সূচকের নিয়মাবলি (Laws of Index)
ভূমিকা (Introduction) : কোনো সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দ্বারা একাধিকবার গুণ করার প্রক্রিয়াকে প্রকাশ করা হয় সংখ্যাটির মাথার ডানদিকে সংখ্যাটিকে যত সংখ্যক বার গুণ করা হয়েছে সেই সংখ্যাটি বসিয়ে । এই প্রক্রিয়াকে সূচকের নিয়ম বলে ।
যেমন [tex]3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3[/tex] এখানে 3 কে পাঁচবার গুণ করা হয়েছে । সুতরাং একে প্রকাশ করতে হলে [tex]{3^5}[/tex] আকারে লেখা হয় । আবার [tex]a \times a \times a[/tex] কে প্রকাশ করা হয় [tex]{a^3}[/tex] এর আকারে । কারণ এখানে a কে তিনবার গুণ করা হয়েছে ।
এখানে সংখ্যা রাশির ডানদিকের একটু উঁচুতে কোনাকুনি ভাবে অবস্থিত সংখ্যাটিকে প্রথম সংখ্যার সূচক বলে আর প্রথম সংখ্যাটিকে বলে নিধন (Base) ।
[tex]{x^m} \times {x^n} = {x^{m + n}}[/tex] ( যেখানে x একটি বাস্তব সংখ্যা এবং m , n দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ) কে সূচকের মৌলিক নিয়ম (Fundamental Laws of Indices) বলা হয় ।
সূচকের নিয়মাবলি (Laws of index)
যদি m ও n ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা হয় এবং [tex]a \ne 0,b \ne 0[/tex] হয় তবে,
1. [tex]{a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}}[/tex]
2. [tex]{a^m} \div {a^n} = \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}[/tex] ,[tex]m > n[/tex]
3. [tex]{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}[/tex]
4. [tex]{\left( {ab} \right)^m} = {a^m} \cdot {b^m}[/tex]
5. [tex]{\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}[/tex]
নিয়মাবলির প্রমাণ (Proof of the laws)
1. [tex]{a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}}[/tex]
[tex]{a^m} = a \times a \times a \times \ldots \times a,m[/tex] সংখ্যক [tex]{a^n} = a \times a \times a \times \ldots \times a,n[/tex] সংখ্যক
[tex]{a^m} \cdot {a^n} = a \times a \times a \times \ldots \times a,m[/tex] সংখ্যক [tex] \cdot a \times a \times a \times \ldots \times a,n[/tex] সংখ্যক
[tex] = a \times a \times a \times \ldots \times a,m + n[/tex] সংখ্যক
[tex] = {a^{m + n}}[/tex]
2. [tex]{a^m} \div {a^n} = \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}},m > n[/tex]
যেহেতু m ও n দুটি অখণ্ড সংখ্যা এবং [tex]m > n,m - n[/tex] অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যা ।
এখন [tex]{a^n} \cdot {a^{m - n}} = {a^{n + m - n}} = {a^m}[/tex] [1. থেকে প্রমানিত ]
[tex]{a^{m - n}} = \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}}[/tex] [ উভয় কে [tex]{a^n}[/tex] দিয়ে ভাগ দিয়ে পাই ]
3. [tex]{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}[/tex]
এখন [tex]{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^m} \cdot {a^m} \cdot {a^m} \cdot \ldots \cdot {a^m},n[/tex] সংখ্যক
[tex]\begin{array}{l}
= {a^{m + m + m + \ldots m}}\\
= {a^{mn}}
\end{array}[/tex]
4. [tex]{\left( {ab} \right)^m} = {a^m} \cdot {b^m}[/tex]
[tex]{\left( {ab} \right)^m} = ab \cdot ab \cdot ab \cdot \ldots \cdot ab,m[/tex] সংখ্যক
[tex] = a \times a \times a \times \ldots \times a,m[/tex] সংখক[tex] \cdot b \times b \times b \times \ldots \times b,m[/tex] সংখ্যক
[tex] = {a^m} \cdot {b^m}[/tex]
5. [tex]{\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}[/tex]
এখন
[tex]\begin{array}{l}
{\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} \times {b^m} = {\left( {\frac{a}{b} \times b} \right)^m} = {a^m}\\
