অসমীকরণ (Inequality)
সূচনা (Introduction) : অসমীকরণ বিষয়টির শুরুতে সমতা এবং অসমতা সম্মন্ধে আমাদের জানা দরকার । দুটি সংখ্যার মধ্যে তুলনা করলে দুধরণের সম্ভাবনা দেখা যায়, অর্থাৎ যদি a এবং b দুটি সংখ্যা হয়, তাহলে হয় তারা সমান ( a = b ) হতে পারে অথবা তারা অসমান ( [tex]a \ne b[/tex] ) হতে পারে ।
সমতা ও অসমতার ধারণা
(১) সমতা :- এক্ষেত্রে সংখ্যা দুটির মান সমান অর্থাৎ তাদের মানের কোনো পার্থক্য নেই অর্থাৎ পার্থক্য শূন্য ( a - b = 0 )
(২) অসমতা :- এক্ষেত্রে সংখ্যা দুটির মান আসমান অর্থাৎ তাদের মানের পার্থক্য আছে । এই পার্থক্য দুধরণের হতে পারে ।
(i) b অপেক্ষা a বৃহত্তর ( a > b ) হতে পারে , সেক্ষেত্রে a থেকে b এর বিয়োগফল ধনাত্মক , অর্থাৎ ( a - b > 0 )
(ii) b অপেক্ষা a ক্ষুদ্রতর ( a < b ) হতে পারে , সেক্ষেত্রে a থেকে b এর বিয়োগফল ঋণাত্মক , অর্থাৎ ( a - b < 0 )
এছাড়াও সমতা অসমতা বোঝাবার জন্য আমরা নিচের চিহ্নগুলি ব্যবহার করে থাকি ।
[tex]\left( {a \ge b} \right)[/tex] এর মানে হল a , b এর সমান নতুবা b এর চেয়ে বড়ো অর্থাৎ a এর সর্বনিম্ন মান হল b ।
[tex]\left( {a \le b} \right)[/tex] এর মানে হল a , b এর সমান নতুবা b এর চেয়ে ছোটো অর্থাৎ a এর সর্বোচ্চ মান হল b ।
অসমতার কতগুলি ধর্ম (Some Properties of Inequality)
1. a > b হলে , -a < -b
প্রমাণ :- যেহেতু a > b . সুতরাং, a - b > 0
এখন - a -( - b ) = -a + b = -( a - b ) যা ঋণাত্মক
অতএব -a < - b
অনুরূপে প্রমাণ করা যায় , a < b হলে -a > -b হবে ।
2. a > b হলে , a + c > b + c
প্রমাণ :- a + c -( b + c ) = a - b > 0
অতএব a + c -( b + c ) > 0
সুতরাং , a + c > b + c
অনুরূপে প্রমাণ করা যায়, a < b হলে a + c < b + c হবে ।
3. a > b হলে , a - c > b - c
প্রমাণ :- a - c -( b - c ) = a - b > 0
অতএব a - c -( b - c ) > 0
সুতরাং , a - c > b - c
অনুরূপে প্রমাণ করা যায়, a < b হলে a - c < b - c হবে ।
4. a > b হলে , [tex]a \cdot c > b \cdot c[/tex] যেখানে ( c > 0 )
প্রমাণ :- ac - bc = c( a - b ) > 0
অতএব ac - bc > 0
সুতরাং , ac > bc
অনুরূপে প্রমাণ করা যায় , a < b হলে , [tex]a \cdot c < b \cdot c[/tex]হবে যেখানে ( c > 0)
5. a > b হলে [tex]\frac{a}{c} > \frac{b}{c}[/tex] যেখানে c > 0
প্রমাণ :-
[tex]\begin{array}{l}
\frac{a}{c} - \frac{b}{c}\\
= \frac{{a - b}}{c} > 0
\end{array}[/tex]
অতএব
[tex]\begin{array}{l}
\frac{a}{c} - \frac{b}{c} > 0\\
\Rightarrow \frac{a}{c} > \frac{b}{c}
\end{array}[/tex]
অনুরূপে প্রমাণ করা যায় , a < b হলে , [tex]\frac{a}{c} < \frac{b}{c}[/tex] হবে .
