সপ্তম অধ্যায়ঃ লগারিদম

Submitted by hs.manager on Wed, 02/16/2011 - 23:02

সপ্তম অধ্যায়ঃ লগারিদম

লগারিদম

(Logarithm)

আমরা দেখেছি যদি a ও xবাস্তব রাশি হয় তাহলে [tex]{a^x}\left( {a \ne 0} \right)[/tex]  রাশির a কে নিধান এবং xকে ঘাতের সূচক বা শুধু ঘাত বলে। মনে করি [tex]{a^x} = m(m > 0)[/tex] তাহলে a ও xএর মান জানা থাকলে আমরা  mএর মান জানতে পারি। উদাহরণস্বরূপ [tex]{5^2} = m \Rightarrow m = 25[/tex] , আবার m ও xএর মান জানা থাকলে আমরা a মান জাতে পারি। উদাহরণস্বরূপ [tex]{a^5} = 32 \Rightarrow a = 2[/tex] , কিন্তু a ও mএর মান জানা থাকলে আমরা সবসময় xএর মান জানতে পারিনা যেমন [tex]{4^x} = 16 \Rightarrow x = 2,{3^x} = 16[/tex] এখানে প্রথম উদাহরণের ক্ষেত্রে xএর মান জানতে পারি কিন্তু দ্বিতীয় উদাহরণের ক্ষেত্রে xএর মান জানতে পারছিনা।বীজগণিতের যে বিশেষ পদ্ধতিতে [tex]{a^x} = m[/tex] সম্পর্ক থেকে xএর মান পাওয়া যায় তাকে লগারিদম বলে।

লগারিদমের সংজ্ঞা(Definition of Logarithm)

[tex]{a^x} = m(a > 0,m > 0,a \ne 1)[/tex] হলে x কে a নিধানের সাপেক্ষে mসংখ্যাটির লগারিদম বলে। [tex]x = {\log _a}m[/tex] এই আকারে লগারিদম প্রকাশ করা হয়।

[tex]x = {\log _a}m[/tex] কে বলা হয় “x is a logarithm  of m to the base a”

অতএব [tex]{a^x} = m \Rightarrow x = {\log _a}m[/tex]

দৃষ্টান্ত

·         নিধান না জানা থাকলে কোনো সংখ্যার লগারিদম সম্ভব নয়।

·         কোনো সংখ্যার লগারিদমের মান নির্দীষ্ট নয় তা নিধানের উপর নির্ভর করে।

·         যদি [tex]m < 0[/tex] হয় তবে xএর মান অবাস্তব।

ধনাত্মক যেকোনো নিধান [tex]a\left( {a \ne 0} \right)[/tex]  সাপেক্ষে 1এর লগারদমের মান শূন্য হবে।

আমরা জানি [tex]{a^0} = 1\left( {a \ne 0} \right) \Rightarrow {\log _a}1 = 0[/tex]

যদি নিধান ও সংখ্যা উভয়েই ধনাত্মক এবং পরস্পর সমান হয় তবে সংখ্যাটির লগারিদমেন মান সর্বদা 1হবে

প্রমান: [tex]\begin{array}{l}
a = m\\
 \Rightarrow {a^x} = a\\
 \Rightarrow x = {\log _a}a = 1
\end{array}[/tex]

 

যদি [tex]x = {\log _a}m[/tex] হয় তবে [tex]{a^{{{\log }_a}m}} = m[/tex] হবে।

প্রমান: [tex]\begin{array}{l}
x = {\log _a}m\\
 \Rightarrow {a^x} = m\\
 \Rightarrow {a^{{{\log }_a}m}} = m
\end{array}[/tex]

লগারিদমের সাধারণ সূত্রাবলি(General laws of logarithm)

1.       [tex]{\log _a}\left( {mn} \right) = {\log _a}m + {\log _a}n[/tex]

2.       [tex]{\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _a}m - {\log _a}n[/tex]

3.       [tex]{\log _a}{m^p} = p{\log _a}m[/tex]

4.       [tex]{\log _a}m = {\log _b}m \times {\log _a}b[/tex]

