অন্তরকলন বা অবকলন ( Differentiation )

অন্তরকলন বা অবকলন ( Differentiation )

সূচনা ( Introduction )

    অন্তরকলন বা অবকলন ( differentiation ) হল কলনবিদ্যার একটি অতি গুরুত্বপূর্ণ মূলগত প্রক্রিয়া। এই প্রক্রিয়াটি অপেক্ষকের সীমার ধারণা ও তার সন্ততা ধর্মের উপর নির্ভরশীল। এই প্রক্রিয়াটিতে স্বাধীন চলের সামান্য পরিবর্তনে অধীন চলের সামান্য পরিবর্তন হয় ধরে অধীন ও স্বাধীন চলের সামান্য পরিবর্তন দুটির অনুপাতের সীমাস্থ মানের ( limiting value ) মূল্যায়ন করা হয় , যখন স্বাধীন চলের পরিবর্তনের সাংখ্যমান যে কোনো ধনাত্মক ক্ষুদ্র সংখ্যা ( তা যতই ক্ষুদ্র হোক না কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর হয়। অন্তরকলনের সাহায্যে প্রকৃত পক্ষে স্বাধীন চলের সাপেক্ষে অধীন চলের পরিবর্তনের হার নির্ণয় করা হয়। এজন্য গণিতের বিভিন্ন শাখায় এবং পদার্থবিদ্যা , রসায়নবিদ্যা , জীববিদ্যা , অর্থনীতি ইত্যাদি বিষয়ের ওপরে এর প্রয়োগ ব্যাপক। 

 

বৃদ্ধি ( Increment )

    মনে করি , x একটি বাস্তব চল এবং তার গৃহীত মান [tex]{x_0}[/tex] থেকে পরিবর্তন হয়ে [tex]{x_1}[/tex] হল। [tex]{x_0}[/tex] কে বলা হয় x চলের প্রারম্ভিক মান ( initial value ) ও [tex]{x_1}[/tex] কে বলা হয় x এর অন্তিম মান ( final value ) এবং [tex]{x_1} - {x_0}[/tex] কে তার বৃদ্ধি ( increment ) বলে। 

     উদাহরণস্বরূপ , মনে করি x চলের মান 1 থেকে বেড়ে 2 হয়েছে। এক্ষেত্রে x এর প্রারম্ভিক মান হল 1 , অন্তিম মান হল 2 এবং বৃদ্ধি হল ( 2 - 1 ) = 1 . আবার মনে করি x চলের প্রারম্ভিক মান হল 1 , অন্তিম মান হল 0.01 এবং বৃদ্ধি হল ( 0.01 - 1 ) = -0.99 . সুতরাং দেখা যাচ্ছে বৃদ্ধি ধনাত্মক ও ঋণাত্মক দুই হতে পারে  x চলের বৃদ্ধিকে সাধারণত [tex]\Delta x[/tex] ( delta x ) বা h দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 

স্পষ্টতই [tex]\Delta x[/tex] = অন্তিম মান - প্রারম্ভিক মান। [tex]\Delta x[/tex] এই প্রতীক দ্বারা কখনো [tex]\Delta  \times x[/tex] বোঝায় না। 

 

অপেক্ষকের বৃদ্ধি ( Increment of a function )

     মনে y = f(x) হল একটি x এর একমান বিশিষ্ট অপেক্ষক।স্পষ্টতই x এর মান পরিবর্তিত হলে y এর মানেরও পরিবর্তন হবে। মনে করি x এর প্রারম্ভিক মান x এবং তার বৃদ্ধি = [tex]\Delta x[/tex] (বা h ) . তাহলে x এর অন্তিম মান হবে [tex]x + \Delta x[/tex] . যখন x এর প্রারম্ভিক মান হয় x তখন y এর প্রারম্ভিক মান হয় y = f(x) . আবার মনে করি x এর বৃদ্ধি যখন [tex]\Delta x[/tex] হচ্ছে , তার জন্য y এর বৃদ্ধি হচ্ছে [tex]\Delta y[/tex] (বা k ). সুতরাং y এর অন্তিম মান হবে [tex]y + \Delta y[/tex] = [tex]f\left( {x + \Delta x} \right)[/tex] . 

সুতরাং আমরা লিখতে পারি y এর বৃদ্ধি = y এর অন্তিম মান - y এর প্রারম্ভিক মান। 

বা ,   [tex]\Delta y[/tex] (বা k ) = ([tex]y + \Delta y[/tex] )-y 

বা , [tex]\Delta y[/tex] (বা k ) = [tex]f\left( {x + \Delta x} \right)[/tex] - f(x)

বা ,  [tex]\Delta y[/tex] (বা k ) = f(x + h) - f(x) 

স্বাধীন চল ধনাত্মক অথবা ঋণাত্মক হতে পারে কিন্তু কখনো শূন্য হয় না। কিন্তু অধীন চল ধনাত্মক , ঋণাত্মক ও শূন্য হতে পারে। 

 

অন্তরকলজ বা অবকল সহাগ ( Derivative or Differential Coefficient )

      মনে y = f(x) হল একটি x এর একমান বিশিষ্ট সসীম অপেক্ষক এবং তা [tex]a \le x \le b[/tex] এই বিস্তারে সংজ্ঞাত। যদি এই সংজ্ঞার অঞ্চলে অন্তর্গত যেকোনো একটি বিন্দু x  এতে স্বাধীন চল x এর বৃদ্ধি [tex]\Delta x[/tex] ( যেখানে tex]\Delta x[/tex] ধনাত্মক , ঋণাত্মক হতে পারে কিন্তু শূন্য হবে না ) হয় যার জন্য y বা f(x) এর বৃদ্ধি হয় tex]\Delta y[/tex] .তবে [tex]\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)[/tex] . স্পষ্টতই x বিন্দুতে অধীন এবং স্বাধীন চল দুটির বৃদ্ধির অনুপাত হয় 

[tex]\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)}}{{\Delta x}}[/tex]

এখন [tex]\Delta x \to 0[/tex] হলে যদি [tex]\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}[/tex] এর সসীম সীমা পাওয়া যায় , তবে ওই সীমাস্থ মানকে x বিন্দুতে y =f(x) অপেক্ষকের x এর সাপেক্ষে অন্তরকলজ ( derivative ) বা অবকল সহগ বা গুণাঙ্ক ( differential coefficient ) বলা হয়। এটি [tex]f'\left( x \right)[/tex] বা [tex]\frac{{dy}}{{dx}}[/tex] প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়। 

