পাটি গণিত - পূর্বপাঠের পুনরালোচনা
1.1 গড় (Mean)
1. সমজাতীয় বিভিন্ন রাশির যোগফলকে ওই রাশিগুলির সংখ্যা দ্বারা ভাগ করে রাশিগুলির গড় নির্ণয় করা হয় ।
গড় মান = সমজাতীয় রাশিগুলির যোগফল / ওই রাশিগুলির সংখ্যা
বা , গড় মান = [tex]{A \over B}[/tex]
যেখানে ,সমজাতীয় রাশিগুলির যোগফল=A
ওই রাশিগুলির সংখ্যা =B
2. প্রদত্ত রাশিগুলির সমষ্টি = গড় মান X রাশিগুলির সংখ্যা
3. রাশিগুলির সংখ্যা = সমজাতীয় রাশিগুলির যোগফল / গড় মান
বা রাশিগুলির সংখ্যা = [tex]{A \over B}[/tex]
যেখানে ,সমজাতীয় রাশিগুলির যোগফল = A
গড় মান = B
4. সরল গড় : একটি চল x -এর n সংখ্যাক মান [tex]{x_1},{x_2},{x_3}, \ldots \ldots ,{x_n}[/tex] হলে x চলকের গড় হবে - [tex]\bar x = {{{x_1} + {x_2} + {x_3} + \ldots \ldots {x_n}} \over n} = {{\sum x } \over n}[/tex] যেখানে n একটি ধনাত্বক অখন্ড সংখ্যা ।
5. গড়মান সর্বদা প্রদত্ত মানগুলির ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম মানের অন্তর্বর্তী হবে ।
6. গড়মান একটি সম্ভাব্য মান , বা প্রদত্ত মানগুলির একটি হতেও পারে আবার নাও হতে পারে ।
7. গড় গতিবেগ = মোট অতিক্রান্ত দুরত্ব / মোট সময়
বা গড় গতিবেগ = [tex]{D \over T}[/tex]
যেখানে, মোট অতিক্রান্ত দুরত্ব =D
মোট সময় =T
8. 'n' সংখ্যাক স্বাভাবিক সংখ্যার গড় = [tex]{{n + 1} \over 2}[/tex]
9. 'n' সংখ্যাক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের গড় = [tex]{{(n + 1)(2n + 1)} \over 6}[/tex]
10. 'n' সংখ্যাক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের গড় = [tex]{{n{{(n + 1)}^2}} \over 4}[/tex]
11. যদি [tex]{n_1}[/tex] সংখ্যক বস্তুর গড় [tex]{\bar x_1}[/tex] এবং [tex]{n_2}[/tex] সংখ্যক বস্তুর গড় [tex]{\bar x_2}[/tex] হয় তবে [tex]{n_1} + {n_2}[/tex] সংখ্যক বস্তুর গড় হবে -- [tex]\bar x = {{{n_1}{{\bar x}_1} + {n_2}{{\bar x}_2}} \over {{n_1} + {n_2}}}[/tex]
12. গড় মানের চেয়ে মোট কমের পরিমান = গড় মানের চেয়ে মোট বেশীর পরিমান
13. গড়মানকে তথ্যগুলির কেন্দ্রীয় মান বা প্রতিনিধিত্ব মূলক মান হিসাবে ধরা হয়ে থাকে
উদাহরণ 1:
একজন ছাত্র 10টি প্রদত্ত সংখ্যার গড় নির্ণয় করার সময় ভুলবশত একটি সংখ্যা 46 এর স্থলে 64 ধরে সংখ্যাগুলির গড় 50 পেল । ঐ সংখ্যারগুলির প্রকৃত গড় নির্ণয় করো ।
সমাধান :
46 এর স্থলে 64 ধরলে 10টি সংখ্যার সমষ্টি = 50x10=500
ভুল সংখ্যাটি বাদে 9টি সংখ্যার সমষ্টি = 500-64=436
প্রদত্ত 10টি সংখ্যার প্রকৃত সমষ্টি = 436+46=482
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল [tex]{{482} \over {10}} = ?[/tex]
[tex]{{482} \over {10}} = 48.2[/tex]
উত্তর : প্রদত্ত 10টি সংখ্যার প্রকৃত গড় = 48.2
1.2 পরিসংখ্যা বিভাজন , ভারযুক্ত গড় :(Frequency Distribution , Weighted Mean )
- পরিসংখ্যা বিভাজন :(Frequency Distribution)
1. চলক (Variate) বা চল (Variable) : কোনো পরিসংখ্যানগত রাশি যদি ইচ্ছামতো পরিবর্তিত হয় তখন তাকে চল বা চলক (Variable) বলে । যেমন বয়সের সঙ্গে উচ্চতা বৃদ্ধি , শ্রেণী সংখ্যা বাড়লে ছাত্রছাত্রীর বয়স বৃদ্ধি পায় ইত্যাদি ।
