সমাহার বৃদ্ধি ও হ্রাস

সমাহার বৃদ্ধি ও হ্রাস (Uniform increase and decrease) :

চক্রবৃদ্ধি সুদের নিয়মাবলি ও সূত্র অনুসরণ করে কোনো বস্তু অথবা কোনো জিনিসের সমাহার বৃদ্ধি এবং হ্রাস অথবা চূড়ান্ত মূল্য নির্ধারণ সংক্রান্ত সমস্যার সমাধান করা যায় । 

যদি বর্তমান মূল্য P হয় এবং বাৎসরিক বদ্ধি r% হয়, 

তখন ,

1. n বছর পর মূল্য হবে $= P{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^n}$
2. n বছর আগে মূল্য ছিল $= \frac{P}{{{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}^n}}}$

আবার যদি বর্তমান মূল্য P হয় এবং বাৎসরিক হ্রাসের হার r% হয় ,

তখন,

1. n বছর পর মূল্য হবে $= P{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^n}$
2. n বছর আগে মূল্য ছিল $= \frac{P}{{{{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}^n}}}$
3. অবচয় বা হ্রাসের পরিমাণ $= P - P{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^n}$

যদি মূলধন বা আসল P হয় এবং সুদের হার প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরে যথাক্রমে ${r_1}\%$ , ${r_2}\%$ এবং ${r_3}\%$ হয়, তখন তিন বছর পরে সবৃদ্ধিমুল A হবে 

$A = P\left( {1 + \frac{{{r_1}}}{{100}}} \right)\left( {1 + \frac{{{r_2}}}{{100}}} \right)\left( {1 + \frac{{{r_3}}}{{100}}} \right)$

কয়েকটি প্রমাণ 

যদি বর্তমান মূল্য P হয় এবং বাৎসরিক বদ্ধি r% হয় , তখন n বছর আগে মূল্য ছিল $= \frac{P}{{{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}^n}}}$ 

যদি এই বছর জিনিসটার দাম 100 টাকা হয় তাহলে গত বছর তার দাম ছিল (100 - r) টাকা 

অতএব জিনিসটার দাম এই বছর P টাকা হল গতবছর দাম ছিল $\frac{{\left( {100 - r} \right)}}{{100}} \times P$ টাকা । 

এখন 

$\begin{array}{l} \frac{{\left( {100 - r} \right)}}{{100}} \times P = \\ P\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)\\  = P{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^{ - 1}}\\  = \frac{P}{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}} \end{array}$

অর্থাৎ এক বছর আগে জিনিসটার দাম হত $\frac{P}{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}}$ টাকা । 

আবার গত বছর জিনিসটার দাম 100 টাকা হলে তার আগের বছর তার দাম ছিল (100 - r) টাকা .

অতএব জিনিসটার দাম গতবছর $\frac{P}{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}}$ টাকা হলে তার আগের বছরে দাম ছিল $\left( {\frac{{100 - r}}{{100}}} \right) \times \frac{P}{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}}$ টাকা । 

এখন 

$\begin{array}{l} \left( {\frac{{100 - r}}{{100}}} \right) \times \frac{P}{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}}\\  = \left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right) \times \frac{P}{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}}\\  = \frac{P}{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}} \times {\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^{ - 1}}\\  = \frac{P}{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right) \times \left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}}\\  = \frac{P}{{{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}^2}}} \end{array}$

অর্থাৎ দুবছর আগে জিনিসটার দাম ছিল $\frac{P}{{{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}^2}}}$ টাকা । 

একই রকম ভাবে n বছর আগে জিনিসটার দাম ছিল $\frac{P}{{{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}^n}}}$ টাকা । 

যদি বর্তমান মূল্য P হয় এবং বাৎসরিক হ্রাসের হার r% হয় ,তখন  n বছর পর মূল্য হবে $= P{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^n}$

এক বছর পরে জিনিসটার দাম কমবে ${\frac{{r \cdot P}}{{100}}}$ টাকা । 

তখন এক বছর পরে জিনিসটির দাম হবে $\left( {P - \frac{{r \cdot P}}{{100}}} \right)$ টাকা = $P\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)$ টাকা । 

দুবছর পরে জিনিসটার দাম কমবে $\frac{r}{{100}} \cdot P\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)$ টাকা । 

দু-বছর পরে জিনিসটার দাম হবে $[P\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right) - \frac{r}{{100}} \cdot P\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)]$ টাকা = $P\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)$ টাকা = $P{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^2}$

