নির্ণায়ক (Determinants)

নির্ণায়ক  (Determinants)

সূচনা ( Introduction )

    মনে করি x এর দুটি সরল সমীকরণ হল 

$\begin{array}{l} ax + b = 0.............(1)\\ cx + d = 0.............(2) \end{array}$

এখন সমীকরণ (1) ও (2) সমাধান করে পাই $x =  - \frac{b}{a}$ এবং $x =  - \frac{d}{c}$

সুতরাং (1) ও (2) সমীকরণ দুটির x অপনীতক ( eliminator ) হয় 

$\begin{array}{l}  - \frac{b}{a} =  - \frac{d}{c}\\  \Rightarrow ad = bc\\  \Rightarrow ad - bc = 0............(3) \end{array}$

এক্ষেত্রে $ad - bc$ রাশিটিকে দ্বিতীয় ক্রমের নির্ণায়ক ( determinant of second order ) বলে এবং তাকে নিচের আকারে প্রকাশ করা হয় 

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right|$

a , b , c , d প্রত্যেকটিকে নির্ণায়কের পদ ( element or constituent ) বলা হয়। a , b কে প্রথম সারির ও c , d কে দ্বিতীয় সারির পদ বলে। অনুরূপে a , c কে প্রথম স্তম্ভের b , d কে দ্বিতীয় স্তম্ভের পদ বলে। a , d কে মুখ্য কর্ণের এবং b , c কে গৌণ কর্ণের পদ বলা হয়। 

আবার মনে করি x এবং y এর তিনটি সরল সহসমীকরণ হল 

$\begin{array}{l} {a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0.............(4)\\ {a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0.............(5)\\ {a_3}x + {b_3}y + {c_3} = 0..............(6) \end{array}$

(5) ও (6) সমীকরণে বজ্রগুণন প্রণালী প্রয়োগ করে পাই 

$\frac{x}{{{b_2}{c_3} - {b_3}{c_2}}} = \frac{y}{{{a_3}{c_2} - {a_2}{c_3}}} = \frac{1}{{{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}}}$

অতএব $x = \frac{{{b_2}{c_3} - {b_3}{c_2}}}{{{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}}};y = \frac{{{a_3}{c_2} - {a_2}{c_3}}}{{{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}}}$

এখন x ও y এর মান সমীকরণ (4) এ বসিয়ে পাই 

${a_1}\left( {\frac{{{b_2}{c_3} - {b_3}{c_2}}}{{{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}}}} \right) + {b_1}\left( {\frac{{{a_3}{c_2} - {a_2}{c_3}}}{{{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}}}} \right) + {c_1} = 0.........(7)$

এটি (4) , (5) ও (6) সমীকরণ তিনটির x ও y অপনীতক। এক্ষেত্রে সমীকরণ (7) এর বামপক্ষের রাশিটিকে তৃতীয় ক্রমের নির্ণায়ক (determinant of third order ) বলে এবং এটিকে প্রকাশ করা হয় নিম্নলিখিত আকারে 

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|$

এখানে ${a_1},{b_1},.............{c_3}$ প্রত্যেকটিকে নির্ণায়কের পদ বলে। ${a_1},{b_1},{c_1}$ কে প্রথম সারির , ${a_2},{b_2},{c_2}$ কে দ্বিতীয় সারির এবং ${a_3},{b_3},{c_3}$ কে তৃতীয় সারির পদ বলা হয়। আবার অনুরূপে ${a_1},{a_2},{a_3}$ কে প্রথম স্তম্ভের , ${b_1},{b_2},{b_3}$ কে দ্বিতীয় স্তম্ভের এবং ${c_1},{c_2},{c_3}$ তৃতীয় স্তম্ভের পদ বলা হয়।  

  দেখা যাচ্ছে দ্বিতীয় ক্রমের নির্ণায়কে দুটি সারি ( row ) এবং দুটি স্তম্ভ ( column ) আছে , তৃতীয় ক্রমের নির্ণায়কে তিনটি সারি ( row ) ও তিনটি স্তম্ভ ( column ) আছে অনুরূপে চতুর্থ ক্রমের নির্ণায়কে চারটি সারি এবং চারটি স্তম্ভ থাকবে। এই ভাবে আরো উচ্চতর ক্রমের নির্ণায়কের সংজ্ঞা দেওয়া যায়। 

 

দ্বিতীয় ক্রমের নির্ণায়কের বিসতৃতকরণ ( Expansion of determinant of second order )

মনে করি একটি দ্বিতীয় ক্রমের নির্ণায়ক হল 

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right|$

এখন মুখ্য কর্ণের পদদুটির গুণফল ${a_1}{b_2}$ থেকে গৌণকর্নের পদদুটির গুণফল ${b_1}{a_2}$ কে বিয়োগ করলে বিয়োগফল পাওয়া যায় অর্থাৎ ${a_1}{b_2} - {b_1}{a_2}$ কে দ্বিতীয় ক্রমের নির্ণায়কের বিস্তৃতকরণ বলে। 

 

তৃতীয় ক্রমের নির্ণায়কের বিসতৃতকরণ ( Expansion of determinant of third order )

মনে করি $\Delta  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|$ হল একটি তৃতীয় ক্রমের নির্ণায়ক। এর বিস্তৃতি আমাদের নির্ণয় করতে হবে। 

এক্ষেত্রে নির্ণায়কের বিস্তৃতি আকার হল 

$\Delta  = {a_1}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_2}}&{{c_2}}\\ {{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right| - {b_1}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right| + {c_1}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{b_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}} \end{array}} \right|.............(i)$

অথবা $\Delta  = {a_1}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_2}}&{{c_2}}\\ {{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right| - {a_2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}&{{c_1}}\\ {{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right| + {a_3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}&{{c_1}}\\ {{b_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|.............(ii)$

এখানে (i) এ প্রদত্ত $\Delta$ নির্ণায়কের বিস্তৃতি প্রথম সারির পদগুলির সাপেক্ষে এবং (ii) তে প্রদত্ত $\Delta$ নির্ণায়কের বিস্তৃতি প্রথম স্তম্ভের পদগুলির সাপেক্ষে করা করা হয়েছে। যখন প্রথম সারির পদগুলির সাপেক্ষে করা হয় , তখন 

