WBJEE Mathematics Question Paper 2014 (Beng)

1. $\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{4x-1}$ সমীকরণটির সমাধানের সংখ্যা হল

(A) 2 (B) 0 (C) 3 (D) 1

2. |z|² + |z - 3|² + |z - i|² লঘিষ্ঠ হবে যখন z এর মান

(A) $2 - {2 \over 3}i$ (B) $45 + 3 i$ (C) $1+ {i \over 3}$ (D) $1- {i \over 3}$

3. যদি $f(x) = \left\{ {\matrix{ {2{x^2} + 1,} & {x \le 1} \cr {4{x^3} - 1,} & {x > 1} \cr } } \right.$ , তা হলে $\int^2_0 f(x)\,dx$ হল

(A) 47/3 (B) 50/3 (C) 1/3 (D) 47/2

4. যদি $\lim \limits_{x \to 0} {{2a\sin x - \sin 2x} \over {{{\tan }^3}x}}$ -এর মানের অস্তিত্ব থাকে এবং 1 হয়, তা হলে a -এর মান হবে

(A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) -1

5. $log_{101} log_7(\sqrt{x+7}+\sqrt{x})=0$ সমীকরণটির সমাধান হল

(A) 3 (B) 7 (C) 9 (D) 49

6. $(1+x^2)\frac{dy}{dx}+y=e^{tan^{-1}x}$ এই অন্তরকল সমীকরণটির সমাকল গুণক (integrating factor) হল

(A) $tan^{-1}x$ (B) 1+x² (C) $e^{tan^{-1}x}$ (D) $log_e(1+x^2)$

7. যদি $\sqrt{y}=cos^{- 1}x$ হয়, তা হলে এটি $(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}=c$ অন্তরকল সমীকরণকে সিদ্ধ করে, যেখানে c এর মান হল

(A) 0 (B) 3 (C) 1 (D) 2

8. $20^{301}$ সংখ্যাটির অঙ্ক সংখ্যা (প্রদত্ত $log_{10}2=0.3010$ ) হল

(A) 602 (B) 301 (C) 392 (D) 391

9. y = x² এবং x = y² বক্ররেখাদ্বয় দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল হল

(A) 1/3 (B) 1/2 (C) 1/4 (D) 3

10. ধরা যাক $\mathbb{R}$ বাস্তব সংখ্যার সেট এবং $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ যেখানে ƒ(x) = 3x² + 1 । তা হলে $f^{-1}([1,6])$ সেটটি হল

(A) $\left\{ { - \sqrt {{5 \over 3},} 0,\sqrt {{5 \over 3}} } \right\}$ (B) $\left[ { - \sqrt {{5 \over 3},} \sqrt {{5 \over 3}} } \right]$ (C) $\left[ { - \sqrt {{1 \over 3},} \sqrt {{1 \over 3}} } \right]$ (D) $\left( { - \sqrt {{5 \over 3},} \sqrt {{5 \over 3}} } \right)$

11. $tan\frac{\pi}{5}+2tan\frac{2{\pi}} {5}+4cot\frac{4{\pi}}{5}$ -এর মান হল

(A) $cot\frac{\pi}{5}$ (B) $cot\frac{2{\pi}}{5}$ (C) $cot\frac{4{\pi}}{5}$ (D) $cot\frac{3{\pi}}{5}$

12. ধরা যাক [2,7] অন্তরালে ƒ(x) একটি অন্তরকলন যোগ্য অপেক্ষক । যদি (2, 7) অন্তরালে সমস্ত x -এর মানের জন্য ƒ'(x) ≤ 5 এবং ƒ(2) = 3 হয়, তা হলে x = 7 বিন্দুতে ƒ(x) এর সম্ভাব্য গরিষ্ঠ মান হল

(A) 7 (B) 15 (C) 28 (D) 14

13. ধরা যাক, A এবং B সেটদ্বয়ের উপাদানের সংখ্যা যথাক্রমে p এবং q । তাহলে A সেট থেকে B সেটে সম্বন্ধের সংখ্যা হবে

(A) 2^p+q (B) 2^pq (C) p + q (D) pq

14. ABC একটি ত্রিভুজ । pq(x² + 1) = r²x, সমীকরণের tan A এবং tan B দুটি বীজ । তা হলে ABC একটি

(A) সমকোণী ত্রিভুজ (B) সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ (C) স্থূলকোণী ত্রিভুজ (D) সমবাহু ত্রিভুজ

