চতুর্থ অধ্যায়ঃ সমান্তর,গুণোত্তর ও বিপরীত প্রগতি

 

সমান্তর,গুণোত্তর ও বিপরীত প্রগতি

(Arithmetic, Geometric and Harmonic Progression)

এই অধ্যায়ে আমরা ধারাবাহিক সংখ্যাগুচ্ছ(sequence of numbers)বলতে কী বোঝায় তা নিয়ে আলচনা করব।একটি ধারাবাহিক সংখ্যাগুচ্ছ বলতে বোঝায় একগুচ্ছ সংখ্যা(a set of numbers)যা একটি নিয়মে ক্রমান্বয়ে সজ্জিত থাকে।

মনে করি \left\{ {{a_1},{a_2},{a_3}, \ldots  \ldots ,{a_n}} \right\} হল একটি  ধারাবাহিক সংখ্যাগুচ্ছ যা একটি নির্দিষ্ট ক্রমে সজ্জিত আছে।এখানে n হল একটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যা।{a_1},{a_2},{a_n} হল যথাক্রমে  ধারাবাহিক সংখ্যাগুচ্ছের প্রথম দ্বিতীয় ওnতম পদ।যদি {a_n} এর মান জানা থাকে তবে আমরা সম্পূর্ন  ধারাবাহিক সংখ্যাগুচ্ছটি লিখতে পারি।

উদাহরণ:- যদি {a_n} = {n^3} হয় তাহলে সম্পূর্ন  ধারাবাহিক সংখ্যাগুচ্ছটি হয়

\begin{array}{l}<br />
	\left\{ {{1^3},{2^3},{3^3}, \ldots  \ldots ,{n^3} \ldots  \ldots } \right\}\\<br />
	 = \left\{ {1,8,27, \ldots  \ldots ,{n^3}, \ldots  \ldots } \right\}<br />
	\end{array}

আবার {a_n} = n + 1 হয় তাহলে সম্পূর্ন  ধারাবাহিক সংখ্যাগুচ্ছটি হবে

\begin{array}{l}<br />
	\left\{ {1 + 1,2 + 1,3 + 1, \ldots  \ldots n + 1 \ldots  \ldots } \right\}\\<br />
	 = \left\{ {2,3,4, \ldots  \ldots ,n + 1 \ldots  \ldots } \right\}<br />
	\end{array}

এই অধ্যায়ে আমরা তিন ধরনের  ধারাবাহিক সংখ্যাগুচ্ছ সম্পর্কে আলোচনা করব।

১৷সমান্তর প্রগতি(Arithmetic progression)

২৷গুণোত্তর প্রগতি(Geometric progression)

৩৷বিপরীত প্রগতি(Harmonic progression)

সমান্তর প্রগতি(Arithmetic progressionবাA.P)

সমান্তর প্রগতি(Arithmetic progression)হল এমন একটি ধারাবাহক সংখ্যাগুচ্ছ যেখানে প্রত্যেকটি পদের সঙ্গে একটি ধ্রুবক রাশি যোগ করলে ঠিক তারপরের পদটি পাওয়া যায়।অতএব এখানে পরপর দুটি পদের মধ্যে পার্থক্য একটি ধ্রুবক রাশি হবে তাই একে নির্দিষ্ট পার্থক্যবিশিষ্ট ধারাবাহিক সংখ্যাগুচ্ছ বলে।সংজ্ঞায় যে ধ্রুবক রাশির কথা বলা হয়েছে তাকে সাধারণ অন্তর(Common difference)বলে।

অতএব সাধারণ অন্তর(Common difference)=(পরবর্তী পদ)-(পূর্ববর্তী পদ)

 

 

উদাহরণ:-\left\{ {2,4,6, \ldots  \ldots } \right\} হল একটি সামান্তর প্রগতি যার সাধারণ অন্তর 2।

প্রথম পদ (2)

