অন্তরকলন বা অবকলন ( Differentiation )

অন্তরকলন বা অবকলন ( Differentiation )

সূচনা ( Introduction )

    অন্তরকলন বা অবকলন ( differentiation ) হল কলনবিদ্যার একটি অতি গুরুত্বপূর্ণ মূলগত প্রক্রিয়া। এই প্রক্রিয়াটি অপেক্ষকের সীমার ধারণা ও তার সন্ততা ধর্মের উপর নির্ভরশীল। এই প্রক্রিয়াটিতে স্বাধীন চলের সামান্য পরিবর্তনে অধীন চলের সামান্য পরিবর্তন হয় ধরে অধীন ও স্বাধীন চলের সামান্য পরিবর্তন দুটির অনুপাতের সীমাস্থ মানের ( limiting value ) মূল্যায়ন করা হয় , যখন স্বাধীন চলের পরিবর্তনের সাংখ্যমান যে কোনো ধনাত্মক ক্ষুদ্র সংখ্যা ( তা যতই ক্ষুদ্র হোক না কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর হয়। অন্তরকলনের সাহায্যে প্রকৃত পক্ষে স্বাধীন চলের সাপেক্ষে অধীন চলের পরিবর্তনের হার নির্ণয় করা হয়। এজন্য গণিতের বিভিন্ন শাখায় এবং পদার্থবিদ্যা , রসায়নবিদ্যা , জীববিদ্যা , অর্থনীতি ইত্যাদি বিষয়ের ওপরে এর প্রয়োগ ব্যাপক। 

 

বৃদ্ধি ( Increment )

    মনে করি , x একটি বাস্তব চল এবং তার গৃহীত মান ${x_0}$ থেকে পরিবর্তন হয়ে ${x_1}$ হল। ${x_0}$ কে বলা হয় x চলের প্রারম্ভিক মান ( initial value ) ও ${x_1}$ কে বলা হয় x এর অন্তিম মান ( final value ) এবং ${x_1} - {x_0}$ কে তার বৃদ্ধি ( increment ) বলে। 

     উদাহরণস্বরূপ , মনে করি x চলের মান 1 থেকে বেড়ে 2 হয়েছে। এক্ষেত্রে x এর প্রারম্ভিক মান হল 1 , অন্তিম মান হল 2 এবং বৃদ্ধি হল ( 2 - 1 ) = 1 . আবার মনে করি x চলের প্রারম্ভিক মান হল 1 , অন্তিম মান হল 0.01 এবং বৃদ্ধি হল ( 0.01 - 1 ) = -0.99 . সুতরাং দেখা যাচ্ছে বৃদ্ধি ধনাত্মক ও ঋণাত্মক দুই হতে পারে  x চলের বৃদ্ধিকে সাধারণত $\Delta x$ ( delta x ) বা h দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 

স্পষ্টতই $\Delta x$ = অন্তিম মান - প্রারম্ভিক মান। $\Delta x$ এই প্রতীক দ্বারা কখনো $\Delta  \times x$ বোঝায় না। 

 

অপেক্ষকের বৃদ্ধি ( Increment of a function )

     মনে y = f(x) হল একটি x এর একমান বিশিষ্ট অপেক্ষক।স্পষ্টতই x এর মান পরিবর্তিত হলে y এর মানেরও পরিবর্তন হবে। মনে করি x এর প্রারম্ভিক মান x এবং তার বৃদ্ধি = $\Delta x$ (বা h ) . তাহলে x এর অন্তিম মান হবে $x + \Delta x$ . যখন x এর প্রারম্ভিক মান হয় x তখন y এর প্রারম্ভিক মান হয় y = f(x) . আবার মনে করি x এর বৃদ্ধি যখন $\Delta x$ হচ্ছে , তার জন্য y এর বৃদ্ধি হচ্ছে $\Delta y$ (বা k ). সুতরাং y এর অন্তিম মান হবে $y + \Delta y$ = $f\left( {x + \Delta x} \right)$ . 

সুতরাং আমরা লিখতে পারি y এর বৃদ্ধি = y এর অন্তিম মান - y এর প্রারম্ভিক মান। 

বা ,   $\Delta y$ (বা k ) = ($y + \Delta y$ )-y 

বা , $\Delta y$ (বা k ) = $f\left( {x + \Delta x} \right)$ - f(x)

বা ,  $\Delta y$ (বা k ) = f(x + h) - f(x) 

স্বাধীন চল ধনাত্মক অথবা ঋণাত্মক হতে পারে কিন্তু কখনো শূন্য হয় না। কিন্তু অধীন চল ধনাত্মক , ঋণাত্মক ও শূন্য হতে পারে। 

 

অন্তরকলজ বা অবকল সহাগ ( Derivative or Differential Coefficient )

      মনে y = f(x) হল একটি x এর একমান বিশিষ্ট সসীম অপেক্ষক এবং তা $a \le x \le b$ এই বিস্তারে সংজ্ঞাত। যদি এই সংজ্ঞার অঞ্চলে অন্তর্গত যেকোনো একটি বিন্দু x  এতে স্বাধীন চল x এর বৃদ্ধি $\Delta x$ ( যেখানে tex]\Delta x[/tex] ধনাত্মক , ঋণাত্মক হতে পারে কিন্তু শূন্য হবে না ) হয় যার জন্য y বা f(x) এর বৃদ্ধি হয় tex]\Delta y[/tex] .তবে $\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)$ . স্পষ্টতই x বিন্দুতে অধীন এবং স্বাধীন চল দুটির বৃদ্ধির অনুপাত হয় 

$\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)}}{{\Delta x}}$

এখন $\Delta x \to 0$ হলে যদি $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ এর সসীম সীমা পাওয়া যায় , তবে ওই সীমাস্থ মানকে x বিন্দুতে y =f(x) অপেক্ষকের x এর সাপেক্ষে অন্তরকলজ ( derivative ) বা অবকল সহগ বা গুণাঙ্ক ( differential coefficient ) বলা হয়। এটি $f'\left( x \right)$ বা $\frac{{dy}}{{dx}}$ প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়। 

