লগারিদম (Logarithm)
ভূমিকা ( Introduction )
আমরা দেখেছি যদি a ও xবাস্তব রাশি হয় তাহলে [tex]{a^x}\left( {a \ne 0} \right)[/tex] রাশির a কে নিধান এবং xকে ঘাতের সূচক বা শুধু ঘাত বলে। মনে করি [tex]{a^x} = m(m > 0)[/tex] তাহলে a ও xএর মান জানা থাকলে আমরা mএর মান জানতে পারি। উদাহরণস্বরূপ [tex]{5^2} = m \Rightarrow m = 25[/tex] , আবার m ও xএর মান জানা থাকলে আমরা a মান জাতে পারি। উদাহরণস্বরূপ [tex]{a^5} = 32 \Rightarrow a = 2[/tex] , কিন্তু a ও mএর মান জানা থাকলে আমরা সবসময় xএর মান জানতে পারিনা যেমন [tex]{4^x} = 16 \Rightarrow x = 2,{3^x} = 16[/tex] এখানে প্রথম উদাহরণের ক্ষেত্রে xএর মান জানতে পারি কিন্তু দ্বিতীয় উদাহরণের ক্ষেত্রে xএর মান জানতে পারছিনা।বীজগণিতের যে বিশেষ পদ্ধতিতে [tex]{a^x} = m[/tex] সম্পর্ক থেকে xএর মান পাওয়া যায় তাকে লগারিদম বলে।
লগারিদমের সংজ্ঞা(Definition of Logarithm)
[tex]{a^x} = m(a > 0,m > 0,a \ne 1)[/tex] হলে x কে a নিধানের সাপেক্ষে mসংখ্যাটির লগারিদম বলে। [tex]x = {\log _a}m[/tex] এই আকারে লগারিদম প্রকাশ করা হয়।
[tex]x = {\log _a}m[/tex] কে বলা হয় “x is a logarithm of m to the base a”
অতএব [tex]{a^x} = m \Rightarrow x = {\log _a}m[/tex]
দৃষ্টান্ত
· নিধান না জানা থাকলে কোনো সংখ্যার লগারিদম সম্ভব নয়।
· কোনো সংখ্যার লগারিদমের মান নির্দীষ্ট নয় তা নিধানের উপর নির্ভর করে।
· যদি [tex]m < 0[/tex] হয় তবে xএর মান অবাস্তব।
ধনাত্মক যেকোনো নিধান [tex]a\left( {a \ne 0} \right)[/tex] সাপেক্ষে 1এর লগারদমের মান শূন্য হবে।
আমরা জানি [tex]{a^0} = 1\left( {a \ne 0} \right) \Rightarrow {\log _a}1 = 0[/tex]
যদি নিধান ও সংখ্যা উভয়েই ধনাত্মক এবং পরস্পর সমান হয় তবে সংখ্যাটির লগারিদমেন মান সর্বদা 1হবে।
প্রমান: [tex]\begin{array}{l}
a = m\\
\Rightarrow {a^x} = a\\
\Rightarrow x = {\log _a}a = 1
\end{array}[/tex]
যদি [tex]x = {\log _a}m[/tex] হয় তবে [tex]{a^{{{\log }_a}m}} = m[/tex] হবে।
প্রমান: [tex]\begin{array}{l}
x = {\log _a}m\\
\Rightarrow {a^x} = m\\
\Rightarrow {a^{{{\log }_a}m}} = m
\end{array}[/tex]
লগারিদমের সাধারণ সূত্রাবলি(General laws of logarithm)
1. [tex]{\log _a}\left( {mn} \right) = {\log _a}m + {\log _a}n[/tex]
2. [tex]{\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _a}m - {\log _a}n[/tex]
3. [tex]{\log _a}{m^p} = p{\log _a}m[/tex]
4. [tex]{\log _a}m = {\log _b}m \times {\log _a}b[/tex]
যেখানে [tex]m,n,a,b > 0,a \ne 1,b \ne 1,p[/tex] যেকোনো বাস্তব রাশি।
সূত্রবলিরপ্রমাণ(Proof of laws)
1. [tex]{\log _a}\left( {mn} \right) = {\log _a}m + {\log _a}n[/tex]
মনে করি
[tex]\begin{array}{l}
{a^x} = m \to \left( 1 \right)\\
\Rightarrow x = {\log _a}m \to \left( 2 \right)\\
{a^y} = n \to \left( 3 \right)\\
\Rightarrow y = {\log _a}n \to \left( 4 \right)
\end{array}[/tex]
[tex]\left( 1 \right) \cdot \left( 3 \right)[/tex] করে পাই
[tex]\begin{array}{l}
{a^x} \cdot {a^y} = mn\\
\Rightarrow {a^{x + y}} = mn\\
\Rightarrow x + y = {\log _a}\left( {mn} \right)\\
\Rightarrow {\log _a}\left( {mn} \right) = x + y\\
\Rightarrow {\log _a}\left( {mn} \right) = {\log _a}m + {\log _a}n
\end{array}[/tex]
[(2) ও (4)থেকে পাই]
2. [tex]{\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _a}m - {\log _a}n[/tex]
মনে করি
[tex]\begin{array}{l}
{a^x} = m \to \left( 1 \right)\\