দ্বিতীয় পদ(4)=2+2=(প্রথম পদ)+(সাধারণ অন্তর)

তৃতীয় পদ(6)=4+2=(দ্বিতীয় পদ)+(সাধারণ অন্তর)

উদাহরণ:-\left\{ { - 5, - 7, - 9 \ldots  \ldots } \right\}  হল একটি সামান্তর প্রগতি যার সাধারণ অন্তর (-2)।

প্রথম পদ(-5)

দ্বিতীয় পদ (-7)=(-5)+(-2)=(প্রথম পদ)+ (সাধারণ অন্তর )

তৃতীয় পদ(-9)=(-7)+(-2)=(দ্বিতীয় পদ)+(সাধারণ অন্তর )

সমান্তর প্রগতির  সাধারণ আকার এবং সেই সম্পর্কে তার সূত্রাবলী

একটি  সমান্তর প্রগতির  সাধারণ আকার হল

\left\{ {a,a + d,a + 2d,a + 3d \ldots  \ldots } \right\} \to \left( 1 \right)

যেখানে a হল সমান্তর প্রগতির প্রথম পদ d হল সাধারণ অন্তর।

·         সমান্তর প্রগতির সাধারণ পদ(বা n তম পদ)নির্ণয়

স্পষ্টতই (1) সমান্তর প্রগতির

দ্বিতীয় পদ = a + 1 \cdot d = a + \left( {2 - 1} \right) \cdot d =প্রথম পদ+ \left( {2 - 1} \right) \timesসাধারণ অন্তর

তৃতীয় পদ= a + 2 \cdot d = a + \left( {3 - 1} \right) \cdot d =প্রথম পদ+ \left( {3 - 1} \right) \times সাধারণ অন্তর

চতুর্থ পদ=a + 3 \cdot d = a + \left( {4 - 1} \right) \cdot d =প্রথম পদ+ \left( {4 - 1} \right) \times সাধারণ অন্তর

সাধারণ ভাবে

nতম পদ =প্রথম পদ+ \left( {n - 1} \right) \timesসাধারণ অন্তর

              = a + \left( {n - 1} \right) \times d

{t_n} যদি nতম পদ হয় তাহলে আমরা লিখতে পারি

{t_n} = a + \left( {n - 1} \right) \times d

·         সমান্তর প্রগতির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি {s_n} হল (1) সমান্তর প্রগতির  প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি এবং  l হল nতম পদ।অতএব (n-1)ও(n-2)তম পদ হবে যথাক্রমে l-d, l-2d যেখানে dহল সাধারণ অন্তর।

{s_n} = a + \left( {a + d} \right) + (a + 2d) +  \ldots  \ldots  + (l - 2d) + (l - d) + l \to \left( 2 \right)

উল্টভাবে লিখলে পাই

{s_n} = l + \left( {l - d} \right) + \left( {l - 2d} \right) +  \ldots  \ldots  + \left( {a + 2d} \right) + \left( {a + d} \right) + a \to \left( 3 \right)

\left( 2 \right) + \left( 3 \right) করে পাই

\begin{array}{l}<br />
	{s_n} = a + \left( {a + d} \right) + (a + 2d) +  \ldots  \ldots  + (l - 2d) + (l - d) + l\\<br />
	 + {s_n} = l + (l - d) + (l - 2d) +  \ldots  \ldots  + (a + 2d) + (a + d) + a\\<br />
	 \Rightarrow 2{s_n} = (a + l) + (a + l) + (a + l) +  \ldots  \ldots  + (a + l)\\<br />
	 \Rightarrow 2{s_n} = n \cdot (a + l)\\<br />
	 \Rightarrow {s_n} = \frac{n}{2} \cdot (a + l)\\<br />
	 \Rightarrow {s_n} = \frac{n}{2} \cdot \{ a + a + (n - 1) \times d\} \\<br />
	 \Rightarrow {s_n} = \frac{n}{2} \cdot \left\{ {2a + \left( {n - 1} \right) \times d} \right\}<br />
	\end{array}