সুতরাং x বিন্দুতে y = f(x) অপেক্ষকের x এর সাপেক্ষে অবকল সহগ হয় 

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{dy}}{{dx}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)}}{{\Delta x}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}
\end{array}[/tex] 

অথবা [tex]f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}[/tex]

দ্রষ্টব্য 

(১) x বিন্দুতে y = f(x) অপেক্ষকের x এর সাপেক্ষে অবকল সহগকে [tex]\frac{{dy}}{{dx}}[/tex] বা f ' (x) ছাড়াও [tex]{y_1}[/tex] বা y ' বা Dy বা [tex]\frac{d}{{dx}}\left( y \right)[/tex] বা [tex]\frac{d}{{dx}}\left\{ {f\left( x \right)} \right\}[/tex] প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 

(২) x = a বিন্দুতে y = f(x) অপেক্ষকের অন্তরকলজ বা অবকল সহগকে f ' (a) বা [tex]{\left[ {\frac{{dy}}{{dx}}} \right]_{x = a}}[/tex] প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ , 

[tex]{\left[ {\frac{{dy}}{{dx}}} \right]_{x = a}}[/tex] বা f ' (a) = [tex]\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}[/tex] 

(৩) [tex]a \le x \le b[/tex] বিস্তারের অন্তর্গত প্রত্যেক বিন্দুতে f(x) এর অন্তরকলনযোগ্য ( differentiable ) বলা হয়। 

(৪) [tex]\frac{d}{{dx}}[/tex] কে অবকলন প্রক্রিয়া হিসাবে গণ্য করা যায়। [tex]\frac{{dy}}{{dx}}[/tex] দ্বারা কখনোই [tex]dy \div dx[/tex] বোঝাবেনা। 

(৫) অন্তরকলজ বা অবকল সহগের সংজ্ঞা থেকে পাই 

f ' (a) [ x = a বিন্দুতে y = f(x) অপেক্ষকের অবকল সহগ ] = [tex]\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}[/tex]

এখন সীমার সংজ্ঞা থেকে পাই [tex]\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}[/tex] এর সীমার অস্তিত্ব থাকবে যদি [tex]\mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}[/tex] এবং [tex]\mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}[/tex] সীমা দুটি প্রত্যেকটি নির্ণয় করা যায় এবং তারা পরস্পর সমান হয়। এক্ষেত্রে [tex]\mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}[/tex] সীমাকে বলা হয় x = a বিন্দুতে y = f(x) অপেক্ষকের ডানপক্ষের অন্তরকলজ ( right hand derivatives )  এবং সেটি Rf ' (a) বা f ' (a +) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। [tex]\mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}[/tex] বলা হয় x = a বিন্দুতে y = f(x) অপেক্ষকের বামপক্ষের অন্তরকলজ ( left hand derivatives )  এবং সেটি Lf ' (a) বা f ' (a -) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। সুতরাং x = a বিন্দুতে f(x) এর অবকল সহগ নির্ণয় করা যাবে যদি  Rf ' (a) বা f ' (a +) এবং Lf ' (a) বা f ' (a -) এর অস্তিত্ব থাকে এবং  Rf ' (a) বা f ' (a +) = Lf ' (a) বা f ' (a -) . অর্থাৎ 

[tex]\mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}[/tex]

 

উপপাদ্য ( Theorem )

উপপাদ্য 1. x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষকের অন্তরকলনযোগ্য হলে ওই বিন্দুতে অপেক্ষকটি সন্তত হবে। 

 প্রমাণ :- প্রশ্নানুযায়ী , f(x) অপেক্ষক x = a বিন্দুতে অন্তরকলনযোগ্য।

সুতরাং [tex]f'\left( a \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h} = [/tex] সসীম রাশি। 

এখন

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left[ {f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)} \right]\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left[ {\frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h} \times h} \right]\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h} \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} h\\
 = f'\left( a \right) \times 0\\
 = 0
\end{array}[/tex]

অতএব 

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right) = 0\\
 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f\left( {a + h} \right) = f\left( a \right)
\end{array}[/tex]

অর্থাৎ f(x) অপেক্ষকটি x = a বিন্দুতে সন্তত।  

কিন্তু এর উল্টোটি সত্য নয় , অর্থাৎ অপেক্ষকটি x = a বিন্দুতে সন্তত হলে তা অন্তরকলনযোগ্য হতে নাও পারে। 

 

উদাহরণ 1. [tex]f\left( x \right) = 2{x^2} + 1[/tex] অপেক্ষকটির ক্ষেত্রে

(i) x = 1 বিন্দুতে অপেক্ষকটি সন্তত কিনা পরীক্ষা করো।

(ii) x = 1 বিন্দুতে f ' (x) এর অস্তিত্ব আছে কিনা বলো। 

সমাধান :-  (i) f(x) অপেক্ষকের x = 1 বিন্দুতে সন্ততা নির্ণয় করতে হবে। 

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2{x^2} + 1} \right)\\
 = 2 \times {1^2} + 1\\
 = 2 + 1\\
 = 3
\end{array}[/tex]

আবার 

[tex]\begin{array}{l}
f\left( x \right) = 2{x^2} + 1\\
 \Rightarrow f\left( 1 \right) = 2 + 1 = 3
\end{array}[/tex]

অতএব [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)[/tex] . সুতরাং x = 1 বিন্দুতে f(x) অপেক্ষকটি সন্তত। 

আমরা জানি [tex]f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}[/tex] .

