উদাহরণ ১১৷ দেখাও যে [tex]a\left( {b - c} \right){x^2} + b\left( {c - a} \right)x + c\left( {a - b} \right) = 0[/tex] সমীকরণের বীজ দুটি সমান হলে [tex]\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}[/tex] সামান্তর প্রগতিতে থাকবে। [H.S ‘96]
সমাধানঃ
মনে করি
[tex]\begin{array}{l}
p = a\left( {b - c} \right),q = b\left( {c - a} \right),r = c\left( {a - b} \right)\\
p + q + r = a\left( {b - c} \right) + b\left( {c - a} \right) + c\left( {a - b} \right)\\
\Rightarrow p + q + r = ab - ac + bc - ab + ca - cb\\
\Rightarrow p + q + r = 0\\
\Rightarrow p + r = - q \to \left( 1 \right)
\end{array}[/tex]
নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে
[tex]p{x^2} + qx + r = 0 \to \left( 2 \right)[/tex]
(2) নং সমীকরণের বীজ দুটি সমান হওয়ার শর্ত হল নিরূপকটির মান যদি শূন্য হয়।
অতএব
[tex]\begin{array}{l}
{q^2} - 4pr = 0\\
\Rightarrow {\{ - \left( {p + r} \right)\} ^2} - 4pr = 0\left[ {by\left( 1 \right)} \right]\\
\Rightarrow {\left( {p + r} \right)^2} - 4pr = 0\\
\Rightarrow {\left( {p - r} \right)^2} = 0\\
\Rightarrow p = r\\
\Rightarrow a\left( {b - c} \right) = c\left( {a - b} \right)\\
\Rightarrow ab - ac = ac - bc\\
\Rightarrow ab + bc = 2ac\\
\Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}\left( {proved} \right)
\end{array}[/tex]