সুতরাং x বিন্দুতে y = f(x) অপেক্ষকের x এর সাপেক্ষে অবকল সহগ হয় 

$\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)}}{{\Delta x}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} \end{array}$ 

অথবা $f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}$

দ্রষ্টব্য 

(১) x বিন্দুতে y = f(x) অপেক্ষকের x এর সাপেক্ষে অবকল সহগকে $\frac{{dy}}{{dx}}$ বা f ' (x) ছাড়াও ${y_1}$ বা y ' বা Dy বা $\frac{d}{{dx}}\left( y \right)$ বা $\frac{d}{{dx}}\left\{ {f\left( x \right)} \right\}$ প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 

(২) x = a বিন্দুতে y = f(x) অপেক্ষকের অন্তরকলজ বা অবকল সহগকে f ' (a) বা ${\left[ {\frac{{dy}}{{dx}}} \right]_{x = a}}$ প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ , 

${\left[ {\frac{{dy}}{{dx}}} \right]_{x = a}}$ বা f ' (a) = $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}$ 

(৩) $a \le x \le b$ বিস্তারের অন্তর্গত প্রত্যেক বিন্দুতে f(x) এর অন্তরকলনযোগ্য ( differentiable ) বলা হয়। 

(৪) $\frac{d}{{dx}}$ কে অবকলন প্রক্রিয়া হিসাবে গণ্য করা যায়। $\frac{{dy}}{{dx}}$ দ্বারা কখনোই $dy \div dx$ বোঝাবেনা। 

(৫) অন্তরকলজ বা অবকল সহগের সংজ্ঞা থেকে পাই 

f ' (a) [ x = a বিন্দুতে y = f(x) অপেক্ষকের অবকল সহগ ] = $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}$

এখন সীমার সংজ্ঞা থেকে পাই $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}$ এর সীমার অস্তিত্ব থাকবে যদি $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}$ এবং $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}$ সীমা দুটি প্রত্যেকটি নির্ণয় করা যায় এবং তারা পরস্পর সমান হয়। এক্ষেত্রে $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}$ সীমাকে বলা হয় x = a বিন্দুতে y = f(x) অপেক্ষকের ডানপক্ষের অন্তরকলজ ( right hand derivatives )  এবং সেটি Rf ' (a) বা f ' (a +) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}$ বলা হয় x = a বিন্দুতে y = f(x) অপেক্ষকের বামপক্ষের অন্তরকলজ ( left hand derivatives )  এবং সেটি Lf ' (a) বা f ' (a -) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। সুতরাং x = a বিন্দুতে f(x) এর অবকল সহগ নির্ণয় করা যাবে যদি  Rf ' (a) বা f ' (a +) এবং Lf ' (a) বা f ' (a -) এর অস্তিত্ব থাকে এবং  Rf ' (a) বা f ' (a +) = Lf ' (a) বা f ' (a -) . অর্থাৎ 

$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}$

 

উপপাদ্য ( Theorem )

উপপাদ্য 1. x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষকের অন্তরকলনযোগ্য হলে ওই বিন্দুতে অপেক্ষকটি সন্তত হবে। 

 প্রমাণ :- প্রশ্নানুযায়ী , f(x) অপেক্ষক x = a বিন্দুতে অন্তরকলনযোগ্য।

সুতরাং $f'\left( a \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h} =$ সসীম রাশি। 

এখন

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left[ {f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)} \right]\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left[ {\frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h} \times h} \right]\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h} \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} h\\  = f'\left( a \right) \times 0\\  = 0 \end{array}$

অতএব 

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right) = 0\\  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f\left( {a + h} \right) = f\left( a \right) \end{array}$

অর্থাৎ f(x) অপেক্ষকটি x = a বিন্দুতে সন্তত।  

কিন্তু এর উল্টোটি সত্য নয় , অর্থাৎ অপেক্ষকটি x = a বিন্দুতে সন্তত হলে তা অন্তরকলনযোগ্য হতে নাও পারে। 

 

উদাহরণ 1. $f\left( x \right) = 2{x^2} + 1$ অপেক্ষকটির ক্ষেত্রে

(i) x = 1 বিন্দুতে অপেক্ষকটি সন্তত কিনা পরীক্ষা করো।

(ii) x = 1 বিন্দুতে f ' (x) এর অস্তিত্ব আছে কিনা বলো। 

সমাধান :-  (i) f(x) অপেক্ষকের x = 1 বিন্দুতে সন্ততা নির্ণয় করতে হবে। 

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\\  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2{x^2} + 1} \right)\\  = 2 \times {1^2} + 1\\  = 2 + 1\\  = 3 \end{array}$

আবার 

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = 2{x^2} + 1\\  \Rightarrow f\left( 1 \right) = 2 + 1 = 3 \end{array}$

অতএব $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$ . সুতরাং x = 1 বিন্দুতে f(x) অপেক্ষকটি সন্তত। 

আমরা জানি $f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}$ .

