পিথাগোরাসের উপপাদ্য

পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)

পিথাগোরাসের উপপাদ্য :- কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান । 

ধরা যাক $ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার $\angle A$ সমকোণ ।

প্রমাণ করতে হবে $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$

অঙ্কন : সমকৌনিক বিন্দু A থেকে অতিভুজ BC এর উপরে AD লম্ব অঙ্কন করা হল যা BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে । 

প্রমাণ : সমকোণী ত্রিভুজ ABC এর অতিভুজ BC এর উপরে AD লম্ব । 

অতএব ত্রিভুজ ABD ও ত্রিভুজ ABC সদৃশ 

সুতরাং $\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BD}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2} = BD \cdot BC$ ......(i)

আবার ত্রিভুজ CAD ও ত্রিভুজ CBA সদৃশ 

সুতরাং $\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{DC}}{{AC}} \Rightarrow A{C^2} = BC \cdot DC$.............(ii)

এখন (i) + (ii) করে পাই 

$\begin{array}{l} A{B^2} + A{C^2}\\  = BD \cdot BC + BC \cdot DC\\  = BC \cdot \left( {BD + DC} \right)\\  = BC \cdot BC\\  = B{C^2} \end{array}$

অতএব প্রমাণিত $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$

আজ থেকে অনেক পূর্বে ( প্রায় 800 BC ) একজন প্রাচীন ভারতীয় গণিতজ্ঞ বৌদ্ধায়ন পিথাগোরাসের উপপাদ্যটিকে নিন্মরূপে বলেছিলেন । তিনি বলেছিলেন একটি আয়তকার চিত্রের কর্ণের উপর বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল উহার উভয় বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান । 

[ The diagonal of a rectangle produces by itself the same area as produced by its both sides ( i.e length and breath )]

এই জন্য এই উপপাদ্যটিকে কখনও কখনও বৌদ্ধায়নের উপপাদ্য বলা হয় । 

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য  :- কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে, ত্রিভুজটি সমকোণী হবে, যার বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণ সমকোণ হবে ।

মনে করি ABC ত্রিভুজের AB বাহুর উপরে অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল BC ও AC বাহুর উপরে অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সঙ্গে সমান। অর্থাৎ , $A{B^2} = B{C^2} + A{C^2}$

প্রমাণ করতে হবে $\angle ACB = {90^ \circ }$ = 1 সমকোণ 

অঙ্কন : CB এর সমান করে FE সরলরেখা অঙ্কন করলাম। FE বাহুর উপরে F বিন্দুতে লম্ব অঙ্কন করলাম এবং সেই লম্ব থেকে CA বাহুর সমান করে FD অংশ কেটে নিলাম এবং DE বিন্দুদ্বয় যোগ করলাম। 

প্রমাণ : 

$\begin{array}{l} A{B^2} = B{C^2} + A{C^2}\\  = E{F^2} + D{F^2} \end{array}$

( যেহেতু অঙ্কনানুসারে EF = BC এবং AC = DF )

$= D{E^2}$

এখন ত্রিভুজ ABC ও ত্রিভুজ DEF এর AB = DE , BC = EF এবং AC = DF 

অতএব ত্রিভুজ ABC $\cong$ ত্রিভুজ DEF 

অতএব $\angle ACB = \angle DFE = {90^ \circ }$= 1 সমকোণ ( যেহেতু $DF \bot EF$ অঙ্কনানুসারে )

অতএব $\angle ACB = {90^ \circ }$ = 1 সমকোণ 

উদাহরণ 1.  $ABC$ সমকোণী ত্রিভুজের $\angle ABC$ = এক সমকোণ এবং $AB = 5$ সেমি এবং $BC =12$ সেমি । $ABC$ ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ কত ?

সমাধান : যেহেতু $\angle ABC$ = এক সমকোণ, সুতরাং $AC$ হল $\triangle ABC$ -এর পরিবৃত্তের ব্যাস । এখন সমকোণী ত্রিভুজ $ABC$ থেকে পাই —

$AC^2=BC^2+AB^2= \left( {12} \right)^2+5^2=144+25$

         $=169=\left( {13} \right)^2$ 

$\therefore AC=13$

$\therefore \triangle ABC$-এর পরিব্যাসার্ধ =${{13} \over 2}$ সেমি = $6.5$ সেমি.  

উদাহরণ 2.  $ABC$ সমকোণী ত্রিভুজের $\angle B$ সমকোণ এবং $BD \bot AC$ হলে নীচের সম্পর্কগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক হবে ?

(i) $BC^2+DC^2=AC^2$

(ii) $AB^2-BC^2=AD^2-CD^2$

(iii) $BC^2-BD^2=AB^2-AD^2$

সমাধান : $\triangle ABD$ সমকোণী ত্রিভুজ

$\therefore AB^2=BD^2+AD^2$

আবার সমকোণী ত্রিভুজ $BCD$-এর $BC^2=BD^2+CD^2$

$\therefore AB^2-BC^2= \left( BD^2+AD^2 \right) - \left( BD^2+CD^2 \right) =AD^2-CD^2$

$\therefore$ (ii) সম্পর্কটি সঠিক ।

*****