পঞ্চম অধ্যায়ঃ দ্বিঘাত সমীকরণের তত্ত্ব (Theory of Quadratic Equation)

Submitted by hs.manager on Wed, 02/16/2011 - 22:57

 দ্বিঘাত সমীকরণের তত্ত্ব

(Theory of Quadratic Equation)

যে সমীকরণে অজ্ঞাত রাশির বৃহত্তম সূচকের মান দুই হলে তাকে দুই ঘাতবিশিষ্ট বা দ্বিঘাত সমীকরণ(second degree or quadratic equation)বলে।একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ আকার হল [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0[/tex] যেখানে [tex]a\left( { \ne 0} \right),b,c[/tex] তিনটি ধ্রুবক রাশি।[tex]a,b[/tex] হল যথাক্রমে [tex]{x^2},x[/tex]এর সহগ এবং cকে সমীকরণটির ধ্রুবক পদ বলে।

যে দ্বিঘাত সমীকরণে [tex]b = 0[/tex] হয় অর্থাৎ সমীকরণের সাধারণ আকার হয় [tex]a \cdot {x^2} + c = 0[/tex] তাকে বিশুদ্ধ দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।অন্যভাবে যে দ্বিঘাত সমীকরণে [tex]b \ne 0[/tex] হয় অর্থাৎ সমীকরণের সাধারণ আকার হয় [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0[/tex] তাকে মিশ্র দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।যেমন [tex]{x^2} - 16 = 0,9{x^2} - 25 = 0[/tex]হল  বিশুদ্ধ দ্বিঘাত সমীকরণ কিন্তু [tex]2{x^2} + 3x + 5 = 0[/tex] হল  মিশ্র দ্বিঘাত সমীকরণ।

উপপাদ্য(Theorem)

উপপাদ্য ১৷[tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\left( {a \ne 0} \right)[/tex] দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ [tex]\alpha [/tex] হলে [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c[/tex] রাশিমালার একটি উৎপাদক হবে [tex]\left( {x - \alpha } \right)[/tex] বিপরীতক্রমে [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c[/tex] রাশিমালার একটি উৎপাদক [tex]\left( {x - \alpha } \right)[/tex] হলে [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0[/tex] সমীকরণের একটি বীজ হবে [tex]\alpha [/tex]

প্রমান  প্রশ্নানুযায়ী [tex]\alpha [/tex] হল [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0[/tex] সমীকরণের একটি বীজ।

[tex]a \cdot {\alpha ^2} + b \cdot \alpha  + c = 0[/tex]

এখন

[tex]\begin{array}{l}
a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = (a \cdot {x^2} + b \cdot x + c) - \left( {a \cdot {\alpha ^2} + b \cdot \alpha  + c} \right)\\
 = a\left( {{x^2} - {\alpha ^2}} \right) + b\left( {x - \alpha } \right)\\
 = a\left( {x + \alpha } \right)\left( {x - \alpha } \right) + b\left( {x - \alpha } \right)\\
 = \left( {x - \alpha } \right)\left\{ {a\left( {x + \alpha } \right) + b} \right\}
\end{array}[/tex]

অতএব [tex]\left( {x - \alpha } \right)[/tex] হল [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c[/tex] রাশিমালার উৎপাদক।

বিপরীতক্রমে যদি [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c[/tex] রাশিমালার একটি উৎপাদক  [tex]\left( {x - \alpha } \right)[/tex]হয় তাহলে আমরা লিখতে পারি

[tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = \left( {x - \alpha } \right)\left( {px + q} \right),\left( {p \ne 0} \right)[/tex] যেখানে pও qহল ধ্রুবক।

উপরের সমীকরণে [tex]x = \alpha [/tex] বসিয়ে পাই।

[tex]\begin{array}{l}
a \cdot {\alpha ^2} + b \cdot \alpha  + c = \left( {\alpha  - \alpha } \right)\left( {p\alpha  + q} \right)\\
 \Rightarrow a \cdot {\alpha ^2} + b \cdot \alpha  + c = 0 \cdot \left( {p\alpha  + q} \right)\\
 \Rightarrow a \cdot {\alpha ^2} + b \cdot \alpha  + c = 0
\end{array}[/tex]

