ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য

Submitted by arpita pramanik on Wed, 02/16/2011 - 00:48

ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems on Area)

ক্ষেত্রফল বলতে কি বোঝায় ?

ক্ষেত্রফল হল কোনো ক্ষেত্রের পরিমাপ ( Magnitude or measure ) . এই পরিমাপটি কোনো একক ( Unit ) সমেত প্রকাশ করা হয়। যেমন 50 বর্গ মিটার কোনো ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল । 

দুটি সমতলিক ক্ষেত্রের আকার ও মাপ যদি একই হয় তবে তাদের ক্ষেত্রফল একই রকম হয় । কিন্তু আবার দুটি সমতলিক ক্ষেত্রের আকার ও পরিমাপ ভিন্ন হলেও তাদের ক্ষেত্রফল একই রকম হতে পারে । যেমন 

এরিয়া

এখানে দুটি চিত্র দেওয়া আছে একটি বর্গাকার ও অন্যটি আয়তকার । বর্গাকার ক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য হল 4 সেমি ও আয়তকার ক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হল যথাক্রমে 2 সেমি ও 8 সেমি। কিন্তু তাদের প্রত্যেকের ক্ষেত্রফল হল 16 বর্গসেমি । 

 

কোনো সমতলিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের ধর্ম 

  1. A ও B দুটি সমতলিক ক্ষেত্র সর্বসম হলে A এর ক্ষেত্রফল = B এর ক্ষেত্রফল হবে । 
  2. একটি সমতলিক ক্ষেত্রকে দুটি আলাদা আলাদা ( যদি একটি ক্ষেত্র অপরটির ক্ষেত্রের কোনও জায়গা না নেয় ) অংশ A ও B তে বিভুক্ত করলে ,

সমগ্র সমতলিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = A অংশের ক্ষেত্রফল + B অংশের ক্ষেত্রফল


 ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য ( Theorems of Area)

একই ভূমি এবং একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল সমান 

এরিয়া

মনে করি ABCD ও EBCF দুটি সামান্তরিক একই ভূমি BC এবং একই সামান্তরিক যুগল AF ও BC এর মধ্যে অবস্থিত । 

আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে ABCD ও EBCF সামান্তরিক দুটির ক্ষেত্রফল সমান । 

প্রমাণ : এখন ত্রিভুজ ABE ও ত্রিভুজ CDF এর 

AB = DC ( যেহেতু সামান্তরিকের বিপরীত বাহু )

BE = CF ( যেহেতু সামান্তরিকের বিপরীত বাহু )

[tex]\angle BAE = \angle CDF[/tex] ( যেহেতু AB ।। DC এবং AF হল ছেদক )

অতএব ত্রিভুজ ABE [tex] \cong [/tex] ত্রিভুজ CDF

সুতরাং ত্রিভুজ ABE এর ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজ CDF  এর ক্ষেত্রফল

এখন সমগ্র চতুর্ভুজ ABCF - ত্রিভুজ ABE = সমগ্র চতুর্ভুজ ABCF - ত্রিভুজ CDF

সামান্তরিক EBCF = সামান্তরিক ABCD

অর্থাৎ  ABCD ও EBCF সামান্তরিক দুটির ক্ষেত্রফল সমান । 

 

প্রয়োগ : ABCD ও ABEF দুটি সামান্তরিক AB রেখার বিপরীত দিকে এমন ভাবে আছে যাতে D , A ও F তিনটি বিন্দু সমরেখ না হয়। প্রমাণ করতে হবে DCEF একটি সামান্তরিক এবং ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল + ABEF সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = DCEF সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল । 

ABCD ও ABEF দুটি সামান্তরিক AB রেখার বিপরীত দিকে এমন ভাবে আছে যাতে D , A ও F তিনটি বিন্দু সমরেখ না হয় ।

প্রমাণ করতে হবে

  1. DCEF একটি সামান্তরিক
  2. ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল + ABEF সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = DCEF সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল । 

প্রমাণ : ABCD একটি সামান্তরিক । এরিয়া

অতএব AB ।। DC এবং AB = DC .............(i)

আবার ABEF একটি সামান্তরিক । 

অতএব AB ।। EF এবং AB = EF ............(ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই 

DC ।। EF এবং DC = EF 

অতএব চতুর্ভুজ DCEF একটি সামান্তরিক । 

সুতরাং DF = CE .