15. যদি y = 4x + 3 সরলরেখাটি y² = 12x অধিবৃত্তের কোন স্পর্শকের সমান্তরাল হয়, তা হলে ঐ সরলরেখার সমান্তরাল অভিলম্ব থেকে প্রদত্ত সরলরেখার দূরত্ব হল

(A) ${{213} \over {\sqrt {17}}}$ (B) ${{219} \over {\sqrt {17}}}$ (C) ${{211} \over {\sqrt {17}}}$ (D) ${{210} \over {\sqrt {17}}}$

16. ধরা যাক $\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{25}=1$ একটি উপবৃত্তের সমীকরণ । তা হলে যে বৃত্তের কেন্দ্র (0,√2) এবং যে বৃত্তটি ওই উপবৃত্তের নাভিদ্বয়গামী, তার ব্যাসার্ধ হল

(A) 9 (B) 7 (C) 11 (D) 5

17. x + y = 0, 5x + y = 4 এবং x + 5y = 4 সরলরেখাগুলি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রটি হল

(A) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (B) সমবাহু ত্রিভুজ (C) বিষমবাহু ত্রিভুজ (D) সমকোণী ত্রিভুজ

18. যদি $sin^{-1}(\frac{x}{13})+cosec^{-1}(\frac{13}{12})=\frac{\pi}{2}$ হয়, তবে x এর মান হবে

(A) 5 (B) 4 (C) 12 (D) 11

19. λ -র যে মানের জন্য (7x + 5)² + (7y + 3)² = λ²(4x + 3y - 24)² বক্ররেখাটি অধিবৃত্ত হবে, তা হল

(A) $\pm\frac{6}{5}$ (B) $\pm\frac{7}{5}$ (C) $\pm\frac{1}{5}$ (D) $\pm\frac{2}{5}$

20. ধরা যাক ƒ(x) = x + 1/2 । তা হল x -এর যতগুলি বাস্তব মানের জন্য ƒ(x), ƒ(2x), ƒ(4x) হরাত্মক প্রগতি (H.P) তে থাকবে, তা হল

(A) 1 (B) 0 (C) 3 (D) 2

21. ধরা যাক ƒ(x) = 2x² + 5x + 1 । বাস্তব সংখ্যা a, b, c -র জন্য ƒ(x) = a(x + 1)(x - 2) + b(x - 2)(x - 1) + c(x - 1)(x + 1) হলে

(A) a, b, c -র অসীম সংখ্যক মান সম্ভব

(B) a -র কেবলমাত্র একটি মান এবং b , c -র অসীম সংখ্যক মান সম্ভব

(C) a, b, c -র প্রত্যেকের কেবলমাত্র একটি করে মান সম্ভব

(D) a, b, c -র প্রত্যেকের একাধিক কিন্তু সসীম সংখ্যক মান সম্ভব

22. যদি ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজগুলি α, β হয় এবং px² + qx + r = 0 (p ≠ 0) সমীকরণের বীজগুলি α + h, β + h হয়, তা হলে তাদের নিরুপকদ্বয়ের বর্গের অনুপাত হবে

(A) a² : p² (B) a : p² (C) a² : p (D) a : 2p

23. ধরা যাক p, q দুটি বাস্তব সংখ্যা । যদি x² + 3p²x + 5q² = 0 সমীকরণের একটি বীজ α এবং x² + 9p²x + 15q² = 0 সমীকরণের একটি বীজ β হয় (0 < α < β), তা হলে x² + 6p²x + 10q² = 0 সমীকরণের একটি বীজ γ যে শর্তটি সিদ্ধ করে তা হল

(A) γ = α/4 + β (B) β < γ (C) γ = α/2 + β (D) α < γ < β

24. y² = 8√3 x অধিবৃত্তের 4x² - y² = 4 পরাবৃত্তের ধনাত্মক নতিবিশিষ্ট সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ হল

(A) y = √6 x + √2 (B) y = √6 x - √2 (C) y = √3 x + √2 (D) y = √3 x - √2

25. y² = 64x অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত 4x + 3y + 35 = 0 সরলরেখার সর্বাপেক্ষা কাছের বিন্দুর স্থানাঙ্ক হল