(ii) এখন Rf ' (x)

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } \frac{{2{{\left( {x + h} \right)}^2} + 1 - 2{x^2} - 1}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } \frac{{2\left[ {{x^2} + 2xh + {h^2} - {x^2}} \right]}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } \frac{{2\left[ {2xh + {h^2}} \right]}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } 2\left( {x + h} \right)\\
 = 2x
\end{array}[/tex]

এখন Lf ' (x)

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } \frac{{2{{\left( {x + h} \right)}^2} + 1 - 2{x^2} - 1}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } \frac{{2\left[ {{x^2} + 2xh + {h^2} - {x^2}} \right]}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } \frac{{2\left[ {2xh + {h^2}} \right]}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } 2\left( {x + h} \right)\\
 = 2x
\end{array}[/tex]

সুতরাং Rf ' (x) = Lf ' (x)

[tex]\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 2x\\
 \Rightarrow f'\left( 1 \right) = 2
\end{array}[/tex]

অতএব x = 1 f ' (x) এর অস্তিত্ব আছে। 

 

উদাহরণ 2. f(x) নিম্নরূপে সংজ্ঞাত :

[tex]f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
x,x \ge 0\\
 - x,x < 0
\end{array} \right\}[/tex]

(i) x = 0 বিন্দুতে f(x) অপেক্ষকটি সন্তত কিনা বল। 

(ii) x = 0 বিন্দুতে f ' (x) এর অস্তিত্ব আছে কিনা বল। 

সমাধান :-  (i) x = 0 বিন্দুতে f(x) অপেক্ষকের সন্ততার পরীক্ষা 

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } f\left( x \right)\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } x\\
 = 0
\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 - } f\left( x \right)\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 - } ( - x)\\
 = 0
\end{array}[/tex]

f(0) = 0

সুতরাং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 - } f\left( x \right) = f\left( 0 \right)[/tex]

অতএব x = 0 বিন্দুতে f(x) অপেক্ষক সন্তত হবে। 

(ii) x = 0 বিন্দুতে f ' (x) এর অস্তিত্ব নির্ণয়। 

আমরা জানি 

[tex]\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\
 \Rightarrow f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {0 + h} \right) - f\left( 0 \right)}}{h}
\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{l}
Rf'\left( 0 \right)\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } \frac{{f\left( {0 + h} \right) - f\left( 0 \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } \frac{{h - 0}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } \frac{h}{h} = 1
\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{l}
Lf'\left( 0 \right)\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } \frac{{f\left( {0 + h} \right) - f\left( 0 \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } \frac{{ - h - 0}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } \frac{{ - h}}{h} =  - 1
\end{array}[/tex]

অতএব [tex]Rf'\left( 0 \right) \ne Lf'\left( 0 \right)[/tex]

স্পষ্টতই x = 0 বিন্দুতে f ' (x) এর অস্তিত্ব নেই। 

 

উপপাদ্য 2. x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষক অসন্তত হলে ওই বিন্দুতে অপেক্ষকটির অসীম অবকল সহগ থাকতে পারে। 

উদাহরণস্বরূপ , মনে করি 

[tex]f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
1,x > 0\\
0,x = 0\\
2,x < 0
\end{array} \right\}[/tex]

এখানে x = 0 বিন্দুতে f(x) অপেক্ষক অসন্তত , কিন্তু [tex]f'\left( 0 \right) =  + \infty [/tex]

প্রকৃতপক্ষে , x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষকের সসীম অবকল সহগ থাকতে হলে ওই বিন্দুতে অপেক্ষকটির সন্তত হওয়া প্রয়োজন ; কিন্তু এই শর্ত যথেষ্ট নয়।  

 

কয়েকটি প্রাথমিক অপেক্ষকের অন্তরকলজ বা অবকল সহগ ( Derivatives or Differential Coefficients of a few elementary functions )

১. n যেকোনো মূলদ সংখ্যা হলে [tex]{x^n}[/tex] এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি , [tex]y = f\left( x \right) = {x^n}[/tex] 

অন্তরকলজ বা অবকল সহগের সংজ্ঞা থেকে পাই ,

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{dy}}{{dx}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{{\left( {x + h} \right)}^n} - {x^n}}}{h}............(i)
\end{array}[/tex]

এখন মনে করি x + h = u , যখন [tex]h \to 0[/tex] হলে [tex]u \to x[/tex] .

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{{\left( {x + h} \right)}^n} - {x^n}}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{u \to x} \frac{{{u^n} - {x^n}}}{{u - x}}\\
 = n{x^{n - 1}}\\
\left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}} = n{a^{n - 1}}} \right]
\end{array}[/tex]

সুতরাং n যেকোনো মূলদ সংখ্যা হলে [tex]\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {{x^n}} \right) = n{x^{n - 1}}[/tex] .

 

উদাহরণ 3. [tex]{x^{28}}[/tex] এর x এর সাপেক্ষে অন্তরকলজ নির্ণয় করো।         [Jt.Ent. '80]

সমাধান :- মনে করি [tex]y = {x^{28}}[/tex]

অতএব [tex]\frac{{dy}}{{dx}} = 28{x^{28 - 1}} = 28{x^{27}}[/tex]

 

২. [tex]{e^x}[/tex] এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি [tex]y = f\left( x \right) = {e^x}[/tex]

অন্তরকলজ বা অবকল সহগের সংজ্ঞা থেকে পাই ,

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{dy}}{{dx}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{e^{x + h}} - {e^x}}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{e^x}\left( {{e^h} - 1} \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} {e^x} \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{e^h} - 1}}{h}\\
 = {e^x}\\
\left[ {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{e^h} - 1}}{h} = 1} \right]
\end{array}[/tex]

সুতরাং [tex]\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {{e^x}} \right) = {e^x}[/tex]

 

উদাহরণ 4. [tex]{e^{4x}}[/tex] এর অন্তরকলজ নির্ণয় করো। 

সমাধান :- মনে করি [tex]y = {e^{4x}}[/tex] 

আবার মনে করি [tex]4x = z[/tex]

অতএব 

[tex]\begin{array}{l}
4x = z\\
 \Rightarrow \frac{{dz}}{{dx}} = 4 \cdot 1 \cdot {x^{1 - 1}} = 4
\end{array}[/tex]

এখন 

[tex]\begin{array}{l}
y = {e^{4x}} = {e^z}\\
 \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {{e^z}} \right) = \frac{{dz}}{{dx}} \cdot \frac{d}{{dz}}\left( {{e^z}} \right) = 4{e^z}
\end{array}[/tex]

অর্থাৎ [tex]\frac{{dy}}{{dx}} = 4{e^{4x}}[/tex]

 

৩. [tex]{a^x}[/tex] এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি [tex]y = f\left( x \right) = {a^x}[/tex] 

অন্তরকলজ বা অবকল সহগের সংজ্ঞা থেকে পাই ,

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{dy}}{{dx}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{a^{x + h}} - {a^x}}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{a^x} \cdot {a^h} - {a^x}}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{a^x}\left( {{a^h} - 1} \right)}}{h}\\
 = {a^x}\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{a^h} - 1}}{h}\\
 = {a^x}{\log _e}a\\
\left[ {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{a^h} - 1}}{h} = {{\log }_e}a} \right]
\end{array}[/tex]

( যেখানে a > 0 )

সুতরাং [tex]\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {{a^x}} \right) = {a^x}{\log _e}a[/tex]

