লগারিদম (Logarithm)
ভূমিকা ( Introduction )
আমরা দেখেছি যদি a ও xবাস্তব রাশি হয় তাহলে ax(a≠0) রাশির a কে নিধান এবং xকে ঘাতের সূচক বা শুধু ঘাত বলে। মনে করি ax=m(m>0) তাহলে a ও xএর মান জানা থাকলে আমরা mএর মান জানতে পারি। উদাহরণস্বরূপ 52=m⇒m=25 , আবার m ও xএর মান জানা থাকলে আমরা a মান জাতে পারি। উদাহরণস্বরূপ a5=32⇒a=2 , কিন্তু a ও mএর মান জানা থাকলে আমরা সবসময় xএর মান জানতে পারিনা যেমন 4x=16⇒x=2,3x=16 এখানে প্রথম উদাহরণের ক্ষেত্রে xএর মান জানতে পারি কিন্তু দ্বিতীয় উদাহরণের ক্ষেত্রে xএর মান জানতে পারছিনা।বীজগণিতের যে বিশেষ পদ্ধতিতে ax=m সম্পর্ক থেকে xএর মান পাওয়া যায় তাকে লগারিদম বলে।
লগারিদমের সংজ্ঞা(Definition of Logarithm)
ax=m(a>0,m>0,a≠1) হলে x কে a নিধানের সাপেক্ষে mসংখ্যাটির লগারিদম বলে। x=logam এই আকারে লগারিদম প্রকাশ করা হয়।
x=logam কে বলা হয় “x is a logarithm of m to the base a”
অতএব ax=m⇒x=logam
দৃষ্টান্ত
· নিধান না জানা থাকলে কোনো সংখ্যার লগারিদম সম্ভব নয়।
· কোনো সংখ্যার লগারিদমের মান নির্দীষ্ট নয় তা নিধানের উপর নির্ভর করে।
· যদি m<0 হয় তবে xএর মান অবাস্তব।
ধনাত্মক যেকোনো নিধান a(a≠0) সাপেক্ষে 1এর লগারদমের মান শূন্য হবে।
আমরা জানি a0=1(a≠0)⇒loga1=0
যদি নিধান ও সংখ্যা উভয়েই ধনাত্মক এবং পরস্পর সমান হয় তবে সংখ্যাটির লগারিদমেন মান সর্বদা 1হবে।
প্রমান: a=m⇒ax=a⇒x=logaa=1
যদি x=logam হয় তবে alogam=m হবে।
প্রমান: x=logam⇒ax=m⇒alogam=m
লগারিদমের সাধারণ সূত্রাবলি(General laws of logarithm)
1. loga(mn)=logam+logan
2. loga(mn)=logam−logan
3. logamp=plogam
4. logam=logbm×logab
যেখানে m,n,a,b>0,a≠1,b≠1,p যেকোনো বাস্তব রাশি।
সূত্রবলিরপ্রমাণ(Proof of laws)
1. loga(mn)=logam+logan
মনে করি
ax=m→(1)⇒x=logam→(2)ay=n→(3)⇒y=logan→(4)
(1)⋅(3) করে পাই
ax⋅ay=mn⇒ax+y=mn⇒x+y=loga(mn)⇒loga(mn)=x+y⇒loga(mn)=logam+logan
[(2) ও (4)থেকে পাই]
2. loga(mn)=logam−logan
মনে করি
ax=m→(1)⇒x=logam→(2)ay=n→(3)⇒y=logan→(4)
(1)(3) করে পাই
axay=mn⇒ax−y=mn⇒x−y=loga(mn)⇒loga(mn)=logam−logan
[(2) ও (4)থেকে পাই]
3. logamp=plogam
মনে করি
x=logam→(1)⇒ax=m→(2)y=logamp→(3)⇒ay=mp→(4)
(2)ও(4)থেকে পাই
ay=mp⇒ay=(ax)p⇒ay=axp⇒y=xp⇒logamp=plogam
অনুসিদ্ধান্ত: logan√m=logam1n=1nlogam
4. logam=logbm×logab
মনে করি
x=logam⇒ax=m→(1)y=logbm⇒by=m→(2)z=logab⇒az=b→(3)
অতএব
ax=by[(1),(2)]⇒ax=(az)y[(3)]⇒ax=azy⇒x=zy⇒logam=logab×logbm[(1),(2),(3)]
অনুসিদ্ধান্ত:
logab×logba=1⇒logab=1logba
আবার আমরা প্রমান করতে পারি logbm=logamlogab
সংক্ষিপ্তকরণ(Summarisation)
m,n,a,b>0,a≠1,b≠1,p যেকোনো বাস্তব রাশি হলে,
1. loga1=0
2. logaa=1
3. alogam=m
4. loga(mn)=logam+logan
5. loga(mn)=logam−logan
6. logamp=plogam
7. logam=logbm×logab
8. logab×logba=1
9. logba=1logab
10. logbm=logamlogab
উদাহরণ ১৷
প্রমান করো 7log109+3log8180=2log2524+log2 [H.S '82]
প্রমান:
7log109+3log8180=7(log10−log9)+3(log81−log80)=7log10+3log81−(7log9+3log80)=7log(2×5)+3log34−7log32−3log(24×5)=7log2+7log5+12log3−14log3−12log2−3log5=−5log2−2log3+4log5=2log52+log2−6log2−2log3=2log25−2log23−2log3+log2=2log258×3+log2=2log2524+log2(proved)
উদাহরণ ২৷
প্রমান করো log210−log8125=1[H.S '90]
প্রমান:
log210−log8125=log2(2×5)−log853=log22+log25−3log85=1+log25−31log58=1+log25−31log523=1+log25−313log52=1+log25−1log52=1+log25−log25=1(proved)
উদাহরণ ৩৷
যদি logxy−z=logyz−x=logzx−y হয় তবে দেখাও যে xxyyzz=1[H.S'2000]
প্রমান:
ধরি
logxy−z=logyz−x=logzx−y=klogx=k(y−z),logy=k(z−x),logz=k(x−y)
xlogx=xk(y−z)⇒logxx=k(xy−xz)→(1)ylogy=yk(z−x)⇒logyy=k(zy−xy)→(2)zlogz=zk(x−y)⇒logzz=k(xz−yz)→(3)(1)+(2)+(3)logxx+logyy+logzz=k(xy−xz+yz−yx+xz−yz)⇒logxxyyzz=k×0⇒logxxyyzz=0⇒xxyyzz=1(proved)
উদাহরণ ৪৷
সমাধান করো: logx2⋅logx162=logx642 [H.S'95,Jt Ent'81]
সমাধান:
logx2⋅logx162=logx642⇒logx2⋅1log2x16=1log2x64⇒logx2⋅log2x64=log2x16⇒logx2(log2x−log264)=log2x−log216⇒logx2⋅log2x−logx2⋅log226=log2x−log224⇒1−logx2⋅6log22=log2x−4log22⇒1−6logx2=log2x−4⇒6logx2=5−log2x⇒61log2x=5−log2x⇒5log2x−(log2x)2=6⇒(log2x)2−5log2x+6=0⇒a2−5a+6=0[log2x=a]⇒(a−3)(a−2)=0a=3⇒log2x=3⇒x=23=8or,a=2⇒log2x=2⇒x=22=4