{\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}
\end{array}[/tex] [ আগের প্রমান থেকে পাই ]
[উভয়কে [tex]{b^m}[/tex] দিয়ে ভাগ করে পাই]
m যখন ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা নয় তখন [tex]{a^m}[/tex] এর অর্থ (Meaning of [tex]{a^m}[/tex] , when m is not a Positive Integer)
আমরা m ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যার জন্য আগের নিয়মাবলি প্রয়োগ করেছি । কিন্তু m যখন ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা না হয়ে m এর মান যদি শূন্য , ঋনাত্মক বা ভগ্নাংশ হয় তখন সেক্ষেত্রে [tex]{a^m}[/tex] এর কোনো অর্থ হয় না ।
i) যখন m = 0
[tex]\begin{array}{l}
m = 0\\
{a^m} = {a^0}
\end{array}[/tex]
অর্থাৎ a কে শূন্যবার গুন করা বোঝায় যার কোনো অর্থ নেই ।
ii). যখন m < 0
[tex]m < 0[/tex]
মনে করি [tex]m = - p[/tex] যেখনে p হল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা ।
[tex]{a^m} = {a^{ - p}}[/tex] ,a কে (-p) বার গুন করা বোঝায়।যা অর্থহীন । ভগ্ণাংশের ক্ষেত্রেও একই সমস্যা।তবুও সূচকের মূল সত্যটি সবক্ষেত্রে সত্য বলে ধরে নেওয়া হয় ।
m এর মান যখন শূন্য, ঋনাত্মক এবং ভগ্নাংশ তখন নিম্নলিখিত ভাবে [tex]{a^m}[/tex] কে প্রকাশ করা হয় ।
i). [tex]{a^0},\left( {a \ne 0} \right)[/tex] এর অর্থ
[tex]\begin{array}{l}
{a^0} \cdot {a^m} = {a^m}\\
\Rightarrow {a^0} = \frac{{{a^m}}}{{{a^m}}} = 1,\left[ {a \ne 0} \right]
\end{array}[/tex] [সূচকের যেকোনো মানে মূল সূত্র সত্য]
[ উভয়কে [tex]{a^m}[/tex] দিয়ে ভাগ করে পাই ]
ii). যখন [tex]m < 0,\left( {a \ne 0} \right)[/tex]
মনে করি [tex]m = - p[/tex] (p হল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা )
[tex]\begin{array}{l}
{a^{ - p}} \cdot {a^p} = {a^{ - p + p}} = {a^0} = 1\\
{a^{ - p}}.{a^p} = 1\\
\Rightarrow {a^{ - p}} = \frac{1}{{{a^p}}}
\end{array}[/tex] [ সূচকের যেকোনো মানে মূলসূত্র সত্য]
[ উভয়পক্ষকে [tex]{a^p}[/tex] দিয়ে ভাগ করে পাই [tex]a \ne 0[/tex] ]
অনুরূপে [tex]{a^p} = \frac{1}{{{a^{ - p}}}},a \ne 0[/tex]
অতএব [tex]{a^{ - p}}[/tex] হয় [tex]{a^p}[/tex] এর অন্যোনক ।
iii) যখন m ভগ্নাংশ হয় ।
মনে করি [tex]m = \frac{p}{q}[/tex], যেখানে p ও q হল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা ।
[tex]\begin{array}{l}
{\left( {{a^{\frac{p}{q}}}} \right)^q} = {a^{\frac{p}{q} \cdot q}} = {a^p}\\
{\left( {{a^{\frac{p}{q}}}} \right)^q} = {a^p}\\
\Rightarrow {a^{\frac{p}{q}}} = \sqrt[q]{{{a^p}}}
\end{array}[/tex] [সূচকের যে কোনো মানে মূল সূত্রটি সত্য ]
[tex]{a^{\frac{p}{q}}}[/tex] কে [tex]{a^p}[/tex] এর q তম মূল বলে ।
সূচক সংক্রান্ত সমীকরণ ও অভেদ [Equations and Identities Involving Indices]
1. যখন a, m, n বাস্তব সংখ্যা [tex]{a^m} = {a^n}[/tex] হলে [tex]m = n[/tex] যখন [tex]a \ne 0, \pm 1[/tex]
[tex]\begin{array}{l}
{a^m} = {a^n}\\
\Rightarrow \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = 1\\
\Rightarrow {a^{m - n}} = {a^0}\left[ {a \ne 0, \pm 1} \right]\\
\Rightarrow m - n = 0\\
\Rightarrow m = n
\end{array}[/tex]
2. a, b, m বাস্তব সংখ্যা এবং [tex]{a^m} = {b^m}[/tex] হলে a = b যখন [tex]m \ne 0[/tex]
[tex]{a^m} = {b^m}[/tex] এর উভয়দিকে [tex]{b^m}[/tex] দিয়ে ভাগ করে পাই ।
[tex]\begin{array}{l}
{a^m} = {b^m}\\
\Rightarrow \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}} = 1\\
\Rightarrow {\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = 1\\
\Rightarrow \frac{a}{b} = 1\left[ {m \ne 0} \right]\\
\Rightarrow a = b
\end{array}[/tex]
*****