[l(n তম পদ)এর মান বসিয়ে পাই]

সমান্তর প্রগতির কয়েকটি ধর্ম

মনে করি

\left\{ {a,a + d,a + 2d \ldots  \ldots } \right\} \to \left( 1 \right)

হল একটি সমান্তর প্রগতি যার a হল প্রথম পদ dহল সাধারণ অন্তর।

·         সমান্তর প্রগতির প্রত্যেকটি পদের সঙ্গে একটি ধ্রুবক রাশি kযুক্ত হলে নতুন সমান্তর প্রগতি গঠিত হয়

(1) সমান্তর প্রগতির প্রতিটি পদের সাথে kযোগ করলে হয়

\left\{ {a + k,a + d + k,a + 2d + k \ldots  \ldots } \right\} \to \left( 2 \right)

স্পষ্টতই (2)হল একটি নতুন সমান্তর প্রগতি যেখানে প্রথম পদ হল (a+k)এবং সাধারণ অন্তর হল d।

·         সমান্তর প্রগতির প্রত্যেকটি পদ থেকে kবিয়োগ করলে নতুন সমান্তর প্রগতি গঠিত হয়

(1)সমান্তর প্রগতির প্রতিটি পদ থেকে kবিয়োগ করলে হয়

\left\{ {a - k,a + d - k,a + 2d - k \ldots  \ldots } \right\} \to \left( 3 \right)

স্পষ্টতই (3) হল কটি নতুন সমান্তর প্রগতি  যেখানে প্রথম পদ হল (a-k)এবং সাধারণ অন্তর হল d।

·         সমান্তর প্রগতির প্রত্যেকটি পদের সঙ্গে একটি ধ্রুবক রাশি kগুন করলে নতুন সমান্তর প্রগতি গঠিত হয়

(1) সমান্তর প্রগতির প্রতিটি পদের সাথে kগুন করলে হয়

\begin{array}{l}<br />
	\left\{ {ak,(a + d)k,(a + 2d)k, \ldots  \ldots } \right\}\\<br />
	 = \left\{ {ak,ak + dk,ak + 2dk, \ldots  \ldots } \right\} \to (4)<br />
	\end{array}

স্পষ্টতই (4) হল কটি নতুন সমান্তর প্রগতি  যেখানে প্রথম পদ হল  ak এবং সাধারণ অন্তর হল dk।

·         সমান্তর প্রগতির প্রত্যেকটি পদকে একটি ধ্রুবক রাশি kদিয়ে ভাগ করলে নতুন সমান্তর প্রগতি গঠিত হয়

(1)সমান্তর প্রগতির প্রতিটি পদকে kদিয়ে ভাগ করলে হয়

\begin{array}{l}<br />
	\left\{ {\frac{a}{k},\frac{{a + d}}{k},\frac{{a + 2d}}{k}, \ldots  \ldots } \right\}\\<br />
	 = \left\{ {\frac{a}{k},\frac{a}{k} + \frac{d}{k},\frac{a}{k} + \frac{{2d}}{k} \ldots  \ldots } \right\} \to \left( 5 \right)<br />
	\end{array}

 

স্পষ্টতই (5) হল কটি নতুন সমান্তর প্রগতি  যেখানে প্রথম পদ হল  \frac{a}{k}এবং সাধারণ অন্তর হল \frac{d}{k}

প্রথম nসংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘাতের সমষ্ট নির্ণয়

১৷প্রথম  n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি নির্ণেয় যোগফল হল {s_n}

{s_n} = 1 + 2 + 3 +  \ldots  \ldots  + n

এখানে প্রথম পদ=1,  সাধারণ অন্তর=1, অন্তিম পদ=n

\begin{array}{l}<br />
	{s_n} = \frac{n}{2}\left\{ {2 \cdot 1 + \left( {n - 1} \right) \cdot 1} \right\}\\<br />
	 = \frac{n}{2}\left\{ {2 + n - 1} \right\}\\<br />
	 = \frac{n}{2}\left\{ {n + 1} \right\}<br />
	\end{array}

