জটিল রাশির বর্গমূল নির্ণয় ( Square Root of Complex Numbers)

Submitted by arpita pramanik on Thu, 08/27/2020 - 16:13

জটিল রাশির বর্গমূল নির্ণয় (To find the square root of Complex Numbers)

 

মনে করি , a+ib জটিল রাশি ( যেখানে a , b হল বাস্তব এবং b0 ) এর বর্গমূল নির্ণয় করতে হবে । 

ধরি a+ib=x+iy , যেখানে x , y বাস্তব । 

তাহলে 

(a+ib)2=(x+iy)2a+ib=x2+2ixyy2

দুটি জটিল রাশির সমতা থেকে পাই 

a=x2y2b=2xy

আমরা জানি 

(x2+y2)2=(x2y2)2+4x2y2x2+y2=(x2y2)2+(2xy)2x2+y2=a2+b2

অতএব 

x2=12(a+a2+b2)x=±a+a2+b22y2=12(a2+b2a)y=±a2+b2a2

যদি b > 0 হলে x এবং y এর মান ধনাত্মক অথবা x এবং y দুটোর মান ঋণাত্মক হবে। কারণ b = 2xy .

এখন 

a+ib=x+iy=±(a+a2+b22+ia2+b2a2)

হবে।

আবার যদি b < 0 হয় , তাহলে x এবং y বিপরীত চিহ্ন যুক্ত হবে । 

তখন 

a+ib=xiy=±(a+a2+b22ia2+b2a2)

হবে । 

 

► 1 এর ঘনমূল নির্ণয় (To find the Cube Roots of Unity)

  মনে করি 1 এর ঘনমূল x , অর্থাৎ 31=x

অতএব 

x3=1x31=0(x1)(x2+x+1)=0

দেখা যাচ্ছে হয় (x1)=0 অথবা (x2+x+1)=0

যদি (x1)=0 হয় , তাহলে x = 1 হবে। 

যদি (x2+x+1)=0 হয় , তাহলে 

(x2+x+1)=0x2+2x12+1414+1=0x2+2x12+14+34=0(x+12)2=34x+12=±i32x=12±i32=1±i32

অতএব 1 এর তিনটি ঘনমূল হল 1 , 1+i32 এবং 1i32

দেখা যাচ্ছে মূল তিনটির মধ্যে একটি বাস্তব ও বাকি দুটি অবাস্তব । 

 

►1 এর ঘনমূলের তিনটি ধর্ম (Three Properties of Cube Root of Unity)

(1) 1 এর অবাস্তব ঘনমূল দুটি একটি অন্য টির বর্গ 

এখন 1 এর একটি অবাস্তব ঘনমূল হল 1+i32

(1+i32)2=(1)2+2(1)i3+(i3)24=12i334=22i34=1i32

অনুরূপে আমরা প্রমাণ করতে পারি (1i32)2=1+i32

 

(2) 1 এর অবাস্তব দুটি ঘনমূলের গুণফল 1 হয় 

1 এর দুটি অবাস্তব ঘনমূল হল 1i32,1+i32

এখন তাদের গুণফল হল 

1i32×1+i32=(1i3)×(1+i3)4=(1)2(i3)24=1+34=44=1

 

(3) 1 এর ঘনমূল তিনটির সমষ্টি শূন্য হয় 

  1 এর তিনটি ঘনমূল হল 1 , 1+i32 এবং 1i32

তাদের যোগফল হল 

1+1+i32+1i32=21+i31i32=222=02=0

[ 1 এর ঘনমূল তিনটিকে সাধারণত 1 , ω এবং ω2 দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।

যেখানে ω=1+i32 এবং ω2=1i32

ω4=ω3ω=ωω5=ω3ω2=ω2ω6=(ω3)2=1

অর্থাৎ ω3=1]

 

 

Comments

Related Items

অন্তরকলনবিদ্যা ( Differential Calculus )

গণিতশাস্ত্রে একটি গুরুত্বপূর্ণ শাখা হল কলনবিদ্যা। গণিতের বিভিন্ন শাখার বিকাশে তথা বিজ্ঞানের বিভিন্ন জায়গায় কলনবিদ্যার প্রয়োগ আছে। ব্রিটিশ বিজ্ঞানী নিউটন ( Newton ) এবং জার্মান বিজ্ঞানী লাইবনিৎস ( Leibnitz ) উভয়কে কলনবিদ্যার ...

লগারিদম (Logarithm)

লগারিদমের সংজ্ঞা (Definition of Logarithm), লগারিদমের সাধারণ সূত্রাবলি (General laws of logarithm), সূত্রবলিরপ্রমাণ (Proof of laws), সংক্ষিপ্তকরণ (Summarisation)

বিন্যাস ও সমবায় ( Permutation and Combination )

কতগুলি প্রদত্ত বস্তুর মধ্যে থেকে কয়েকটি বা সবগুলি একসঙ্গে নিয়ে যতভাবে সাজানো যায়, তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি বিন্যাস (Permutation) বলে এবং কতগুলি প্রদত্ত বস্তু থেকে কয়েকটি বা সবগুলি একসঙ্গে নিয়ে যতগুলি বিভিন্ন দল বা নির্বাচন (Group or Selection) গঠন করা হয়, তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি সমবায় (Combination) বলে ।

দ্বিঘাত সমীকরণের তত্ত্ব (Theory of Quadratic Equation)

যে সমীকরণে অজ্ঞাত রাশির বৃহত্তম সূচকের মান দুই হলে তাকে দুই ঘাতবিশিষ্ট বা দ্বিঘাত সমীকরণ, বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য উপপাদ্য, ৩৷ কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের দুটির বেশি বীজ থাকতে পারেনা।

জটিল রাশি (Complex Number)

অনুবন্দী বা প্রতিযোগী জটিল রাশি (Conjugate Complex Number), জটিল রাশির মডিউলাস ও অ্যামপ্লিচিউড বা আরগুমেন্ট (Modulus and Amplitude or Argument of a Complex Number)