(ii) এখন Rf ' (x)

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } \frac{{2{{\left( {x + h} \right)}^2} + 1 - 2{x^2} - 1}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } \frac{{2\left[ {{x^2} + 2xh + {h^2} - {x^2}} \right]}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } \frac{{2\left[ {2xh + {h^2}} \right]}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } 2\left( {x + h} \right)\\  = 2x \end{array}$

এখন Lf ' (x)

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } \frac{{2{{\left( {x + h} \right)}^2} + 1 - 2{x^2} - 1}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } \frac{{2\left[ {{x^2} + 2xh + {h^2} - {x^2}} \right]}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } \frac{{2\left[ {2xh + {h^2}} \right]}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } 2\left( {x + h} \right)\\  = 2x \end{array}$

সুতরাং Rf ' (x) = Lf ' (x)

$\begin{array}{l} f'\left( x \right) = 2x\\  \Rightarrow f'\left( 1 \right) = 2 \end{array}$

অতএব x = 1 f ' (x) এর অস্তিত্ব আছে। 

 

উদাহরণ 2. f(x) নিম্নরূপে সংজ্ঞাত :

$f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} x,x \ge 0\\  - x,x < 0 \end{array} \right\}$

(i) x = 0 বিন্দুতে f(x) অপেক্ষকটি সন্তত কিনা বল। 

(ii) x = 0 বিন্দুতে f ' (x) এর অস্তিত্ব আছে কিনা বল। 

সমাধান :-  (i) x = 0 বিন্দুতে f(x) অপেক্ষকের সন্ততার পরীক্ষা 

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } f\left( x \right)\\  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } x\\  = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 - } f\left( x \right)\\  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 - } ( - x)\\  = 0 \end{array}$

f(0) = 0

সুতরাং $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 - } f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$

অতএব x = 0 বিন্দুতে f(x) অপেক্ষক সন্তত হবে। 

(ii) x = 0 বিন্দুতে f ' (x) এর অস্তিত্ব নির্ণয়। 

আমরা জানি 

$\begin{array}{l} f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\  \Rightarrow f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {0 + h} \right) - f\left( 0 \right)}}{h} \end{array}$

$\begin{array}{l} Rf'\left( 0 \right)\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } \frac{{f\left( {0 + h} \right) - f\left( 0 \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } \frac{{h - 0}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } \frac{h}{h} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} Lf'\left( 0 \right)\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } \frac{{f\left( {0 + h} \right) - f\left( 0 \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } \frac{{ - h - 0}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } \frac{{ - h}}{h} =  - 1 \end{array}$

অতএব $Rf'\left( 0 \right) \ne Lf'\left( 0 \right)$

স্পষ্টতই x = 0 বিন্দুতে f ' (x) এর অস্তিত্ব নেই। 

 

উপপাদ্য 2. x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষক অসন্তত হলে ওই বিন্দুতে অপেক্ষকটির অসীম অবকল সহগ থাকতে পারে। 

উদাহরণস্বরূপ , মনে করি 

$f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1,x > 0\\ 0,x = 0\\ 2,x < 0 \end{array} \right\}$

এখানে x = 0 বিন্দুতে f(x) অপেক্ষক অসন্তত , কিন্তু $f'\left( 0 \right) =  + \infty$

প্রকৃতপক্ষে , x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষকের সসীম অবকল সহগ থাকতে হলে ওই বিন্দুতে অপেক্ষকটির সন্তত হওয়া প্রয়োজন ; কিন্তু এই শর্ত যথেষ্ট নয়।  

 

কয়েকটি প্রাথমিক অপেক্ষকের অন্তরকলজ বা অবকল সহগ ( Derivatives or Differential Coefficients of a few elementary functions )

১. n যেকোনো মূলদ সংখ্যা হলে ${x^n}$ এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি , $y = f\left( x \right) = {x^n}$ 

অন্তরকলজ বা অবকল সহগের সংজ্ঞা থেকে পাই ,

$\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{{\left( {x + h} \right)}^n} - {x^n}}}{h}............(i) \end{array}$

এখন মনে করি x + h = u , যখন $h \to 0$ হলে $u \to x$ .

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{{\left( {x + h} \right)}^n} - {x^n}}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{u \to x} \frac{{{u^n} - {x^n}}}{{u - x}}\\  = n{x^{n - 1}}\\ \left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}} = n{a^{n - 1}}} \right] \end{array}$

সুতরাং n যেকোনো মূলদ সংখ্যা হলে $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {{x^n}} \right) = n{x^{n - 1}}$ .

 

উদাহরণ 3. ${x^{28}}$ এর x এর সাপেক্ষে অন্তরকলজ নির্ণয় করো।         [Jt.Ent. '80]

সমাধান :- মনে করি $y = {x^{28}}$

অতএব $\frac{{dy}}{{dx}} = 28{x^{28 - 1}} = 28{x^{27}}$

 

২. ${e^x}$ এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি $y = f\left( x \right) = {e^x}$

অন্তরকলজ বা অবকল সহগের সংজ্ঞা থেকে পাই ,

$\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{e^{x + h}} - {e^x}}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{e^x}\left( {{e^h} - 1} \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} {e^x} \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{e^h} - 1}}{h}\\  = {e^x}\\ \left[ {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{e^h} - 1}}{h} = 1} \right] \end{array}$

সুতরাং $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {{e^x}} \right) = {e^x}$

 

উদাহরণ 4. ${e^{4x}}$ এর অন্তরকলজ নির্ণয় করো। 

সমাধান :- মনে করি $y = {e^{4x}}$ 

আবার মনে করি $4x = z$

অতএব 

$\begin{array}{l} 4x = z\\  \Rightarrow \frac{{dz}}{{dx}} = 4 \cdot 1 \cdot {x^{1 - 1}} = 4 \end{array}$

এখন 

$\begin{array}{l} y = {e^{4x}} = {e^z}\\  \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {{e^z}} \right) = \frac{{dz}}{{dx}} \cdot \frac{d}{{dz}}\left( {{e^z}} \right) = 4{e^z} \end{array}$

অর্থাৎ $\frac{{dy}}{{dx}} = 4{e^{4x}}$

 

৩. ${a^x}$ এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি $y = f\left( x \right) = {a^x}$ 

অন্তরকলজ বা অবকল সহগের সংজ্ঞা থেকে পাই ,

$\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{a^{x + h}} - {a^x}}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{a^x} \cdot {a^h} - {a^x}}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{a^x}\left( {{a^h} - 1} \right)}}{h}\\  = {a^x}\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{a^h} - 1}}{h}\\  = {a^x}{\log _e}a\\ \left[ {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{a^h} - 1}}{h} = {{\log }_e}a} \right] \end{array}$