৪. [tex]\log x[/tex] এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি [tex]y = f\left( x \right) = \log x[/tex]

অন্তরকলজ বা অবকল সহগের সংজ্ঞা থেকে পাই ,

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{dy}}{{dx}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\log \left( {x + h} \right) - \log x}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\log \left( {\frac{{x + h}}{x}} \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} [\frac{{\log \left( {1 + \frac{h}{x}} \right)}}{{\frac{h}{x}}} \times \frac{1}{x}]\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\log \left( {1 + z} \right)}}{z} \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{x}
\end{array}[/tex]

( যেখানে [tex]\frac{h}{x} = z[/tex] , যখন [tex]h \to 0[/tex] তখন [tex]z \to 0[/tex] )

[tex]\begin{array}{l}
 = 1 \times \frac{1}{x}\\
\left[ {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\log \left( {1 + z} \right)}}{z} = 1} \right]\\
 = \frac{1}{x}
\end{array}[/tex]

( যেখানে [tex]\left( {x \ne 0} \right)[/tex] )

সুতরাং [tex]\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {\log x} \right) = \frac{1}{x}\left( {x \ne 0} \right)[/tex] .

 

উদাহরণ 5. [tex]{\log _{10}}x[/tex] এর অন্তরকলজ নির্ণয় করো।             [H.S.  '94]

সমাধান :- মনে করি [tex]y = {\log _{10}}x[/tex]

এখন 

[tex]\begin{array}{l}
y = {\log _{10}}x\\
 \Rightarrow y = \frac{{{{\log }_e}x}}{{{{\log }_e}10}}\\
 \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{{{{\log }_e}10}} \cdot \frac{d}{{dx}}\left( {{{\log }_e}x} \right) = \frac{1}{{{{\log }_e}10}} \cdot \frac{1}{x}
\end{array}[/tex]

সুতরাং [tex]\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{{x{{\log }_e}10}}[/tex]

 

৫. [tex]\sin x[/tex] এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি [tex]y = f\left( x \right) = \sin x[/tex]

অন্তরকলজ বা অবকল সহগের সংজ্ঞা থেকে পাই ,

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{dy}}{{dx}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \left( {x + h} \right) - \sin x}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2\cos \frac{{2x + h}}{2}\sin \frac{h}{2}}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \cos \left( {x + \frac{h}{2}} \right) \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \frac{h}{2}}}{{\frac{h}{2}}}\\
 = \cos x \times 1\\
\left[ {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \frac{h}{2}}}{{\frac{h}{2}}} = 1} \right]\\
 = \cos x
\end{array}[/tex]

সুতরাং [tex]\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {\sin x} \right) = \cos x[/tex]

 

উদাহরণ 6. [tex]\sin 3x[/tex] এর অন্তরকলজ নির্ণয় করো।             [H.S.  '89]

সমাধান :- মনে করি [tex]y = \sin 3x[/tex] 

আবার মনে করি [tex]z = 3x[/tex]

অতএব [tex]\frac{{dz}}{{dx}} = 3[/tex]

এখন 

[tex]\begin{array}{l}
y = \sin 3x = \sin z\\
 \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {\sin z} \right) = \frac{{dz}}{{dx}} \cdot \frac{d}{{dz}}\left( {\sin z} \right) = 3\cos z
\end{array}[/tex]

সুতরাং [tex]\frac{{dy}}{{dx}} = 3\cos 3x[/tex] .

 

৬. [tex]\cos x[/tex] এর অন্তরকলজ নির্ণয় করো। 

মনে করি [tex]y = f\left( x \right) = \cos x[/tex]

অন্তরকলজ বা অবকল সহগের সংজ্ঞা থেকে পাই ,

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{dy}}{{dx}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\cos \left( {x + h} \right) - \cos x}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2\sin \left( {\frac{{2x + h}}{2}} \right)\sin \left( { - \frac{h}{2}} \right)}}{h}\\
 =  - \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \sin \left( {\frac{{2x + h}}{2}} \right) \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \frac{h}{2}}}{{\frac{h}{2}}}\\
 =  - \sin \left( {\frac{{2x + 0}}{2}} \right) \times 1\\
\left[ {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \frac{h}{2}}}{{\frac{h}{2}}} = 1} \right]\\
 =  - \sin x
\end{array}[/tex]

সুতরাং [tex]\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {\cos x} \right) =  - \sin x[/tex] .

৭. [tex]\tan x[/tex] এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি [tex]y = f\left( x \right) = \tan x[/tex] 

অন্তরকলজ বা অবকল সহগের সংজ্ঞা থেকে পাই ,

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{dy}}{{dx}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\tan \left( {x + h} \right) - \tan x}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{{\sin \left( {x + h} \right)}}{{\cos \left( {x + h} \right)}} - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \left( {x + h} \right)\cos x - \sin x\cos \left( {x + h} \right)}}{{h\cos \left( {x + h} \right)\cos x}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \left( {x + h - x} \right)}}{{h\cos \left( {x + h} \right)\cos x}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sinh }}{h} \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{\cos \left( {x + h} \right)\cos x}}\\
 = 1 \times \frac{1}{{\cos \left( {x + 0} \right)\cos x}}\\
 = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\
 = {\sec ^2}x
\end{array}[/tex]

সুতরাং [tex]\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {\tan x} \right) = {\sec ^2}x[/tex]

৮. [tex]\cot x[/tex] এর অন্তরকলজ নির্ণয় করো 

মনে করি [tex]y = f\left( x \right) = \cot x[/tex]

অন্তরকলজ বা অবকল সহগের সংজ্ঞা থেকে পাই ,

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{dy}}{{dx}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\cot \left( {x + h} \right) - \cot x}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{{\cos \left( {x + h} \right)}}{{\sin \left( {x + h} \right)}} - \frac{{\cos x}}{{\sin x}}}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\cos \left( {x + h} \right)\sin x - \cos x\sin \left( {x + h} \right)}}{{h\sin \left( {x + h} \right)\sin x}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \left( {x - x - h} \right)}}{{h\sin \left( {x + h} \right)\sin x}}\\
 =  - \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sinh }}{h} \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{\sin \left( {x + h} \right)\sin x}}\\
 =  - 1 \times \frac{1}{{\sin \left( {x + 0} \right)\sin x}}\\
 =  - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\\
 =  - \cos e{c^2}x
\end{array}[/tex]

সুতরাং [tex]\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {\cot x} \right) =  - \cos e{c^2}x[/tex]