এখন ত্রিভুজ ADF ও ত্রিভুজ BCE এর 

AD = BC ( যেহেতু ABCD সামান্তরিকের বিপরীত বাহু )

AF = BE ( যেহেতু ABEF সামান্তরিকের বিপরীত বাহু )

DF = CE 

অতএব  ত্রিভুজ ADF [tex] \cong [/tex] ত্রিভুজ BCE

অতএব  ত্রিভুজ ADF =  ত্রিভুজ BCE

এখন বহুভুজ DAFEC এর ক্ষেত্রফল - ত্রিভুজ ADF =  বহুভুজ DAFEC এর ক্ষেত্রফল - ত্রিভুজ BCE

DCEF সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বহুভুজ DAFEBC এর ক্ষেত্রফল 

বহুভুজ DAFEBC এর ক্ষেত্রফল = DCEF সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল + ABEF সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = DCEF সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল । 

 

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি [tex] \times [/tex] উচ্চতা এর প্রমাণ 

এরিয়া মনে করি ABCD একটি সামান্তরিক 

প্রমাণ করতে হবে ABCD সামান্তরিক আকারের ক্ষেত্রফল = ভূমি [tex] \times [/tex] উচ্চতা

অঙ্কন : BC কে ভূমি করে BC ও AD সমান্তরাল যুগলের মধ্যে একটি আয়তক্ষেত্র BCFE অঙ্কন করা হল। যা বর্ধিত AD ও AD কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে । 

প্রমাণ : সামান্তরিক ABCD ও আয়তক্ষেত্র BCFE একই ভূমি BC এবং একই সমান্তরাল যুগল BC ও ED এর মধ্যে অবস্থিত । 

সুতরাং ABCD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = BCFE আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 

আমরা জানি BCFE  আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= দৈর্ঘ্য [tex] \times [/tex] প্রস্থ 

= BC [tex] \times [/tex] EB 

= ভূমি [tex] \times [/tex] উচ্চতা 

অতএব ABCD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি [tex] \times [/tex] উচ্চতা 

অতএব সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল =  ভূমি [tex] \times [/tex] উচ্চতা 

 

একই ভূমির উপর এবং একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক । 

এরিয়া মনে করি ত্রিভুজ ABC এবং সামান্তরিক EBCF একই ভূমি BC এবং একই সমান্তরাল যুগল EF ও BC এর মধ্যে অবস্থিত । 

প্রমাণ করতে হবে ত্রিভুজ ABC = [tex]\frac{1}{2}[/tex] সামান্তরিক EBCF 

অঙ্কন : BA এর সমান্তরাল করে CD সরলরেখা টানা হল যা বর্ধিত EF কে D বিন্দুতে ছেদ করে । 

প্রমাণ : ABCD একটি সামান্তরিক যার BC ।। AD এবং AB ।। DC ও AC হল কর্ণ। 

অতএব ত্রিভুজ ABC = [tex]\frac{1}{2}[/tex] সামান্তরিক ABCD 

আবার সামান্তরিক EBCF এবং সামান্তরিক ABCD একই ভূমি BC এবং একই সমান্তরাল যুগল ED ও BC এর মধ্যে অবস্থিত .

অতএব  সামান্তরিক EBCF = সামান্তরিক ABCD

অতএব ত্রিভুজ ABC = [tex]\frac{1}{2}[/tex] সামান্তরিক EBCF .

 

আমরা জানি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2}[/tex] ভূমি [tex] \times [/tex] উচ্চতা 

আবার ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2}[/tex] সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 

অতএব সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি [tex] \times [/tex] উচ্চতা 

 

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] ভূমি [tex] \times [/tex] উচ্চতা প্রমাণ 

এরিয়া মনে করি ABC একটি ত্রিভুজ যার ভূমি BC এবং [tex]AF \bot BC[/tex]

প্রমাণ করতে হবে [tex]\frac{1}{2} \times BC \times AF[/tex]

অঙ্কন : BC কে ভূমি করে BC এমন একটি আয়তক্ষেত্র BCED অঙ্কন করা হল যাতে , D , A ,E সমরেখ হয় । 

প্রমাণ : ত্রিভুজ ABC ও আয়তক্ষেত্র BCED একই ভূমি BC এবং একই সমান্তরাল যুগল BC ও DE এর মধ্যে অবস্থিত । 

অতএব ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] আয়তক্ষেত্র BCED এর ক্ষেত্রফল 

= [tex]\frac{1}{2} \times BC \times DB[/tex]