(A) (9, -24) (B) (1, 81) (C) (4, -16) (D) (-9, -24)

26. ধরা যাক আরগ্যাণ্ড (Argand) তলের উপর অবস্থিত z₁, z₂ দুটি নির্দিষ্ট জটিল সংখ্যা এবং z যে কোন একটি বিন্দু যা $|z-z_1|+|z-z_2|=2|z_1-z_2|$ সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে । তা হলে z বিন্দুর সঞ্চার পথ হবে

(A) একটি উপবৃত্ত

(B) z₁ এবং z₂ সংযোগকারী একটি সরলরেখা

(D) z₁ এবং z₂ সংযোগকারী সরলরেখার একটি সমদ্বিখন্ডক

27. $f(x) = {{\tan \left\{ {\pi \left[ {x - {\pi \over 2}} \right]} \right\}} \over {2 + {{\left[ x \right]}^2}}}$ অপেক্ষকটি, যেখানে [x] গরিষ্ঠ অখন্ড সংখ্যা ≤ x নির্দেশ করে

(A) x -এর সমস্ত মানের জন্য সন্তত

(B) x = π/2 বিন্দুতে অসন্তত

(D) x = - 2 বিন্দুতে অসন্তত

28. ƒ(x) = a sin|x| + be^|x| অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে অন্তরকলনযোগ্য হবে যখন

(A) 3a + b = 0 (B) 3a - b = 0 (C) a + b = 0 (D) a - b = 0

29. যদি $(ax^2+\frac{1}{bx})^{13}$ -এর বিস্তারে x⁸ -এর সহগ এবং $(ax-\frac{1}{bx^2})^{13}$ এর বিস্তারে x^-8 -এর সহগ সমান হয়, তা হলে a এবং b যে সম্পর্কটি সিদ্ধ করে তা হল

(A) ab + 1 = 0 (B) ab = 1 (C) a = 1 - b (D) a + b = -1

30. যদি $I=\int^2_0e^{x^4}(x- \alpha)dx=0$ , তা হলে α -এর মান যে অন্তরে থাকে তা হল

(A) (0,2) (B) (- 1,0) (C) (2,3) (D) (-2,-1)

31. $y\frac{dy}{dx}=x\bigg[\frac{y^2}{x^2}+\frac{\varphi(\frac {y^2}{x^2})}{\varphi'(\frac{y^2}{x^2})}\bigg]$ এই অন্তরকল সমীকরণের সমাধান ( c একটি ধ্রুবক ) হল

(A) $\varphi(\frac{y^2} {x^2})=cx$ (B) $x\varphi(\frac{y^2}{x^2})=c$ (C) $\varphi(\frac{y^2} {x^2})=cx^2$ (D) $x^2\varphi(\frac{y^2}{x^2})=c$

32. ধরা যাক ƒ(x) = x² + bx + c = 0 সমীকরণটির দুটি পৃথক বাস্তব বীজ α , ß । y = ƒ(x) বক্ররেখাটির $\big(\frac{\alpha+\beta}{2}, f(\frac{\alpha+\beta}{2})\big)$ বিন্দুতে স্পর্শক ও ধনাত্মক x -অক্ষের মধ্যে কোণের পরিমাপ

(A) 0° (B) 30° (C) 60° (D)90°

33. ƒ(x) = x² + bx + c অপেক্ষকটি (function), যেখানে b এবং c বাস্তব ধ্রুবক

(A) একটি একৈক চিত্রণ (one-to-one mapping) নির্দেশ করে

(B) একটি উপরিচিত্রণ (onto mapping) নির্দেশ করে

(D) একৈক চিত্রণ বা উপরিচিত্রণ কোনটাই (neither one-to-one nor onto mapping) নির্দেশ করে না

34. n ≥ 2 একটি পূর্ণ সংখ্যা (integer), $A=\begin{pmatrix} cos(2\pi/n) & sin(2\pi/n) & 0\\ -sin(2\pi/n) & cos(2\pi/n) & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ এবং I হল 3 X 3 একসম ম্যাট্রিক্স (identity matrix) । তা হলে

(A) Aⁿ = I এবং A^n-1 ≠ I

(B) m ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলে A^m ≠ I

(D) কোন একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা m এর জন্য A^m = 0