৯. [tex]\sec x[/tex] এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি [tex]y = f\left( x \right) = \sec x[/tex]

অন্তরকলজ বা অবকল সহগের সংজ্ঞা থেকে পাই ,

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{dy}}{{dx}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sec \left( {x + h} \right) - \sec x}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{1}{{\cos \left( {x + h} \right)}} - \frac{1}{{\cos x}}}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\cos x - \cos \left( {x + h} \right)}}{{h\cos x\cos \left( {x + h} \right)}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2\sin \frac{{2x + h}}{2}\sin \frac{h}{2}}}{{h\cos x\cos \left( {x + h} \right)}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \frac{h}{2}}}{{\frac{h}{2}}} \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \left( {x + \frac{h}{2}} \right)}}{{\cos x\cos \left( {x + h} \right)}}\\
 = 1 \times \frac{{\sin x}}{{\cos x\cos x}}\\
 = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} \times \frac{1}{{\cos x}}\\
 = \tan x\sec x
\end{array}[/tex]

সুতরাং [tex]\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {\sec x} \right) = \tan x\sec x[/tex]

১০. [tex]\cos ecx[/tex] এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি [tex]y = f\left( x \right) = \cos ecx[/tex]

অন্তরকলজ বা অবকল সহগের সংজ্ঞা থেকে পাই ,

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{dy}}{{dx}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\cos ec\left( {x + h} \right) - \cos ecx}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{1}{{\sin \left( {x + h} \right)}} - \frac{1}{{\sin x}}}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin x - \sin \left( {x + h} \right)}}{{h\sin x\sin \left( {x + h} \right)}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2\cos \left( {\frac{{2x + h}}{2}} \right)\sin \frac{ - h}{2}}}{{h\sin x\sin \left( {x + h} \right)}}\\
 =  - \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \frac{h}{2}}}{{\frac{h}{2}}} \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\cos \left( {x + \frac{h}{2}} \right)}}{{\sin x\sin \left( {x + h} \right)}}\\
 =  - 1 \times \frac{{\cos x}}{{\sin x\sin x}}\\
 =  - \frac{{\cos x}}{{\sin x}} \times \frac{1}{{\sin x}}\\
 =  - \cot x\cos ecx
\end{array}[/tex]

সুতরাং [tex]\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {\cos ecx} \right) =  - \cos ecx\cot x[/tex] 

 

বিপরীত বা বিলোম অপেক্ষকের অন্তরকলজ ( Derivative of an Inverse function )

   আমরা জানি y = f(x) অপেক্ষক সন্তত এবং যথার্থ একদিষ্ট ( strictly monotonic ) হলে তার বিপরীত অপেক্ষক ( মনে করি [tex]x = \phi \left( y \right)[/tex] ) পাওয়া যায় এবং তা সন্তত ও যথার্থ একদিষ্ট হয়। আবার y = f(x) এর সসীম অন্তরকলজ f ' (x) [tex]\left( {x \ne 0} \right)[/tex] থাকলে তার বিপরীত অপেক্ষক [tex]x = \phi \left( y \right)[/tex] এর সসীম অন্তরকলজ [tex]\phi '\left( y \right)\left( {y \ne 0} \right)[/tex] থাকবে যেখানে 

[tex]\begin{array}{l}
\phi '\left( y \right) = \frac{1}{{f'\left( x \right)}}\\
 \Rightarrow \frac{{dx}}{{dy}} = \frac{1}{{\frac{{dy}}{{dx}}}}\\
 \Rightarrow \frac{{dx}}{{dy}} \times \frac{{dy}}{{dx}} = 1
\end{array}[/tex]

[ যেখানে , [tex]\frac{{dy}}{{dx}} \ne 0[/tex] এবং [tex]\frac{{dx}}{{dy}} \ne 0[/tex] ]

 

বিপরীত বৃত্তীয় অপেক্ষকসমূহের অন্তরকলজ বা অবকল সহগ ( Derivatives or Differential Coefficients of Inverse Circular function )

১. [tex]{\sin ^{ - 1}}x[/tex] বা [tex]\arcsin x[/tex] এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি [tex]y = {\sin ^{ - 1}}x[/tex]  [ [tex]\left| x \right| \le 1[/tex] এবং [tex] - \frac{\pi }{2} \le y \le \frac{\pi }{2}[/tex] ]

তাহলে আমরা বলতে পারি 

[tex]\begin{array}{l}
x = \sin y\\
 \Rightarrow \frac{{dx}}{{dy}} = \frac{d}{{dy}}\left( {\sin y} \right) = \cos y
\end{array}[/tex]

স্পষ্টতই [tex]\frac{{dx}}{{dy}} = 0[/tex] যখন [tex]y =  \pm \frac{\pi }{2}[/tex] বা [tex]x =  \pm 1[/tex]

সুতরাং

 [tex]\begin{array}{l}
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{{\frac{{dx}}{{dy}}}} = \frac{1}{{{\mathop{\rm cosy}\nolimits} }} = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}y} }} = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\\
 \Rightarrow \frac{d}{{dx}}\left( {{{\sin }^{ - 1}}x} \right) = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\left( {\left| x \right| \le 1} \right)
\end{array}[/tex]

২. [tex]{\cos ^{ - 1}}x[/tex] বা [tex]\arccos x[/tex] এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি [tex]y = {\cos ^{ - 1}}x \Rightarrow x = \cos y[/tex] যেখানে  [ [tex]\left| x \right| \le 1[/tex] এবং [tex] - \frac{\pi }{2} \le y \le \frac{\pi }{2}[/tex] ]

তাহলে [tex]\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{d}{{dy}}\left( {\cos y} \right) =  - \sin x[/tex]

স্পষ্টতই [tex]\frac{{dx}}{{dy}} = 0[/tex] যখন y = 0

এখন 

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{dy}}{{dx}}\\
 = \frac{1}{{\frac{{dx}}{{dy}}}}\\
 = \frac{1}{{ - {\mathop{\rm siny}\nolimits} }}\\
 =  - \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}y} }}\\
 =  - \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\left( {\left| x \right| < 1} \right)
\end{array}[/tex]

৩. [tex]{\tan ^{ - 1}}x[/tex] বা [tex]\arctan x[/tex] এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি [tex]y = {\tan ^{ - 1}}x \Rightarrow x = \tan y[/tex] যেখানে [tex]\left[ { - \infty  < x < \infty , - \frac{\pi }{2} < y < \frac{\pi }{2}} \right][/tex]