( যেখানে a > 0 )

সুতরাং $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {{a^x}} \right) = {a^x}{\log _e}a$

৪. $\log x$ এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি $y = f\left( x \right) = \log x$

অন্তরকলজ বা অবকল সহগের সংজ্ঞা থেকে পাই ,

$\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\log \left( {x + h} \right) - \log x}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\log \left( {\frac{{x + h}}{x}} \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} [\frac{{\log \left( {1 + \frac{h}{x}} \right)}}{{\frac{h}{x}}} \times \frac{1}{x}]\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\log \left( {1 + z} \right)}}{z} \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{x} \end{array}$

( যেখানে $\frac{h}{x} = z$ , যখন $h \to 0$ তখন $z \to 0$ )

$\begin{array}{l}  = 1 \times \frac{1}{x}\\ \left[ {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\log \left( {1 + z} \right)}}{z} = 1} \right]\\  = \frac{1}{x} \end{array}$

( যেখানে $\left( {x \ne 0} \right)$ )

সুতরাং $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {\log x} \right) = \frac{1}{x}\left( {x \ne 0} \right)$ .

 

উদাহরণ 5. ${\log _{10}}x$ এর অন্তরকলজ নির্ণয় করো।             [H.S.  '94]

সমাধান :- মনে করি $y = {\log _{10}}x$

এখন 

$\begin{array}{l} y = {\log _{10}}x\\  \Rightarrow y = \frac{{{{\log }_e}x}}{{{{\log }_e}10}}\\  \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{{{{\log }_e}10}} \cdot \frac{d}{{dx}}\left( {{{\log }_e}x} \right) = \frac{1}{{{{\log }_e}10}} \cdot \frac{1}{x} \end{array}$

সুতরাং $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{{x{{\log }_e}10}}$

 

৫. $\sin x$ এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি $y = f\left( x \right) = \sin x$

অন্তরকলজ বা অবকল সহগের সংজ্ঞা থেকে পাই ,

$\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \left( {x + h} \right) - \sin x}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2\cos \frac{{2x + h}}{2}\sin \frac{h}{2}}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \cos \left( {x + \frac{h}{2}} \right) \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \frac{h}{2}}}{{\frac{h}{2}}}\\  = \cos x \times 1\\ \left[ {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \frac{h}{2}}}{{\frac{h}{2}}} = 1} \right]\\  = \cos x \end{array}$

সুতরাং $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {\sin x} \right) = \cos x$

 

উদাহরণ 6. $\sin 3x$ এর অন্তরকলজ নির্ণয় করো।             [H.S.  '89]

সমাধান :- মনে করি $y = \sin 3x$ 

আবার মনে করি $z = 3x$

অতএব $\frac{{dz}}{{dx}} = 3$

এখন 

$\begin{array}{l} y = \sin 3x = \sin z\\  \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {\sin z} \right) = \frac{{dz}}{{dx}} \cdot \frac{d}{{dz}}\left( {\sin z} \right) = 3\cos z \end{array}$

সুতরাং $\frac{{dy}}{{dx}} = 3\cos 3x$ .

 

৬. $\cos x$ এর অন্তরকলজ নির্ণয় করো। 

মনে করি $y = f\left( x \right) = \cos x$

অন্তরকলজ বা অবকল সহগের সংজ্ঞা থেকে পাই ,

$\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\cos \left( {x + h} \right) - \cos x}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2\sin \left( {\frac{{2x + h}}{2}} \right)\sin \left( { - \frac{h}{2}} \right)}}{h}\\  =  - \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \sin \left( {\frac{{2x + h}}{2}} \right) \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \frac{h}{2}}}{{\frac{h}{2}}}\\  =  - \sin \left( {\frac{{2x + 0}}{2}} \right) \times 1\\ \left[ {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \frac{h}{2}}}{{\frac{h}{2}}} = 1} \right]\\  =  - \sin x \end{array}$

সুতরাং $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {\cos x} \right) =  - \sin x$ .

৭. $\tan x$ এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি $y = f\left( x \right) = \tan x$ 

অন্তরকলজ বা অবকল সহগের সংজ্ঞা থেকে পাই ,

$\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\tan \left( {x + h} \right) - \tan x}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{{\sin \left( {x + h} \right)}}{{\cos \left( {x + h} \right)}} - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \left( {x + h} \right)\cos x - \sin x\cos \left( {x + h} \right)}}{{h\cos \left( {x + h} \right)\cos x}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \left( {x + h - x} \right)}}{{h\cos \left( {x + h} \right)\cos x}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sinh }}{h} \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{\cos \left( {x + h} \right)\cos x}}\\  = 1 \times \frac{1}{{\cos \left( {x + 0} \right)\cos x}}\\  = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\  = {\sec ^2}x \end{array}$

সুতরাং $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {\tan x} \right) = {\sec ^2}x$

৮. $\cot x$ এর অন্তরকলজ নির্ণয় করো 

মনে করি $y = f\left( x \right) = \cot x$

অন্তরকলজ বা অবকল সহগের সংজ্ঞা থেকে পাই ,

$\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\cot \left( {x + h} \right) - \cot x}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{{\cos \left( {x + h} \right)}}{{\sin \left( {x + h} \right)}} - \frac{{\cos x}}{{\sin x}}}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\cos \left( {x + h} \right)\sin x - \cos x\sin \left( {x + h} \right)}}{{h\sin \left( {x + h} \right)\sin x}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \left( {x - x - h} \right)}}{{h\sin \left( {x + h} \right)\sin x}}\\  =  - \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sinh }}{h} \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{\sin \left( {x + h} \right)\sin x}}\\  =  - 1 \times \frac{1}{{\sin \left( {x + 0} \right)\sin x}}\\  =  - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\\  =  - \cos e{c^2}x \end{array}$