অতএব প্রমানিত [tex]\alpha [/tex] হল [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0[/tex]এই সমীকরণের একটি বীজ।

উপপাদ্য ২৷একটি দ্বিঘাত সমীকরণে কেবলমাত্র দুটি বীজ থাকবে।

প্রমান  [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0,\left( {a \ne 0} \right)[/tex]হল একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

[tex]\begin{array}{l}
a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\\
 \Rightarrow {x^2} + \frac{b}{a} \cdot x + \frac{c}{a} = 0\\
 \Rightarrow {x^2} + 2\frac{b}{{2a}} \cdot x + {\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2} - {\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2} + \frac{c}{a} = 0\\
 \Rightarrow {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \left( {\frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} - \frac{c}{a}} \right) = 0\\
 \Rightarrow {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \left( {\frac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}} \right) = 0\\
 \Rightarrow {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - {\left( {\frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}} \right)^2} = 0\\
 \Rightarrow \left( {x + \frac{b}{{2a}} + \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}} \right)\left( {x + \frac{b}{{2a}} - \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}} \right) = 0\\
 \Rightarrow \left\{ {x - \left( {\frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}} \right)} \right\}\left\{ {x - \left( {\frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}} \right)} \right\} = 0\\
 \Rightarrow \left( {x - \alpha } \right)\left( {x - \beta } \right) = 0
\end{array}[/tex]

যেখানে [tex]\alpha  = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}},\beta  = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}[/tex]

স্পষ্টতই দেখা যাচ্ছে উপরের সমীকরণের কেবলমাত্র দুটি বীজ আছে।

বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য

বাস্তব কিংবা জটিল সহগবিশিষ্ট প্রত্যেক বীজগণিতীয় সমীকরণের কমপক্ষে একটি বাস্তব অথবা কাল্পনিক বীজ থাকবে

উপপাদ্য ৩৷ কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের দুটির বেশি বীজ থাকতে পারেনা।

প্রমান  [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0,\left( {a \ne 0} \right)[/tex]হল একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

মৌলিক উপপাদ্য অনুযায়ী মনে করি[tex]\alpha [/tex] হল উপরের দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ।

অতএব [tex]\left( {x - \alpha } \right)[/tex] হবে[tex] \cdot {x^2} + b \cdot x + c[/tex] এই রাশিমালার একটি উৎপাদক।

[tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = \left( {x - \alpha } \right)\left( {px + q} \right),\left( {p \ne 0} \right) \to \left( 1 \right)[/tex]

যেখানে pও qহল ধ্রুবক।

মৌলিক উপপাদ্য অনুযায়ী মনে করি [tex]\beta [/tex] হল [tex]px + q = 0[/tex] সমীকরণের বীজ।

[tex]p\beta  + q = 0[/tex] এবং [tex]\left( {x - \beta } \right)[/tex] হল [tex]px + q[/tex] রাশিমালার উৎপাদক।

[tex]px + q = \left( {x - \beta } \right) \cdot r \to \left( 2 \right)[/tex]

যেখানে rহল ধ্রুবক([tex]px + q[/tex]একঘাত রাশিকে[tex]\left( {x - \beta } \right)[/tex]দিয়ে ভাগ করলে ধ্রুবক rপাওয়া যায়)।

(2)এর মান (1)কে বসিয়ে পাই

[tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = \left( {x - \alpha } \right) \cdot \left( {x - \beta } \right) \cdot r \to \left( 3 \right)[/tex]

(3)এর উভয়পক্ষে [tex]{x^2}[/tex] এর সহগ তুলনা করে পাই[tex]r = a[/tex]

সুতরাং [tex]a{x^2} + bx + c = a\left( {x - \alpha } \right)\left( {x - \beta } \right) \to \left( 4 \right)[/tex]

(4)নং সমীকরণ থেকে পাই [tex]x = \alpha [/tex] অথবা [tex]x = \beta [/tex] হলে [tex]a{x^2} + bx + c = 0[/tex] হয়।

