OCA [/tex] এর মান নির্ণয় করো ।
(viii) একটি 'O' কেন্দ্রীয় বৃত্ত যার কেন্দ্র থেকে 26 সেমি. দূরত্বে অবস্থিত P বিন্দু থেকে অঙ্কিত বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 10 সেমি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কতো ?
(ix) [tex] \triangle ABC [/tex] এর [tex] DE\parallel BC [/tex],যেখানে D ও E যথাক্রমে AB ও AC বাহুর ওপর অবস্থিত । যদি AD = 5 সেমি., DB = 6 সেমি. এবং AE = 7.5 সেমি. হয়, তবে AC এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো ।
(x) দুটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতার অনুপাত 1 : 2, ভূমির পরিধির অনুপাত 3 : 4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করো ।
(xi) একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায়, তা নির্ণয় করো ।
(xii) একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য [tex] 4 \sqrt 3 [/tex] সেমি. । ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো ।
5. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 5 x 2 = 10
(i) কোনো মূলধনের একই বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হারে 7 বছরে সুদে-আসলে 7,100 টাকা এবং 4 বছরে সুদে-আসলে 6,200 টাকা হলে মূলধন ও বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হার নির্ণয় করো ।
(ii) তিন বন্ধু যথাক্রমে 8,000 টাকা, 10,000 টাকা ও 12,000 টাকা সংগ্রহ করে এবং ব্যাঙ্ক থেকে কিছু টাকা ঋণ নিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করেন । বছরের শেষে তারা দেখলেন 13,400 টাকা লাভ হয়েছে । সেই লাভ থেকে ব্যাঙ্কের বছরের কিস্তি 5,000 টাকা শোধ দেওয়ার পর বাকি টাকা তারা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নিলেন । লভ্যাংশ থেকে কে কতো টাকা পাবেন ?
(iii) 20,000 টাকার বার্ষিক 5% সুদের হারে, 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য কতো হবে ?
6. যে কোনো দুটি প্রশ্নের সমাধান কারো : 3 x 2 = 6
(i) [tex] {1 \over {a+b+x}} = {1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over x}, x \ne 0. - (a+b) [/tex]
(ii) সমীকরণের বীজদ্বয় - 4, 3 হলে দ্বিঘাত সমীকরণটি নির্ণয় করো হলে ।
(iii) [tex] m + {1 \over m} = \sqrt 3 [/tex] হলে, (a) [tex] m^2 + {1 \over m^2} [/tex] এবং (b) [tex] m^3 + {1 \over m^3} [/tex] এদের সরলতম মান নির্ণয় করো ।
7. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 3 x 2 = 6
(i) সরলতম মান নির্ণয় করো ।
[tex] {\sqrt 5 \over { \sqrt 3 + \sqrt 2}} - {{3 \sqrt 3} \over {\sqrt 2 + \sqrt 5}} + {{ 2 \sqrt 2} \over {\sqrt 3 + \sqrt 5}} [/tex]
(ii) যদি [tex] a = {{\sqrt 5 + 1} \over {\sqrt 5 - 1}} [/tex] এবং ab = 1 হয়, তবে [tex] \left( {{a \over b} + {b \over a}} \right) [/tex] এর মান নির্ণয় করো ।
(iii) 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন । ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কত দিনে চাষ করতে পারবেন, তা নির্ণয় করো ।
8. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 3
(i) যদি a : b = b : c হয়, তবে প্রমাণ করো
[tex] {{abc{{(a + b + c)}^3}} \over {{{(ab + bc + ca)}^3}}} = 1[/tex].
(ii) [tex] {a \over {1 - a}} + {b \over {1 - b}} + {c \over {1 - c}} = 1[/tex] হলে, [tex] {1 \over {1 - a}} + {1 \over {1 - b}} + {1 \over {1 - c}} [/tex] এর মান নির্ণয় করো ।
9. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 5
(i) প্রমাণ কর যে বৃত্তস্থ চতুর্ভূজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক ।
(ii) প্রমাণ করো ব্যাস নয় এরূপ কোনো জ্যা -এর উপর বৃত্তের কেন্দ্র থেকে লম্ব অঙ্কন করা হলে, ঐ লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখন্ডিত করে ।
10. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 3
(i) ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ । DE জ্যা [tex]\angle BDC [/tex] এর বহির্দ্বিখণ্ডক । প্রমাণ করো যে AE (বা বর্ধিত AE) [tex]\angle BAC [/tex] এর বহির্দ্বিখণ্ডক ।
(ii) O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা-কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে, প্রমাণ করো যে [tex] \angle AOC - \angle BOD = 2 \angle BPC [/tex].
11. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 5
(i) একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করো যার সমকোণ সংলগ্ন বাহুদুটির দৈর্ঘ্য 4 সেমি. ও 8 সেমি । ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন করো । (কেবলমাত্র অঙ্কনচিহ্ন দিতে হবে ।)
(ii) 2.6 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত অঙ্কন করো এবং ঐ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 6 সেমি. দূরে, ঐ বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তটির একটি স্পর্শক অঙ্কন করো ।
12. যে কোনো চারটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 4x4=16
(i) 2.1 মিটার দীর্ঘ, 1.5 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তঘনাকার চৌবাচ্চার অর্ধেক জলপূর্ণ আছে । ওই চৌবাচ্চায় আরও 630 জল ঢাললে জলের উচ্চতা কতটা বৃদ্ধি পাবে নির্ণয় করো ।
(ii) একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা উহার ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ । যদি উচ্চতা 6 গুণ হতো, তবে চোঙটির আয়তন 539 ঘন ডেসিমি. বেশী হতো, চোঙটির উচ্চতা কতো ।
(iii) লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবুতে 11 জন থাকতে পারে । প্রত্যেক লোকের জন্য ভূমিতে 4 বর্গমিটার জয়গা লাগে এবং 20 ঘনমিটার বাতাসের প্রয়োজন । ঠিক এই 11 জন লোকের জন্য নির্মিত তাঁবুর উচ্চতা নির্ণয় করো ।
(iv) 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গোলাকার গুলি তৈরী করা যাবে তা নির্ণয় করো ।
(v) একটি চা-এর বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 7.5 ডেসিমি., 6 ডেসিমি. এবং 5.4 ডেসিমি. । চা ভর্তি বাক্সটির ওজন 52 কিগ্রা. 350 গ্রাম । কিন্তু খালি অবস্থায় বাক্সটির ওজন 3.75 কিগ্রা. হলে, 1 ঘন ডেসিমি. চা -এর ওজন কত হবে তা নির্ণয় করো ।
[দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য বিকল্প প্রশ্ন ]
11. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 5
(i) একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদুটির দৈর্ঘ্যের পরিমাপ দেওয়া থাকলে ঐ ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন প্রণালী বর্ণনা করো ।
(ii) কোনো বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তের একটি স্পর্শকের অঙ্কন প্রণালী বর্ণনা করো ।
[বহিরাগত পরীক্ষার্থীদের জন্য অতিরিক্ত প্রশ্ন ]
13 (a) যে কোনো তিনটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 2x3=6
(i) 2x2 + ax + 8 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 1 হলে, a এর মান নির্ণয় করো ।
(ii) শতকরা বার্ষিক সরল সুদের হার কতো হলে কোনো টাকার 10 বছরের সুদ সবৃদ্ধিমূলের [tex] {2 \over 5} অংশ হবে তা নির্ণয় করো ।
(iii) [tex] \sqrt 8 [/tex], [tex] \sqrt {18} [/tex], [tex] \sqrt {27} [/tex], [tex] \sqrt {72} [/tex] এর মধ্যে কোনটি সদৃশকরণী নয় ।
(iv) যে শঙ্কুর ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 20 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা 25 সেমি. তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো ।
(b) যে কোনো চারটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 1x4=4
(i) নির্দিষ্ট পরিমাণ টাকার বার্ষিক নির্দিষ্ট শতকরা হার সুদে 1 বছরে চক্রবৃদ্ধি সুদের পরিমাণ এবং সরল সুদের পরিমাণ কি হবে ?
(ii) অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান কতো ?
(iii) 5, 10 এর তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করো ।
(iv) একতলবিশিষ্ট ঘনবস্তুর নাম কি ?
(v) বৃত্তস্থ চতুর্ভূজের বিপরীত কোণগুলি কি রকম ?
*****