সুতরাং $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {\cot x} \right) =  - \cos e{c^2}x$

৯. $\sec x$ এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি $y = f\left( x \right) = \sec x$

অন্তরকলজ বা অবকল সহগের সংজ্ঞা থেকে পাই ,

$\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sec \left( {x + h} \right) - \sec x}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{1}{{\cos \left( {x + h} \right)}} - \frac{1}{{\cos x}}}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\cos x - \cos \left( {x + h} \right)}}{{h\cos x\cos \left( {x + h} \right)}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2\sin \frac{{2x + h}}{2}\sin \frac{h}{2}}}{{h\cos x\cos \left( {x + h} \right)}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \frac{h}{2}}}{{\frac{h}{2}}} \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \left( {x + \frac{h}{2}} \right)}}{{\cos x\cos \left( {x + h} \right)}}\\  = 1 \times \frac{{\sin x}}{{\cos x\cos x}}\\  = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} \times \frac{1}{{\cos x}}\\  = \tan x\sec x \end{array}$

সুতরাং $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {\sec x} \right) = \tan x\sec x$

১০. $\cos ecx$ এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি $y = f\left( x \right) = \cos ecx$

অন্তরকলজ বা অবকল সহগের সংজ্ঞা থেকে পাই ,

$\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\cos ec\left( {x + h} \right) - \cos ecx}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{1}{{\sin \left( {x + h} \right)}} - \frac{1}{{\sin x}}}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin x - \sin \left( {x + h} \right)}}{{h\sin x\sin \left( {x + h} \right)}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2\cos \left( {\frac{{2x + h}}{2}} \right)\sin \frac{ - h}{2}}}{{h\sin x\sin \left( {x + h} \right)}}\\  =  - \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \frac{h}{2}}}{{\frac{h}{2}}} \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\cos \left( {x + \frac{h}{2}} \right)}}{{\sin x\sin \left( {x + h} \right)}}\\  =  - 1 \times \frac{{\cos x}}{{\sin x\sin x}}\\  =  - \frac{{\cos x}}{{\sin x}} \times \frac{1}{{\sin x}}\\  =  - \cot x\cos ecx \end{array}$

সুতরাং $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {\cos ecx} \right) =  - \cos ecx\cot x$ 

 

বিপরীত বা বিলোম অপেক্ষকের অন্তরকলজ ( Derivative of an Inverse function )

   আমরা জানি y = f(x) অপেক্ষক সন্তত এবং যথার্থ একদিষ্ট ( strictly monotonic ) হলে তার বিপরীত অপেক্ষক ( মনে করি $x = \phi \left( y \right)$ ) পাওয়া যায় এবং তা সন্তত ও যথার্থ একদিষ্ট হয়। আবার y = f(x) এর সসীম অন্তরকলজ f ' (x) $\left( {x \ne 0} \right)$ থাকলে তার বিপরীত অপেক্ষক $x = \phi \left( y \right)$ এর সসীম অন্তরকলজ $\phi '\left( y \right)\left( {y \ne 0} \right)$ থাকবে যেখানে 

$\begin{array}{l} \phi '\left( y \right) = \frac{1}{{f'\left( x \right)}}\\  \Rightarrow \frac{{dx}}{{dy}} = \frac{1}{{\frac{{dy}}{{dx}}}}\\  \Rightarrow \frac{{dx}}{{dy}} \times \frac{{dy}}{{dx}} = 1 \end{array}$

[ যেখানে , $\frac{{dy}}{{dx}} \ne 0$ এবং $\frac{{dx}}{{dy}} \ne 0$ ]

 

বিপরীত বৃত্তীয় অপেক্ষকসমূহের অন্তরকলজ বা অবকল সহগ ( Derivatives or Differential Coefficients of Inverse Circular function )

১. ${\sin ^{ - 1}}x$ বা $\arcsin x$ এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি $y = {\sin ^{ - 1}}x$  [ $\left| x \right| \le 1$ এবং $- \frac{\pi }{2} \le y \le \frac{\pi }{2}$ ]

তাহলে আমরা বলতে পারি 

$\begin{array}{l} x = \sin y\\  \Rightarrow \frac{{dx}}{{dy}} = \frac{d}{{dy}}\left( {\sin y} \right) = \cos y \end{array}$

স্পষ্টতই $\frac{{dx}}{{dy}} = 0$ যখন $y =  \pm \frac{\pi }{2}$ বা $x =  \pm 1$

সুতরাং

 $\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{{\frac{{dx}}{{dy}}}} = \frac{1}{{{\mathop{\rm cosy}\nolimits} }} = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}y} }} = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\\  \Rightarrow \frac{d}{{dx}}\left( {{{\sin }^{ - 1}}x} \right) = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\left( {\left| x \right| \le 1} \right) \end{array}$

২. ${\cos ^{ - 1}}x$ বা $\arccos x$ এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি $y = {\cos ^{ - 1}}x \Rightarrow x = \cos y$ যেখানে  [ $\left| x \right| \le 1$ এবং $- \frac{\pi }{2} \le y \le \frac{\pi }{2}$ ]

তাহলে $\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{d}{{dy}}\left( {\cos y} \right) =  - \sin x$

স্পষ্টতই $\frac{{dx}}{{dy}} = 0$ যখন y = 0

এখন 

$\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}}\\  = \frac{1}{{\frac{{dx}}{{dy}}}}\\  = \frac{1}{{ - {\mathop{\rm siny}\nolimits} }}\\  =  - \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}y} }}\\  =  - \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\left( {\left| x \right| < 1} \right) \end{array}$

৩. ${\tan ^{ - 1}}x$ বা $\arctan x$ এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি $y = {\tan ^{ - 1}}x \Rightarrow x = \tan y$ যেখানে $\left[ { - \infty  < x < \infty , - \frac{\pi }{2} < y < \frac{\pi }{2}} \right]$