35. রাম এক বন্ধুর বাড়ি যাবে । রাম জানে যে তার বন্ধুর দুই সন্তান এবং তাদের মধ্যে একজন অন্তত ছেলে । যদি ধরে নেওয়া হয় যে ছেলে অথবা মেয়ে জন্মানোর সম্ভবনা সমান, তা হলে বন্ধুটির অন্য সন্তানটি মেয়ে হওয়ার সম্ভবনা হল

(A) ½ (B) ⅓ (C) ⅔ (D) 7/10

36. $({^n}C_1)^2+({^n}C_2)^2+({^n} C_3)^2+......+({^n}C_n)^2$ -এর মান হল

(A) $(^{2n}C_n)^2$ (B) $^{2n}C_n$ (C) $^{2n}C_n+1$ (D) $^{2n}C_n-1$

37. 1! + 2! + 3! + .... + 11! -কে 12 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ হবে

(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6

38. 7 টি কন্সোন্যান্ট (consonant) এবং 4 ভাওয়েল (vowel) এর থেকে 3 টি কন্সোন্যান্ট (consonant) ও 2 টি ভাওয়েল (vowel) ব্যবহার করে যতগুলি শব্দ (অর্থপূর্ণ না হলেও চলবে) তৈরি করা যায়, তার সংখ্যা হল

(A) 24800 (B) 25100 (C) 25200 (D) 25400

39. ধরা যাক $S=\frac{2}{1} {^n}C_0+\frac{2^2}{2} {^n}C_1+\frac{2^3}{3} {^n}C_2+...+\frac{2^{n+1}}{n+1} {^n}C_n$ । তা হলে S -এর মান হল

(A) $\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$ (B) $\frac{3^{n+1}-1}{n+1}$ (C) $\frac{3^n-1}{n}$ (D) $\frac{2^n-1}{n}$

40. $\mathbb{R}$ সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেট এবং $f:[-1,1]\to\mathbb{R}$ একটি অপেক্ষক যার সংজ্ঞা হল

$f(x) = \left\{ {\matrix{ {x\sin {1 \over x},} & {x \ne 0} \cr {0,} & {x = 0} \cr } } \right.$ । সে ক্ষেত্রে

(A) [-1,1] অন্তরালে ƒ রোল -এর উপপাদ্য (Rolle's theorem) -এর শর্তগুলি সিদ্ধ করে

(B) [-1,1] অন্তরালে ƒ ল্যাগরাঞ্জের মধ্যমান উপপাদ্য (Lagrange's Mean Value Theorem) -এর শর্তগুলি সিদ্ধ করে

(D) [0,1] অন্তরালে ƒ ল্যাগরাঞ্জের মধ্যমান উপপাদ্য (Lagrange's Mean Value Theorem) -এর শর্তগুলি সিদ্ধ করে

41. a, b, c যদি গুণোত্তর প্রগতিভুক্ত হয়, তা হলে $(log_ea)x^2- (2log_eb)x+(log_ec)=0$ দ্বিঘাত সমীকরণটির বীজগুলি হল

(A) -1 এবং $\frac{log_ec}{log_ea}$ (B) 1 এবং $-\frac{log_ec}{log_ea}$ (C) 1 এবং $log_ac$ (D) -1 এবং $log_ca$

42. 265 জনের একটা দলে প্রত্যেকেই গান, নাচ বা আঁকা পছন্দ করে । এই দলে 200 জন গান পছন্দ করে, 110 জন নাচ পছন্দ করে, 55 জন আঁকা পছন্দ করে । যদি 60 জন গান এবং নাচ পছন্দ করে, 30 জন গান এবং আঁকা পছন্দ করে আর 10 জন তিনটি কালাই পছন্দ করে, তা হলে শুধুমাত্র নাচ এবং আঁকা পছন্দ করে এমন মানুষের সংখ্যা হল

(A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 40

43. $y = 3\sin \left( {\sqrt {{{{\pi ^2}} \over {16}} - {x^2}} } \right)$ অপেক্ষকটির প্রসার (range) হল

(A) $[0,\sqrt{3/2}]$ (B) [0,1] (C) $[0,3/\sqrt{2}]$ (D) $[0,\infty)$

44. $\lim \limits_{x \to 0} {{\int_0^{{x^2}} {\cos } ({t^2})dt} \over {x\sin x}}$ -এর মান

