লগারিদম (Logarithm)

Submitted by arpita pramanik on Wed, 02/16/2011 - 23:02

লগারিদম (Logarithm)

ভূমিকা ( Introduction )

          আমরা দেখেছি যদি a ও xবাস্তব রাশি হয় তাহলে ax(a0)  রাশির a কে নিধান এবং xকে ঘাতের সূচক বা শুধু ঘাত বলে। মনে করি ax=m(m>0) তাহলে a ও xএর মান জানা থাকলে আমরা  mএর মান জানতে পারি। উদাহরণস্বরূপ 52=mm=25 , আবার m ও xএর মান জানা থাকলে আমরা a মান জাতে পারি। উদাহরণস্বরূপ a5=32a=2 , কিন্তু a ও mএর মান জানা থাকলে আমরা সবসময় xএর মান জানতে পারিনা যেমন 4x=16x=2,3x=16 এখানে প্রথম উদাহরণের ক্ষেত্রে xএর মান জানতে পারি কিন্তু দ্বিতীয় উদাহরণের ক্ষেত্রে xএর মান জানতে পারছিনা।বীজগণিতের যে বিশেষ পদ্ধতিতে ax=m সম্পর্ক থেকে xএর মান পাওয়া যায় তাকে লগারিদম বলে।

 

লগারিদমের সংজ্ঞা(Definition of Logarithm)

ax=m(a>0,m>0,a1) হলে x কে a নিধানের সাপেক্ষে mসংখ্যাটির লগারিদম বলে। x=logam এই আকারে লগারিদম প্রকাশ করা হয়।

x=logam কে বলা হয় “x is a logarithm  of m to the base a”

অতএব ax=mx=logam

দৃষ্টান্ত

·         নিধান না জানা থাকলে কোনো সংখ্যার লগারিদম সম্ভব নয়।

·         কোনো সংখ্যার লগারিদমের মান নির্দীষ্ট নয় তা নিধানের উপর নির্ভর করে।

·         যদি m<0 হয় তবে xএর মান অবাস্তব।

ধনাত্মক যেকোনো নিধান a(a0)  সাপেক্ষে 1এর লগারদমের মান শূন্য হবে।

আমরা জানি a0=1(a0)loga1=0

যদি নিধান ও সংখ্যা উভয়েই ধনাত্মক এবং পরস্পর সমান হয় তবে সংখ্যাটির লগারিদমেন মান সর্বদা 1হবে

প্রমান: a=max=ax=logaa=1

 

যদি x=logam হয় তবে alogam=m হবে।

প্রমান: x=logamax=malogam=m

লগারিদমের সাধারণ সূত্রাবলি(General laws of logarithm)

1.       loga(mn)=logam+logan

2.       loga(mn)=logamlogan

3.       logamp=plogam

4.       logam=logbm×logab

যেখানে m,n,a,b>0,a1,b1,p যেকোনো বাস্তব রাশি।

সূত্রবলিরপ্রমাণ(Proof of laws)

1.       loga(mn)=logam+logan

মনে করি

ax=m(1)x=logam(2)ay=n(3)y=logan(4)

(1)(3) করে পাই

axay=mnax+y=mnx+y=loga(mn)loga(mn)=x+yloga(mn)=logam+logan

[(2) ও (4)থেকে পাই]

2.       loga(mn)=logamlogan

মনে করি

ax=m(1)x=logam(2)ay=n(3)y=logan(4)

(1)(3) করে পাই

axay=mnaxy=mnxy=loga(mn)loga(mn)=logamlogan

        [(2) ও (4)থেকে পাই]

 

3.       logamp=plogam

মনে করি

 x=logam(1)ax=m(2)y=logamp(3)ay=mp(4)

(2)ও(4)থেকে পাই

ay=mpay=(ax)pay=axpy=xplogamp=plogam

অনুসিদ্ধান্ত: loganm=logam1n=1nlogam

4.       logam=logbm×logab

মনে করি

x=logamax=m(1)y=logbmby=m(2)z=logabaz=b(3)

অতএব

ax=by[(1),(2)]ax=(az)y[(3)]ax=azyx=zylogam=logab×logbm[(1),(2),(3)]

অনুসিদ্ধান্ত:

 logab×logba=1logab=1logba

আবার আমরা প্রমান করতে পারি logbm=logamlogab

 

 

 

 

 

সংক্ষিপ্তকরণ(Summarisation)

m,n,a,b>0,a1,b1,p যেকোনো বাস্তব রাশি হলে,

1.    loga1=0

2.   logaa=1

3.   alogam=m

4.   loga(mn)=logam+logan

5.   loga(mn)=logamlogan

6.   logamp=plogam

7.   logam=logbm×logab

8.   logab×logba=1

9.   logba=1logab

10.   logbm=logamlogab

 