${a_1}$ এর সহগ = ${a_1}$ গামী প্রথম সারি ও প্রথম স্তম্ভ বাদ দিয়ে প্রাপ্ত দ্বিতীয় ক্রমের নির্ণায়ক 

${b_1}$ এর সহগ = ${b_1}$ গামী প্রথম সারি ও প্রথম স্তম্ভ বাদ দিয়ে প্রাপ্ত দ্বিতীয় ক্রমের নির্ণায়ক 

এবং ${c_1}$ এর সহগ = ${c_1}$ গামী প্রথম সারি ও প্রথম স্তম্ভ বাদ দিয়ে প্রাপ্ত দ্বিতীয় ক্রমের নির্ণায়ক 

একইভাবে যখন প্রথম স্তম্ভের পদগুলির সাপেক্ষে যখন বিস্তৃতি নির্ণয় করা হয় তখন ${a_1},{a_2},{a_3}$ এর সহগ গুলো যথাক্রমে ${a_1}$ গামী সারি ও স্তম্ভ গুলি বাদ দিয়ে প্রাপ্ত দ্বিতীয় ক্রমের নির্ণায়ক , ${a_2}$ গামী সারি ও স্তম্ভ গুলি বাদ দিয়ে প্রাপ্ত দ্বিতীয় ক্রমের নির্ণায়ক এবং ${a_3}$ গামী সারি ও স্তম্ভ গুলি বাদ দিয়ে প্রাপ্ত দ্বিতীয় ক্রমের নির্ণায়ক। প্রথম সারির বা প্রথম স্তম্ভের পদগুলি ছাড়া যেকোনো সারির বা স্তম্ভের পদগুলির সাপেক্ষে নির্ণায়কের বিস্তৃতি নির্ণয় করা যায়। $\Delta$ নির্ণায়কের বিস্তৃতির পরপর তিনটি পদের চিহ্ন নীচে প্রদত্ত চিহ্নের নিয়মে নির্ধারণ করতে হয়। 

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}  + & - & + \\  - & + & - \\  + & - & +  \end{array}} \right|..............(iii)$

এখানে (i) নং সমীকরণে বিস্তৃতি প্রথম সারির পদগুলির সাপেক্ষে করা হয়েছে বলে (iii) এর চিহ্নের নিয়ম অনুযায়ী পরপর তিনটি পদ + , - , + চিহ্নযুক্ত হয়েছে। 

আবার নির্ণায়কের দ্বিতীয় স্তম্ভের পদগুলির সাপেক্ষে যদি বিস্তৃতি করা হয় তবে 

$\Delta  =  - {b_1}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right| + {b_2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{c_1}}\\ {{a_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right| - {b_3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|..........(iv)$

কারণ (iii) এর পদ চিহ্নের নিয়ম অনুযায়ী $\Delta$ নির্ণায়কের দ্বিতীয় স্তম্ভ বরাবর বিস্তৃতির পরপর পদ তিনটি - , + , - চিহ্নযুক্ত হবে। 

এখন (i) , (ii) ও (iii) এর প্রত্যেকটি দ্বিতীয় ক্রমের নির্ণায়কের বিস্তৃতি নির্ণয় করলে প্রতিক্ষেত্রে 

$\Delta  = {a_1}{b_2}{c_3} - {a_1}{b_3}{c_2} + {b_1}{c_2}{a_3} - {b_1}{c_3}{a_2} + {c_1}{a_2}{b_3} - {c_1}{a_3}{b_2}$

পাওয়া যাবে এটিই প্রদত্ত তৃতীয় ক্রমের বিস্তৃ আকার। 

 

নির্ণায়কের বৈশিষ্ট্যসমূহ ( Properties of Determinant )

(১) কোনো নির্ণায়কের সারিসমূহের পদগুলি স্তম্ভ বরাবর এবং স্তম্ভসমূহের পদগুলি সারি বরাবর লিখলে তার মান অপরিবর্তিত থাকে। 

প্রমাণ :-  মনে করি $\Delta  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|$ এবং $\Delta ' = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_1}}&{{b_2}}&{{b_3}}\\ {{c_1}}&{{c_2}}&{{c_3}} \end{array}} \right|$

এখানে  $\Delta '$ নির্ণায়কটি $\Delta$ নির্ণায়কের সারি ও স্তম্ভ পরস্পর স্থান পরিবর্তনে প্রাপ্ত। প্রমাণ করতে হবে $\Delta  = \Delta '$ .

$\Delta$ নির্ণায়কের বিস্তৃতি করে পাই 

$\begin{array}{l} \Delta  = {a_1}\left( {{b_2}{c_3} - {b_3}{c_2}} \right) - {b_1}\left( {{a_2}{c_3} - {a_3}{c_2}} \right) + {c_1}\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right)\\  = {a_1}{b_2}{c_3} - {a_1}{b_3}{c_2} - {a_2}{b_1}{c_3} + {a_3}{b_1}{c_2} + {a_2}{b_3}{c_1} - {a_3}{b_2}{c_1}\\  = {a_1}\left( {{b_2}{c_3} - {b_3}{c_2}} \right) - {a_2}\left( {{b_1}{c_3} - {b_3}{c_1}} \right) + {a_3}\left( {{b_1}{c_2} - {b_2}{c_1}} \right)\\  = \Delta ' \end{array}$

 

(২) কোনো নির্ণায়কের দুটি সংলঘ্ন সারি অথবা দুটি সংলঘ্ন স্তম্ভ যদি পরস্পর স্থান পরিবর্তন করে , তবে নির্ণায়কের সংখ্যমান একই থাকে শুধু চিহ্ন পরিবর্তন হয়। 

প্রমাণ :- মনে করি $\Delta  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|$ , ${\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|$ এবং ${\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{c_1}}&{{b_1}}\\ {{a_2}}&{{c_2}}&{{b_2}}\\ {{a_3}}&{{c_3}}&{{b_3}} \end{array}} \right|$

এখানে ${\Delta _1}$ নির্ণায়ক ,  $\Delta$ নির্ণায়কের দ্বিতীয় সারি এবং তৃতীয় সারির পরস্পর স্থান পরিবর্তনে এবং ${\Delta _2}$ নির্ণায়কটি $\Delta$ নির্ণায়কের দ্বিতীয় স্তম্ভ ও তৃতীয় স্তম্ভের স্থান পরিবর্তনে প্রাপ্ত। এখন আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে ${\Delta _1} =  - \Delta$ এবং ${\Delta _2} =  - \Delta$ .