(A) 1 (B) -1 (C) 2 (D) $log_e2$

45. ƒ(x) একটি অন্তরকলনযোগ্য অপেক্ষক এবং ƒ'(4) = 5 । তা হলে $\lim \limits_{x \to 2}\frac{f(4)-f(x^2)}{x-2}$ -এর মান হবে

(A) 0 (B) 5 (C) 20 (D) - 20

46. $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \sin ( \frac{n! \pi} {720})$ এই অসীম শ্রেণীটির যোগফল হল

(A) $sin(\frac{\pi}{180})+sin(\frac{\pi}{360})+sin(\frac{\pi}{540})$

(B) $sin(\frac{\pi}{6})+sin(\frac{\pi}{30})+sin(\frac{\pi}{120})+sin(\frac{\pi}{360})$

(C) $sin(\frac{\pi}{6})+sin(\frac{\pi}{30})+sin(\frac{\pi}{120})+sin(\frac{\pi}{360})+sin(\frac{\pi}{720})$

(D) $sin(\frac{\pi}{180})+sin(\frac{\pi}{360})$

47. I যদি 3 X 3 একসম ম্যাট্রিক্স (identity matrix) হয় এবং P ম্যাট্রিক্স যদি I -এর স্তম্ভগুলির (columns) কোন একটি বিন্যাস (rearrangement/permutation) -এর ফলে সৃষ্ট হয় তাহলে

(A) P -এর 6 টি ভিন্নরূপ সভব এবং det(P) = 1

(B) P -এর 6 টি ভিন্নরূপ সভব এবং det(P) = ±1

(D) P -এর একাধিক রূপ সভব এবং প্রত্যেক ক্ষেত্রে P^-1 = I

48. যদি |x| < 1 হয়, তবে $\frac{2}{(1-x)(2-x)}$ -এর অসীম শ্রেণীর প্রকাশে x³ -এর সহগ হবে,

(A) -1/16 (B) 15/8 (C) -1/8 (D) 15/16

49. প্রত্যেক বাস্তব সংখ্যা x -এর জন্য $f(x)= \frac{x}{1!}+\frac{3}{2!}x^2+\frac{7}{3!}x^3+\frac{15}{4!}x^4+...$ হলে ƒ(x) = 0 সমীকরণটির

(A) কোন বাস্তব সমাধান (real solution) নেই

(B) একটি এবং কেবলমাত্র একটি বাস্তব সমাধান আছে

(D) অসীম সংখ্যাক বাস্তব সমাধান আছে

50. $1+\frac{8}{2!}+\frac{21} {3!}+\frac{40}{4!}+\frac{65}{5!}+...$ এই অসীম শ্রেণীটির যোগফল S হলে

(A) S < 8 (B) S > 12 (C) 8 < S < 12 (D) S = 8

51. x যদি বাস্তব সংখ্যা হয়, [x] হল বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা (greatest integer) যা x অপেক্ষা ছোট বা তার সমান । $\lim \limits_{n \to \infty } {{\left[ {n\sqrt 2 } \right]} \over n}$ -এর মান হল

(A) 0 (B) 2 (C) √2 (D) 1

52. ধরা যাক ƒ(x) এমন একটি অন্তরকলনযোগ্য (differentiable) অপেক্ষক (function) যে ƒ'(x) অপেক্ষকটি সন্তত (continuous), ƒ'(0) = 1 এবং ƒ''(0) -র অস্তিত্ব নেই । g (x) = xƒ'(x) হলে

(A) g'(0) -র অস্তিত্ব নেই (B) g'(0) = 0 (C) g'(0) = 1 (D) g'(0) = 2

53. ধরা যাক z₁ আরগ্যাণ্ড তলে (Argand plane) একটি একক ব্যাসার্ধের বৃত্তের উপর অবস্থিত একটি স্থির বিন্দু যে বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং z₁ ≠ ± ₁ । উপর্যুক্ত বৃত্তের উপর ঘড়ির কাঁটার বিপরীতক্রমে অবস্থিত তিনটি বিন্দু z₁ , z₂, z₃ একটি সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করে । তা হলে z₁z₂z₃ -র মান হল