তাহলে [tex]\frac{{dx}}{{dy}} = {\sec ^2}y[/tex] যা y এর যেকোনো মানে শূন্য হবেনা। 

এখন 

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{dy}}{{dx}}\\
 = \frac{1}{{\frac{{dx}}{{dy}}}}\\
 = \frac{1}{{{{\sec }^2}y}}\\
 = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}y}}\\
 = \frac{1}{{1 + {x^2}}}\left( { - \infty  < x < \infty } \right)
\end{array}[/tex]

৪. [tex]{\cot ^{ - 1}}x[/tex] বা [tex]arc\cot x[/tex] এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি [tex]y = {\cot ^{ - 1}}x \Rightarrow x = \cot y[/tex] যেখানে [tex]\left[ { - \infty  < x < \infty , - \frac{\pi }{2} < y < \frac{\pi }{2}} \right][/tex]

তাহলে [tex]\frac{{dx}}{{dy}} =  - \cos e{c^2}y[/tex] যা y এর যেকোনো মানে শূন্য হবেনা। 

এখন 

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{dy}}{{dx}}\\
 = \frac{1}{{\frac{{dx}}{{dy}}}}\\
 = \frac{1}{{ - \cos e{c^2}y}}\\
 =  - \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}y}}\\
 =  - \frac{1}{{1 + {x^2}}}\left( { - \infty  < x < \infty } \right)
\end{array}[/tex]

৫. [tex]{\sec ^{ - 1}}x[/tex] বা [tex]arc\sec x[/tex] এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি [tex]y = {\sec ^{ - 1}}x \Rightarrow x = \sec y[/tex] যেখানে [tex]\left( {\left| x \right| < 1} \right)[/tex]

তাহলে [tex]\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{d}{{dy}}\left( {\sec y} \right) = \sec y\tan y[/tex]

এখন 

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{dy}}{{dx}}\\
 = \frac{1}{{\frac{{dx}}{{dy}}}}\\
 = \frac{1}{{\sec y\tan y}}\\
 = \frac{1}{{\sec y\sqrt {{{\sec }^2}y - 1} }}\\
 = \frac{1}{{x\sqrt {{x^2} - 1} }}\left( {\left| x \right| < 1} \right)
\end{array}[/tex]

৬. [tex]\cos e{c^{ - 1}}x[/tex] বা [tex]\arccos ecx[/tex] এর অন্তরকলজ নির্ণয় 

মনে করি [tex]y = \cos e{c^{ - 1}}x \Rightarrow x = \cos ecy[/tex] যেখানে [tex]\left( {\left| x \right| < 1} \right)[/tex]

তাহলে [tex]\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{d}{{dy}}\left( {\cos ecy} \right) =  - \cos ecy\cot y[/tex]

এখন 

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{dy}}{{dx}}\\
 = \frac{1}{{\frac{{dx}}{{dy}}}}\\
 = \frac{1}{{ - \cos ecy\cot y}}\\
 =  - \frac{1}{{\cos ecy\sqrt {\cos e{c^2}y - 1} }}\\
 =  - \frac{1}{{x\sqrt {{x^2} - 1} }}\left( {\left| x \right| < 1} \right)
\end{array}[/tex]

 

অন্তরকলনের মৌলিক উপপাদ্য সমূহ ( Fundamental Theorems on Differentiation )

উপপাদ্য 1. একটি ধ্রূবক রাশির অন্তরকলজ বা অবকলন সহগ শূন্য। 

প্রমাণ :- মনে করি x এর সব বাস্তব মানে f(x) = c , যেখানে c একটি ধ্রূবক রাশি .

অন্তরকলজের সংজ্ঞা থেকে পাই 

[tex]\begin{array}{l}
f'\left( x \right)\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{c - c}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0
\end{array}[/tex]

উপপাদ্য 2. c একটি ধ্রূবক রাশি এবং f(x) একটি অন্তরকলযোগ্য অপেক্ষক হলে ,

[tex]\frac{d}{{dx}}\left[ {c \cdot f\left( x \right)} \right] = c \cdot f'\left( x \right)[/tex]

 প্রমাণ :- মনে করি [tex]\phi \left( x \right) = c \cdot f\left( x \right)[/tex]

অন্তরকলজের সংজ্ঞা থেকে পাই 

[tex]\begin{array}{l}
\phi '\left( x \right)\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\phi \left( {x + h} \right) - \phi \left( x \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{c \cdot f\left( {x + h} \right) - c \cdot f\left( x \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{c \cdot \left[ {f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)} \right]}}{h}\\
 = c \cdot \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\
 = c \cdot f'\left( x \right)
\end{array}[/tex]

উপপাদ্য 3. দুটি x এর অন্তরকলনযোগ্য অপেক্ষকের যোগফল কিংবা বিয়োগফল অবকলন সহগ অপেক্ষক দুটির অবকল সহগ দুটির যোগফল বা বিয়োগফলের সঙ্গে সমান। 

অর্থাৎ u(x) এবং v(x) দুটি দুটি অন্তরকলনযোগ্য অপেক্ষক হলে , 

[tex]\frac{d}{{dx}}\left[ {u\left( x \right) \pm v\left( x \right)} \right] = \frac{d}{{dx}}\left[ {u\left( x \right)} \right] \pm \frac{d}{{dx}}\left[ {v\left( x \right)} \right][/tex]

প্রমাণ :- মনে করি [tex]f\left( x \right) = u\left( x \right) + v\left( x \right)[/tex]

অন্তরকলজের সংজ্ঞা থেকে পাই 

[tex]\begin{array}{l}
f'\left( x \right)\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{[u\left( {x + h} \right) + v\left( {x + h} \right)] - \left[ {u\left( x \right) + v\left( x \right)} \right]}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left[ {u\left( {x + h} \right) - u\left( x \right)} \right] + \left[ {v\left( {x + h} \right) - v\left( x \right)} \right]}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left[ {\frac{{u\left( {x + h} \right) - u\left( x \right)}}{h} + \frac{{v\left( {x + h} \right) - v\left( x \right)}}{h}} \right]\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u\left( {x + h} \right) - u\left( x \right)}}{h} + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{v\left( {x + h} \right) - v\left( x \right)}}{h}\\
 = u'\left( x \right) + v'\left( x \right)\\
 \Rightarrow \frac{d}{{dx}}\left[ {u\left( x \right) + v\left( x \right)} \right] = \frac{{du}}{{dx}} + \frac{{dv}}{{dx}}
\end{array}[/tex]