স্পষ্টতই $\Delta  = {a_1}\left( {{b_2}{c_3} - {b_3}{c_2}} \right) - {b_1}\left( {{a_2}{c_3} - {a_3}{c_2}} \right) + {c_1}\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right)$

$\begin{array}{l} {\Delta _1} = {a_1}\left( {{b_3}{c_2} - {b_2}{c_3}} \right) - {b_1}\left( {{a_3}{c_2} - {a_2}{c_3}} \right) + {c_1}\left( {{a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}} \right)\\  =  - {a_1}\left( {{b_2}{c_3} - {b_3}{c_2}} \right) + {b_1}\left( {{a_2}{c_3} - {a_3}{c_2}} \right) - {c_1}\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right)\\  =  - \left[ {{a_1}\left( {{b_2}{c_3} - {b_3}{c_2}} \right) - {b_1}\left( {{a_2}{c_3} - {a_3}{c_2}} \right) + {c_1}\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right)} \right]\\  =  - \Delta  \end{array}$

একইভাবে প্রমাণ করা যায়  ${\Delta _2} =  - \Delta$ .

 

(৩) কোনো নির্ণায়কের দুটি সারি অথবা দুটি স্তম্ভ পরস্পর অভেদ হলে , তার মান শূন্য হবে। 

প্রমাণ :- মনে করি $\Delta  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|$ একটি নির্ণায়ক। 

উপরের নির্ণায়ক থেকে দেখা যাচ্ছে নিচের দুটি রাশি পরস্পর অভেদ। আমাদের প্রমাণ করতে হবে $\Delta  = 0$.

স্পষ্টতই 

$\begin{array}{l} \Delta  = {a_1}\left( {{b_2}{c_2} - {b_2}{c_2}} \right) - {a_2}\left( {{b_1}{c_2} - {b_2}{c_1}} \right) + {a_2}\left( {{b_1}{c_2} - {b_2}{c_1}} \right)\\  =  - {a_2}{b_1}{c_2} + {a_2}{b_2}{c_1} + {a_2}{b_1}{c_2} - {a_2}{b_2}{c_1}\\  = 0 \end{array}$

অনুরূপে নির্ণায়কের স্তম্ভ দুটি পরস্পর অভেদ হলে আমরা প্রমাণ করতে পারি তার মান শূন্য হবে। 

 

(৪) কোনো নির্ণায়কের একটি সারি অথবা একটি স্তম্ভের প্রত্যেকটি পদকে একটি নির্দিষ্ট রাশি দ্বারা গুণ করা হলে নির্ণায়কটি ওই রাশির গুণিতক হয়। 

মনে করি $\Delta  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|$ এবং ${\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {k{a_3}}&{k{b_3}}&{k{c_3}} \end{array}} \right|$ হল দুটি নির্ণায়ক। 

এখানে ${\Delta _1}$ নির্ণায়কটি $\Delta$ নির্ণায়কটির তৃতীয় রাশিটির সঙ্গে k গুণ করে প্রাপ্ত। এখন আমাদের প্রমাণ করতে হবে ${\Delta _1} = k\Delta$ .

স্পষ্টতই $\Delta  = {a_1}\left( {{b_2}{c_3} - {b_3}{c_2}} \right) - {b_1}\left( {{a_2}{c_3} - {a_3}{c_2}} \right) + {c_1}\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right)$

এখন 

$\begin{array}{l} {\Delta _1} = {a_1}\left( {{b_2}k{c_3} - {b_3}k{c_2}} \right) - {b_1}\left( {{a_2}k{c_3} - {a_3}k{c_2}} \right) + {c_1}\left( {{a_2}k{b_3} - {a_3}k{b_2}} \right)\\  = k\left[ {{a_1}\left( {{b_2}{c_3} - {b_3}{c_2}} \right) - {b_1}\left( {{a_2}{c_3} - {a_3}{c_2}} \right) + {c_1}\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right)} \right]\\  = k\Delta  \end{array}$

অনুরূপে স্তম্ভের প্রত্যেক পদের সাথে নির্দিষ্ট কোনো রাশি গুণ করলে আমরা প্রমাণ করতে পারি নির্ণায়কটি ওই রাশিটির গুণিতক হবে। 

 

মাইনর ও সহ-গুণনীয়ক ( Minor and Co-factor )

মনে করি একটি নির্ণায়ক হল $\Delta  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|$ 

এখন $\Delta$ নির্ণায়কের প্রথম সারির পদের সাপেক্ষে বিস্তৃতি করলে পাওয়া যায় 

$\Delta  = {a_1}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_2}}&{{c_2}}\\ {{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right| - {b_1}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right| + {c_1}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{b_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}} \end{array}} \right|$

এক্ষেত্রে $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_2}}&{{c_2}}\\ {{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|$ , $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|$ এবং $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{b_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}} \end{array}} \right|$ এই দ্বিতীয় ক্রমের নির্ণায়কগুলিকে যথাক্রমে ${a_1}$ , ${b_1}$ এবং ${c_1}$ পদের মাইনর ( Minor ) বলা হয়।  সুতরাং কোনো নির্ণায়কের একটি পদের মাইনর বলতে বোঝায় ওই পদের মধ্যগামী সারি ও স্তম্ভ বাদ দিয়ে প্রাপ্ত নির্ণায়ককে বোঝায়। 

মনে করি ${A_1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_2}}&{{c_2}}\\ {{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|$ , ${B_1} =  - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|$ এবং ${C_1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{b_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}} \end{array}} \right|$

তাহলে আমরা $\Delta  = {a_1}{A_1} + {b_1}{B_1} + {c_1}{C_1}$

এক্ষেত্রে ${A_1}$ , ${B_1}$ এবং ${C_1}$ কে যথাক্রমে  ${a_1}$ , ${b_1}$ এবং ${c_1}$ পদের সহ-গুণনীয়ক বলে। একইভাবে নির্ণায়কের দ্বিতীয় ও তৃতীয় পদের সাপেক্ষে বিস্তৃতি করলে আমরা পাই 