২৷প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি নির্ণয়

\begin{array}{l}<br />
	{s_n} = {1^2} + {2^2} + {3^2} +  \ldots  \ldots  + {n^2}\\<br />
	 = \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)<br />
	\end{array}

৩৷প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি নির্ণয়

\begin{array}{l}<br />
	{s_n} = {1^3} + {2^3} + {3^3} +  \ldots  \ldots  + {n^3}\\<br />
	 = {\left[ {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right]^2}<br />
	\end{array}

সমান্তরীয় মধ্যক(Arithmetic Mean)

যখন তিনটি রাশি সমান্তর প্রগতিতে থাকে তখন মধ্যবর্তী পদকে ওই দুটি রাশির সমান্তরীয় মধ্যক বলে।

উদাহরণ:-\left\{ {a - d,a,a + d} \right\} এখানে aহল a-d ও a+d এর সমান্তরীয় মধ্যক।

যদি a ও bরাশির  সমান্তরীয় মধ্যক x হয় তাহলে

\begin{array}{l}<br />
	x - a = b - x\\<br />
	 \Rightarrow 2x = a + b\\<br />
	 \Rightarrow x = \frac{{a + b}}{2}<br />
	\end{array}

সুতরাং দুটি রাশির  সামান্তরীয় মধ্যক হল রাশি দুটির সমষ্টির অর্ধেক।

আবার যখন তিনটির বেশি রাশি থাকে তবে মাঝের রাশিগুলিকে প্রান্তের দুই রাশির সামান্তরীয় মধ্যকসমূহ বলে।

সংক্ষিপ্তকরণ(Summarisation)

১৷ কোনো সমান্তর প্রগতির প্রথম পদ a এবং সাধারন অন্তর d হলে

·         nতম পদ = {t_n} = a + (n - 1)d

·         প্রথম nসংখ্যক পদের যোগফল = {s_n} = \frac{n}{2}\left\{ {2a + (n - 1)d} \right\}

২৷প্রথম nসংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি= \frac{{n(n + 1)}}{2}

৩৷প্রথম nসংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি= \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)

৪৷প্রথম nসংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি= {\left[ {\frac{{n(n + 1)}}{2}} \right]^2}

৫৷যদি a ও bরাশির  সামান্তরীয় মধ্যক x হয় তাহলে

x = \frac{{a + b}}{2}

 

 

গুণোত্তর প্রগতি(Geometric Progression বা G.P)

গুণোত্তর প্রগতি হল এমন একটি ধারাবাহিক সংখ্যাগুচ্ছে(a sequence of numbers)যেখানে প্রত্যেকটি পদকে একটি নির্দিষ্ট ধ্রুবক রাশি দ্বারা গুণ করলে ঠিক পরের পদ পাওয়া যায়।উক্ত ধ্রুবক রাশিকে সাধারণ অনুপাত(Common ratio)বলে।

অতএব সাধারণ অনুপাত(Common ratio)=পরবর্তী পদ/পূর্ববর্তী পদ

উদাহরণ:-\left\{ {2,4,8, \ldots  \ldots } \right\} একটি গুণোত্তর প্রগতি যার সাধারণ অনুপাত হল 2

প্রথম পদ(2)

দ্বিতীয়পদ(4)= 2 \times 2 = প্রথম পদ\times সাধারণ অনুপাত

তৃতীয় পদ(8)= 4 \times 2 =দ্বিতীয় পদ\times সাধারণ অনুপাত

উদাহরণ:-\left\{ {3,1,\frac{1}{3},\frac{1}{9}, \ldots  \ldots } \right\} একটি গুণোত্তর প্রগতি যার সাধারণ অনুপাত হল\frac{1}{3}