= [tex]\frac{1}{2} \times BC \times AF[/tex] ( যেহেতু DB = AF )

= [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] ভূমি [tex] \times [/tex] উচ্চতা

 

প্রয়োগ : ABCD সামান্তরিকের ভিতর P যেকেনো একটি বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে APD ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল + BPC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] সামান্তরিক ABCD এর ক্ষেত্রফল । 

এরিয়া ABCD সামান্তরিকের ভিতর P যেকেনো একটি বিন্দু ।

প্রমাণ করতে হবে APD ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল + BPC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] সামান্তরিক ABCD এর ক্ষেত্রফল । 

অঙ্কন : P বিন্দু দিয়ে AD বাহুর সমান্তরাল করে EF অঙ্কন করা হল যা AB ও DC কে  যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে । 

প্রমাণ : AEFD চতুর্ভুজের AE ।। DF ( যেহেতু AB ।। DC )

এবং AD ।। EF ( অঙ্কনানুসারে )

অতএব AEFD চতুর্ভুজটি হল একটি সামান্তরিক । 

এখন ত্রিভুজ ADP এবং সামান্তরিক AEFD একই ভূমি AD এবং একই সমান্তরাল যুগল EF ও AD এর মধ্যে অবস্থিত 

সুতরাং ত্রিভুজ ADP এর ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] AEFD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ...........(i)

অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় ত্রিভুজ BPD ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] BCFE সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ...........(ii)

এখন (i) + (ii) করে পাই 

ত্রিভুজ ADP এর ক্ষেত্রফল + ত্রিভুজ BPD ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] AEFD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল + [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] BCFE সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল

অতএব ত্রিভুজ ADP এর ক্ষেত্রফল + ত্রিভুজ BPD ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2} \times [/tex]  সামান্তরিক ABCD এর ক্ষেত্রফল । 

 

প্রয়োগ : ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC ; BC বাহুর উপরে O যেকোনো একটি বিন্দু। O বিন্দু থেকে AB ও AC বাহুর উপরে লম্ব দূরত্ব যথাক্রমে OP এবং OQ ; B বিন্দু থেকে AC বাহুর উপরে লম্ব দূরত্ব BD ; প্রমাণ করতে হবে OP + OQ = BD .

এরিয়া ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC ; BC বাহুর উপরে O যেকোনো একটি বিন্দু। O বিন্দু থেকে AB ও AC বাহুর উপরে লম্ব দূরত্ব যথাক্রমে OP এবং OQ ; B বিন্দু থেকে AC বাহুর উপরে লম্ব দূরত্ব BD.

প্রমাণ করতে হবে OP + OQ = BD

অঙ্কন : A , O যুক্ত করলাম । 

প্রমাণ : AOB ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2} \times AB \cdot OP[/tex]..........(i)

AOC  ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2} \times AC \cdot OQ[/tex].............(ii)

(i) + (ii) করে পাই 

AOB ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল + AOC  ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2}AB \cdot OP + \frac{1}{2} \times AC \cdot OQ[/tex]

অতএব ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2}AC \cdot OP + \frac{1}{2} \times AC \cdot OQ[/tex] ( যেহেতু AB = AC )

[tex]\begin{array}{l}
 \Rightarrow \frac{1}{2}AC \cdot BD = \frac{1}{2}AC\left( {OP + OQ} \right)\\
 \Rightarrow BD = OP + OQ
\end{array}[/tex]

 

প্রয়োগ: ABC সমবাহু ত্রিভুজের ভিতর O যেকোনো একটি বিন্দু। O বিন্দু থেকে BC , AC এবং AB বাহুর উপর লম্ব যথাক্রমে OP , OQ এবং OR ; প্রমাণ করতে হবে ত্রিভুজটির উচ্চতা = OP + OQ + OR .

এরিয়া ABC সমবাহু ত্রিভুজের ভিতর O যেকোনো একটি বিন্দু । O বিন্দু থেকে BC , AC এবং AB বাহুর উপর লম্ব যথাক্রমে OP , OQ এবং OR . A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর AD লম্ব টানা হল । সুতরাং AD হল ABC ত্রিভুজের উচ্চতা । 

আমাদের প্রমাণ করতে হবে AD = OP + OQ + OR .