(A) $z_1^2$ (B) $z_1^3$ (C) $z_1^4$ (D) $z_1$

54. ধরা যাক z₁, z₂, z₃ আরগ্যাণ্ড তলে (Argand plane) একটি সমবাহু ত্রিভুজের (equilateral triangle) তিনটি শীর্ষ বিন্দু । যদি $\alpha=\frac{1}{2}(\sqrt{3}+i)$ এবং ß ≠ 0 একটি জটিল সংখ্যা হয় ; সে ক্ষেত্রে $\alpha z_1+\beta$ , $\alpha z_2+\beta$ , $\alpha z_3+\beta$

(A) একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু

(B) একটি সমদ্বিবাহু (isosceles) ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু

(D) একটি বিষমবাহু (scalene) ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু

55. $y=(cosx+y)^{1/2}$ বক্ররেখাটি যে অন্তরকল সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে সেটি হল

(A) $(2y-1)\frac{d^2y}{dx^2}+2\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)^2+cosx=0$

(B) $\frac{d^2y}{dx^2}-2y\bigg (\frac{dy}{dx}\bigg)^2+cosx=0$

(D) $(2y-1)\frac{d^2y}{dx^2}-\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)^2+cosx=0$

56. আরগ্যাণ্ড তলে (Argand plane) $1+z+z^3+z^4=0$ (z একটি জটিল সংখ্যা) সমীকরণের পৃথক বীজগুলি যে ক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু নির্দেশ করে, তা হল

(A) একটি বর্গক্ষেত্র (B) একটি সমবাহু ত্রিভুজ (C) একটি রম্বস (rhombus) (D) একটি আয়তক্ষেত্র

57. ABC ত্রিভুজের A, B, C কোণগুলির বিপরীত বাহুগুলি যথাক্রমে a, b, c । তা হলে $a^3 \sin(B - C)+b^3 \sin(C - A) + c^3 \sin(A - B)$ -র মান হবে

(A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 2

58. ধরা যাক $x^2-x-1=0$ সমীকরণের বীজগুলি $\alpha$ , $\beta$ এবং সমস্ত অখন্ড সংখ্যা $n\ge1$ -এর জন্য $S_n=\alpha^n+\beta^n$ । তা হলে অখন্ড সংখ্যা $n\ge2$ -এর সকল মানের জন্য

(A) $S_{n}+S_{n-1}=S_{n+1}$ (B) $S_{n}-S_{n-1}=S_{n+1}$ (C) $S_{n-1}=S_{n+1}$ (D) $S_{n}+S_{n-1}=2S_{n+1}$

59. একটি পক্ষপাতশূন্য লুডোর ছক্কাকে 12 বার খেলা হল । তা হলে প্রত্যেকটি তল 2 বার করে দেখা যাওয়ার সম্ভাবনা হল

(A) ${{12!} \over {6!6!{6^{12}}}}$ (B) ${{{2^{12}}} \over {{2^6}{6^{12}}}}$ (C) ${{12!} \over {{2^6}{6^{12}}}}$ (D) ${{12!} \over {{6^6}{6^{12}}}}$

60. $x^2+px+q=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজগুলি যদি $\alpha$ এবং $\beta$ হয়, তা হলে $\alpha^3+\beta^3$ এবং $\alpha^4+\alpha^2\beta^2+\beta^4$ -এর মানগুলি যথাক্রমে হল

(A) $3pq-p^3$ এবং $p^4- 3p^2q+3q^2$

(B) $-p(3q-p^2)$ এবং $(p^2-q)(p^2+3q)$

(D) $3pq-p^3$ এবং $(p^2-q)(p^2-3q)$

61. $\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x \log_ex}=\frac{1}{x}$ অন্তরকল সমীকরণটির সমাধান, y = 1 যখন x = e শর্তাধীনে হল

(A) $2y= \log_ex+\frac{1}{\log_ex}$

(B) $y=\log_ex+\frac{2}{\log_ex}$

(D) $y = \log_ex+e$

62. ধরা যাক ƒ(x) = max{x + |x|, x - [x]}, যেখানে [x] গরিষ্ঠ অখণ্ড সংখ্যা যার মান x -এর চেয়ে ছোট বা সমান । তা হলে $\int_{-3}^3f (x)dx$ এর মান হল

