পাটিগনিত - পূর্বপাঠের পুনরালোচনা

পাটি গণিত - পূর্বপাঠের পুনরালোচনা

1.1 গড় (Mean)

1. সমজাতীয় বিভিন্ন রাশির যোগফলকে ওই রাশিগুলির সংখ্যা দ্বারা ভাগ করে রাশিগুলির গড় নির্ণয় করা হয় ।

    গড় মান = সমজাতীয় রাশিগুলির যোগফল / ওই রাশিগুলির সংখ্যা

  বা ,  গড় মান = [tex]{A \over B}[/tex]

   যেখানে ,সমজাতীয় রাশিগুলির যোগফল=A

              ওই রাশিগুলির সংখ্যা =B

2. প্রদত্ত রাশিগুলির সমষ্টি = গড় মান X রাশিগুলির সংখ্যা

3. রাশিগুলির সংখ্যা = সমজাতীয় রাশিগুলির যোগফল / গড় মান

     বা রাশিগুলির সংখ্যা = [tex]{A \over B}[/tex]

    যেখানে ,সমজাতীয় রাশিগুলির যোগফল = A

               গড় মান = B

4. সরল গড় : একটি চল x -এর n সংখ্যাক মান [tex]{x_1},{x_2},{x_3}, \ldots \ldots ,{x_n}[/tex] হলে x  চলকের গড় হবে - [tex]\bar x = {{{x_1} + {x_2} + {x_3} + \ldots \ldots {x_n}} \over n} = {{\sum x } \over n}[/tex] যেখানে n একটি ধনাত্বক অখন্ড সংখ্যা ।

5. গড়মান সর্বদা প্রদত্ত মানগুলির ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম মানের অন্তর্বর্তী হবে ।

6. গড়মান একটি সম্ভাব্য মান , বা প্রদত্ত মানগুলির একটি হতেও পারে আবার নাও হতে পারে ।

7. গড় গতিবেগ = মোট অতিক্রান্ত দুরত্ব / মোট সময়

    বা  গড় গতিবেগ = [tex]{D \over T}[/tex]

    যেখানে, মোট অতিক্রান্ত দুরত্ব =D

               মোট সময় =T

8. 'n' সংখ্যাক স্বাভাবিক সংখ্যার গড় = [tex]{{n + 1} \over 2}[/tex]

9. 'n' সংখ্যাক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের গড় = [tex]{{(n + 1)(2n + 1)} \over 6}[/tex]

10. 'n' সংখ্যাক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের গড় = [tex]{{n{{(n + 1)}^2}} \over 4}[/tex]

11. যদি [tex]{n_1}[/tex] সংখ্যক বস্তুর গড় [tex]{\bar x_1}[/tex] এবং [tex]{n_2}[/tex] সংখ্যক বস্তুর গড় [tex]{\bar x_2}[/tex] হয় তবে [tex]{n_1} + {n_2}[/tex] সংখ্যক বস্তুর গড় হবে -- [tex]\bar x = {{{n_1}{{\bar x}_1} + {n_2}{{\bar x}_2}} \over {{n_1} + {n_2}}}[/tex]

12. গড় মানের চেয়ে মোট কমের পরিমান =  গড় মানের চেয়ে মোট বেশীর পরিমান

13. গড়মানকে তথ্যগুলির কেন্দ্রীয় মান বা প্রতিনিধিত্ব মূলক মান হিসাবে ধরা হয়ে থাকে 

উদাহরণ 1:

একজন ছাত্র 10টি প্রদত্ত সংখ্যার গড় নির্ণয় করার সময় ভুলবশত একটি সংখ্যা 46 এর স্থলে 64 ধরে সংখ্যাগুলির গড় 50 পেল । ঐ সংখ্যারগুলির প্রকৃত গড় নির্ণয় করো  ।

সমাধান :

46 এর স্থলে 64 ধরলে 10টি সংখ্যার সমষ্টি =  50x10=500

ভুল সংখ্যাটি বাদে 9টি সংখ্যার সমষ্টি = 500-64=436

প্রদত্ত 10টি সংখ্যার প্রকৃত সমষ্টি = 436+46=482

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল [tex]{{482} \over {10}} = ?[/tex]

 [tex]{{482} \over {10}} = 48.2[/tex]

উত্তর : প্রদত্ত 10টি সংখ্যার প্রকৃত গড় = 48.2

1.2 পরিসংখ্যা বিভাজন , ভারযুক্ত গড় :(Frequency Distribution , Weighted Mean )

- পরিসংখ্যা বিভাজন :(Frequency Distribution)