অনুরূপে আমরা প্রমাণ করতে পারি

[tex] \Rightarrow \frac{d}{{dx}}\left[ {u\left( x \right) - v\left( x \right)} \right] = \frac{{du}}{{dx}} - \frac{{dv}}{{dx}}[/tex]

উপপাদ্য 3 সাধারণভাবে সত্য , অর্থাৎ 

[tex]\begin{array}{l}
\frac{d}{{dx}}\left[ {{u_1}\left( x \right) \pm {u_2}\left( x \right) \pm {u_3}\left( x \right) \pm ............} \right]\\
 = \frac{{d{u_1}}}{{dx}} \pm \frac{{d{u_2}}}{{dx}} \pm \frac{{d{u_3}}}{{dx}} \pm ..........
\end{array}[/tex]

যেখানে [tex]{u_1}\left( x \right),{u_2}\left( x \right),{u_3}\left( x \right),.............[/tex] হল অন্তরকলনযোগ্য অপেক্ষক। 

উপপাদ্য 4. x এর দুটি অন্তরকলনযোগ্য দুটি অপেক্ষকের গুণফলের অবকল সহগ = প্রথম অপেক্ষক [tex] \times [/tex] দ্বিতীয় অপেক্ষকের সহগ + দ্বিতীয় অপেক্ষক [tex] \times [/tex] প্রথম অপেক্ষকের সহগ 

অর্থাৎ u(x) এবং v(x) দুটি অন্তরকলযোগ্য অপেক্ষক হলে 

[tex]\frac{d}{{dx}}\left( {uv} \right) = u\frac{{dv}}{{dx}} + v\frac{{du}}{{dx}}[/tex]

প্রমাণ :- মনে করি [tex]f\left( x \right) = u\left( x \right) \cdot v\left( x \right)[/tex]

অন্তরকলজের সংজ্ঞা থেকে পাই 

[tex]\begin{array}{l}
f'\left( x \right)\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u\left( {x + h} \right) \cdot v\left( {x + h} \right) - u\left( x \right) \cdot v\left( x \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u\left( {x + h} \right) \cdot v\left( {x + h} \right) - u\left( {x + h} \right) \cdot v\left( x \right) + u\left( {x + h} \right) \cdot v\left( x \right) - u\left( x \right) \cdot v\left( x \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u\left( {x + h} \right)\left[ {v\left( {x + h} \right) - v\left( x \right)} \right] + v\left( x \right)\left[ {u\left( {x + h} \right) - u\left( x \right)} \right]}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} u\left( {x + h} \right) \cdot \frac{{v\left( {x + h} \right) - v\left( x \right)}}{h} + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} v\left( x \right) \cdot \frac{{u\left( {x + h} \right) - u\left( x \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} u\left( {x + h} \right) \cdot \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{v\left( {x + h} \right) - v\left( x \right)}}{h} + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} v\left( x \right) \cdot \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u\left( {x + h} \right) - u\left( x \right)}}{h}\\
 = u\left( {x + 0} \right) \cdot v'\left( x \right) + v\left( x \right) \cdot u'\left( x \right)\\
 = u\left( x \right) \cdot v'\left( x \right) + v\left( x \right) \cdot u'\left( x \right)\\
 \Rightarrow \frac{d}{{dx}}\left( {uv} \right) = u\frac{{dv}}{{dx}} + v\frac{{du}}{{dx}}
\end{array}[/tex]

উপপাদ্য 5. x এর দুটি অন্তরকলনযোগ্য দুটি  ভাগফল অপেক্ষকের অবকল সহগ  

= [ ( হরের অপেক্ষক [tex] \times [/tex] লবের অপেক্ষকের অন্তরকলজ ) - ( লবের অপেক্ষক [tex] \times [/tex] হরের অপেক্ষকের অন্তরকলজ ) ] [tex] \div [/tex] ( হরের অপেক্ষকের বর্গ )

অর্থাৎ u(x) এবং v(x) যদি x এর দুটি অন্তরকলযোগ্য অপেক্ষক হয় , তবে 

[tex]\frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}} \right] = \frac{{v\frac{{du}}{{dx}} - u\frac{{dv}}{{dx}}}}{{{v^2}}}[/tex]

প্রমাণ :- মনে করি [tex]f\left( x \right) = \frac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}[/tex]

অন্তরকলজের সংজ্ঞা থেকে পাই 

[tex]\begin{array}{l}
f'\left( x \right)\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{{u\left( {x + h} \right)}}{{v\left( {x + h} \right)}} - \frac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u\left( {x + h} \right)v\left( x \right) - u\left( x \right)v\left( {x + h} \right)}}{{hv\left( {x + h} \right)v\left( x \right)}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u\left( {x + h} \right)v\left( x \right) - v\left( x \right)u\left( x \right) + v\left( x \right)u\left( x \right) - u\left( x \right)v\left( {x + h} \right)}}{{hv\left( {x + h} \right)v\left( x \right)}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{v\left( x \right)\left[ {u\left( {x + h} \right) - u\left( x \right)} \right] - u\left( x \right)\left[ {v\left( {x + h} \right) - v\left( x \right)} \right]}}{{hv\left( {x + h} \right)v\left( x \right)}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{v\left( x \right)}}{{v\left( {x + h} \right)v\left( x \right)}} \cdot \frac{{\left[ {u\left( {x + h} \right) - u\left( x \right)} \right]}}{h} - \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u\left( x \right)}}{{v\left( {x + h} \right)v\left( x \right)}} \cdot \frac{{\left[ {v\left( {x + h} \right) - v\left( x \right)} \right]}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{v\left( x \right)}}{{v\left( {x + h} \right)v\left( x \right)}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left[ {u\left( {x + h} \right) - u\left( x \right)} \right]}}{h} - \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{u\left( x \right)}}{{v\left( {x + h} \right)v\left( x \right)}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left[ {v\left( {x + h} \right) - v\left( x \right)} \right]}}{h}\\
 = \frac{{v\left( x \right)}}{{{{\left\{ {v\left( x \right)} \right\}}^2}}}u'\left( x \right) - \frac{{u\left( x \right)}}{{{{\left\{ {v\left( x \right)} \right\}}^2}}}v'\left( x \right)\\
 = \frac{{v\left( x \right)u'\left( x \right) - u\left( x \right)v'\left( x \right)}}{{{{\left\{ {v\left( x \right)} \right\}}^2}}}\\
 \Rightarrow \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{u}{v}} \right) = \frac{{v\frac{{du}}{{dx}} - u\frac{{dv}}{{dx}}}}{{{v^2}}}
\end{array}[/tex]

 

সংক্ষিপ্তকরণ ( Summarisation )

১. x চলের বৃদ্ধি = [tex]\Delta x[/tex] বা h = অন্তিম মান - প্রারম্ভিক মান।

২. y = f(x) হল একটি x এর একমান বিশিষ্ট অপেক্ষক এবং x এর বৃদ্ধি [tex]\Delta x[/tex] এর জন্য y এর বৃদ্ধি  [tex]\Delta y[/tex] (বা k ) হয় তবে [tex]\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)[/tex] = f(x + h) - f(x) .