$\Delta  = {a_2}{A_2} + {b_2}{B_2} + {c_2}{C_2}$

$\Delta  = {a_3}{A_3} + {b_3}{B_3} + {c_3}{C_3}$

স্পষ্টতই কোনো নির্ণায়কের একটি পদের সহ-গুণনীয়ক হল যথাযথ চিহ্নসম্বলিত ওই পদের মাইনর। 

 

নির্ণায়কের সমষ্টি ( Addition of Determinant )

দুটি নির্ণায়কের সমষ্টি করতে হলে নির্ণায়ক দুটিকে একই ক্রমের হতে হবে , তাদের একটি সারির ( একটি স্তম্ভের ) প্রত্যেক পদ দুটি পদের সমষ্টির আকারে প্রকাশ করা হয়। 

মনে করি ${\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1} + {x_1}}&{{b_1} + {y_1}}&{{c_1} + {z_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|$ এবং ${\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1} + {x_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2} + {x_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3} + {x_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|$

এখন 

$\begin{array}{l} {\Delta _1} = \left( {{a_1} + {x_1}} \right)\left( {{b_2}{c_3} - {b_3}{c_2}} \right) - \left( {{b_1} + {y_1}} \right)\left( {{a_2}{c_3} - {a_3}{c_2}} \right) + \left( {{c_1} + {z_1}} \right)\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right)\\  = \left[ {{a_1}\left( {{b_2}{c_3} - {b_3}{c_2}} \right) - {b_1}\left( {{a_2}{c_3} - {a_3}{c_2}} \right) + {c_1}\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right)} \right] + \left[ {{x_1}\left( {{b_2}{c_3} - {b_3}{c_2}} \right) - {y_1}\left( {{a_2}{c_3} - {a_3}{c_2}} \right) + {z_1}\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right)} \right]\\  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|\\  \Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1} + {x_1}}&{{b_1} + {y_1}}&{{c_1} + {z_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right| \end{array}$

 

নির্ণায়কের গুণফল ( Multiplication of Determinants )

দুটি একই ক্রমের নির্ণায়কের গুণফল একটি সমক্রমের নির্ণায়ক হয়। নিম্নলিখিত পদ্ধতি অনুসারে নির্ণায়কের গুণফল নির্ধারিত হয়। 

গুণ করার পদ্ধতি ( Rule of Multiplication )

মনে করি ${\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right|$ ও ${\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_1}}&{{d_1}}\\ {{c_2}}&{{d_2}} \end{array}} \right|$ দুটি দ্বিতীয় ক্রমের নির্ণায়ক , এবং $\Delta$ হল তাদের গুণফলে প্রাপ্ত নির্ণায়ক।

এখন $\Delta$ প্রথম সারির প্রথম পদ = ${\Delta _1}$ এর প্রথম সারির পদ দুটির এবং ${\Delta _2}$ এর প্রথম সারির পদ দুটির গুণফলের সমষ্টি = ${a_1}{c_1} + {b_1}{d_1}$ ;

$\Delta$ প্রথম সারির দ্বিতীয় পদ = ${\Delta _1}$ এর প্রথম সারির পদ দুটির এবং ${\Delta _2}$ এর দ্বিতীয় সারির পদ দুটির গুণফলের সমষ্টি = ${a_1}{c_2} + {b_1}{d_2}$ ;

$\Delta$ দ্বিতীয় সারির প্রথম পদ =  ${\Delta _1}$ এর দ্বিতীয় সারির পদ দুটির এবং ${\Delta _2}$ এর প্রথম সারির পদ দুটির গুণফলের সমষ্টি = ${a_2}{c_1} + {b_2}{d_1}$ ;

$\Delta$ দ্বিতীয় সারির দ্বিতীয় পদ =  ${\Delta _1}$ এর দ্বিতীয় সারির পদ দুটির এবং ${\Delta _2}$ এর দ্বিতীয় সারির পদ দুটির গুণফলের সমষ্টি = ${a_2}{c_2} + {b_2}{d_2}$ .

অতএব প্রাপ্ত দ্বিতীয় ক্রমের নির্ণায়কটি হল $\Delta  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}{c_1} + {b_1}{d_1}}&{{a_1}{c_2} + {b_1}{d_2}}\\ {{a_2}{c_1} + {b_2}{d_1}}&{{a_2}{c_2} + {b_2}{d_2}} \end{array}} \right|$

একই প্রক্রিয়ায় তৃতীয় ক্রমের নির্ণায়ক দুটি গুণ করে গুণফল পাওয়া যাবে। 

আবার মনে করি $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|$ এবং $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}\\ {{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}\\ {{x_3}}&{{y_3}}&{{z_3}} \end{array}} \right|$ হল দুটি তৃতীয় ক্রমের নির্ণায়ক। তাদের গুণফল হল 

$\begin{array}{l} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right| \times \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}\\ {{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}\\ {{x_3}}&{{y_3}}&{{z_3}} \end{array}} \right|\\  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}{x_1} + {b_1}{y_1} + {c_1}{z_1}}&{{a_1}{x_2} + {b_1}{y_2} + {c_1}{z_2}}&{{a_1}{x_3} + {b_1}{y_3} + {c_1}{z_3}}\\ {{a_2}{x_1} + {b_2}{y_1} + {c_2}{z_1}}&{{a_2}{x_2} + {b_2}{y_2} + {c_2}{z_2}}&{{a_2}{x_3} + {b_2}{y_3} + {c_2}{z_3}}\\ {{a_3}{x_1} + {b_3}{y_1} + {c_3}{z_1}}&{{a_3}{x_2} + {b_3}{y_2} + {c_3}{z_2}}&{{a_3}{x_3} + {b_3}{y_3} + {c_3}{z_3}} \end{array}} \right| \end{array}$

 

অ্যাডজুগেট্ বা অ্যডজয়েন্ট এবং অন্যোন্যক নির্ণায়ক ( Adjugate or Adjoint and Reciprocal Determinants )

মনে করি$\Delta  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|$ এবং $\Delta$ নির্ণায়কে ${a_1},{b_1},{c_1},{a_2},............{c_3}$ এর সহ-গুণনীয়ক গুলি হল যথাক্রমে ${A_1},{B_1},{C_1},{A_2},...........{C_3}$ .

