সূচকের নিয়মাবলি (Laws of Index)

Submitted by arpita pramanik on Wed, 02/16/2011 - 00:09

সূচকের নিয়মাবলি (Laws of Index)

ভূমিকা (Introduction) : কোনো সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দ্বারা একাধিকবার গুণ করার প্রক্রিয়াকে প্রকাশ করা হয় সংখ্যাটির মাথার ডানদিকে সংখ্যাটিকে যত সংখ্যক বার গুণ করা হয়েছে সেই সংখ্যাটি বসিয়ে । এই প্রক্রিয়াকে সূচকের নিয়ম বলে । 

যেমন [tex]3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3[/tex] এখানে 3 কে পাঁচবার গুণ করা হয়েছে । সুতরাং একে প্রকাশ করতে হলে [tex]{3^5}[/tex] আকারে লেখা হয় । আবার [tex]a \times a \times a[/tex] কে প্রকাশ করা হয় [tex]{a^3}[/tex] এর আকারে । কারণ এখানে a কে তিনবার গুণ করা হয়েছে । 

এখানে সংখ্যা রাশির ডানদিকের একটু উঁচুতে কোনাকুনি ভাবে অবস্থিত সংখ্যাটিকে প্রথম সংখ্যার সূচক বলে আর প্রথম সংখ্যাটিকে বলে নিধন (Base) ।

[tex]{x^m} \times {x^n} = {x^{m + n}}[/tex] ( যেখানে x একটি বাস্তব সংখ্যা এবং m , n দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ) কে সূচকের মৌলিক নিয়ম (Fundamental Laws of Indices) বলা হয় । 

 

সূচকের নিয়মাবলি (Laws of index)

যদি m ও n ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা হয় এবং [tex]a \ne 0,b \ne 0[/tex] হয় তবে,

1. [tex]{a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}}[/tex]

2. [tex]{a^m} \div {a^n} = \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}[/tex] ,[tex]m > n[/tex]

3. [tex]{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}[/tex]

4. [tex]{\left( {ab} \right)^m} = {a^m} \cdot {b^m}[/tex]

5. [tex]{\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}[/tex]

 

নিয়মাবলির প্রমাণ (Proof of the laws)

1. [tex]{a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}}[/tex]

 [tex]{a^m} = a \times a \times a \times  \ldots  \times a,m[/tex] সংখ্যক [tex]{a^n} = a \times a \times a \times  \ldots  \times a,n[/tex] সংখ্যক

[tex]{a^m} \cdot {a^n} = a \times a \times a \times  \ldots  \times a,m[/tex] সংখ্যক [tex] \cdot a \times a \times a \times  \ldots  \times a,n[/tex] সংখ্যক

          [tex] = a \times a \times a \times  \ldots  \times a,m + n[/tex] সংখ্যক

          [tex] = {a^{m + n}}[/tex]

 

2. [tex]{a^m} \div {a^n} = \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}},m > n[/tex]

যেহেতু m ও n দুটি অখণ্ড সংখ্যা এবং [tex]m > n,m - n[/tex] অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যা ।

এখন [tex]{a^n} \cdot {a^{m - n}} = {a^{n + m - n}} = {a^m}[/tex] [1. থেকে প্রমানিত ]

[tex]{a^{m - n}} = \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}}[/tex]  [ উভয় কে [tex]{a^n}[/tex] দিয়ে ভাগ দিয়ে পাই ]

 

3. [tex]{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}[/tex]

এখন [tex]{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^m} \cdot {a^m} \cdot {a^m} \cdot  \ldots  \cdot {a^m},n[/tex] সংখ্যক

                [tex]\begin{array}{l}
 = {a^{m + m + m +  \ldots m}}\\
 = {a^{mn}}
\end{array}[/tex]

 

4. [tex]{\left( {ab} \right)^m} = {a^m} \cdot {b^m}[/tex]

[tex]{\left( {ab} \right)^m} = ab \cdot ab \cdot ab \cdot  \ldots  \cdot ab,m[/tex] সংখ্যক