6. a > b এবং b > c হলে , a > c হবে ।
প্রমাণ :- a - c = ( a - b ) + ( b - c ) > 0
অতএব a - c > 0
সুতরাং a > c
অনুরূপে প্রমাণ করা যায় , a < b এবং b < c হলে , a < c হবে ।
7. a > b হলে , [tex]\frac{1}{a} < \frac{1}{b}[/tex] হবে যেখানে ab > 0
প্রমাণ :- a > b হলে
[tex]\begin{array}{l}
\frac{a}{{ab}} > \frac{b}{{ab}}\\
\Rightarrow \frac{1}{b} > \frac{1}{a}\\
\Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b}
\end{array}[/tex]
8. খেয়াল রাখতে হবে x > 0 হলে , [tex]\frac{1}{x} > 0[/tex] হবে এবং x < 0 হলে [tex]\frac{1}{x} < 0[/tex] হবে ।
অসমীকরণ (Inequality)
সমীকরণ কিভাবে গঠিত হয় ও কিভাবে সমাধান করা হয় তা আমরা পূর্বে জেনেছে। সমীকরণে বিভিন্ন অজ্ঞাত রাশি ( x , y , z ইত্যাদি ) বিভিন্ন জ্ঞাত রাশির সঙ্গে ' = ' চিহ্ন দ্বারা যুক্ত থাকে। যেমন
এক চল বিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ x = 3
দুই চল বিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ 3x + 2y = 10
এক চল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ [tex]{x^2} - 2x + 3 = 0[/tex]
কিন্তু সবক্ষেত্রে অজ্ঞাত রাশি ও জ্ঞাত রাশির মধ্যে সম্পর্ক সমতা দিয়ে প্রকাশ করা যায় না । সেরকম ক্ষেত্রে অসমতা চিহ্ন ব্যব্যহার করতে হয় । যেমন মনে করি আমাদের বিদ্যালয়ে 500 এর বেশি ছাত্র পড়ে । এখানে আমরা ' = ' চিহ্ন দ্বারা ছাত্র সংখ্যা বোঝাতে পারবনা । কারণ ঠিক কতজন ছাত্র বিদ্যালয়ে পড়ে তা এখানে বলা নেই । কিন্তু যদি আমরা মনে করি আমাদের বিদ্যালয়ে মোট x জন ছাত্র পড়ে তবে আমরা ' > ' চিহ্নের সাহায্যে লিখতে পারি x > 500 ।
ঠিক সেইরকম ভাবে যদি মনে করি একটি কলম এর দাম 10 টাকার কম এবং একটি খাতার দাম 20 টাকার বেশি তাহলে আমরা লিখতে পারি
x < 10 ; যেখানে x = একটি কলমের দাম
y > 20 ; যেখানে y = একটি খাতার দাম
এখানে প্রতিক্ষেত্রে অজ্ঞাত রাশি ও জ্ঞাত রাশির মধ্যে সম্পর্ক অসমতার চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে । এরকম বীজগণিতীয় প্রতীক সম্বলিত অজ্ঞাত রাশি ও জ্ঞাত রাশির মধ্যে সম্পর্ক যদি অসমতা বা সমতা, অসমতার চিহ্ন < , > , [tex] \le [/tex] বা [tex] \ge [/tex] প্রভৃতি দিয়ে প্রকাশ করা হয় তবে তাকে অসমীকরণ বলে । উপরে বর্ণিত প্রত্যেকটি হল অসমীকরণ ।
সমীকরণ ও অসমীকরণের পার্থক্য
(১) আমরা দেখেছে সমীকরণে সমতা চিহ্ন এবং অসমীকরণ অসমতা চিহ্ন থাকে ।
(২) একঘাত সমীকরণে একটি বীজ থাকে, দ্বিঘাত সমীকরণে দুটি বীজ থাকে অর্থাৎ অজ্ঞাত রাশির সর্বোচ্চ ঘাত যত থাকে বীজের সংখ্যাও ঠিক তত হয় । কিন্তু অসমীকরণের ক্ষেত্রে এই সত্যটা খাটে না । যেমন x < 5 হলে x এর মান হতে পারে 4 , 3 , 2 , 1 ইত্যাদি । তাহলে দেখা যাচ্ছে একটি অসমীকরণ অজ্ঞাত রাশির অসংখ্য মান দ্বারা সিদ্ধ হতে পারে । যেসব মানের জন্য ওই অসমীকরণ সিদ্ধ হয় তাদের একত্রে ওই অসমীকরণের সমাধান সেট (Solution set) বলে ।
মন্তব্য : কোনো অসমীকরণের সঙ্গে কোনো শর্ত আরোপ করা করা থাকলে সেই অসমীকরণের নির্দিষ্ট সংখ্যক সমাধান থাকতে পারে ।
সরল অসমীকরণ :
কোনো অসমকরণে যদি একঘাত যুক্ত একটি মাত্র অজ্ঞাত রাশি থাকে তবে তাকে সরল অসমীকরণ বলে । যেমন : 2x + 3 > 7, 5x - 2 <8, [tex]2x + 10 \le 20[/tex] ।
উদাহরণ 1. x ও y দুটি ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা হলে [tex]2x + 3y \le 8[/tex] অসমীকরণের সমাধান সেট একটি সেটের আকারে প্রকাশ কর ।
সমাধান : এখন
[tex]\begin{array}{l}
2x + 3y \le 8\\
\Rightarrow 3y \le 8 - 2x\\
\Rightarrow y \le \frac{{8 - 2x}}{3}
\end{array}[/tex]
এক্ষেত্রে x এর মান 1, 2, 3, ............হলে y এর মান হবে 1 , 2 , 3 ,...... ইত্যাদি হতে পারে ।
আবার দেখা গেল x = 2 হলে y এর মান 1হলে অসমীকরণটি সিদ্ধ হয়। x এর মান 3 ধরে দেখা গেল y এর কোনো মানই অসমীকরণটিকে সিদ্ধ করে না ।
অতএব নির্ণেয় সমাধান সেট পাশের ছকে দেওয়া হল
| x | 1 | 1 | 2 |
| y | 1 | 2 | 1 |
উদাহরণ 2. সমাধান করো [tex]2\left( {x - 4} \right) \ge 3x - 5[/tex]
সমাধান :
[tex]\begin{array}{l}
2\left( {x - 4} \right) \ge 3x - 5\\
\Rightarrow 2x - 8 - 3x \ge - 5\\
\Rightarrow - x \ge 8 - 5\\
\Rightarrow - x \ge 3\\
\Rightarrow x \le - 3
\end{array}[/tex]
- সমীকরণের সমাধান ।
- অসমীকরণের লেখচিত্র অঙ্কন ।
*****
- 1887 views