অতএব [tex]x = \alpha ,x = \beta [/tex] হল [tex]a{x^2} + bx + c = 0[/tex] সমীকরণের দুটি বীজ।

এখন মনে করি [tex]\gamma ,\left( {\gamma  \ne \alpha ,\gamma  \ne \beta } \right)[/tex] হল উপরের সমীকরণের আরো একটি বীজ।

সুতরাং [tex]\gamma [/tex] (4)নং সমীকরণকে সিদ্ধ করবে

[tex]a{\gamma ^2} + b\gamma  + c = a\left( {\gamma  - \alpha } \right)\left( {\gamma  - \beta } \right) \ne 0(a \ne 0)[/tex]

অতএব [tex]\gamma [/tex] [tex]a{x^2} + bx + c = 0[/tex] সমীকরণের বীজ হতে পারেনা।

সুতরাং প্রমানিত কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের দুটির বেশি বীজ থাকতে পারেনা।

 

 

বিকল্প পদ্ধতি

যদি সম্ভব হয় মনে করি

 [tex]a{x^2} + bx + c = 0,(a \ne 0) \to \left( 1 \right)[/tex]

সমীকরণের তিনটি বীজ হল [tex]\alpha ,\beta ,\gamma \left( {\alpha  \ne \beta  \ne \gamma } \right)[/tex]

[tex]\begin{array}{l}
a{\alpha ^2} + b\alpha  + c = 0 \to \left( 2 \right)\\
a{\beta ^2} + b\beta  + c = 0 \to \left( 3 \right)\\
a{\gamma ^2} + b\gamma  + c = 0 \to \left( 4 \right)
\end{array}[/tex]

এখন (2)-(3)করে পাই

[tex]\begin{array}{l}
(a{\alpha ^2} + b\alpha  + c) - \left( {a{\beta ^2} + b\beta  + c} \right) = 0\\
 \Rightarrow a\left( {\alpha  + \beta } \right)\left( {\alpha  - \beta } \right) + b\left( {\alpha  - \beta } \right) = 0\\
 \Rightarrow \left( {\alpha  - \beta } \right)\left\{ {a\left( {\alpha  + \beta } \right) + b} \right\} = 0,\left( {\alpha  \ne \beta } \right)\\
 \Rightarrow \left\{ {a\left( {\alpha  + \beta } \right) + b} \right\} = 0 \to \left( 5 \right)
\end{array}[/tex]

অনুরূপে (3)-(4)করে পাই

[tex]\left\{ {a\left( {\beta  + \gamma } \right) + b} \right\} = 0 \to \left( 6 \right)[/tex]

(5)-(6)করে পাই

[tex]\begin{array}{l}
\{ a\left( {\alpha  + \beta } \right) + b\}  - \left\{ {a\left( {\beta  + \gamma } \right) + b} \right\} = 0\\
 \Rightarrow a\left( {\alpha  - \gamma } \right) = 0\\
 \Rightarrow \alpha  - \gamma  = 0,\left( {a \ne 0} \right)\\
 \Rightarrow \alpha  = \gamma  \to \left( 7 \right)
\end{array}[/tex]

(7)থেকে বোঝা যায় (1)এর কেবলমাত্র দুটি বীজ থাকবে।

উপপাদ্য ৪৷বাস্তব সহগ বিশিষ্ট কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ কাল্পনিক রাশি হলে অন্য বীজটি প্রতিযোগী কাল্পনিক রাশি হবে।

প্রমান  [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0,\left( {a \ne 0} \right) \to \left( 1 \right)[/tex]

হল একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

যেখানে [tex]a,b,c[/tex] সহগ গুলি বাস্তব এবং এদের একটি কাল্পনিক বীজ হল [tex](\alpha  + i\beta )[/tex]([tex]\alpha ,\beta [/tex] হল বাস্তব ও [tex]i = \sqrt { - 1} [/tex] ) ।