\Rightarrow x = {\log _a}m \to \left( 2 \right)\\
{a^y} = n \to \left( 3 \right)\\
\Rightarrow y = {\log _a}n \to \left( 4 \right)
\end{array}[/tex]
[tex]\frac{{\left( 1 \right)}}{{\left( 3 \right)}}[/tex] করে পাই
[tex]\begin{array}{l}
\frac{{{a^x}}}{{{a^y}}} = \frac{m}{n}\\
\Rightarrow {a^{x - y}} = \frac{m}{n}\\
\Rightarrow x - y = {\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right)\\
\Rightarrow {\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _a}m - {\log _a}n
\end{array}[/tex]
[(2) ও (4)থেকে পাই]
3. [tex]{\log _a}{m^p} = p{\log _a}m[/tex]
মনে করি
[tex]\begin{array}{l}
x = {\log _a}m \to (1)\\
\Rightarrow {a^x} = m \to (2)\\
y = {\log _a}{m^p} \to (3)\\
\Rightarrow {a^y} = {m^p} \to (4)
\end{array}[/tex]
(2)ও(4)থেকে পাই
[tex]\begin{array}{l}
{a^y} = {m^p}\\
\Rightarrow {a^y} = {\left( {{a^x}} \right)^p}\\
\Rightarrow {a^y} = {a^{xp}}\\
\Rightarrow y = xp\\
\Rightarrow {\log _a}{m^p} = p{\log _a}m
\end{array}[/tex]
অনুসিদ্ধান্ত: [tex]{\log _a}\sqrt[n]{m} = {\log _a}{m^{\frac{1}{n}}} = \frac{1}{n}{\log _a}m[/tex]
4. [tex]{\log _a}m = {\log _b}m \times {\log _a}b[/tex]
মনে করি
[tex]\begin{array}{l}
x = {\log _a}m \Rightarrow {a^x} = m \to \left( 1 \right)\\
y = {\log _b}m \Rightarrow {b^y} = m \to \left( 2 \right)\\
z = {\log _a}b \Rightarrow {a^z} = b \to \left( 3 \right)
\end{array}[/tex]
অতএব
[tex]\begin{array}{l}
{a^x} = {b^y}\left[ {\left( 1 \right),\left( 2 \right)} \right]\\
\Rightarrow {a^x} = {\left( {{a^z}} \right)^y}\left[ {\left( 3 \right)} \right]\\
\Rightarrow {a^x} = {a^{zy}}\\
\Rightarrow x = zy\\
\Rightarrow {\log _a}m = {\log _a}b \times {\log _b}m\left[ {\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)} \right]
\end{array}[/tex]
অনুসিদ্ধান্ত:
[tex]\begin{array}{l}
{\log _a}b \times {\log _b}a = 1\\
\Rightarrow {\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}
\end{array}[/tex]
আবার আমরা প্রমান করতে পারি [tex]{\log _b}m = \frac{{{{\log }_a}m}}{{{{\log }_a}b}}[/tex]
সংক্ষিপ্তকরণ(Summarisation)
[tex]m,n,a,b > 0,a \ne 1,b \ne 1,p[/tex] যেকোনো বাস্তব রাশি হলে,
1. [tex]{\log _a}1 = 0[/tex]
2. [tex]{\log _a}a = 1[/tex]
3. [tex]{a^{{{\log }_a}m}} = m[/tex]
4. [tex]{\log _a}\left( {mn} \right) = {\log _a}m + {\log _a}n[/tex]
5. [tex]{\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _a}m - {\log _a}n[/tex]
6. [tex]{\log _a}{m^p} = p{\log _a}m[/tex]
7. [tex]{\log _a}m = {\log _b}m \times {\log _a}b[/tex]
8. [tex]{\log _a}b \times {\log _b}a = 1[/tex]
9. [tex]{\log _b}a = \frac{1}{{{{\log }_a}b}}[/tex]
10. [tex]{\log _b}m = \frac{{{{\log }_a}m}}{{{{\log }_a}b}}[/tex]
উদাহরণ ১৷
প্রমান করো [tex]7\log \frac{{10}}{9} + 3\log \frac{{81}}{{80}} = 2\log \frac{{25}}{{24}} + \log 2[/tex] [H.S '82]
প্রমান:
[tex]\begin{array}{l}
7\log \frac{{10}}{9} + 3\log \frac{{81}}{{80}}\\
= 7\left( {\log 10 - \log 9} \right) + 3\left( {\log 81 - \log 80} \right)\\
= 7\log 10 + 3\log 81 - \left( {7\log 9 + 3\log 80} \right)\\
= 7\log \left( {2 \times 5} \right) + 3\log {3^4} - 7\log {3^2} - 3\log ({2^4} \times 5)\\
= 7\log 2 + 7\log 5 + 12\log 3 - 14\log 3 - 12\log 2 - 3\log 5\\