(A) 0 (B) 51/2 (C) 21/2 (D) 1

63. n ≥ 1 পূর্ণসংখ্যার জন্য $X_n = \left \{ z = x + iy : |z|^2 \le \frac{1}{n} \right \}$ হলে $\bigcap_{n=1}^{\infty}X_n$

(A) সেট -এ উপাদানের (element) সংখ্যা এক

(B) সেটটি একটি সসীম সেট নয়

(D) সেট -এ উপাদানের সংখ্যা সসীম কিন্তু একাধিক

64. [0,h] অন্তরালে উপযুক্ত অপেক্ষক ƒ(x) -এর উপর ল্যাগরাঞ্জের (Lagrange's) মাধ্যম মান উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই ƒ(h) = ƒ(0) + hƒ'(θh), 0 < θ < 1 । তা হলে ƒ(x) = cos x -এর জন্য $\lim \limits_{h \to 0^{+}} \theta$ -র মান হল

(A) 1 (B) 0 (C) ½ (D) ⅓

65. যে পরাবৃত্তের নাভিদ্বয়ের স্থানাঙ্ক (±8, 0) এবং নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য 24 একক, তার সমীকরণ হল

(A) $3x^2-y^2=48$ (B) $4x^2-y^2=48$ (C) $x^2-3y^2=48$ (D) $x^2-4y^2=48$

66. একটি প্রশ্নের পাঁচটি সম্ভাব্য উত্তর আছে, যার একটি সঠিক । একটি ছাত্রের প্রশ্নটির সঠিক উত্তর জানার সম্ভাবনা হল p, 0 < p < 1 । সে যদি সঠিক উত্তরটি না জানে, তা হলে সে যদৃচ্ছভাবে একটি উত্তরে টিক চিহ্ন দেবে । দেখা গেল যে ছাত্রটির প্রদত্ত উত্তর সঠিক । সে ক্ষেত্রে সে যে সঠিক উত্তর জেনে টিক চিহ্ন দিয়েছে, সেই ঘটনার সম্ভাবনা হল

(A) $\frac{3p}{4p+3}$ (B) $\frac{5p}{3p+2}$ (C) $\frac{5p}{4p+1}$ (D) $\frac{4p}{3p+1}$

67. $\cos \frac {2 \pi}{7} + \cos \frac {4 \pi}{7} + \cos \frac{6 \pi}{7}$ -এর মান

(A) 0 (B) 0 ও 3 এর মধ্যে থাকবে (C) একটি ঋণাত্মক সংখ্যা (D) 3 ও 6 এর মধ্যে থাকবে

68. ধরা যাক $M=\int_0^ {\pi/2}\frac{ \cos x}{x+2}dx$ and $N=\int_0^{\pi/4}\frac{ \sin x \cos x}{{x+1}^2}dx$ । তা হলে (M - N) -এর মান হবে

(A) $\frac{3}{\pi+2}$ (B) $\frac{2}{\pi-4}$ (C) $\frac{4}{\pi-2}$ (D) $\frac{2}{\pi+4}$

69. যে কোন দুটি বাস্তব সংখ্যা θ এবং φ -এর জন্য, ধরা যাক θRφ যদি এবং কেবলমাত্র যদি sec²θ - tan²φ = 1 হয় তা হলে R সম্বন্ধটি (relation)

(A) স্বসম (reflexive) কিন্তু সংক্রমণ (transitive) নয়

(B) প্রতিসম (symmetric) কিন্তু স্বসম (reflexive) নয়

(D) একটি সমতুল্যতা (equivalence)

70. $2^{\sin x}+2^ {\cos x}$ is অপেক্ষকটির লঘিষ্ঠ মান হল

(A) $2^{1-1/\sqrt2}$ (B) $2^{1+1/\sqrt2}$ (C) $2^ {\sqrt2}$ (D) 2

71. সকল 3 X 3 বাস্তব ম্যাট্রিক্স -এর (3 X 3 real matrices) সেটের উপর একটি সম্বন্ধ (relation) নিম্নরূপ:

A ~ B হবে যদি এবং কেবলমাত্র যদি দুটি বিপরীতকরণ যোগ্য (invertible) ম্যাট্রিক্স P, Q পাওয়া যায় যাদের জন্য B = PA Q^-1 সিদ্ধ হয় । সম্বন্ধটি (relation) ~ হল