অঙ্কন : O , A ; O , B এবং O , C যুক্ত করলাম । 

প্রমাণ : ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2}BC \cdot AD[/tex]

ত্রিভুজ BOC এর ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2}BC \cdot OP[/tex].............(i)

ত্রিভুজ AOB এর ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2}AB \cdot OR[/tex].............(ii)

ত্রিভুজ AOC এর ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2}AC \cdot OQ[/tex]............(iii)

এখন (i) + (ii) + (iii)

ত্রিভুজ BOC এর ক্ষেত্রফল + ত্রিভুজ AOB এর ক্ষেত্রফল + ত্রিভুজ AOC এর ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2}BC \cdot OP[/tex] + [tex]\frac{1}{2}AB \cdot OR[/tex] + [tex]\frac{1}{2}AC \cdot OQ[/tex]

অতএব ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2}BC \cdot OP + \frac{1}{2}BC \cdot OR + \frac{1}{2}BC \cdot OQ[/tex]

( যেহেতু ABC সমবাহু ত্রিভুজ এর AB = BC = CA )

অতএব [tex]\frac{1}{2}BC \cdot AD[/tex] = [tex]\frac{1}{2}BC \cdot \left( {OP + OR + OQ} \right)[/tex]

[tex]\begin{array}{l}
 \Rightarrow AD = OP + OR + OQ\\
 \Rightarrow AD = OP + OQ + OR
\end{array}[/tex]

 

একই ভূমি ও একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান । 

area

মনে করি ত্রিভুজ ABC এবং ত্রিভুজ BCD একই ভূমি BC এবং একই সমান্তরাল যুগল AD ও BC এর মধ্যে অবস্থিত । 

প্রমাণ করতে হবে ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজ BCD এর ক্ষেত্রফল 

অঙ্কন : BA এর সমান্তরাল করে CE সরলরেখা টানা হল যা বর্ধিত AD কে E বিন্দুতে ছেদ করে । 

প্রমাণ : ABCE চতুর্ভুজের

AB ।। CE ( অঙ্কনানুসারে ) এবং AE ।। BC ( কল্পনানুসারে )

অতএব ABCE চতুর্ভুজটি হল সামান্তরিক । 

এখন চতুর্ভুজ ABCE ও ত্রিভুজ ABC একই ভূমি BC এবং একই সমান্তরাল যুগল AE ও BC এর মধ্যে অবস্থিত । 

অতএব ত্রিভুজ ABC = [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] চতুর্ভুজ ABCE

আবার চতুর্ভুজ ABCE ও ত্রিভুজ BCD একই ভূমি BC এবং একই সমান্তরাল যুগল AE ও BC এর মধ্যে অবস্থিত । 

অতএব ত্রিভুজ BCD = [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] চতুর্ভুজ ABCE

অতএব  ত্রিভুজ ABC = ত্রিভুজ BCD

 

প্রয়োগ : প্রমাণ করতে হবে যে কোনো ত্রিভুজের মধ্যমা ত্রিভুজটিকে দুটি সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে । 

এরিয়া মনে করি ABC একটি ত্রিভুজ এবং AD হল তার মধ্যমা অর্থাৎ BD = DC .

আমাদের প্রমাণ করতে হবে ত্রিভুজ ABD এর ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজ ACD এর ক্ষেত্রফল । 

অঙ্কন : A থেকে BC ভূমির উপর AO লম্ব টানা হল । 

প্রমাণ : ত্রিভুজ ABD এর ক্ষেত্রফল 

= [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] ভূমি [tex] \times [/tex] উচ্চতা 

= [tex]\frac{1}{2}BD \cdot AO[/tex]

আবার ত্রিভুজ ACD এর ক্ষেত্রফল

= [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] ভূমি [tex] \times [/tex] উচ্চতা 

= [tex]\frac{1}{2}DC \cdot AO[/tex]

= [tex]\frac{1}{2}BD \cdot AO[/tex] ( যেহেতু BD = DC )অতএব ত্রিভুজ ABD এর ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজ ACD এর ক্ষেত্রফল । 

 

প্রয়োগ : ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমার উপর P যেকোনো একটি বিন্দু প্রমাণ করতে হবে যে ত্রিভুজ APB এর ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজ APC এর ক্ষেত্রফল 

এরিয়া ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমার উপর P যেকোনো একটি বিন্দু । 

প্রমাণ করতে হবে যে ত্রিভুজ APB এর ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজ APC এর ক্ষেত্রফল 

প্রমাণ : AD হল ত্রিভুজ ABC এর মধ্যমা । 

অতএব ত্রিভুজ ABD এর ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজ ACD এর ক্ষেত্রফল......(i)

