পরিমাপ সংক্রান্ত গাণিতিক উদাহরণ

Submitted by arpita pramanik on Mon, 03/26/2018 - 23:28

পরিমাপ সংক্রান্ত গাণিতিক উদাহরণ (Mathematical Example) :

1.  D1 ও D2 ঘনত্বের দুটি পদার্থকে সমভরে মেশানো হলে মিশ্রণের ঘনত্ব কত হবে ?

ধরা যাক, মিশ্রিত পদার্থ দুটির প্রতিটির ভর m ।

এতএব, মিশ্রণে পদার্থ দুটির আয়তন [tex]\frac{m}{{{D_1}}}[/tex] ও [tex]\frac{m}{{{D_2}}}[/tex] । 

এতএব, এই দুটি পদার্থের মিশ্রণের আয়তন = [tex]\frac{m}{{{D_1}}} + \frac{m}{{{D_2}}} = m\left( {\frac{{{D_1} + {D_2}}}{{{D_1}{D_2}}}} \right)[/tex]

এবং মিশ্রণের ভর = [tex]m + m = 2m[/tex]

এতএব মিশ্রণের ঘনত্ব = ভর / আয়তন = [tex]\frac{{2m}}{{m\left( {\frac{{{D_1} + {D_2}}}{{{D_1}{D_2}}}} \right)}} = \frac{{2{D_1}{D_2}}}{{2{D_1} + {D_2}}}[/tex]

 

2. দুটি তরলের ঘনত্ব যথাক্রমে 1.2 g/cm3 ও 0.8 g/cm3 । তরল দুটিকে সমভরে মেশানো হলে মিশ্রণের ঘনত্ব কত হবে ?

ধরা যাক, উভয় তরলের m g নিয়ে মিশ্রণ তৈরি করা হয়েছে ।

প্রথম তরলের আয়তন = [tex]\frac{m}{{1.2}}c{m^3}[/tex]

দ্বিতীয় তরলের আয়তন = [tex]\frac{m}{{0.8}}c{m^3}[/tex]

[tex]\therefore[/tex] তরল দুটির মিশ্রণের আয়তন [tex](V) = \left( {\frac{m}{{1.2}} + \frac{m}{{0.8}}} \right)c{m^3}[/tex]

মিশ্রণের ভর [tex](M) = (m + m) = 2mg[/tex]

[tex]\therefore[/tex] মিশ্রণের ঘনত্ব [tex] d = \frac{M}{V} = \frac{{2m}}{{\frac{m}{{1.2}} + \frac{m}{{0.8}}}}[/tex]

বা, [tex]d = \frac{{2 \times 1.2 \times 0.8}}{{1.2 + 0.8}}g/c{m^3} = 0.96g/c{m^3}[/tex]

 

3. 4°C তাপমাত্রায় 40 g জলে একটি পাত্র সম্পূর্ণ ভরতি হয় । ওই পাত্রটিতে 32 g কেরোসিন ধরলে কেরোসিনের ঘনত্ব কত ?

4°C তাপমাত্রায় 1 g জলের আয়তন 1 cm3 । সুতরাং ওই তাপমাত্রায় 40 g জলের আয়তন 40cm3  ।     

প্রশ্নানুসারে পাত্রটির আয়তন 40 cm3

অর্থাৎ 32 g কেরোসিনের আয়তন 40 cm3

সুতরাং কেরোসিনের ঘনত্ব = ভর /আয়তন = [tex]\frac{{32}}{{40}} = \frac{4}{5} = 0.8g/c{m^3}[/tex]

 

4. একটি মাপনী চোঙে 60 cm3 জল আছে । একটি কর্ক ও পেরেককে একসাথে বেঁধে ওই চোঙের জলে ডোবালে কর্ক ও পেরেক সমেত জলের আয়তন 80 cm3 । শুধু পেরেকটিকে ওই চোঙের জলে ডোবালে পেরেক সমেত জলের আয়তন হয় 66 cm3 । কর্কের ভর 7g হলে ঘনত্ব কত ?

প্রদত্ত, কর্ক + পেরেক + জলের আয়তন = 80 cm3 

এবং পেরেক + জলের আয়তন = 66 cm3 

এতএব শুধু কর্কের আয়তন = 80 - 66 = 14 cm3

যেহেতু কর্কের ভর 7g,

এতএব কর্কের ঘনত্ব = ভর / আয়তন = [tex]\frac{7}{{14}} = 0.5g/c{m^3}[/tex]  

 

5. CGS পদ্ধতিতে পারদের ঘনত্ব 13.6 g/cm3 হলে SI তে পারদের ঘনত্ব কত ? 

CGS পদ্ধতিতে পারদের ঘনত্ব d = 13.6 g/cm3 আবার 1 g/cm3 = 1000 kg/m3 

[tex]\therefore[/tex] SI তে পারদের ঘনত্ব = 13.6 x 1000 kg/m3 = 13600 kg/m3

 

6. একটি জলের ট্যাংকের দৈর্ঘ্য 1.2 m, প্রস্থ 1 m ও উচ্চতা 0.8 m । ট্যাংকের জলের আয়তন কত লিটার ?