অতএব [tex](\alpha  + i\beta )[/tex] (1)নং সমীকরণকে সিদ্ধ করবে।

[tex]\begin{array}{l}
a{\left( {\alpha  + i\beta } \right)^2} + b\left( {\alpha  + i\beta } \right) + c = 0\\
 \Rightarrow a\left( {{\alpha ^2} + 2i\alpha \beta  - {\beta ^2}} \right) + b\left( {\alpha  + i\beta } \right) + c = 0\\
 \Rightarrow a({\alpha ^2} - {\beta ^2}) + b\alpha  + c + i\left( {2a\alpha \beta  + b\beta } \right) = 0\\
 \Rightarrow a\left( {{\alpha ^2} - {\beta ^2}} \right) + b\alpha  + c = 0 \to \left( 2 \right)\\
2a\alpha \beta  + b\beta  = 0 \to \left( 3 \right)\\
\left( {p + iq = 0 \Rightarrow p = 0,q = 0} \right)
\end{array}[/tex]

আমরা [tex]x = \left( {\alpha  - i\beta } \right)[/tex] [tex],\left( {a{x^2} + bx + c} \right)[/tex] রাশিতে বসিয়ে পাই।

[tex]\begin{array}{l}
a{\left( {\alpha  - i\beta } \right)^2} + b\left( {\alpha  - i\beta } \right) + c\\
 = a\left( {{\alpha ^2} - 2i\alpha \beta  - {\beta ^2}} \right) + b\left( {\alpha  - i\beta } \right) + c\\
 = a({\alpha ^2} - {\beta ^2}) + b\alpha  + c - i\left( {2a\alpha \beta  + b\beta } \right)\\
 = 0
\end{array}[/tex]

[(2)ও (3)থেকে পাই]

অতএব[tex]\left( {\alpha  - i\beta } \right)[/tex] [tex],\left( {a{x^2} + bx + c} \right)[/tex]রাশিকে সিদ্ধ করছে।সুতরাং [tex]\left( {\alpha  - i\beta } \right)[/tex]হল(1)নং সমীকরণের অন্য আর একটি বীজ।বিপরীভাবে আমরা দেখাতে পারি যদি [tex]\left( {\alpha  - i\beta } \right)[/tex](1)নং সমীকরণের একটি বীজ হয় তবে অন্যটি হবে [tex](\alpha  + i\beta )[/tex]।

কিন্তু [tex]\left( {\alpha  + i\beta } \right),\left( {\alpha  - i\beta } \right)[/tex] হল প্রতিযোগী কাল্পনিক রাশি।অতএব প্রমানিত বাস্তব সহগ বিশিষ্ট কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ কাল্পনিক রাশি হলে অন্য বীজটি প্রতিযোগী কাল্পনিক রাশি হবে।

উপপাদ্য ৫৷ মূলদ সহগ বিশিষ্ট কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অমূলদ রাশি হলে অন্য বীজটি প্রতিযোগী অমূলদ রাশি হবে।

প্রমান  [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0,\left( {a \ne 0} \right) \to \left( 1 \right)[/tex]

হল একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

যেখানে [tex]a,b,c[/tex] সহগ গুলি মূলদ এবং এদের একটি অমূলদ বীজ  হল [tex]p + \sqrt q [/tex] (যেখানে pমূলদ রাশি [tex]\sqrt q [/tex]  হল অমূলদ রাশি)।

অতএব [tex]p + \sqrt q [/tex](1)নং সমীকরণকে সিদ্ধ করবে।

[tex]\begin{array}{l}
a{\left( {p + \sqrt q } \right)^2} + b\left( {p + \sqrt q } \right) + c = 0\\
 \Rightarrow a\left( {{p^2} + 2p\sqrt q  + q} \right) + bp + b\sqrt q  + c = 0\\
 \Rightarrow a\left( {{p^2} + q} \right) + bp + c + \left( {2p + b} \right)\sqrt q  = 0\\
 \Rightarrow a\left( {{p^2} + q} \right) + bp + c = 0 \to \left( 2 \right)\\
\left( {2p + b} \right) = 0 \to \left( 3 \right)
\end{array}[/tex]