অনুরূপভাবে n বছর পরে জিনিসটির দাম হবে $P{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^n}$ টাকা । 

যদি বর্তমান মূল্য P হয় এবং বাৎসরিক হ্রাসের হার r% হয় ,তখন n বছর আগে মূল্য ছিল $= \frac{P}{{{{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}^n}}}$

কোনো জিনিসের মূল্য যদি এই বছর 100 টাকা হয় তবে গতবছর ছিল (100 + r) টাকা । 

অতএব এই বছর জিনিসটির দাম P টাকা হলে গতবছর ছিল $\frac{{\left( {100 + r} \right)}}{{100}} \times P$ টাকা । 

এখন 

$\begin{array}{l} \frac{{\left( {100 + r} \right)}}{{100}} \times P\\  = P\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)\\  = P{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^{ - 1}}\\  = \frac{P}{{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}} \end{array}$

অর্থাৎ এক বছর আগে জিনিসটির মূল্য ছিল $\frac{P}{{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}}$ টাকা । 

আবার এক বছর আগে জিনিসটার মূল্য $\frac{P}{{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}}$ টাকা হলে দুবছর আগে জিনিসটার মূল্য ছিল $\frac{{\left( {100 + r} \right)}}{{100}} \times \frac{P}{{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}}$ টাকা । 

এখন 

$\begin{array}{l} \frac{{\left( {100 + r} \right)}}{{100}} \times \frac{P}{{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}}\\  = \left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right) \times \frac{P}{{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}}\\  = \frac{P}{{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}} \times {\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^{ - 1}}\\  = \frac{P}{{{{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}^2}}} \end{array}$

অতএব দুবছর আগে জিনিসটির মূল্য ছিল $\frac{P}{{{{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}^2}}}$ টাকা । 

অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় n বছর আগে জিনিসটির মূল্য ছিল $\frac{P}{{{{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}^n}}}$ টাকা । 

যদি মূলধন বা আসল P হয় এবং সুদের হার প্রথম , দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরে যথাক্রমে ${r_1}\%$ , ${r_2}\%$ এবং ${r_3}\%$ হয়, তখন তিন বছর পরে সবৃদ্ধিমুল A হবে 

$A = P\left( {1 + \frac{{{r_1}}}{{100}}} \right)\left( {1 + \frac{{{r_2}}}{{100}}} \right)\left( {1 + \frac{{{r_3}}}{{100}}} \right)$

মূলধন P এবং প্রথম বছর ${r_1}\%$ সুদের জন্য সবৃদ্ধিমুল হবে $P\left( {1 + \frac{{{r_1}}}{{100}}} \right)$ = ${P_2}$ = দ্বিতীয় বছরের মূলধন । 

অতএব ${P_2}$ মূলধনএবং দ্বিতীয় বছরে ${r_2}\%$ সুদের জন্য সবৃদ্ধিমূল হবে ${P_2}\left( {1 + \frac{{{r_2}}}{{100}}} \right) = {P_3}$ = তৃতীয় বছরের মূলধন । 

আবার তৃতীয় বছরের মূলধন ${P_3}$ এবং ${r_3}\%$ সুদের জন্য সবৃদ্ধিমুল হবে ${P_3}\left( {1 + \frac{{{r_3}}}{{100}}} \right)$ 

এখন 

$\begin{array}{l} {P_3}\left( {1 + \frac{{{r_3}}}{{100}}} \right)\\  = {P_2}\left( {1 + \frac{{{r_2}}}{{100}}} \right)\left( {1 + \frac{{{r_3}}}{{100}}} \right)\\  = P\left( {1 + \frac{{{r_1}}}{{100}}} \right)\left( {1 + \frac{{{r_2}}}{{100}}} \right)\left( {1 + \frac{{{r_3}}}{{100}}} \right) \end{array}$

যদি মূলধন বা আসল P হয় এবং সুদের হার প্রথম , দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরে যথাক্রমে ${r_1}\%$ , ${r_2}\%$ এবং ${r_3}\%$ হয় , তখন তিন বছর পরে সবৃদ্ধিমুল A হবে 

$A = P\left( {1 + \frac{{{r_1}}}{{100}}} \right)\left( {1 + \frac{{{r_2}}}{{100}}} \right)\left( {1 + \frac{{{r_3}}}{{100}}} \right)$

*****