ট্যাংকের জলের আয়তন = 1.2 m x 1 m x 0.8 m

= 0.96 m3 = 0.96 x 1000 L = 960 L 

 

7.  লোহার তৈরি একটি নিরেট গোলকের ব্যাস 21 m । লোহার ঘনত্ব 7.8 g/cm3 হলে গোলকের ভর কত ?

প্রশ্নানুযায়ী গোলকের ব্যাস = 21 cm

[tex]\therefore[/tex] গোলকটির ব্যাসার্ধ [tex]r = \frac {{21}}{2}cm[/tex];

লোহার ঘনত্ব d = 7.8 g/cm3

[tex]\therefore[/tex] গোলকের আয়তন [tex]V = \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{4}{3} \times \frac{{22}}{7} \times {\left( {\frac{{21}}{2}} \right)^3} = 4851[/tex] cm3 

[tex]\therefore[/tex] লোহার গোলকটির ভর [tex]m = d \times V = 7.8g/c{m^3} \times 4851c{m^3} = 37837.8g = 37.84kg[/tex] (approximate)

 

8. দুটি তরলের ঘনত্ব যথাক্রমে 1.2 g/cm3 ও 1.5 g/cm3 । তরল দুটিকে সম-আয়তনে মেশানো হলে মিশ্রণের ঘনত্ব কত হবে ?

ধরা যাক, উভয় তরলের V cm3 আয়তন নিয়ে মিশ্রণ তৈরি করা হয়েছে ।

প্রথম তরলের ভর = প্রথম তরলের ভর x তরলটির আয়তন = 1.2 V g

দ্বিতীয় তরলের ভর = দ্বিতীয় তরলের ভর x তরলটির আয়তন = 1.5 V g

[tex]\therefore[/tex] তরল দুটির মিশ্রণের ভর [tex]m = (1.2V + 1.5V)g = 2.7Vg[/tex]

মিশ্রণের আয়তন [tex]{V_1} = (V + V)c{m^3} = 2Vc{m^3}[/tex]

[tex]\therefore[/tex] মিশ্রণের ঘনত্ব [tex]\frac{m}{{{V_1}}} = \frac{{2.7Vg}}{{2Vc{m^3}}} = 1.35g/c{m^3}[/tex]

*****

Comments

Related Items

ভৌতরাশির দৈর্ঘ্য পরিমাপে সাধারণ রৈখিক স্কেলের ব্যবহার

দৈর্ঘ্য পরিমাপের জন্য ব্যবহৃত যন্ত্রকে রৈখিক স্কেল বলা হয় । স্কেল সাধারণত প্লাস্টিক, কাঠ বা ধাতুর তৈরি হয় এবং এর দৈর্ঘ্য বরাবর একধারে মিলিমিটার ও সেন্টিমিটারে এবং ওপর ধারে ইঞ্চি ও তার ভগ্নাংশে দাগ কাটা থাকে ।

মাত্রা (Dimensions)

কোনো ভৌতরাশিতে (Physical quantities) গুণ বা ভাগের মাধ্যমে উপস্থিত বিভিন্ন মৌলিক রাশিগুলির চিহ্নের উপযুক্ত ঘাত সমন্বিত সাংকেতিক রাশিমালাকে ওই ভৌতরাশির মাত্রা (Dimensions) বলে ।

বিভিন্ন মাপের একক

আমাদের সহজে বোধগম্য হওয়ার জন্য বা সহজে বুঝতে পারার জন্য, ক্ষুদ্র অনুজীব থেকে বৃহৎ জীব, ছোটো থেকে বড়ো বিভিন্ন জাগতিক বস্তুর পরিমাপের জন্য বিভিন্ন ক্ষেত্রে বিভিন্ন মানের একক আমরা ব্যবহার করে থাকি ।

এককের বিভিন্ন পদ্ধতি

বর্তমানে প্রধানত দুটি পদ্ধতিতে সকল ভৌতরাশির একক প্রকাশ করা হয়ে থাকে । সেন্টিমিটার গ্রাম সেকেন্ড বা cgs পদ্ধতি , আন্তর্জাতিক পদ্ধতি বা SI পদ্ধতি, মৌলিক এবং লব্ধ একক, মৌলিক একক বা প্রাথমিক একক , ঘনমিটার ও ঘন সেন্টিমিটারের মধ্যে সম্পর্ক ...

পরিমাপ ও একক

যে সমস্ত প্রাকৃতিক বিষয়কে বা ঘটনা সম্পর্কিত যা কিছুকে প্রত্যক্ষ বা পরোক্ষভাবে পরিমাপ করা যায় তাদেরকেই ভৌতরাশি বা প্রাকৃতিক রাশি বলা হয় । যেমন – ঘরের দৈর্ঘ্য স্কেল বা ফিতে দিয়ে আমরা পরিমাপ করতে পারি, বাড়ি থেকে স্কুলে আসতে যে সময় লাগে তা ঘড়ি দিয়ে আমরা পরিমাপ ...