যৌগিক কোণের কোণানুপাত ( Trigonometrical Ratios of Compound Angles )

 যৌগিক কোণের কোণানুপাত  ( Trigonometrical Ratios of Compound Angles )

সূচনা ( Introduction )

দুই বা ততোধিক কোণের বীজগাণিতিক সমষ্টিকে যৌগিক বা মিশ্র ( Compound angle ) কোণ বলে। উদাহরণস্বরূপ A , B ও  C তিনটি কোণ হলে ( A+B ) , ( A+C ) , ( B+C ) , ( A-B+C ) ইত্যাদি হল যৌগিক কোণ। এই অধ্যায়ে আমরা যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক কোণানুপাত সম্পর্কে আলোচনা করব। 

উপপাদ্য ( Theorem )

উপপাদ্য ১ : A , B এবং ( A+B ) ধনাত্মক সূক্ষকোণ হলে , প্রমাণ করতে হবে যে 

1. [tex]\sin \left( {A + B} \right) = \sin A\cos B + \cos A\sin B[/tex]
2. [tex]\cos \left( {A + B} \right) = \cos A\cos B - \sin A\sin B[/tex]

মনে করি ঘূর্ণিয়মান [tex]\overrightarrow {OX} [/tex] সরলরেখা O বিন্দুকে কেন্দ্র করে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তন করে এবং প্রাথমিক অবস্থান [tex]\overrightarrow {OX} [/tex] থেকে [tex]\overrightarrow {OY} [/tex] অবস্থানে এসে [tex]\angle XOY = A[/tex] সূক্ষকোণ উৎপন্ন করে। 

তারপর রেখাটি একই দিকে আবর্তন করে  [tex]\overrightarrow {OY} [/tex] অবস্থান থেকে [tex]\overrightarrow {OZ} [/tex] অবস্থানে আসে এবং [tex]\angle YOZ = B[/tex] সূক্ষকোণ উৎপন্ন করে। তাহলে যদি [tex]\angle XOZ = A + B < {90^ \circ }[/tex] হয়। 

প্রমাণ করতে হবে 

1. [tex]\sin \left( {A + B} \right) = \sin A\cos B + \cos A\sin B[/tex]
2. [tex]\cos \left( {A + B} \right) = \cos A\cos B - \sin A\sin B[/tex]

অঙ্কন : ( A+B ) যৌগিক কোণের অন্তিম বাহু  [tex]\overrightarrow {OZ} [/tex] ওপর যেকোনো বিন্দু P নেওয়া হল এবং P বিন্দু থেকে  [tex]\overrightarrow {OX} [/tex] এবং [tex]\overrightarrow {OY} [/tex] সরলরেখার উপরে [tex]\overrightarrow {PQ} [/tex] এবং [tex]\overrightarrow {PR} [/tex] লম্ব টানা হল। তারপর R বিন্দু থেকে  [tex]\overrightarrow {OX} [/tex] এবং [tex]\overrightarrow {PQ} [/tex] এর ওপর যথাক্রমে [tex]\overrightarrow {RS} [/tex] এবং [tex]\overrightarrow {RT} [/tex] লম্ব টানা হল। 

প্রমাণ : স্পষ্টতই [tex]\angle TPR + \angle PRT = {90^ \circ }[/tex]

এবং [tex]\angle ORT + \angle PRT = {90^ \circ }[/tex]

সুতরাং [tex]\angle TPR = \angle ORT = [/tex] একান্তর [tex]\angle ROX = A[/tex]

এখন সমকোণী ত্রিভুজের POQ থেকে পাই 

[tex]\begin{array}{l}
\sin \left( {A + B} \right)\\
 = \frac{{\overrightarrow {PQ} }}{{\overrightarrow {OP} }} = \frac{{\overrightarrow {PT}  + \overrightarrow {TQ} }}{{\overrightarrow {OP} }} = \frac{{\overrightarrow {PT} }}{{\overrightarrow {OP} }} + \frac{{\overrightarrow {TQ} }}{{\overrightarrow {OP} }} = \frac{{\overrightarrow {PT} }}{{\overrightarrow {OP} }} + \frac{{\overrightarrow {RS} }}{{\overrightarrow {OP} }}\\
 = \frac{{\overrightarrow {PT} }}{{\overrightarrow {PR} }} \cdot \frac{{\overrightarrow {PR} }}{{\overrightarrow {OP} }} + \frac{{\overrightarrow {RS} }}{{\overrightarrow {OR} }} \cdot \frac{{\overrightarrow {OR} }}{{\overrightarrow {OP} }}\\
 = \cos A\sin B + \sin A\cos B\\
 = \sin A\cos B + \cos A\sin B
\end{array}[/tex]