তাহলে $\Delta ' = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1}}&{{B_1}}&{{C_1}}\\ {{A_2}}&{{B_2}}&{{C_2}}\\ {{A_3}}&{{B_3}}&{{C_3}} \end{array}} \right|$ নির্ণায়ককে ( অথাৎ  $\Delta$ নির্ণায়কের পদ গুলির সহ-গুণনীয়ক দ্বারা গঠিত নির্ণায়ককে ) $\Delta$ নির্ণায়কের অ্যাডজুগেট্ বা অ্যডজয়েন্ট বলে। 

যদি $\Delta  \ne 0$ হয় তবে $\Delta '$ এর প্রত্যেক পদকে $\Delta$ দ্বারা ভাগ করলে যে নির্ণায়ক পাওয়া যায় তাকে $\Delta$ নির্ণায়কের অন্যোন্যক বলা হয়। সুতরাং $\Delta$ নির্ণায়কের অন্যোন্যক হবে 

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{A_1}}}{\Delta }}&{\frac{{{B_1}}}{\Delta }}&{\frac{{{C_1}}}{\Delta }}\\ {\frac{{{A_2}}}{\Delta }}&{\frac{{{B_2}}}{\Delta }}&{\frac{{{C_2}}}{\Delta }}\\ {\frac{{{A_3}}}{\Delta }}&{\frac{{{B_3}}}{\Delta }}&{\frac{{{C_3}}}{\Delta }} \end{array}} \right| = \frac{1}{{{\Delta ^3}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1}}&{{B_1}}&{{C_1}}\\ {{A_2}}&{{B_2}}&{{C_2}}\\ {{A_3}}&{{B_3}}&{{C_3}} \end{array}} \right| = \frac{1}{{{\Delta ^3}}} \times \Delta '$

 

উপপাদ্য :- যদি একটি প্রদত্ত নির্ণায়ক  $\Delta$ এর অ্যাডজুগেট্ নির্ণায়ক ${\Delta _1}$ এবং অন্যোন্যক নির্ণায়ক ${\Delta _2}$ হয় , তবে ${\Delta _1} = {\Delta ^2}$ এবং ${\Delta _2} = \frac{1}{\Delta }$ হবে। 

প্রমাণ :- মনে করি $\Delta  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|\left( { \ne 0} \right)$ একটি তৃতীয় ক্রমের নির্ণায়ক। 

সংজ্ঞানুযায়ী ${\Delta _1}$ = $\Delta$ নির্ণায়কের অ্যাডজুগেট্ = $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1}}&{{B_1}}&{{C_1}}\\ {{A_2}}&{{B_2}}&{{C_2}}\\ {{A_3}}&{{B_3}}&{{C_3}} \end{array}} \right|$

যেখানে ${A_1},{A_2},{A_3},{B_1},.............{C_3}$ হল ${a_1},{a_2},{a_3},{b_1},.............{c_3}$ এর সহ-গুণনীয়ক। 

আমাদের প্রমাণ করতে হবে ${\Delta _1} = {\Delta ^2}$

এখন 

$\begin{array}{l} {\Delta _1} \cdot \Delta \\  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1}}&{{B_1}}&{{C_1}}\\ {{A_2}}&{{B_2}}&{{C_2}}\\ {{A_3}}&{{B_3}}&{{C_3}} \end{array}} \right| \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|\\  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1}{a_1} + {B_1}{b_1} + {C_1}{c_1}}&{{A_1}{a_2} + {B_1}{b_2} + {C_1}{c_2}}&{{A_1}{a_3} + {B_1}{b_3} + {C_1}{c_3}}\\ {{A_2}{a_1} + {B_2}{b_1} + {C_2}{c_1}}&{{A_2}{a_2} + {B_2}{b_2} + {C_2}{c_2}}&{{A_2}{a_3} + {B_2}{b_3} + {C_2}{c_3}}\\ {{A_3}{a_1} + {B_3}{b_1} + {C_3}{c_1}}&{{A_3}{a_2} + {B_3}{b_2} + {C_3}{c_2}}&{{A_3}{a_3} + {B_3}{b_3} + {C_3}{c_3}} \end{array}} \right|\\  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \Delta &0&0\\ 0&\Delta &0\\ 0&0&\Delta  \end{array}} \right|\\  = {\Delta ^3}\\  \Rightarrow {\Delta _1} = {\Delta ^2} \end{array}$

আবার $\Delta$ নির্ণায়কের অন্যোন্যক নির্ণায়ক হল ${\Delta _2}$

অতএব ${\Delta _2} = \frac{1}{{{\Delta ^3}}} \times {\Delta _1} = \frac{1}{{{\Delta ^3}}} \times {\Delta ^2} = \frac{1}{\Delta }$.

 

নির্ণায়কের প্রয়োগ ( Applications of Determinants )

(1) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় 

(2) সরল সহ-সমীকরণ নির্ণয় 

(1) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় ( To find the area of the triangle )

    মনে করি ABC হল একটি ত্রিভুজ , এর A , B , C তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক হল যথাক্রমে $\left( {{x_1},{y_1}} \right)$ , $\left( {{x_2},{y_2}} \right)$ এবং $\left( {{x_3},{y_3}} \right)$ হলে তার ক্ষেত্রফল হবে 

$\frac{1}{2}\left[ {{x_1}\left( {{y_2} - {y_3}} \right) + {x_2}\left( {{y_3} - {y_1}} \right) + {x_3}\left( {{y_1} - {y_2}} \right)} \right)$ বর্গএকক। 

ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলকে একটি তৃতীয় ক্রমের নির্ণায়ক রূপে প্রকাশ করা যায় 

$\frac{1}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right|$

নির্ণায়কের প্রয়োগে ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে নির্ণায়কের সংখ্যমান নির্ণীত হয়। 

(2) সরল সহ-সমীকরণ নির্ণয় : Cramer এর নিয়ম ( Solution of Linear simultaneous equation : Cramer's rule )