এখন [tex]x = (p - \sqrt q )[/tex] কে [tex],\left( {a{x^2} + bx + c} \right)[/tex]রাশিতে বসিয়ে পাই

[tex]\begin{array}{l}
a{\left( {p - \sqrt q } \right)^2} + b\left( {p - \sqrt q } \right) + c\\
 = a\left( {{p^2} - 2p\sqrt q  + q} \right) + bp - b\sqrt q  + c\\
 = a\left( {{p^2} + q} \right) + bp + c - \left( {2p + b} \right)\sqrt q \\
 = 0 - 0\\
 = 0
\end{array}[/tex] [(2)ও (3)থেকে পাই]

অতএব [tex]\left( {p - \sqrt q } \right)[/tex] হল (1)নং সমীকরণের অন্য আর একটি বীজ।বিপরীভাবে আমরা দেখাতে পারি যদি [tex]\left( {p - \sqrt q } \right)[/tex] (1)নং সমীকরণের একটি বীজ হয় তবে অন্যটি হবে[tex]p + \sqrt q [/tex] ।কিন্তু [tex]\left( {p + \sqrt q } \right),\left( {p - \sqrt q } \right)[/tex]  হল প্রতিযোগী অমূলদ রাশি।অতএব প্রমানিত মূলদ সহগ বিশিষ্ট কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অমূলদ রাশি হলে অন্য বীজটি প্রতিযোগী অমূলদ রাশি হবে।

দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ ও সহগের সম্বন্ধ নির্ণয়(To find the relation between roots and coefficient of a Quadratic equation)

  [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0,\left( {a \ne 0} \right) \to \left( 1 \right)[/tex]

হল একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।[tex]{x^2},x[/tex] এর সহগ হল যথাক্রমে [tex]a,b[/tex] এবং cহল ধ্রুবক ।মনে করি [tex]\alpha ,\beta [/tex]  হল (1)নং সমীকরণের দুটি বীজ।

[tex]\begin{array}{l}
a{x^2} + bx + c = 0\\
 \Rightarrow {x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\\
 \Rightarrow {x^2} + 2\frac{b}{{2a}}x + \frac{c}{a} = 0\\
 \Rightarrow {x^2} + 2\frac{b}{{2a}}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} + \frac{c}{a} - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = 0\\
 \Rightarrow {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \left( {\frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} - \frac{c}{a}} \right) = 0\\
 \Rightarrow {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \left( {\frac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}} \right)\\
 \Rightarrow x + \frac{b}{{2a}} =  \pm \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\\
 \Rightarrow x =  - \frac{b}{{2a}} \pm \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\\
 \Rightarrow x = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}
\end{array}[/tex]

মনে করি [tex]\alpha  = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}},\beta  = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}[/tex]

[tex]\begin{array}{l}
\alpha  + \beta  =  - \frac{b}{a} \to \left( 2 \right)\\
\alpha \beta  = \left( {\frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}} \right) \times \left( {\frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}} \right)\\
 = \frac{{{b^2} - {b^2} + 4ac}}{{4{a^2}}}\\
 = \frac{c}{a}\\
 \Rightarrow \alpha \beta  = \frac{c}{a} \to \left( 3 \right)
\end{array}[/tex]

(2)ও (3)থেকে আমরা বীজ ও সহগের মধ্যে সম্বন্ধ পাই।

 

 

দুটি বীজ জানা থাকলে দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন(Formation of the Quadratic equation whose roots are given)

  [tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0,\left( {a \ne 0} \right) \to \left( 1 \right)[/tex]

হল একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ আকার।।মনে করি [tex]\alpha ,\beta [/tex]  হল সমীকরণের দুটি বীজ।

এখন

[tex]\begin{array}{l}
a{x^2} + bx + c = 0\\
 \Rightarrow {x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\\
 \Rightarrow {x^2} - \left( { - \frac{b}{a}} \right)x + \frac{c}{a} = 0\\
 \Rightarrow {x^2} - \left( {\alpha  + \beta } \right)x + \alpha \beta  = 0\left[ {\left( {\alpha  + \beta } \right) =  - \frac{b}{a},\alpha \beta  = \frac{c}{a}} \right]
\end{array}[/tex]