প্রথম পদ(3)

দ্বিতীয়পদ(1)= 3 \times \frac{1}{3} = প্রথম পদ\times সাধারণ অনুপাত

তৃতীয় পদ\left( {\frac{1}{3}} \right)= 1 \times \frac{1}{3} =দ্বিতীয় পদ\times সাধারণ অনুপাত

চতুর্থ পদ\left( {\frac{1}{9}} \right)= \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = তৃতীয় পদ\times সাধারণ অনুপাত

গুণোত্তর প্রগতির সাধারণ আকার এবং সংশ্লিষ্ট সূত্রাবলি

গুণোত্তর প্রগতির সাধারণ আকার

গুণোত্তর প্রগতির সাধারণ আকার হল \left\{ {a,ar,a{r^2},a{r^3}, \ldots  \ldots } \right\} \to \left( 1 \right)

এখানে a=প্রথম পদ, r=সধারণ অনুপাত।

স্পষ্টতই দ্বিতীয়পদ(ar)= a \cdot {r^{2 - 1}}

তৃতীয় পদ\left( {a{r^2}} \right)= a \cdot {r^{3 - 1}}

চতুর্থ পদ\left( {a{r^3}} \right)= a \cdot {r^{4 - 1}}

সাধারণভাবে n তম পদ= {t_n} হলে

{t_n} = a \cdot {r^{^{n - 1}}}

গুণোত্তর প্রগতির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি (1)গুণোত্তর প্রগতির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি= {s_n}

{s_n} = a + ar + a{r^2} + a{r^3} +  \ldots  \ldots a{r^{n - 1}} \to \left( 2 \right)

উভয়পক্ষকে rদিয়ে গুণ করে পাই

\begin{array}{l}<br />
	{s_n} \cdot r = \left( {a + ar + a{r^2} + a{r^3} +  \ldots  \ldots  + a{r^{n - 1}}} \right) \cdot r\\<br />
	 \Rightarrow {s_n} \cdot r = ar + a{r^2} + a{r^3} + a{r^4} +  \ldots  \ldots  + a{r^n} \to \left( 3 \right)<br />
	\end{array}

\left( 2 \right) - \left( 3 \right) করে পাই

\begin{array}{l}<br />
	{s_n} = a + ar + a{r^2} + a{r^3} +  \ldots  \ldots  + a{r^{n - 1}}\\<br />
	 - {s_n}r =  - ar - a{r^2} - a{r^3} -  \ldots  \ldots  - a{r^n}\\<br />
	 \Rightarrow {s_n}\left( {1 - r} \right) = a - a{r^n}\\<br />
	 \Rightarrow {s_n} = \frac{{a\left( {1 - {r^n}} \right)}}{{\left( {1 - r} \right)}}<br />
	\end{array}

গুণোত্তরীয় মধ্যক(Geometric Mean or G.M)

যখন তিনটি রাশি গুণোত্তর প্রগতিতে থাকে তখন মাঝের রাশিকে অন্য দুটি রাশির গুণোত্তরীয় মধ্যক বলে।

উদাহরণস্বরূপ \left\{ {3,6,12} \right\}গুণোত্তর প্রগতিতে আছে।এখানে মাঝের পদ হল 6 ।একে 3ও12এর গুণোত্তরীয় মধ্যক বলে।  

মনে করি \left\{ {a,b,c} \right\} গুণোত্তর প্রগতিতে আছে।

\begin{array}{l}<br />
	\frac{b}{a} = \frac{c}{b}\\<br />
	 \Rightarrow {b^2} = ac\\<br />
	 \Rightarrow b =  \pm \sqrt {ac}<br />
	\end{array}

সুতরাং দুটি রাশির গুণোত্তরীয় মধ্যক হল রাশি দুটির গুণফলের বর্গমূল।কোনো রাশি গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে মধ্যবর্তী রাশিগুলিকে প্রন্তের দুই রাশির গুণোত্তরীয় মধ্যকসমূহ বলা হয়।যেমন \left\{ {5,10,20,40,80} \right\} এর 5 ও 80এর গুণোত্তরীয় মধ্যকসমূহ হল 10,20,40।