৩. x বিন্দুতে y = f(x) অপেক্ষকের x এর সাপেক্ষে অবকল সহগ হয় 

[tex]\frac{{dy}}{{dx}}[/tex] বা [tex]f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}[/tex]

৪. x = a বিন্দুতে y = f(x) অপেক্ষকের অন্তরকলজ বা অবকল সহগকে f ' (a) বা [tex]{\left[ {\frac{{dy}}{{dx}}} \right]_{x = a}}[/tex] প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ , 

[tex]{\left[ {\frac{{dy}}{{dx}}} \right]_{x = a}}[/tex] বা f ' (a) = [tex]\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}[/tex] 

৫. 

• [tex]\mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}[/tex] সীমাকে বলা হয় x = a বিন্দুতে y = f(x) অপেক্ষকের ডানপক্ষের অন্তরকলজ ( right hand derivatives ) এবং সেটি Rf ' (a) বা f ' (a +) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
• [tex]\mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}[/tex] বলা হয় x = a বিন্দুতে y = f(x) অপেক্ষকের বামপক্ষের অন্তরকলজ ( left hand derivatives )  এবং সেটি Lf ' (a) বা f ' (a -) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

• x = a বিন্দুতে f(x) এর অবকল সহগ নির্ণয় করা যাবে যদি  Rf ' (a) বা f ' (a +) এবং Lf ' (a) বা f ' (a -) এর অস্তিত্ব থাকে এবং  Rf ' (a) বা f ' (a +) = Lf ' (a) বা f ' (a -) . অর্থাৎ 

  [tex]\mathop {\lim }\limits_{h \to 0 + } \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0 - } \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}[/tex]

৬. n যেকোনো মূলদ সংখ্যা হলে [tex]\frac{d}{{dx}}\left( {{x^n}} \right) = n{x^{n - 1}}[/tex]

৭.  [tex]\frac{d}{{dx}}\left( {{e^x}} \right) = {e^x}[/tex]

৮.  [tex]\frac{d}{{dx}}\left( {{a^x}} \right) = {a^x}{\log _e}a[/tex]

৯. [tex]\frac{d}{{dx}}\left( {\log x} \right) = \frac{1}{x}[/tex]

১০. [tex]\frac{d}{{dx}}\left( {\sin x} \right) = \cos x[/tex]

১১. [tex]\frac{d}{{dx}}\left( {\cos x} \right) =  - \sin x[/tex]

১২. [tex]\frac{d}{{dx}}\left( {\tan x} \right) = {\sec ^2}x[/tex]

১৩. [tex]\frac{d}{{dx}}\left( {\cot x} \right) =  - \cos e{c^2}x[/tex]

১৪. [tex]\frac{d}{{dx}}\left( {\sec x} \right) = \sec x\tan x[/tex]

১৫. [tex]\frac{d}{{dx}}\left( {\cos ecx} \right) =  - \cos ecx\cot x[/tex]

১৬. [tex]\frac{d}{{dx}}\left( {{{\sin }^{ - 1}}x} \right) = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}[/tex]

১৭. [tex]\frac{d}{{dx}}\left( {{{\cos }^{ - 1}}x} \right) =  - \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}[/tex]

১৮. [tex]\frac{d}{{dx}}\left( {{{\tan }^{ - 1}}x} \right) = \frac{1}{{1 + {x^2}}}[/tex]

১৯. [tex]\frac{d}{{dx}}\left( {{{\cot }^{ - 1}}x} \right) =  - \frac{1}{{1 + {x^2}}}[/tex]

২০. [tex]\frac{d}{{dx}}\left( {{{\sec }^{ - 1}}x} \right) = \frac{1}{{x\sqrt {{x^2} - 1} }}[/tex]

২১. [tex]\frac{d}{{dx}}\left( {\cos e{c^{ - 1}}x} \right) =  - \frac{1}{{x\sqrt {{x^2} - 1} }}[/tex]

২২. c একটি ধ্রূবক হলে [tex]\frac{d}{{dx}}\left( {\mathop{\rm c}\nolimits}  \right) = 0[/tex]

২৩. c একটি ধ্রূবক হলে [tex]\frac{d}{{dx}}\left[ {c \cdot f\left( x \right)} \right] = c \cdot \frac{d}{{dx}}\left[ {f\left( x \right)} \right][/tex]

২৪.  [tex]{u_1}\left( x \right),{u_2}\left( x \right),{u_3}\left( x \right),.............[/tex] অন্তরকলনযোগ্য অপেক্ষক হলে। 

[tex]\begin{array}{l}
\frac{d}{{dx}}\left[ {{u_1}\left( x \right) \pm {u_2}\left( x \right) \pm {u_3}\left( x \right) \pm ............} \right]\\
 = \frac{{d{u_1}}}{{dx}} \pm \frac{{d{u_2}}}{{dx}} \pm \frac{{d{u_3}}}{{dx}} \pm ..........
\end{array}[/tex]

২৫. [tex]\frac{d}{{dx}}\left[ {u \cdot v} \right] = u\frac{{dv}}{{dx}} + v\frac{{du}}{{dx}}[/tex]

২৬. [tex]\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{u}{v}} \right) = \frac{{v\frac{{du}}{{dx}} - u\frac{{dv}}{{dx}}}}{{{v^2}}}[/tex]

২৭. [tex]\frac{{dy}}{{dx}} \cdot \frac{{dx}}{{dy}} = 1 \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{{\frac{{dx}}{{dy}}}}[/tex]

যেখানে [tex]\frac{{dy}}{{dx}} \ne 0[/tex] এবং [tex]\frac{{dx}}{{dy}} \ne 0[/tex]