         [tex] = a \times a \times a \times  \ldots  \times a,m[/tex] সংখক[tex] \cdot b \times b \times b \times  \ldots  \times b,m[/tex] সংখ্যক

        [tex] = {a^m} \cdot {b^m}[/tex]

 

5. [tex]{\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}[/tex]

 এখন

[tex]\begin{array}{l}
{\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} \times {b^m} = {\left( {\frac{a}{b} \times b} \right)^m} = {a^m}\\
{\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}
\end{array}[/tex] [ আগের প্রমান থেকে পাই ]

[উভয়কে [tex]{b^m}[/tex] দিয়ে ভাগ করে পাই]

 

m যখন ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা নয় তখন [tex]{a^m}[/tex] এর অর্থ (Meaning of [tex]{a^m}[/tex] , when m is not a Positive Integer)

আমরা m ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যার জন্য আগের নিয়মাবলি প্রয়োগ করেছি । কিন্তু m যখন ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা না হয়ে  m এর মান যদি শূন্য , ঋনাত্মক বা ভগ্নাংশ হয় তখন  সেক্ষেত্রে [tex]{a^m}[/tex] এর কোনো অর্থ হয় না ।

i) যখন m = 0

 [tex]\begin{array}{l}
m = 0\\
{a^m} = {a^0}
\end{array}[/tex]

অর্থাৎ a কে শূন্যবার গুন করা বোঝায় যার কোনো অর্থ নেই ।

ii). যখন m < 0

[tex]m < 0[/tex]

মনে করি [tex]m =  - p[/tex] যেখনে p হল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা ।

[tex]{a^m} = {a^{ - p}}[/tex] ,a কে (-p) বার গুন করা বোঝায়।যা অর্থহীন । ভগ্ণাংশের ক্ষেত্রেও একই সমস্যা।তবুও সূচকের মূল সত্যটি সবক্ষেত্রে সত্য বলে ধরে নেওয়া হয় ।

 

m এর মান যখন শূন্য, ঋনাত্মক এবং ভগ্নাংশ তখন নিম্নলিখিত ভাবে [tex]{a^m}[/tex] কে প্রকাশ করা হয় ।

i). [tex]{a^0},\left( {a \ne 0} \right)[/tex] এর অর্থ

[tex]\begin{array}{l}
{a^0} \cdot {a^m} = {a^m}\\
 \Rightarrow {a^0} = \frac{{{a^m}}}{{{a^m}}} = 1,\left[ {a \ne 0} \right]
\end{array}[/tex] [সূচকের যেকোনো মানে মূল সূত্র সত্য]

[ উভয়কে [tex]{a^m}[/tex] দিয়ে ভাগ করে পাই ]

 

ii). যখন [tex]m < 0,\left( {a \ne 0} \right)[/tex]

মনে করি [tex]m =  - p[/tex] (p হল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা )

[tex]\begin{array}{l}
{a^{ - p}} \cdot {a^p} = {a^{ - p + p}} = {a^0} = 1\\
{a^{ - p}}.{a^p} = 1\\
 \Rightarrow {a^{ - p}} = \frac{1}{{{a^p}}}
\end{array}[/tex] [ সূচকের যেকোনো মানে মূলসূত্র সত্য]

[ উভয়পক্ষকে [tex]{a^p}[/tex] দিয়ে ভাগ করে পাই [tex]a \ne 0[/tex] ]

অনুরূপে [tex]{a^p} = \frac{1}{{{a^{ - p}}}},a \ne 0[/tex] 

অতএব [tex]{a^{ - p}}[/tex] হয় [tex]{a^p}[/tex] এর অন্যোনক ।

 

iii) যখন m ভগ্নাংশ হয় ।

মনে করি [tex]m = \frac{p}{q}[/tex], যেখানে p ও q হল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা ।

[tex]\begin{array}{l}
{\left( {{a^{\frac{p}{q}}}} \right)^q} = {a^{\frac{p}{q} \cdot q}} = {a^p}\\
{\left( {{a^{\frac{p}{q}}}} \right)^q} = {a^p}\\
 \Rightarrow {a^{\frac{p}{q}}} = \sqrt[q]{{{a^p}}}
\end{array}[/tex] [সূচকের যে কোনো মানে মূল সূত্রটি সত্য ]