সংক্ষিপ্তকরণ(Summarisation)

যদি কোনো গুণোত্তর প্রগতির প্রথম পদ=aএবং সাধারণ অনুপাত=rহয় তবে।

১৷n তম পদ= {t_n} = a{r^{n - 1}}

২৷প্রথম nসংখ্যক পদের যোগফল= {s_n} = \frac{{a\left( {1 - {r^n}} \right)}}{{1 - r}}

৩৷aওcদুটি রাশির গুণোত্তরীয় মধ্যক bহলে b =  \pm \sqrt {ac}

 

 

 

 

 

 

বিপরীত প্রগতি(Harmonic progression or H.P)

বিপরীত প্রগতি হল এমন একটি ধারাবাহিক সংখ্যাগুচ্ছ যেখানে পরপর রাশিগুলির অন্যোন্যক সমান্তর প্রগতিতে থাকবে।

উদাহরণস্বরূপ \left\{ {1,\frac{1}{4},\frac{1}{7},\frac{1}{{10}}, \ldots  \ldots } \right\} হল বিপরীত প্রগতি কারণ \left\{ {1,4,7,10, \ldots  \ldots } \right\} এটি সমান্তর প্রগতিতে আছে।যেখানে 1,4,7,10………হল যাথাক্রমে 1,\frac{1}{4},\frac{1}{7},\frac{1}{{10}}, \ldots  \ldots এদের অন্যোন্যক সমূহ।

মনে করি \left\{ {a,b,c} \right\}হল বিপরীত প্রগতি।অতএব সংজ্ঞা অনুযায়ী \left\{ {\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}} \right\} এটি হবে সমান্তর প্রগতি।

\begin{array}{l}<br />
	\left( {\frac{1}{b} - \frac{1}{a}} \right) = \left( {\frac{1}{c} - \frac{1}{b}} \right)\\<br />
	 \Rightarrow \frac{{a - b}}{{ab}} = \frac{{b - c}}{{bc}}\\<br />
	 \Rightarrow \frac{{a - b}}{{b - c}} = \frac{{ab}}{{bc}}\\<br />
	 \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{{a - b}}{{b - c}}<br />
	\end{array}

এর থেকে বলা যায় তিনটি সংখ্যা বিপরীত প্রগতিতে থাকবে যদি প্রথম ও তৃতীয় সংখ্যার অনুপাত প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার বিয়োগফল এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার বিয়োগফলর অনুপাতের সমান হয়।

বিপরীত মধ্যক(Harmonic Mean or H.M)

যদি তিনটি রাশি বিপরীত প্রগতিতে থাকে তবে মাঝের রাশিকে ওই প্রান্তের দুই রাশির বিপরীত মধ্যক বলে।

উদাহরণস্বরূপ x, y, z বিপরীত প্রগতিতে আছে তাহলে y কে x ও zএর বিপরীত মধ্যক বলে।

মনে করি \left\{ {a,b,c} \right\} হল বিপরীত প্রগতি।অতএব b কে a ও cএর  বিপরীত মধ্যক বলে।

\left\{ {\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}} \right\} হল সমান্তর প্রগতি।

\begin{array}{l}<br />
	\left( {\frac{1}{b} - \frac{1}{a}} \right) = \left( {\frac{1}{c} - \frac{1}{b}} \right)\\<br />
	 \Rightarrow \frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}\\<br />
	 \Rightarrow \frac{2}{b} = \frac{{a + c}}{{ac}}\\<br />
	 \Rightarrow \frac{b}{2} = \frac{{ac}}{{a + c}}\\<br />
	 \Rightarrow b = \frac{{2ac}}{{a + c}}<br />
	\end{array}