নির্ণায়কের সাহায্যে দুই বা ততোধিক অজ্ঞাত রাশির সরল সহ-সমীকরণ সমাধানে Cramer এর নিয়ম প্রয়োগ করা হয়। নিচের তিনটি  অজ্ঞাত রাশি x , y এবং z সম্বলিত সরল সহ-সমীকরণ সমাধানে Cramer এর নিয়ম দেওয়া হল। 

মনে করি তিনটি প্রদত্ত সহ-সমীকরণ হল 

$\begin{array}{l} {a_1}x + {b_1}y + {c_1}z = {k_1}.............(1)\\ {a_2}x + {b_2}y + {c_2}z = {k_2}.............(2)\\ {a_3}x + {b_3}y + {c_3}z = {k_3}............(3) \end{array}$

তিনটি সমীকরণের সাহায্যে x , y এবং z সমাধান করতে হবে। মনে করি , সমীকরণ তিনটিতে x , y এবং z এর সহগগুলি দ্বারা গঠিত নির্ণায়ক হল $\Delta$ এবং $\Delta  \ne 0$

অতএব $\Delta  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|$

আরো মনে করি ${A_1},{A_2},{A_3},.........{C_3}$ হল যথাক্রমে ${a_1},{a_2},{a_3},.........{c_3}$ এর সহ-গুণনীয়ক। এখন সমীকরণ (1) , (2) , (3) কে ${A_1},{A_2},{A_3}$ দ্বারা গুণ করে এবং গুণফল গুলিকে যোগ করে পাই 

$\begin{array}{l} {A_1}\left( {{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z} \right) + {A_2}\left( {{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z} \right) + {A_3}\left( {{a_3}x + {b_3}y + {c_3}z} \right) = {A_1}{k_1} + {A_2}{k_2} + {A_3}{k_3}..........\left( 4 \right)\\  \Rightarrow x\left( {{A_1}{a_1} + {A_2}{a_2} + {A_3}{a_3}} \right) + y\left( {{A_1}{b_1} + {A_2}{b_2} + {A_3}{b_3}} \right) + z\left( {{A_1}{c_1} + {A_2}{c_2} + {A_3}{c_3}} \right) = {A_1}{k_1} + {A_2}{k_2} + {A_3}{k_3}\\  \Rightarrow \Delta x + y \cdot 0 + z \cdot 0 = {A_1}{k_1} + {A_2}{k_2} + {A_3}{k_3} \end{array}$

যেহেতু $\left[ {\left( {{A_1}{b_1} + {A_2}{b_2} + {A_3}{b_3}} \right) = 0,\left( {{A_1}{c_1} + {A_2}{c_2} + {A_3}{c_3}} \right) = 0} \right]$

$\Rightarrow \Delta x = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{k_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{k_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right| = {\Delta _1}$

[ যেখানে মনে করি $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{k_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{k_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right| = {\Delta _1}$ ]

অতএব $x = \frac{{{\Delta _1}}}{\Delta }$

একইভাবে সমীকরণ (1) , (2) , (3) কে ${B_1},{B_2},{B_3}$ দ্বারা গুণ করে গুণফলগুলিকে যোগ করে পাই 

$\Delta y = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{k_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{k_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{k_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right| = {\Delta _2}$

[ যেখানে মনে করি $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{k_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{k_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{k_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right| = {\Delta _2}$ ]

অতএব $y = \frac{{{\Delta _2}}}{\Delta }$

এবং সমীকরণ (1) , (2) , (3) কে ${C_1},{C_2},{C_3}$ দ্বারা গুণ করে গুণফলগুলিকে যোগ করে পাই

$\Delta z = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{k_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{k_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{k_3}} \end{array}} \right| = {\Delta _3}$

[ যেখানে মনে করি $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{k_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{k_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{k_3}} \end{array}} \right| = {\Delta _3}$ ]

অতএব $z = \frac{{{\Delta _3}}}{\Delta }$

সুতরাং নির্ণেয় সমাধান হল $x = \frac{{{\Delta _1}}}{\Delta }$ , $y = \frac{{{\Delta _2}}}{\Delta }$  এবং  $z = \frac{{{\Delta _3}}}{\Delta }$

 

সংক্ষিপ্তকরণ —

(1)  (i) দ্বিতীয় ক্রমের নির্ণায়কের বিস্তৃতিকরণ (expansion of a second order Determinants)

${D_1} = \left| {\matrix{ {{a_1}} & {{b_1}} \cr {{a_2}} & {{b_2}} \cr } } \right|$ (মুখ্য কর্ণ বরাবর পদ দুটির গুনফল )  -  (গৌণ কর্ণ বরাবর পদ দুটির গুনফল )
$= {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}$

  (ii) তৃতীয় ক্রমের নির্ণয়কের বিস্তৃতিকরণ (expansion of a third order Determinants)
একটি তৃতীয় ক্রমের নির্ণয়ককে যে-কোনো সারি (row) অথবা স্তম্ভের (column) পদ তিনটি সাপেক্ষে  বিস্তৃত করা যায় । কোনো সারি (বা স্তম্ভ ) সাপেক্ষে নির্ণয়কের বিস্তৃতি লেখার সময় সারি (বা স্তম্ভ )-এর পরপর পদ তিনটিকে পরপর পদ তিনটির মধ্যগামী সারি ও স্তম্ভ বাদ দিয়ে প্রাপ্ত  দ্বিতীয় ক্রমের নির্ণয়ক দ্বারা গুণ করতে হয় । বিস্তৃতর পরপর পদ তিনটির চিহ্ন নীচের চিহ্নের নিয়মানুযায়ী হবে ।
$\left| {\matrix{ + & - & + \cr - & + & - \cr + & - & + \cr } } \right|$ উদাহরণস্বরূপ , ${D_2} = \left| {\matrix{ {{a_1}} & {{b_1}} & {{c_1}} \cr {{a_2}} & {{b_2}} & {{c_2}} \cr {{a_3}} & {{b_3}} & {{c_3}} \cr } } \right|$

$= - {a_2}\left| {\matrix{ {{b_1}} & {{c_1}} \cr {{b_3}} & {{c_3}} \cr } } \right| + {b_2}\left| {\matrix{ {{a_1}} & {{c_1}} \cr {{a_3}} & {{c_3}} \cr } } \right| - {c_2}\left| {\matrix{ {{a_1}} & {{b_1}} \cr {{a_3}} & {{b_3}} \cr } } \right|$
[দ্বিতীয় সারি সাপেক্ষে  বিস্তৃত করো ]