(A) স্বসম (reflexive) বা প্রতিসম (symmetric) কোনটাই নয়

(B) স্বসম (reflexive) এবং প্রতিসম (symmetric) কিন্তু সংক্রমণ (transitive) নয়

(D) একটি সমতুল্যতা (equivalence)

72. α, ß হল 1 এর দুটি পৃথক ঘনমূল যারা কেউই 1 নয় $s=\sum \limits_{n=0}^{302}(-1)^n(\frac{\alpha}{\beta})^n$ হলে s -এর মান হল

(A) - 2ω বা - 2ω² (B) - 2ω বা 2ω² (C) 2ω বা - 2ω² (D) 2ω বা 2ω²

73. $\frac{1}{1!}+ \frac{10}{2!}+\frac{21}{3!}+\frac{34}{4!}+\frac{49}{5!}+...$ এই অসীম শ্রেণীটির n -তম পদ t_n হলে $\lim \limits_{n \to \infty} t_n$ হবে

(A) e (B) 0 (C) e² (D) 1

74. একটি কণা AB সরলরেখা বরাবর ধনাত্মক ধ্রুবত্বরণে (positive constant acceleration) A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে যায় T সময়ে । ধরা যাক কণাটির প্রারম্ভিক গতিবেগ u > 0 এবং AB সরলরেখার মধ্যবিন্দু P । কণাটির গতিবেগ P বিন্দুতে $v_1$ এবং $\frac{T}{2}$ সময়ে $v_2$ হলে

(A) $v_1= v_2$ (B) $v_1 > v_2$ (C) $v_1 < v_2$ (D) $v_1 = \frac{1}{2}v_2$

75. 52 টি তাসের একটি ভালভাবে মিশ্রিত প্যাকেট থেকে 5 টি তাস যদৃচ্ছভাবে তুললে পাওয়া যায় 'পোকার' খেলার একটি হাত । একটি পোকার খেলার হাতে তিনটি তাসের তলের মান সমান এবং বাকি দুটি তাসের তলের মানও সমান (যেমন 2 টি সাত আর 3 টি সাহেব অথবা 2 টি টেক্কা আর 3 টি বিবি ), এই ঘটনার সম্ভাবনা হল

(A) $\frac{6}{4165}$ (B) $\frac{23}{4165}$ (C) $\frac{1797}{4165}$ (D) $\frac{1}{4165}$

76. যদি $\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=0$ অন্তরকল সমীকরণটির দুটি স্বাধীন সমাধান u(x) এবং v(x) হয়, তা হলে প্রদত্ত অন্তরকল সমীকরণটির এছাড়াও সমাধান হবে

(A) y = 5u(x) + 8v(x) (B) y = c₁{u(x) - v(x)} + c₂v(x), c₁ এবং c₂ যে কোন ধ্রুবক (C) y = c₁u(x) v(x) + c₂ u(x)/v(x), c₁ এবং c₂ যে কোন ধ্রুবক (D) y = u(x) v(x)

77. y = [|sin x| + |cos x|] এবং x² + y² = 10 বক্ররেখাদ্বয়ের ছেদ বিন্দুতে কোণের পরিমাপ হল (যেখানে [x] হল গরিষ্ঠ অখণ্ড সংখ্যা যার মান x -এর চেয়ে ছোট বা সমান

(A) $tan^{-1}3$ (B) $tan^{-1}(-3)$ (C) $tan^{-1}\sqrt3$ (D) $tan^{-1}(1/ \sqrt3)$

78. ধরা যাক $f(x) = \left\{ {\matrix{ {\int_0^x {\left| {1 - t} \right|} dt,} & {x > 1} \cr {x - {1 \over 2},} & {x \le 1} \cr } } \right.$ । তা হলে

(A) ƒ(x) অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত (B) ƒ(x) অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত নয় (C) ƒ(x) অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে অন্তরকলনযোগ্য (D) ƒ(x) অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে অন্তরকলনযোগ্য নয়

79. ধরা যাক $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ বৃত্তটি $x^2+y^2-5=0$ , $x^2+y^2-8x-6y+10=0$ এবং $x^2+y^2-4x+2y-2=0$ বৃত্ত তিনটিকে তাদের ব্যাসার্ধের প্রান্তবিন্দুতে ছেদ করে । তা হলে