2. কাঁচা বা অবিন্যস্ত তথ্য : সংগৃহিত তথ্যগুলি প্রাথমিক অবস্থায় এলোমেলো বা অবিন্যস্ত অবস্থায় থাকলে তখন তাকে কাঁচা তথ্য বলে ।
3. বিন্যস্ত তথ্য : অবিন্যস্ত তথ্যগুলিকে সুশৃঙ্খলভাবে সাজানো থাকলে তাকে বিন্যস্ত তথ্য বলা হয় ।
4. বিন্যস্ত পঙক্তি : সংগৃহিত কাঁচা তথ্যের মানের উর্ধ্বক্রমে বা অধঃক্রমের বিন্যাসকে বিন্যস্ত পঙক্তি বলে ।
5. প্রসার (Range) তথ্যগুলির গরিষ্ঠ ও লঘিষ্ঠ মানের অন্তরফলকে তথ্য গুলির প্রসার বলা হয় ।
6. পরিসংখ্যা (Frequency) : কোনো নির্দিষ্ট শ্রেনীর মধ্যে চলকের যে কয়টি মান পাওয়া যায়,সেই সংখ্যাকে ঐ শ্রেনীর পরিসংখ্যা বলে ।
7. শ্রেণী সীমা (Class Limit) : কোনো শ্রেনীর দুই প্রান্তের মানদ্বয়কে শ্রেণী সীমা বলে । একটি নির্দিষ্ট শ্রেনির ক্ষুদ্রতম প্রান্তিক মানকে নিম্নসীমা ( Lower class limit ) এবং বৃহত্তম প্রান্তিক মানটিকে উর্ধ্বসীমা ( Upper class limit ) বলে ।
8. শ্রেণিমধ্যক বা মধ্যমান (Mid Value ) কোনো শ্রেণীর নিম্নসীমা ও উর্ধ্বসীমার গড় মান হল ঐ শ্রেণীর মধ্যমান ।
অর্থাৎ কোনো শ্রেণীর মধ্যমান = নিম্নসীমা + উর্ধ্বসীমা / 2
9. সরল গড় : যদি x চলকের n সংখ্যক বিভিন্ন মান [tex]{x_1},{x_2},{x_3}, \ldots \ldots ,{x_n}[/tex] হয় তবে x চলকের গড় হবে [tex]\bar x = {{{x_1} + {x_2} + {x_3} + \ldots \ldots {x_n}} \over n} = {{\sum x } \over n}[/tex] যেখানে n একটি ধনাত্বক অখন্ড সংখ্যা ।
* ভারযুক্ত গড় (Weighted Mean ) :
1. যদি কোনো চলক x -এর n সংখ্যক মান [tex]{x_1},{x_2},{x_3}, \ldots \ldots ,{x_n}[/tex] এবং তাদের ভার যথাক্রমে [tex]{f_1},{f_2},{f_3}, \ldots \ldots ,{f_n}[/tex] হয় , তাহলে x চলকের ভারযুক্ত গড়
[tex]\bar x = {{{f_1}{x_1} + {f_2}{x_2} + {f_3}{x_3} + \ldots \ldots + {f_n}{x_n}} \over {{f_1} + {f_2} + {f_3} + \ldots \ldots + {f_n}}} = {{\sum {fx} } \over N}[/tex]
যেখানে [tex]N = {f_1} + {f_2} + {f_3} + \ldots \ldots + {f_n} = \sum f[/tex]
* উদাহরণ 1.
40 জন ছাত্রের অঙ্ক পরীক্ষার নম্বরের ( সর্বোচ্চ নম্বর 100 ) একটি তালিকা দেওয়া হল । শ্রেনি অন্তর 21-30, 31-40, 41-50, .........91-100 ধরে একটি পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকা প্রস্তুত করো এবং গড় মান নির্ণয় করো ।
23, 36, 60, 65, 40, 45, 21, 34, 41, 29, 38, 35,
68, 58, 42, 48, 89, 75, 95, 30, 74, 41, 78, 84,
22, 46, 49, 62, 39, 37, 37, 25, 50, 78, 51, 37,
44, 47, 66, 54
|
শ্রেণি নম্বর [Class interval] |
মধ্যমান (x) [Mid value (x)] |
পরিসংখ্যা (f) [Frequency(f)] |
ভারযুক্ত পরিসংখ্যা (fx) |
| 21-30 | 25.5 | 6 | 6 x 25.5 = 153 |
| 31-40 | 35.5 | 9 | 6 x 35.5 = 319.5 |
| 41-50 | 45.5 | 9 | 9 x 45.5 = 409.5 |
| 51-60 | 55.5 | 4 | 4 x 55.5 = 222 |
| 61-70 | 65.5 | 4 | 4 x 65.5 = 162 |
| 71-80 | 75.5 | 5 | 5 x 75.5 = 377.5 |
| 81-90 | 85.5 | 2 | 2 x 85.5 = 171 |
| 91-100 | 95.5 | 1 | 1 x 95.5 = 95.5 |
| [tex]N = \sum f = 40[/tex] | [tex]\sum {fx} = 1910[/tex] |
অতএব নির্ণেয় গড় নম্বর = [tex]{{\sum {fx} } \over N} = {{1910} \over {40}} = 47.75[/tex]
*****
- 4453 views