যেখানে [tex]m,n,a,b > 0,a \ne 1,b \ne 1,p[/tex] যেকোনো বাস্তব রাশি।

সূত্রবলিরপ্রমাণ(Proof of laws)

1.       [tex]{\log _a}\left( {mn} \right) = {\log _a}m + {\log _a}n[/tex]

মনে করি

[tex]\begin{array}{l}
{a^x} = m \to \left( 1 \right)\\
 \Rightarrow x = {\log _a}m \to \left( 2 \right)\\
{a^y} = n \to \left( 3 \right)\\
 \Rightarrow y = {\log _a}n \to \left( 4 \right)
\end{array}[/tex]

[tex]\left( 1 \right) \cdot \left( 3 \right)[/tex] করে পাই

[tex]\begin{array}{l}
{a^x} \cdot {a^y} = mn\\
 \Rightarrow {a^{x + y}} = mn\\
 \Rightarrow x + y = {\log _a}\left( {mn} \right)\\
 \Rightarrow {\log _a}\left( {mn} \right) = x + y\\
 \Rightarrow {\log _a}\left( {mn} \right) = {\log _a}m + {\log _a}n
\end{array}[/tex]

[(2) ও (4)থেকে পাই]

2.       [tex]{\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _a}m - {\log _a}n[/tex]

মনে করি

[tex]\begin{array}{l}
{a^x} = m \to \left( 1 \right)\\
 \Rightarrow x = {\log _a}m \to \left( 2 \right)\\
{a^y} = n \to \left( 3 \right)\\
 \Rightarrow y = {\log _a}n \to \left( 4 \right)
\end{array}[/tex]

[tex]\frac{{\left( 1 \right)}}{{\left( 3 \right)}}[/tex] করে পাই

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{{a^x}}}{{{a^y}}} = \frac{m}{n}\\
 \Rightarrow {a^{x - y}} = \frac{m}{n}\\
 \Rightarrow x - y = {\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right)\\
 \Rightarrow {\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _a}m - {\log _a}n
\end{array}[/tex]

        [(2) ও (4)থেকে পাই]

 

3.       [tex]{\log _a}{m^p} = p{\log _a}m[/tex]

মনে করি

 [tex]\begin{array}{l}
x = {\log _a}m \to (1)\\
 \Rightarrow {a^x} = m \to (2)\\
y = {\log _a}{m^p} \to (3)\\
 \Rightarrow {a^y} = {m^p} \to (4)
\end{array}[/tex]

(2)ও(4)থেকে পাই

[tex]\begin{array}{l}
{a^y} = {m^p}\\
 \Rightarrow {a^y} = {\left( {{a^x}} \right)^p}\\
 \Rightarrow {a^y} = {a^{xp}}\\
 \Rightarrow y = xp\\
 \Rightarrow {\log _a}{m^p} = p{\log _a}m
\end{array}[/tex]

অনুসিদ্ধান্ত: [tex]{\log _a}\sqrt[n]{m} = {\log _a}{m^{\frac{1}{n}}} = \frac{1}{n}{\log _a}m[/tex]

4.       [tex]{\log _a}m = {\log _b}m \times {\log _a}b[/tex]

মনে করি

[tex]\begin{array}{l}
x = {\log _a}m \Rightarrow {a^x} = m \to \left( 1 \right)\\
y = {\log _b}m \Rightarrow {b^y} = m \to \left( 2 \right)\\
z = {\log _a}b \Rightarrow {a^z} = b \to \left( 3 \right)
\end{array}[/tex]

অতএব

[tex]\begin{array}{l}
{a^x} = {b^y}\left[ {\left( 1 \right),\left( 2 \right)} \right]\\
 \Rightarrow {a^x} = {\left( {{a^z}} \right)^y}\left[ {\left( 3 \right)} \right]\\
 \Rightarrow {a^x} = {a^{zy}}\\
 \Rightarrow x = zy\\
 \Rightarrow {\log _a}m = {\log _a}b \times {\log _b}m\left[ {\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)} \right]
\end{array}[/tex]

অনুসিদ্ধান্ত:

 [tex]\begin{array}{l}
{\log _a}b \times {\log _b}a = 1\\
 \Rightarrow {\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}
\end{array}[/tex]

আবার আমরা প্রমান করতে পারি [tex]{\log _b}m = \frac{{{{\log }_a}m}}{{{{\log }_a}b}}[/tex]

 

 

 

 

 

সংক্ষিপ্তকরণ(Summarisation)

[tex]m,n,a,b > 0,a \ne 1,b \ne 1,p[/tex] যেকোনো বাস্তব রাশি হলে,

1.    [tex]{\log _a}1 = 0[/tex]

2.   [tex]{\log _a}a = 1[/tex]

3.   [tex]{a^{{{\log }_a}m}} = m[/tex]

4.   [tex]{\log _a}\left( {mn} \right) = {\log _a}m + {\log _a}n[/tex]

5.   [tex]{\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _a}m - {\log _a}n[/tex]

6.   [tex]{\log _a}{m^p} = p{\log _a}m[/tex]

7.   [tex]{\log _a}m = {\log _b}m \times {\log _a}b[/tex]

8.   [tex]{\log _a}b \times {\log _b}a = 1[/tex]

9.   [tex]{\log _b}a = \frac{1}{{{{\log }_a}b}}[/tex]

10.   [tex]{\log _b}m = \frac{{{{\log }_a}m}}{{{{\log }_a}b}}[/tex]

 

 

উদাহরণ ১৷

প্রমান করো  [tex]7\log \frac{{10}}{9} + 3\log \frac{{81}}{{80}} = 2\log \frac{{25}}{{24}} + \log 2[/tex]   [H.S '82]

প্রমান:

[tex]\begin{array}{l}
7\log \frac{{10}}{9} + 3\log \frac{{81}}{{80}}\\
 = 7\left( {\log 10 - \log 9} \right) + 3\left( {\log 81 - \log 80} \right)\\
 = 7\log 10 + 3\log 81 - \left( {7\log 9 + 3\log 80} \right)\\
 = 7\log \left( {2 \times 5} \right) + 3\log {3^4} - 7\log {3^2} - 3\log ({2^4} \times 5)\\
 = 7\log 2 + 7\log 5 + 12\log 3 - 14\log 3 - 12\log 2 - 3\log 5\\
 =  - 5\log 2 - 2\log 3 + 4\log 5\\
 = 2\log {5^2} + \log 2 - 6\log 2 - 2\log 3\\
 = 2\log 25 - 2\log {2^3} - 2\log 3 + \log 2\\
 = 2\log \frac{{25}}{{8 \times 3}} + \log 2\\
 = 2\log \frac{{25}}{{24}} + \log 2\left( {proved} \right)
\end{array}[/tex]

 

 

 

উদাহরণ ২৷

প্রমান করো  [tex]{\log _2}10 - {\log _8}125 = 1[/tex][H.S '90]

প্রমান:

[tex]\begin{array}{l}
{\log _2}10 - {\log _8}125\\
 = {\log _2}\left( {2 \times 5} \right) - {\log _8}{5^3}\\
 = {\log _2}2 + {\log _2}5 - 3{\log _8}5\\
 = 1 + {\log _2}5 - 3\frac{1}{{{{\log }_5}8}}\\
 = 1 + {\log _2}5 - 3\frac{1}{{{{\log }_5}{2^3}}}\\
 = 1 + {\log _2}5 - 3\frac{1}{{3{{\log }_5}2}}\\
 = 1 + {\log _2}5 - \frac{1}{{{{\log }_5}2}}\\
 = 1 + {\log _2}5 - {\log _2}5\\
 = 1\left( {proved} \right)
\end{array}[/tex]

 

 

উদাহরণ ৩৷

যদি [tex]\frac{{\log x}}{{y - z}} = \frac{{\log y}}{{z - x}} = \frac{{\log z}}{{x - y}}[/tex] হয় তবে দেখাও যে [tex]{x^x}{y^y}{z^z} = 1[/tex][H.S'2000]

প্রমান:

ধরি

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{\log x}}{{y - z}} = \frac{{\log y}}{{z - x}} = \frac{{\log z}}{{x - y}} = k\\
\log x = k\left( {y - z} \right),\log y = k\left( {z - x} \right),\log z = k\left( {x - y} \right)
\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{l}
x\log x = xk\left( {y - z} \right)\\
 \Rightarrow \log {x^x} = k\left( {xy - xz} \right) \to \left( 1 \right)\\
y\log y = yk(z - x)\\
 \Rightarrow \log {y^y} = k(zy - xy) \to (2)\\
z\log z = zk(x - y)\\
 \Rightarrow \log {z^z} = k(xz - yz) \to \left( 3 \right)\\
\left( 1 \right) + \left( 2 \right) + \left( 3 \right)\\
\log {x^x} + \log {y^y} + \log {z^z} = k\left( {xy - xz + yz - yx + xz - yz} \right)\\
 \Rightarrow \log {x^x}{y^y}{z^z} = k \times 0\\
 \Rightarrow \log {x^x}{y^y}{z^z} = 0\\
 \Rightarrow {x^x}{y^y}{z^z} = 1\left( {proved} \right)
\end{array}[/tex]

 

 

উদাহরণ ৪৷

সমাধান করো: [tex]{\log _x}2 \cdot {\log _{\frac{x}{{16}}}}2 = {\log _{\frac{x}{{64}}}}2[/tex] [H.S'95,Jt Ent'81]

সমাধান:

[tex]\begin{array}{l}
{\log _x}2 \cdot {\log _{\frac{x}{{16}}}}2 = {\log _{\frac{x}{{64}}}}2\\
 \Rightarrow {\log _x}2 \cdot \frac{1}{{{{\log }_2}\frac{x}{{16}}}} = \frac{1}{{{{\log }_2}\frac{x}{{64}}}}\\
 \Rightarrow {\log _x}2 \cdot {\log _2}\frac{x}{{64}} = {\log _2}\frac{x}{{16}}\\
 \Rightarrow {\log _x}2\left( {{{\log }_2}x - {{\log }_2}64} \right) = {\log _2}x - {\log _2}16\\
 \Rightarrow {\log _x}2 \cdot {\log _2}x - {\log _x}2 \cdot {\log _2}{2^6} = {\log _2}x - {\log _2}{2^4}\\
 \Rightarrow 1 - {\log _x}2 \cdot 6{\log _2}2 = {\log _2}x - 4{\log _2}2\\
 \Rightarrow 1 - 6{\log _x}2 = {\log _2}x - 4\\
 \Rightarrow 6{\log _x}2 = 5 - {\log _2}x\\
 \Rightarrow 6\frac{1}{{{{\log }_2}x}} = 5 - {\log _2}x\\
 \Rightarrow 5{\log _2}x - {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} = 6\\
 \Rightarrow {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} - 5{\log _2}x + 6 = 0\\
 \Rightarrow {a^2} - 5a + 6 = 0\left[ {{{\log }_2}x = a} \right]\\
 \Rightarrow \left( {a - 3} \right)\left( {a - 2} \right) = 0\\
a = 3 \Rightarrow {\log _2}x = 3 \Rightarrow x = {2^3} = 8\\
or,a = 2 \Rightarrow {\log _2}x = 2 \Rightarrow x = {2^2} = 4
\end{array}[/tex]

Tags

Related Items

Syllabus for Economics [Class XI]

Unit : 1 Economics as a Social Science with special emphasis on human development. Unit : 2 Man-Nature interaction as the basis for environmental sustainability.

Class XI: Economics Study Reference

Class XI: Economics Study Reference

Syllabus for Education [Class XI]

EDUCATION CLASS-XI (Full Marks 100) 1. Definitions of Education : General views in respect of definitions of education Education as a process and a product.

Syllabus for Computer Application [Class XI]

Theoretical (Full Marks : 70) Practical Paper Full Marks: 30 Brief Review of Computer Hardware: History of Computer, Computer Generations, Developments in Computer Technology

Syllabus for Environmental Education [Class XI]

(Full Marks—100) 1. Man and Environment, 2. Environment and Development, 3. Environmental Pollution and Global Issues, 4. Energy. 5. Biodiversity, 6. Environmental Management,