(2)  সহ-গুনণীক (co-factor)
কোনো প্রদত্ত নির্ণায়কের একটি পদের সহ-গুনণীক হল ওই পদ্গামী সারি ও স্তম্ভ বাদ দিয়ে প্রাপ্ত  নির্ণায়ক এবং তাদের নিয়মানুযায়ী নির্ধারণ করতে হয় :

একটি দ্বিতীয় ক্রমের নির্ণায়কের ক্ষেত্রে : $\left| {\matrix{ + & - \cr - & + \cr } } \right|$
একটি তৃতীয়  ক্রমের নির্ণায়কের ক্ষেত্রে (1) -এ প্রদত্ত চিহ্ন অনুযায়ী । উদাহরণস্বরূপ , ${D_1}$  নির্ণায়কে  ${a_1}$  পদের সহ-গুনণীক  ${b_2};{b_1}$ পদের  সহ-গুনণীক  $( - {a_2})$  , আবার ${D_2}$  নির্ণায়কে  ${a_2}$  পদের  সহ-গুনণীক হয় , $- \left| {\matrix{ {{b_1}} & {{c_1}} \cr {{b_3}} & {{c_3}} \cr } } \right|$

 ${b_2}$ পদের সহ-গুনণীক হয়, $+ \left| {\matrix{ {{a_1}} & {{c_1}} \cr {{a_3}} & {{c_3}} \cr } } \right|$  ইত্যাদি ।

(3) ${D_2}$  নির্ণায়কে  ${a_1},{b_1},{c_1}$  ইত্যাদি পদের সহ-গুনণীকগুলি যথাক্রমে ${A_1},   {B_1},{C_1}$  ইত্যাদি হলে
 ${a_i}{A_j} + {b_i}{B_j} + {c_i}{C_j} = {D_2}$  যখন $i = j$
 ${a_i}{A_j} + {b_i}{B_j} + {c_i}{C_j} = 0$ যখন $i \ne j$
এবং ${a_1}{A_1} + {a_2}{A_2} + {a_3}{A_3} = {b_1}{B_1} + {b_2}{B_2} + {b_3}{B_3} = {c_1}{C_1} + {c_2}{C_2} + {c_3}{C_3} = {D_2}$
এবং ${a_1}{B_1} + {a_2}{B_2} + {a_3}{B_3} = {a_1}{C_1} + {a_2}{C_2} + {a_3}{C_3} = 0$  ইত্যাদি ।

(4)  নির্ণায়কের সমষ্টি   (addition of Determinants)

$\left| {\matrix{   {{a_1} + {l_1}} & {{b_1} + {m_1}} & {{c_1} + {n_1}}  \cr  {{a_2}} & {{b_2}} & {{c_2}}  \cr  {{a_3}} & {{b_3}} & {{c_3}}  \cr  } } \right| = \left| {\matrix{  {{a_1}} & {{b_1}} & {{c_1}}  \cr    {{a_2}} & {{b_2}} & {{c_2}}  \cr    {{a_3}} & {{b_3}} & {{c_3}}  \cr  } } \right| + \left| {\matrix{   {{l_1}} & {{m_1}} & {{n_1}}  \cr    {{a_2}} & {{b_2}} & {{c_2}}  \cr  {{a_3}} & {{b_3}} & {{c_3}}  \cr  } } \right|$

$\left| {\matrix{{{a_1} + {l_1}} & {{b_1}} & {{c_1}}  \cr {{a_2} + {l_2}} & {{b_2}} & {{c_2}}  \cr  {{a_3} + {l_3}} & {{b_3}} & {{c_3}}  \cr  } } \right| = \left| {\matrix{   {{a_1}} & {{b_1}} & {{c_1}}  \cr    {{a_2}} & {{b_2}} & {{c_2}}  \cr    {{a_3}} & {{b_3}} & {{c_3}}  \cr  } } \right| + \left[ {} \right]\left| {\matrix{   {{l_1}} & {{b_1}} & {{c_1}}  \cr    {{l_2}} & {{b_2}} & {{c_2}}  \cr    {{l_3}} & {{b_3}} & {{c_3}}  \cr  } } \right|$

(5)  নির্ণায়কের  বৈশিষ্ট্যসমূহ  ( properties of  Determinants )
 (i)  কোনো নির্ণায়কের সারিসমূহের পদগুলি স্তম্ভ বরাবর এবং স্তম্ভসমূহের পদগুলি সারি বরাবর লিখলে তার মান অপরিবর্তিত থাকে ।
 (ii)  কোনো  নির্ণায়কের  দুটি সংলগ্ন সারি অথবা দুটি সংলগ্ন স্তম্ভ পরস্পর পরিবর্তিত করা হলে  নির্ণায়কের সাংখ্যামান একই থাকে কিন্তু চিহ্ন পরিবর্তিত হয় ।
 (iii)  কোনো নির্ণায়কের  দুটি সারি অথবা দুটি স্তম্ভ অভিন্ন (identical) হলে নির্ণায়কের  মান  শূন্য হয় ।
 (iv) কোনো নির্ণায়কের একটি সারি অথবা একটি স্তম্ভের প্রত্যেকটি পদকে একটি ধ্রুবক রাশি দ্বারা গুণ করা হলে নির্ণায়কটি ওই   ধ্রুবক রাশির গুণিতক হয় ।
 (v)  কোনো নির্ণায়কের একটি সারি বা স্তম্ভের প্রত্যেকটি পদের সঙ্গে অপর কোনো সারি বা স্তম্ভের  প্রত্যেকটির পদের নির্দিষ্ট গুণিতক পরপর অনুরূপ পদের সঙ্গে যোগ ( বা অনুরূপ পদ থেকে বিয়োগ ) করা হলে নির্ণায়কের মান অপরিবর্তিত থাকে  । নির্ণায়কের এই ধর্ম সারিতে প্রয়োগের সময় কমপক্ষে  একটি  সারি এবং স্তম্ভে  প্রয়োগের সময় কমপক্ষে  একটি  স্তম্ভ  অপরিবর্তিত রাখতে হয় ।