তাহলে $\frac{{dx}}{{dy}} = {\sec ^2}y$ যা y এর যেকোনো মানে শূন্য হবেনা। 

এখন 

$\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}}\\  = \frac{1}{{\frac{{dx}}{{dy}}}}\\  = \frac{1}{{{{\sec }^2}y}}\\  = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}y}}\\  = \frac{1}{{1 + {x^2}}}\left( { - \infty  < x < \infty } \right) \end{array}$

৪. ${\cot ^{ - 1}}x$ বা $arc\cot x$ এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি $y = {\cot ^{ - 1}}x \Rightarrow x = \cot y$ যেখানে $\left[ { - \infty  < x < \infty , - \frac{\pi }{2} < y < \frac{\pi }{2}} \right]$

তাহলে $\frac{{dx}}{{dy}} =  - \cos e{c^2}y$ যা y এর যেকোনো মানে শূন্য হবেনা। 

এখন 

$\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}}\\  = \frac{1}{{\frac{{dx}}{{dy}}}}\\  = \frac{1}{{ - \cos e{c^2}y}}\\  =  - \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}y}}\\  =  - \frac{1}{{1 + {x^2}}}\left( { - \infty  < x < \infty } \right) \end{array}$

৫. ${\sec ^{ - 1}}x$ বা $arc\sec x$ এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি $y = {\sec ^{ - 1}}x \Rightarrow x = \sec y$ যেখানে $\left( {\left| x \right| < 1} \right)$

তাহলে $\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{d}{{dy}}\left( {\sec y} \right) = \sec y\tan y$

এখন 

$\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}}\\  = \frac{1}{{\frac{{dx}}{{dy}}}}\\  = \frac{1}{{\sec y\tan y}}\\  = \frac{1}{{\sec y\sqrt {{{\sec }^2}y - 1} }}\\  = \frac{1}{{x\sqrt {{x^2} - 1} }}\left( {\left| x \right| < 1} \right) \end{array}$

৬. $\cos e{c^{ - 1}}x$ বা $\arccos ecx$ এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি $y = \cos e{c^{ - 1}}x \Rightarrow x = \cos ecy$ যেখানে $\left( {\left| x \right| < 1} \right)$

তাহলে $\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{d}{{dy}}\left( {\cos ecy} \right) =  - \cos ecy\cot y$

এখন 

$\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}}\\  = \frac{1}{{\frac{{dx}}{{dy}}}}\\  = \frac{1}{{ - \cos ecy\cot y}}\\  =  - \frac{1}{{\cos ecy\sqrt {\cos e{c^2}y - 1} }}\\  =  - \frac{1}{{x\sqrt {{x^2} - 1} }}\left( {\left| x \right| < 1} \right) \end{array}$

 

অন্তরকলনের মৌলিক উপপাদ্য সমূহ ( Fundamental Theorems on Differentiation )

উপপাদ্য 1. একটি ধ্রূবক রাশির অন্তরকলজ বা অবকলন সহগ শূন্য। 

প্রমাণ :- মনে করি x এর সব বাস্তব মানে f(x) = c , যেখানে c একটি ধ্রূবক রাশি .

অন্তরকলজের সংজ্ঞা থেকে পাই 

$\begin{array}{l} f'\left( x \right)\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{c - c}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0 \end{array}$

উপপাদ্য 2. c একটি ধ্রূবক রাশি এবং f(x) একটি অন্তরকলযোগ্য অপেক্ষক হলে ,

$\frac{d}{{dx}}\left[ {c \cdot f\left( x \right)} \right] = c \cdot f'\left( x \right)$

 প্রমাণ :- মনে করি $\phi \left( x \right) = c \cdot f\left( x \right)$

অন্তরকলজের সংজ্ঞা থেকে পাই 

$\begin{array}{l} \phi '\left( x \right)\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\phi \left( {x + h} \right) - \phi \left( x \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{c \cdot f\left( {x + h} \right) - c \cdot f\left( x \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{c \cdot \left[ {f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)} \right]}}{h}\\  = c \cdot \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\  = c \cdot f'\left( x \right) \end{array}$

উপপাদ্য 3. দুটি x এর অন্তরকলনযোগ্য অপেক্ষকের যোগফল কিংবা বিয়োগফল অবকলন সহগ অপেক্ষক দুটির অবকল সহগ দুটির যোগফল বা বিয়োগফলের সঙ্গে সমান। 

অর্থাৎ u(x) এবং v(x) দুটি দুটি অন্তরকলনযোগ্য অপেক্ষক হলে , 

$\frac{d}{{dx}}\left[ {u\left( x \right) \pm v\left( x \right)} \right] = \frac{d}{{dx}}\left[ {u\left( x \right)} \right] \pm \frac{d}{{dx}}\left[ {v\left( x \right)} \right]$

প্রমাণ :- মনে করি $f\left( x \right) = u\left( x \right) + v\left( x \right)$

অন্তরকলজের সংজ্ঞা থেকে পাই 

$\begin{array}{l} f'\left( x \right)\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{[u\left( {x + h} \right) + v\left( {x + h} \right)] - \left[ {u\left( x \right) + v\left( x \right)} \right]}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left[ {u\left( {x + h} \right) - u\left( x \right)} \right] + \left[ {v\left( {x + h} \right) - v\left( x \right)} \right]}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left[ {\frac{{u\left( {x + h} \right) - u\left( x \right)}}{h} + \frac{{v\left( {x + h} \right) - v\left( x \right)}}{h}} \right]\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u\left( {x + h} \right) - u\left( x \right)}}{h} + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{v\left( {x + h} \right) - v\left( x \right)}}{h}\\  = u'\left( x \right) + v'\left( x \right)\\  \Rightarrow \frac{d}{{dx}}\left[ {u\left( x \right) + v\left( x \right)} \right] = \frac{{du}}{{dx}} + \frac{{dv}}{{dx}} \end{array}$