= - 5\log 2 - 2\log 3 + 4\log 5\\
= 2\log {5^2} + \log 2 - 6\log 2 - 2\log 3\\
= 2\log 25 - 2\log {2^3} - 2\log 3 + \log 2\\
= 2\log \frac{{25}}{{8 \times 3}} + \log 2\\
= 2\log \frac{{25}}{{24}} + \log 2\left( {proved} \right)
\end{array}[/tex]
উদাহরণ ২৷
প্রমান করো [tex]{\log _2}10 - {\log _8}125 = 1[/tex][H.S '90]
প্রমান:
[tex]\begin{array}{l}
{\log _2}10 - {\log _8}125\\
= {\log _2}\left( {2 \times 5} \right) - {\log _8}{5^3}\\
= {\log _2}2 + {\log _2}5 - 3{\log _8}5\\
= 1 + {\log _2}5 - 3\frac{1}{{{{\log }_5}8}}\\
= 1 + {\log _2}5 - 3\frac{1}{{{{\log }_5}{2^3}}}\\
= 1 + {\log _2}5 - 3\frac{1}{{3{{\log }_5}2}}\\
= 1 + {\log _2}5 - \frac{1}{{{{\log }_5}2}}\\
= 1 + {\log _2}5 - {\log _2}5\\
= 1\left( {proved} \right)
\end{array}[/tex]
উদাহরণ ৩৷
যদি [tex]\frac{{\log x}}{{y - z}} = \frac{{\log y}}{{z - x}} = \frac{{\log z}}{{x - y}}[/tex] হয় তবে দেখাও যে [tex]{x^x}{y^y}{z^z} = 1[/tex][H.S'2000]
প্রমান:
ধরি
[tex]\begin{array}{l}
\frac{{\log x}}{{y - z}} = \frac{{\log y}}{{z - x}} = \frac{{\log z}}{{x - y}} = k\\
\log x = k\left( {y - z} \right),\log y = k\left( {z - x} \right),\log z = k\left( {x - y} \right)
\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{l}
x\log x = xk\left( {y - z} \right)\\
\Rightarrow \log {x^x} = k\left( {xy - xz} \right) \to \left( 1 \right)\\
y\log y = yk(z - x)\\
\Rightarrow \log {y^y} = k(zy - xy) \to (2)\\
z\log z = zk(x - y)\\
\Rightarrow \log {z^z} = k(xz - yz) \to \left( 3 \right)\\
\left( 1 \right) + \left( 2 \right) + \left( 3 \right)\\
\log {x^x} + \log {y^y} + \log {z^z} = k\left( {xy - xz + yz - yx + xz - yz} \right)\\
\Rightarrow \log {x^x}{y^y}{z^z} = k \times 0\\
\Rightarrow \log {x^x}{y^y}{z^z} = 0\\
\Rightarrow {x^x}{y^y}{z^z} = 1\left( {proved} \right)
\end{array}[/tex]
উদাহরণ ৪৷
সমাধান করো: [tex]{\log _x}2 \cdot {\log _{\frac{x}{{16}}}}2 = {\log _{\frac{x}{{64}}}}2[/tex] [H.S'95,Jt Ent'81]
সমাধান:
[tex]\begin{array}{l}
{\log _x}2 \cdot {\log _{\frac{x}{{16}}}}2 = {\log _{\frac{x}{{64}}}}2\\
\Rightarrow {\log _x}2 \cdot \frac{1}{{{{\log }_2}\frac{x}{{16}}}} = \frac{1}{{{{\log }_2}\frac{x}{{64}}}}\\
\Rightarrow {\log _x}2 \cdot {\log _2}\frac{x}{{64}} = {\log _2}\frac{x}{{16}}\\
\Rightarrow {\log _x}2\left( {{{\log }_2}x - {{\log }_2}64} \right) = {\log _2}x - {\log _2}16\\
\Rightarrow {\log _x}2 \cdot {\log _2}x - {\log _x}2 \cdot {\log _2}{2^6} = {\log _2}x - {\log _2}{2^4}\\
\Rightarrow 1 - {\log _x}2 \cdot 6{\log _2}2 = {\log _2}x - 4{\log _2}2\\
\Rightarrow 1 - 6{\log _x}2 = {\log _2}x - 4\\
\Rightarrow 6{\log _x}2 = 5 - {\log _2}x\\
\Rightarrow 6\frac{1}{{{{\log }_2}x}} = 5 - {\log _2}x\\
\Rightarrow 5{\log _2}x - {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} = 6\\
\Rightarrow {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} - 5{\log _2}x + 6 = 0\\
\Rightarrow {a^2} - 5a + 6 = 0\left[ {{{\log }_2}x = a} \right]\\
\Rightarrow \left( {a - 3} \right)\left( {a - 2} \right) = 0\\
a = 3 \Rightarrow {\log _2}x = 3 \Rightarrow x = {2^3} = 8\\
or,a = 2 \Rightarrow {\log _2}x = 2 \Rightarrow x = {2^2} = 4
\end{array}[/tex]