[tex]{a^{\frac{p}{q}}}[/tex] কে [tex]{a^p}[/tex] এর q তম মূল বলে ।

 

সূচক সংক্রান্ত সমীকরণ ও অভেদ [Equations and Identities Involving Indices]

1. যখন a, m, n বাস্তব সংখ্যা [tex]{a^m} = {a^n}[/tex] হলে [tex]m = n[/tex] যখন  [tex]a \ne 0, \pm 1[/tex]

[tex]\begin{array}{l}
{a^m} = {a^n}\\
 \Rightarrow \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = 1\\
 \Rightarrow {a^{m - n}} = {a^0}\left[ {a \ne 0, \pm 1} \right]\\
 \Rightarrow m - n = 0\\
 \Rightarrow m = n
\end{array}[/tex]

2.  a, b, m বাস্তব সংখ্যা এবং [tex]{a^m} = {b^m}[/tex] হলে a = b যখন [tex]m \ne 0[/tex]

[tex]{a^m} = {b^m}[/tex] এর উভয়দিকে [tex]{b^m}[/tex] দিয়ে ভাগ করে পাই ।

[tex]\begin{array}{l}
{a^m} = {b^m}\\
 \Rightarrow \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}} = 1\\
 \Rightarrow {\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = 1\\
 \Rightarrow \frac{a}{b} = 1\left[ {m \ne 0} \right]\\
 \Rightarrow a = b
\end{array}[/tex]

*****

Comments

Related Items

উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorisation)

মনে করি x রাশির যদি সর্বোচ্চ ঘাত 2 হয় সেই রাশিকে দ্বিঘাত রাশি বলে। যেমন Equation1 এই রাশির সর্বোচ্চ ঘাত 2 . এর তিনটি পদের সোহাগ যথাক্রমে 1 , 3 , 2. এবার এই মধ্যে সোহাগ 3 কে বিশ্লেষণ করে কিরূপে রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ

স্থানাঙ্ক জ্যামিতি : দূরত্ব নির্ণয়

বীজগণিতের সাহায্যে বিভিন্ন জ্যামিতিক আকারের ধারণা গড়ে ওঠাকে স্থানাঙ্ক জ্যামিতি ( Co-ordinate Geometry ) বলা হয়। অর্থাৎ স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে বীজগণিতের সাহায্যে জ্যামিতির ধারণা করতে পারি তাই স্থানাঙ্ক জ্যামিতি ব্যাপকতরভাবে বিজ্ঞানের বিভিন্ন শাখায় ব্যবহার করা হয়।

সরল সুদ কষার উদাহরণ ও সমাধান

সমস্যাটিতে তিনটি বিষয় আছে বলে এখানে বহুরাশিক পদ্ধতি প্রয়োগ করতে হবে । যথা (i) আসল ও মোট সুদের মধ্যে এবং (ii) সময় ও মোট সুদের মধ্যে । (i) সময় অপরিবর্তিত আছে ধরে নিলে, আসলের সঙ্গে মোট সুদের সরল সম্পর্ক । এখানে আসল বেড়েছে তাই সুদ বাড়বে অর্থাৎ ভগ্নাংশটি

লাভ-ক্ষতি সংক্রান্ত অঙ্কের সমাধান

লাভ-ক্ষতি সংক্রান্ত অংকের সমাধান (Solution of Profit and Loss ), বিভিন্ন পরীক্ষায় আগত প্রশ্নপত্র আলোচনা করা হলো

লাভ-ক্ষতি (Profit and Loss)

ক্রয়মূল্য ( Cost Price ): যে মূল্যের বিনিময়ে কোনো জিনিস ক্রয় বা কেনা হয় তাকে ওই জিনিসের ক্রয়মূল্য বলে। উৎপাদন মূল্য : কোনো জিনিস তৈরি করতে যে টাকা খরচ হয় তাকে ওই জিনিসের উৎপাদন মূল্য বলে।