অনুরূপে আমরা প্রমাণ করতে পারি

$\Rightarrow \frac{d}{{dx}}\left[ {u\left( x \right) - v\left( x \right)} \right] = \frac{{du}}{{dx}} - \frac{{dv}}{{dx}}$

উপপাদ্য 3 সাধারণভাবে সত্য , অর্থাৎ 

$\begin{array}{l} \frac{d}{{dx}}\left[ {{u_1}\left( x \right) \pm {u_2}\left( x \right) \pm {u_3}\left( x \right) \pm ............} \right]\\  = \frac{{d{u_1}}}{{dx}} \pm \frac{{d{u_2}}}{{dx}} \pm \frac{{d{u_3}}}{{dx}} \pm .......... \end{array}$

যেখানে ${u_1}\left( x \right),{u_2}\left( x \right),{u_3}\left( x \right),.............$ হল অন্তরকলনযোগ্য অপেক্ষক। 

উপপাদ্য 4. x এর দুটি অন্তরকলনযোগ্য দুটি অপেক্ষকের গুণফলের অবকল সহগ = প্রথম অপেক্ষক $\times$ দ্বিতীয় অপেক্ষকের সহগ + দ্বিতীয় অপেক্ষক $\times$ প্রথম অপেক্ষকের সহগ 

অর্থাৎ u(x) এবং v(x) দুটি অন্তরকলযোগ্য অপেক্ষক হলে 

$\frac{d}{{dx}}\left( {uv} \right) = u\frac{{dv}}{{dx}} + v\frac{{du}}{{dx}}$

প্রমাণ :- মনে করি $f\left( x \right) = u\left( x \right) \cdot v\left( x \right)$

অন্তরকলজের সংজ্ঞা থেকে পাই 

$\begin{array}{l} f'\left( x \right)\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u\left( {x + h} \right) \cdot v\left( {x + h} \right) - u\left( x \right) \cdot v\left( x \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u\left( {x + h} \right) \cdot v\left( {x + h} \right) - u\left( {x + h} \right) \cdot v\left( x \right) + u\left( {x + h} \right) \cdot v\left( x \right) - u\left( x \right) \cdot v\left( x \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u\left( {x + h} \right)\left[ {v\left( {x + h} \right) - v\left( x \right)} \right] + v\left( x \right)\left[ {u\left( {x + h} \right) - u\left( x \right)} \right]}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} u\left( {x + h} \right) \cdot \frac{{v\left( {x + h} \right) - v\left( x \right)}}{h} + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} v\left( x \right) \cdot \frac{{u\left( {x + h} \right) - u\left( x \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} u\left( {x + h} \right) \cdot \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{v\left( {x + h} \right) - v\left( x \right)}}{h} + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} v\left( x \right) \cdot \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u\left( {x + h} \right) - u\left( x \right)}}{h}\\  = u\left( {x + 0} \right) \cdot v'\left( x \right) + v\left( x \right) \cdot u'\left( x \right)\\  = u\left( x \right) \cdot v'\left( x \right) + v\left( x \right) \cdot u'\left( x \right)\\  \Rightarrow \frac{d}{{dx}}\left( {uv} \right) = u\frac{{dv}}{{dx}} + v\frac{{du}}{{dx}} \end{array}$

উপপাদ্য 5. x এর দুটি অন্তরকলনযোগ্য দুটি  ভাগফল অপেক্ষকের অবকল সহগ  

= [ ( হরের অপেক্ষক $\times$ লবের অপেক্ষকের অন্তরকলজ ) - ( লবের অপেক্ষক $\times$ হরের অপেক্ষকের অন্তরকলজ ) ] $\div$ ( হরের অপেক্ষকের বর্গ )

অর্থাৎ u(x) এবং v(x) যদি x এর দুটি অন্তরকলযোগ্য অপেক্ষক হয় , তবে 

$\frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}} \right] = \frac{{v\frac{{du}}{{dx}} - u\frac{{dv}}{{dx}}}}{{{v^2}}}$

প্রমাণ :- মনে করি $f\left( x \right) = \frac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}$

অন্তরকলজের সংজ্ঞা থেকে পাই 

$\begin{array}{l} f'\left( x \right)\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{{u\left( {x + h} \right)}}{{v\left( {x + h} \right)}} - \frac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u\left( {x + h} \right)v\left( x \right) - u\left( x \right)v\left( {x + h} \right)}}{{hv\left( {x + h} \right)v\left( x \right)}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u\left( {x + h} \right)v\left( x \right) - v\left( x \right)u\left( x \right) + v\left( x \right)u\left( x \right) - u\left( x \right)v\left( {x + h} \right)}}{{hv\left( {x + h} \right)v\left( x \right)}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{v\left( x \right)\left[ {u\left( {x + h} \right) - u\left( x \right)} \right] - u\left( x \right)\left[ {v\left( {x + h} \right) - v\left( x \right)} \right]}}{{hv\left( {x + h} \right)v\left( x \right)}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{v\left( x \right)}}{{v\left( {x + h} \right)v\left( x \right)}} \cdot \frac{{\left[ {u\left( {x + h} \right) - u\left( x \right)} \right]}}{h} - \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u\left( x \right)}}{{v\left( {x + h} \right)v\left( x \right)}} \cdot \frac{{\left[ {v\left( {x + h} \right) - v\left( x \right)} \right]}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{v\left( x \right)}}{{v\left( {x + h} \right)v\left( x \right)}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left[ {u\left( {x + h} \right) - u\left( x \right)} \right]}}{h} - \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u\left( x \right)}}{{v\left( {x + h} \right)v\left( x \right)}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left[ {v\left( {x + h} \right) - v\left( x \right)} \right]}}{h}\\  = \frac{{v\left( x \right)}}{{{{\left\{ {v\left( x \right)} \right\}}^2}}}u'\left( x \right) - \frac{{u\left( x \right)}}{{{{\left\{ {v\left( x \right)} \right\}}^2}}}v'\left( x \right)\\  = \frac{{v\left( x \right)u'\left( x \right) - u\left( x \right)v'\left( x \right)}}{{{{\left\{ {v\left( x \right)} \right\}}^2}}}\\  \Rightarrow \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{u}{v}} \right) = \frac{{v\frac{{du}}{{dx}} - u\frac{{dv}}{{dx}}}}{{{v^2}}} \end{array}$