অতএব [tex]{x^2} - [/tex] (দুটি বীজের সমষ্টি)[tex]x + [/tex] (বীজ দুটির গুনফল)[tex] = 0[/tex]

অতএব প্রমানিত কোনো সমীকরণের দুটি দেওয়া থাকলে সমীকরণটি নির্ণয় করা যায়।

দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজের প্রকৃতি নির্ণয় (To find the nature of the roots of a Quadratic Equation)

সাধারণ আকারের দ্বিঘাত সমীকরণ হল

[tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0,\left( {a \ne 0} \right) \to \left( 1 \right)[/tex]

যদি[tex]\alpha ,\beta [/tex]  হল (1)নং সমীকরণের দুটি বীজ তবে

[tex]\alpha  = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}},\beta  = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}[/tex]

মনে করি  [tex]a,b,c[/tex] হল বাস্তব মূলদ সংখ্যা।[tex]\alpha ,\beta [/tex] ‌প্রকৃতি [tex]{b^2} - 4ac[/tex] দ্বারা নির্ণীত হয় বলে [tex]{b^2} - 4ac[/tex] কে নিরূপক(discriminant)বলা হয়।নিরূপকের উপর ভিত্তি করে দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের প্রকৃতি কী রূপ হতে পারে তা নিম্নেআালচনা করা হল।

১৷ যদি নিরূপক ধনাত্মক হয় অর্থাৎ [tex]{b^2} - 4ac > 0[/tex] তবে (1)নং সমীকরণের দুটি বীজ [tex]\left( {\alpha ,\beta } \right)[/tex] বাস্তব এবং অসমান হবে।

২৷ যদি নিরূপকের মান শূন্য অর্থাৎ [tex]{b^2} - 4ac = 0[/tex] হয় তবে(1)নং সমীকরণের দুটি বীজ [tex]\left( {\alpha ,\beta } \right)[/tex] বাস্তব এবং সমান হবে।

৩৷  যদি নিরূপক ঋনাত্মক হয় অর্থাৎ[tex]{b^2} - 4ac < 0[/tex] হয় তবে(1)নং সমীকরণের দুটি বীজ [tex]\left( {\alpha ,\beta } \right)[/tex] অবাস্তব এবং অসমান হবে।

৪৷ যদি নিরূপকটি ধনাত্মক পূর্ণবর্গ হয় তবে (1)নং সমীকরণের দুটি বীজ [tex]\left( {\alpha ,\beta } \right)[/tex] বাস্তব ,মূলদ এবং অসমান হবে।

আর যদি নিরূপকটি ধনাত্মক কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে তবে (1)নং সমীকরণের দুটি বীজ [tex]\left( {\alpha ,\beta } \right)[/tex] বাস্তব ,অমূলদ এবং অসমান হবে।

৫৷ যদি aঅথবা bএর কোনো একটির মান অমূলদ হয় তবে [tex]{b^2} - 4ac[/tex] বা নিরূপকের মান পূর্ণবর্গ হলেও (1)নং সমীকরণের দুটি বীজ [tex]\left( {\alpha ,\beta } \right)[/tex] অমূলদ হবে।

দ্বিঘাত সীকরণের এক বা একাধিক সহগ শূন্য হলে বীজ দুটির প্রকৃতি নির্ণয়(To find the nature of roots of a Quadratic equation when one or more coefficients are zero)

সাধারণ আকারের দ্বিঘাত সমীকরণ হল

[tex]a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0,\left( {a \ne 0} \right) \to \left( 1 \right)[/tex]

মনে করি a,b,cবাস্তব ও মূলদ।

যদি c=0হয় তবে (1)নং সমীকরণ থেকে পাই

[tex]\begin{array}{l}
a{x^2} + bx = 0\\
 \Rightarrow x\left( {ax + b} \right) = 0
\end{array}[/tex]