1. চলক (Variate)  বা চল (Variable) : কোনো পরিসংখ্যানগত  রাশি যদি ইচ্ছামতো পরিবর্তিত হয় তখন তাকে চল বা চলক (Variable) বলে । যেমন বয়সের সঙ্গে উচ্চতা বৃদ্ধি , শ্রেণী সংখ্যা বাড়লে ছাত্রছাত্রীর বয়স বৃদ্ধি পায় ইত্যাদি ।

2. কাঁচা বা অবিন্যস্ত তথ্য : সংগৃহিত তথ্যগুলি প্রাথমিক অবস্থায় এলোমেলো বা অবিন্যস্ত অবস্থায় থাকলে তখন তাকে কাঁচা তথ্য বলে ।

3. বিন্যস্ত তথ্য : অবিন্যস্ত তথ্যগুলিকে সুশৃঙ্খলভাবে সাজানো থাকলে তাকে বিন্যস্ত তথ্য বলা হয়  ।

4. বিন্যস্ত পঙক্তি : সংগৃহিত কাঁচা তথ্যের মানের উর্ধ্বক্রমে বা অধঃক্রমের বিন্যাসকে বিন্যস্ত পঙক্তি বলে ।

5. প্রসার (Range)  তথ্যগুলির গরিষ্ঠ ও লঘিষ্ঠ মানের অন্তরফলকে তথ্য গুলির প্রসার বলা হয় ।

6. পরিসংখ্যা (Frequency) : কোনো নির্দিষ্ট শ্রেনীর মধ্যে চলকের যে কয়টি মান পাওয়া যায়,সেই সংখ্যাকে ঐ শ্রেনীর পরিসংখ্যা বলে ।

7. শ্রেণী সীমা (Class Limit) : কোনো শ্রেনীর দুই প্রান্তের মানদ্বয়কে শ্রেণী সীমা বলে । একটি নির্দিষ্ট শ্রেনির ক্ষুদ্রতম প্রান্তিক মানকে নিম্নসীমা  ( Lower class limit )  এবং বৃহত্তম প্রান্তিক মানটিকে উর্ধ্বসীমা ( Upper class limit )  বলে ।

8. শ্রেণিমধ্যক বা মধ্যমান (Mid Value )  কোনো শ্রেণীর নিম্নসীমা ও উর্ধ্বসীমার গড় মান হল ঐ শ্রেণীর মধ্যমান ।

অর্থাৎ কোনো শ্রেণীর মধ্যমান = নিম্নসীমা + উর্ধ্বসীমা / 2

9.  সরল গড় : যদি x  চলকের n  সংখ্যক বিভিন্ন মান  [tex]{x_1},{x_2},{x_3}, \ldots \ldots ,{x_n}[/tex] হয় তবে x চলকের গড় হবে [tex]\bar x = {{{x_1} + {x_2} + {x_3} + \ldots \ldots {x_n}} \over n} = {{\sum x } \over n}[/tex] যেখানে n একটি ধনাত্বক অখন্ড সংখ্যা ।

* ভারযুক্ত গড়  (Weighted Mean ) :

1. যদি কোনো চলক x -এর n  সংখ্যক মান [tex]{x_1},{x_2},{x_3}, \ldots \ldots ,{x_n}[/tex] এবং তাদের ভার যথাক্রমে [tex]{f_1},{f_2},{f_3}, \ldots \ldots ,{f_n}[/tex] হয় , তাহলে x  চলকের ভারযুক্ত গড়

[tex]\bar x = {{{f_1}{x_1} + {f_2}{x_2} + {f_3}{x_3} + \ldots \ldots + {f_n}{x_n}} \over {{f_1} + {f_2} + {f_3} + \ldots \ldots + {f_n}}} = {{\sum {fx} } \over N}[/tex]

যেখানে [tex]N = {f_1} + {f_2} + {f_3} + \ldots \ldots + {f_n} = \sum f[/tex]

* উদাহরণ 1.

40 জন ছাত্রের অঙ্ক পরীক্ষার নম্বরের ( সর্বোচ্চ নম্বর 100 ) একটি তালিকা দেওয়া হল । শ্রেনি অন্তর  21-30, 31-40, 41-50, .........91-100 ধরে একটি পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকা প্রস্তুত করো এবং গড় মান নির্ণয় করো ।

  23, 36, 60, 65, 40, 45, 21, 34, 41, 29, 38, 35,

  68, 58, 42, 48, 89, 75, 95, 30, 74, 41, 78, 84,

  22, 46, 49, 62, 39, 37, 37, 25, 50, 78, 51, 37,

  44, 47, 66, 54

অতএব নির্ণেয় গড় নম্বর = [tex]{{\sum {fx} } \over N} = {{1910} \over {40}} = 47.75[/tex]  

*****