 

সংক্ষিপ্তকরণ ( Summarisation )

১. x চলের বৃদ্ধি = $\Delta x$ বা h = অন্তিম মান - প্রারম্ভিক মান।

২. y = f(x) হল একটি x এর একমান বিশিষ্ট অপেক্ষক এবং x এর বৃদ্ধি $\Delta x$ এর জন্য y এর বৃদ্ধি  $\Delta y$ (বা k ) হয় তবে $\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)$ = f(x + h) - f(x) .

৩. x বিন্দুতে y = f(x) অপেক্ষকের x এর সাপেক্ষে অবকল সহগ হয় 

$\frac{{dy}}{{dx}}$ বা $f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}$

৪. x = a বিন্দুতে y = f(x) অপেক্ষকের অন্তরকলজ বা অবকল সহগকে f ' (a) বা ${\left[ {\frac{{dy}}{{dx}}} \right]_{x = a}}$ প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ , 

${\left[ {\frac{{dy}}{{dx}}} \right]_{x = a}}$ বা f ' (a) = $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}$ 

৫. 

• $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}$ সীমাকে বলা হয় x = a বিন্দুতে y = f(x) অপেক্ষকের ডানপক্ষের অন্তরকলজ ( right hand derivatives ) এবং সেটি Rf ' (a) বা f ' (a +) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
• $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}$ বলা হয় x = a বিন্দুতে y = f(x) অপেক্ষকের বামপক্ষের অন্তরকলজ ( left hand derivatives )  এবং সেটি Lf ' (a) বা f ' (a -) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

• x = a বিন্দুতে f(x) এর অবকল সহগ নির্ণয় করা যাবে যদি  Rf ' (a) বা f ' (a +) এবং Lf ' (a) বা f ' (a -) এর অস্তিত্ব থাকে এবং  Rf ' (a) বা f ' (a +) = Lf ' (a) বা f ' (a -) . অর্থাৎ 

  $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}$

৬. n যেকোনো মূলদ সংখ্যা হলে $\frac{d}{{dx}}\left( {{x^n}} \right) = n{x^{n - 1}}$

৭.  $\frac{d}{{dx}}\left( {{e^x}} \right) = {e^x}$

৮.  $\frac{d}{{dx}}\left( {{a^x}} \right) = {a^x}{\log _e}a$

৯. $\frac{d}{{dx}}\left( {\log x} \right) = \frac{1}{x}$

১০. $\frac{d}{{dx}}\left( {\sin x} \right) = \cos x$

১১. $\frac{d}{{dx}}\left( {\cos x} \right) =  - \sin x$

১২. $\frac{d}{{dx}}\left( {\tan x} \right) = {\sec ^2}x$

১৩. $\frac{d}{{dx}}\left( {\cot x} \right) =  - \cos e{c^2}x$

১৪. $\frac{d}{{dx}}\left( {\sec x} \right) = \sec x\tan x$

১৫. $\frac{d}{{dx}}\left( {\cos ecx} \right) =  - \cos ecx\cot x$

১৬. $\frac{d}{{dx}}\left( {{{\sin }^{ - 1}}x} \right) = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}$

১৭. $\frac{d}{{dx}}\left( {{{\cos }^{ - 1}}x} \right) =  - \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}$

১৮. $\frac{d}{{dx}}\left( {{{\tan }^{ - 1}}x} \right) = \frac{1}{{1 + {x^2}}}$

১৯. $\frac{d}{{dx}}\left( {{{\cot }^{ - 1}}x} \right) =  - \frac{1}{{1 + {x^2}}}$

২০. $\frac{d}{{dx}}\left( {{{\sec }^{ - 1}}x} \right) = \frac{1}{{x\sqrt {{x^2} - 1} }}$

২১. $\frac{d}{{dx}}\left( {\cos e{c^{ - 1}}x} \right) =  - \frac{1}{{x\sqrt {{x^2} - 1} }}$

২২. c একটি ধ্রূবক হলে $\frac{d}{{dx}}\left( {\mathop{\rm c}\nolimits}  \right) = 0$

২৩. c একটি ধ্রূবক হলে $\frac{d}{{dx}}\left[ {c \cdot f\left( x \right)} \right] = c \cdot \frac{d}{{dx}}\left[ {f\left( x \right)} \right]$

২৪.  ${u_1}\left( x \right),{u_2}\left( x \right),{u_3}\left( x \right),.............$ অন্তরকলনযোগ্য অপেক্ষক হলে। 

$\begin{array}{l} \frac{d}{{dx}}\left[ {{u_1}\left( x \right) \pm {u_2}\left( x \right) \pm {u_3}\left( x \right) \pm ............} \right]\\  = \frac{{d{u_1}}}{{dx}} \pm \frac{{d{u_2}}}{{dx}} \pm \frac{{d{u_3}}}{{dx}} \pm .......... \end{array}$

২৫. $\frac{d}{{dx}}\left[ {u \cdot v} \right] = u\frac{{dv}}{{dx}} + v\frac{{du}}{{dx}}$

২৬. $\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{u}{v}} \right) = \frac{{v\frac{{du}}{{dx}} - u\frac{{dv}}{{dx}}}}{{{v^2}}}$

২৭. $\frac{{dy}}{{dx}} \cdot \frac{{dx}}{{dy}} = 1 \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{{\frac{{dx}}{{dy}}}}$

যেখানে $\frac{{dy}}{{dx}} \ne 0$ এবং $\frac{{dx}}{{dy}} \ne 0$