[tex]x = 0[/tex] বা[tex]ax + b = 0 \Rightarrow x =  - \frac{b}{a}[/tex]

সুতরাং দ্বিঘাত সমীকরণের ধ্রুবক পদ শূন্য হলে একটি বীজ শূন্য এবং অন্যটি বাস্তব ও মূলদ হয়।

যদি b=0হয় তবে (1)নং সমীকরণ থেকে পাই

[tex]\begin{array}{l}
a{x^2} + c = 0\\
 \Rightarrow {x^2} =  - \frac{c}{a}\\
 \Rightarrow x =  \pm \sqrt { - \frac{c}{a}}
\end{array}[/tex]

সুতরাং দ্বিঘাত সমীকরণের xএর সহগ পদ শূন্য হলে বীজ দুটির মান সমান হবে কিন্তু তারা বিপরীত চিহ্ন যুক্ত হয়।

যদি a=0হয় তখনও বীজের প্রকৃতি নির্ণয় করা যায়

মনে করি [tex]x = \frac{1}{y}[/tex] তাহলে সমীকরণ থেকে পাই

[tex]\begin{array}{l}
a\frac{1}{{{y^2}}} + b\frac{1}{y} + c = 0\\
 \Rightarrow a + by + c{y^2} = 0 \to \left( 2 \right)\\
 \Rightarrow by + c{y^2} = 0,\left( {a = 0} \right)\\
 \Rightarrow y\left( {b + cy} \right) = 0
\end{array}[/tex]

অতএব [tex]y = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{y} = \frac{1}{0}[/tex] বা[tex]y =  - \frac{b}{c} \Rightarrow x = \frac{1}{y} =  - \frac{c}{b}[/tex]

এক্ষেত্রে একটি বীজের মান পাওয়া যায় সেটি বাস্তব ও মূলদ অন্যটি অনির্ণেয়।

যখন [tex]a = b = 0[/tex] (2)নং সমীকরণ থেকে পাই

[tex]\begin{array}{l}
c{y^2} = 0\\
 \Rightarrow y = 0,0\\
 \Rightarrow x = \frac{1}{y} = \frac{1}{0},\frac{1}{0}
\end{array}[/tex]

(1)নং সমীকরণের দুটি বীজ অনির্ণেয়।

যখন [tex]a = c = 0[/tex] (1)নং সমীকরণ থেকে পাই

এক্ষেত্রে একটি বীজের মান শূন্য অন্যটি অনির্ণেয়।

যখন [tex]b = c = 0[/tex] (1)নং সমীকরণ থেকে পাই

[tex]\begin{array}{l}
a{x^2} = 0\\
 \Rightarrow x = 0,0
\end{array}[/tex]

এক্ষেত্রে দুটি বীজের মান শূন্য।

যখন [tex]a = b = c = 0[/tex] (1)নং সমীকরণ থেকে পাই

[tex]0 \cdot {x^2} + 0 \cdot x + 0 = 0[/tex]

এটি xএর যেকোনো মানে সিদ্ধ।

এক্ষেত্রে সমীকরণকে একটি অভেদ রূপে প্রকাশ করা যায়।

 

 

 

 

 

 

 

Tags

Related Items

Syllabus for Economics [Class XI]

Unit : 1 Economics as a Social Science with special emphasis on human development. Unit : 2 Man-Nature interaction as the basis for environmental sustainability.

Class XI: Economics Study Reference

Class XI: Economics Study Reference

Syllabus for Education [Class XI]

EDUCATION CLASS-XI (Full Marks 100) 1. Definitions of Education : General views in respect of definitions of education Education as a process and a product.

Syllabus for Computer Application [Class XI]

Theoretical (Full Marks : 70) Practical Paper Full Marks: 30 Brief Review of Computer Hardware: History of Computer, Computer Generations, Developments in Computer Technology

Syllabus for Environmental Education [Class XI]

(Full Marks—100) 1. Man and Environment, 2. Environment and Development, 3. Environmental Pollution and Global Issues, 4. Energy. 5. Biodiversity, 6. Environmental Management,