আবার ত্রিভুজ BPC ত্রিভুজের PD হল মধ্যমা 

অতএব ত্রিভুজ BPD এর ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজ CPD এর ক্ষেত্রফল ............(ii)

এখন (i) - (ii) করে পাই 

ত্রিভুজ ABD এর ক্ষেত্রফল -  ত্রিভুজ BPD এর ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজ ACD এর ক্ষেত্রফল - ত্রিভুজ CPD এর ক্ষেত্রফল

ত্রিভুজ ABP এর ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজ ACP এর ক্ষেত্রফল 

 

প্রয়োগ : ABC ত্রিভুজের AB , BC ও CA বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D , E ও F . প্রমাণ করতে হবে যে ত্রিভুজ DEF = [tex]\frac{1}{4}[/tex] ত্রিভুজ ABC .

এরিয়া ABC ত্রিভুজের AB , BC ও CA বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D , E ও F .

প্রমাণ করতে হবে যে ত্রিভুজ DEF = [tex]\frac{1}{4}[/tex] ত্রিভুজ ABC .

প্রমাণ : E ও F যথাক্রমে BC ও AC এর মধ্যবিন্দু . অতএব AD ।। EF 

আবার D ও E হল যথাক্রমে AB ও BC এর মধ্যবিন্দু . অতএব DE ।। AF 

সুতরাং ADEF হল একটি সামান্তরিক এবং DF হল কর্ণ । 

অতএব ত্রিভুজ ADF = ত্রিভুজ DEF 

অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় ত্রিভুজ BDE = ত্রিভুজ DEF এবং ত্রিভুজ CEF = ত্রিভুজ DEF .

সুতরাং ত্রিভুজ ABC

= ত্রিভুজ ADF + ত্রিভুজ BDE + ত্রিভুজ CEF + ত্রিভুজ DEF 

= ত্রিভুজ DEF + ত্রিভুজ DEF + ত্রিভুজ DEF + ত্রিভুজ DEF 

= 4 ত্রিভুজ DEF 

অতএব ত্রিভুজ DEF =  [tex]\frac{1}{4}[/tex] ত্রিভুজ ABC

*****

Related Items

সামন্তরিকের প্রথম উপপাদ্য

কোনো চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু সমান এবং সমান্তরাল হলে অপর জোড়া বিপরীত বাহুও সমান এবং সমান্তরাল হবে অর্থাৎ চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক হবে।

উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorisation)

মনে করি x রাশির যদি সর্বোচ্চ ঘাত 2 হয় সেই রাশিকে দ্বিঘাত রাশি বলে। যেমন Equation1 এই রাশির সর্বোচ্চ ঘাত 2 . এর তিনটি পদের সোহাগ যথাক্রমে 1 , 3 , 2. এবার এই মধ্যে সোহাগ 3 কে বিশ্লেষণ করে কিরূপে রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ

স্থানাঙ্ক জ্যামিতি : দূরত্ব নির্ণয়

বীজগণিতের সাহায্যে বিভিন্ন জ্যামিতিক আকারের ধারণা গড়ে ওঠাকে স্থানাঙ্ক জ্যামিতি ( Co-ordinate Geometry ) বলা হয়। অর্থাৎ স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে বীজগণিতের সাহায্যে জ্যামিতির ধারণা করতে পারি তাই স্থানাঙ্ক জ্যামিতি ব্যাপকতরভাবে বিজ্ঞানের বিভিন্ন শাখায় ব্যবহার করা হয়।

সরল সুদ কষার উদাহরণ ও সমাধান

সমস্যাটিতে তিনটি বিষয় আছে বলে এখানে বহুরাশিক পদ্ধতি প্রয়োগ করতে হবে । যথা (i) আসল ও মোট সুদের মধ্যে এবং (ii) সময় ও মোট সুদের মধ্যে । (i) সময় অপরিবর্তিত আছে ধরে নিলে, আসলের সঙ্গে মোট সুদের সরল সম্পর্ক । এখানে আসল বেড়েছে তাই সুদ বাড়বে অর্থাৎ ভগ্নাংশটি

লাভ-ক্ষতি সংক্রান্ত অঙ্কের সমাধান

লাভ-ক্ষতি সংক্রান্ত অংকের সমাধান (Solution of Profit and Loss ), বিভিন্ন পরীক্ষায় আগত প্রশ্নপত্র আলোচনা করা হলো