(6)  দুটি নির্ণায়কের গুণ  ( multiplication of two Determinants )
দুটি একই ক্রমের নির্ণায়ক গুণ করা যায় এবং গুণফল সমক্রমের একটি নির্ণায়ক হয় । সারিকে সারি দ্বারা অথবা সারিকে স্তম্ভ দিয়ে অথবা , স্তম্ভকে সারি দ্বারা অথবা , স্তম্ভকে স্তম্ভ দ্বারা গুণ করে গুণফল নির্ণায়ক নির্ণয় করা হয় । উদাহরণ স্বরূপ ,
   
$\left| {\matrix{   {{a_1}} & {{b_1}}  \cr    {{a_2}} & {{b_2}}  \cr  } } \right|\left| {\matrix{   {{p_1}} & {{q_1}}  \cr    {{p_2}} & {{q_2}}  \cr  } } \right|= \left| {\matrix{   {{a_1}{p_1} + {b_1}{q_1}} & {{a_1}{p_2} + {b_1}{q_2}}  \cr    {{a_2}{p_1} + {b_2}{q_1}} & {{a_2}{p_2} + {b_2}{q_2}}  \cr  } }\right|$  [ সারিকে সারি দ্বারা গুণ করে ]

এবং $\left| {\matrix{   {{a_1}} & {{b_1}} & {{c_1}}  \cr    {{a_2}} & {{b_2}} & {{c_2}}  \cr    {{a_3}} & {{b_3}} & {{c_3}}  \cr  } } \right|\left|{\matrix{   {{p_1}} & {{q_1}} & {{r_1}}  \cr    {{p_2}} & {{q_2}} & {{r_2}}  \cr    {{p_3}} & {{q_3}} & {{r_3}}  \cr  } } \right| = \left| {\matrix{   {{a_1}{p_1} + {b_1}{p_2} + {c_1}{p_3}} & {{a_1}{q_1} + {b_1}{q_2} + {c_1}{p_3}} & {{a_1}{r_1} + {b_1}{r_2} + {c_1}{r_3}}  \cr    {{a_2}{p_1} + {b_2}{p_2} + {c_2}{p_3}} & {{a_2}{q_1} + {b_2}{q_2} + {c_2}{q_3}} & {{a_2}{r_1} + {b_2}{r_2} + {c_2}{r_3}}  \cr    {{a_3}{p_1} + {b_3}{p_2} + {c_3}{p_3}} & {{a_3}{q_1} + {b_3}{q_2} + {c_3}{q_3}} & {{a_3}{r_1} + {b_3}{r_2} + {c_3}{r_3}}  \cr  } } \right|$  [ সারিকে স্তম্ভ দ্বারা গুণ করে ]

 (7) অ্যাডজুগেট  বা  অ্যাডজয়েন্ট নির্ণায়ক  ( adjugate or adjoint Determinant )
একটি প্রদত্ত নির্ণায়ক $D$ -এর  অ্যাডজুগেট হল একটি নির্ণায়ক যার পদগুলি $D$ নির্ণায়কের পদগুলির সহ-গুণনীয়কগুলি এবং এটি $D'$ প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় । $D$ নির্ণায়কের অ্যাডজুগেট নির্ণায়ক  $D'$  হলে $D' = {D^2}$  হবে ।

(8) $A({x_1},{y_1}),B({x_2},{y_2})$  ও  $C({x_3}{y_3})$  বিন্দু তিনটির সংযোগে উৎপন্ন $ABC$  ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল  $={1 \over 2} \left|{\matrix{{{x_1}} & {{y_1}} & 1 \cr {{x_2}} & {{y_2}} & 1 \cr {{x_3}} & {{y_3}} & 1 \cr }} \right|$ বর্গএকক
এখানে নির্ণায়কটির সাংখ্যমান নিতে হয় ।

(9) Cramer -এর নিয়ম ( Cramer's rule )
(i) ${a_1}x + {b_1}y = {k_1}$  ;  ${a_2}x + {b_2}y = {k_2}$

Cramer- এর সাহায্যে সমাধান করে ,

$x = {{{D_1}} \over D}$  ও  $y = {{{D_2}} \over D}$  ,

যেখানে

$D = \left| {\matrix{{{a_1}} & {{b_1}} \cr {{a_2}} & {{b_2}} \cr }} \right| \ne 0$ ; ${D_1} = \left| {\matrix{{{k_1}} & {{b_1}}  \cr {{k_2}} & {{b_2}}  \cr } } \right|$ ও ${D_2} = \left| {\matrix{{{a_1}} & {{k_1}} \cr {{a_2}} & {{k_2}} \cr }} \right|$

(ii) ${a_1}x + {b_1}y + {c_1}z = {k_1}$  ;  ${a_2}x + {b_2}y + {c_2}z = {k_2}$  ;  ${a_3}x + {b_3}y + {c_3}z = {k_3}$

 Cramer- এর নিয়মের সাহায্যে সমাধান করে
    $x = {{{D_1}} \over D}$  ,  $y = {{{D_2}} \over D}$ এবং  $z = {{{D_3}} \over D}$

যেখানে  $D = \left| {\matrix{{{a_1}} & {{b_1}} & {{c_1}} \cr {{a_2}} & {{b_2}} & {{c_2}} \cr {{a_3}} & {{b_3}} & {{c_3}} \cr }} \right| \ne 0$ ;  ${D_1} = \left| {\matrix{{{k_1}} & {{b_1}} & {{c_1}}  \cr {{k_2}} & {{b_2}} & {{c_2}}  \cr {{k_3}} & {{b_3}} & {{c_3}}  \cr }} \right|;$

 ${D_2} = \left| {\matrix{{{a_1}} & {{k_1}} & {{c_1}} \cr {{a_2}} & {{k_2}} & {{c_2}} \cr {{a_3}} & {{k_3}} & {{c_3}} \cr }} \right|$  এবং  ${D_3} = \left| {\matrix{{{a_1}} & {{b_1}} & {{k_1}}  \cr {{a_2}} & {{b_2}} & {{k_2}}  \cr {{a_3}} & {{b_3}} & {{k_3}}  \cr }} \right|$