 

উদাহরণ ১৷

প্রমান করো  7log109+3log8180=2log2524+log2   [H.S '82]

প্রমান:

7log109+3log8180=7(log10log9)+3(log81log80)=7log10+3log81(7log9+3log80)=7log(2×5)+3log347log323log(24×5)=7log2+7log5+12log314log312log23log5=5log22log3+4log5=2log52+log26log22log3=2log252log232log3+log2=2log258×3+log2=2log2524+log2(proved)

 

 

 

উদাহরণ ২৷

প্রমান করো  log210log8125=1[H.S '90]

প্রমান:

log210log8125=log2(2×5)log853=log22+log253log85=1+log2531log58=1+log2531log523=1+log25313log52=1+log251log52=1+log25log25=1(proved)

 

 

উদাহরণ ৩৷

যদি logxyz=logyzx=logzxy হয় তবে দেখাও যে xxyyzz=1[H.S'2000]

প্রমান:

ধরি

logxyz=logyzx=logzxy=klogx=k(yz),logy=k(zx),logz=k(xy)

xlogx=xk(yz)logxx=k(xyxz)(1)ylogy=yk(zx)logyy=k(zyxy)(2)zlogz=zk(xy)logzz=k(xzyz)(3)(1)+(2)+(3)logxx+logyy+logzz=k(xyxz+yzyx+xzyz)logxxyyzz=k×0logxxyyzz=0xxyyzz=1(proved)

 

 

উদাহরণ ৪৷

সমাধান করো: logx2logx162=logx642 [H.S'95,Jt Ent'81]

সমাধান:

logx2logx162=logx642logx21log2x16=1log2x64logx2log2x64=log2x16logx2(log2xlog264)=log2xlog216logx2log2xlogx2log226=log2xlog2241logx26log22=log2x4log2216logx2=log2x46logx2=5log2x61log2x=5log2x5log2x(log2x)2=6(log2x)25log2x+6=0a25a+6=0[log2x=a](a3)(a2)=0a=3log2x=3x=23=8or,a=2log2x=2x=22=4

Comments

Related Items

বাস্তব চলের অপেক্ষক ( Function of Real Variable )

বাস্তব চলের অপেক্ষক ( Function of Real Variable ), একমান বিশিষ্ট ও বহুমান বিশিষ্ট অপেক্ষক ( Single valued and Many valued functions ), অপেক্ষকের শ্রেণীবিভাগ ( Classification of Functions ), অপেক্ষকের কয়েকটি বৈশিষ্ট্য ( Some Feature of Functions )

অন্তরকলনবিদ্যা ( Differential Calculus )

গণিতশাস্ত্রে একটি গুরুত্বপূর্ণ শাখা হল কলনবিদ্যা। গণিতের বিভিন্ন শাখার বিকাশে তথা বিজ্ঞানের বিভিন্ন জায়গায় কলনবিদ্যার প্রয়োগ আছে। ব্রিটিশ বিজ্ঞানী নিউটন ( Newton ) এবং জার্মান বিজ্ঞানী লাইবনিৎস ( Leibnitz ) উভয়কে কলনবিদ্যার ...

বিন্যাস ও সমবায় ( Permutation and Combination )

কতগুলি প্রদত্ত বস্তুর মধ্যে থেকে কয়েকটি বা সবগুলি একসঙ্গে নিয়ে যতভাবে সাজানো যায়, তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি বিন্যাস (Permutation) বলে এবং কতগুলি প্রদত্ত বস্তু থেকে কয়েকটি বা সবগুলি একসঙ্গে নিয়ে যতগুলি বিভিন্ন দল বা নির্বাচন (Group or Selection) গঠন করা হয়, তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি সমবায় (Combination) বলে ।

দ্বিঘাত সমীকরণের তত্ত্ব (Theory of Quadratic Equation)

যে সমীকরণে অজ্ঞাত রাশির বৃহত্তম সূচকের মান দুই হলে তাকে দুই ঘাতবিশিষ্ট বা দ্বিঘাত সমীকরণ, বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য উপপাদ্য, ৩৷ কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের দুটির বেশি বীজ থাকতে পারেনা।

জটিল রাশি (Complex Number)

অনুবন্দী বা প্রতিযোগী জটিল রাশি (Conjugate Complex Number), জটিল রাশির মডিউলাস ও অ্যামপ্লিচিউড বা আরগুমেন্ট (Modulus and Amplitude or Argument of a Complex Number)