Submitted by arpita pramanik on Wed, 02/16/2011 - 23:45

সীমা ( Limit )

সূচনা ( Introduction )

       আমরা জানি , শূন্য দ্বারা ভাগ গণিতে অসংজ্ঞাত ( undefined ) . এজন্য x = 1 বিন্দুতে [tex]f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}[/tex] অপেক্ষকের মান অনির্ণেয়। অন্যভাবে বলা যায় x = 1 বিন্দুতে অপেক্ষকের মানের কোনো অস্তিত্ব থাকেনা। কিন্তু x এর মান 1 না হয়ে 1 এর খুব কাছাকাছি অর্থাৎ x = 0.99999999 বা x = 1.00000001 হলে অপক্ষকের সসীম মান পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ ,

[tex]f\left( {0.99999999} \right) = \frac{{{{\left( {0.99999999} \right)}^2} - 1}}{{0.99999999 - 1}} = 1.99999999[/tex]

আবার x = 1.00000001 হলে ,

[tex]f\left( {1.00000001} \right) = \frac{{{{\left( {1.00000001} \right)}^2} - 1}}{{1.00000001 - 1}} = 2.00000001[/tex]

    স্পষ্টত x এর মান 1 না হয়ে 1 এর খুব কাছাকাছি হলে f(x) এর মান 2 এর খুব নিকটবর্তী হয়। এই পর্যবেক্ষন থেকে গণিতবিদগণ সসীম ধারণার ( concept of limit ) অবতারণা করেন। বস্তুত সীমা নির্ধারণ এমন একটি প্রক্রিয়া যার মাধ্যমে অপেক্ষকের অসংজ্ঞাত বিন্দুর নিকটতর অঞ্চলে তার মানের অস্তিত সম্পর্কে মূল্যায়ন করা যায়। এই অধ্যায়ে চলের ও অপেক্ষকের  সীমা সম্মন্ধে আলোচনা করা হয়েছে।

 

চলের সীমা ( Limit of a Variable ) 

  মনে করি x একটি বাস্তব চল এবং a একটি বাস্তব ধ্রূবক। এখন [tex]a + 1,a + \frac{1}{2},a + \frac{1}{3},..........[/tex] অসীম ক্রম ( Infinite Sequence ) নেওয়া হল। যদি x  চল এই মানগুলো প্রদত্ত ক্রমে পরপর গ্রহণ করে এবং x এর গৃহীত মান ও a এর অন্তরের সাংখ্যমান ( numerical difference ) অর্থাৎ ।x - a। এর মান পূর্ব নির্দিষ্ট অতীব ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোকনা কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর করা যায় , তবে বলা যায় যে , x চল সর্বদা a অপেক্ষা বৃহত্তর থেকে ক্রমশ a এর দিকে অগ্রসর হচ্ছে। প্রতীকের সাহায্যে এটি [tex]x \to a + 0[/tex] বা [tex]x \to a + [/tex] আকারে প্রকাশ করা হয়। 

     আবার [tex]a - 1,a - \frac{1}{2},a - \frac{1}{3},..........[/tex] যদি অসীম ক্রম নেওয়া হয়।  যদি x  চল এই মানগুলো প্রদত্ত ক্রমে পরপর গ্রহণ করে এবং x এর গৃহীত মান ও a এর অন্তরের সাংখ্যমান ( numerical difference ) অর্থাৎ ।x - a। এর মান পূর্ব নির্দিষ্ট অতীব ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোকনা কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর করা যায় , তবে বলা যায় যে , x চল সর্বদা a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর থেকে ক্রমশ a এর দিকে অগ্রসর হচ্ছে। প্রতীকের সাহায্যে এটি [tex]x \to a - 0[/tex] বা [tex]x \to a - [/tex] আকারে প্রকাশ করা হয়। 

       সবশেষে , যদি x চল একদিক থেকে [tex]a + 1,a + \frac{1}{2},a + \frac{1}{3},..........[/tex] অসীম ক্রমের মানগুলো প্রদত্ত ক্রমে পরপর গ্রহণ করে এবং অপরদিক থেকে  [tex]a - 1,a - \frac{1}{2},a - \frac{1}{3},..........[/tex] অসীম ক্রমের মানগুলো প্রদত্ত ক্রমে পরপর গ্রহণ করে এবং x এর গৃহীত মান ও a এর অন্তরের সাংখ্যমান ( numerical difference ) অর্থাৎ ।x - a। এর মান পূর্ব নির্দিষ্ট অতীব ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোকনা কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর করা যায় , তবে বলা যায় যে , x চল সর্বদা a অপেক্ষা বৃহত্তর এবং অপরদিকে সর্বদা a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর  থেকে ক্রমশ a এর দিকে অগ্রসর হচ্ছে। এরূপ ক্ষেত্রে ,বলা হয় যে , x চলের সীমা a এবং প্রতীকের সাহায্যে এটি [tex]x \to a  [/tex] বা [tex]\lim x = a[/tex] আকারে প্রকাশ করা হয়। 

 

দ্রষ্টব্য 

(১) [tex]x \to a + 0[/tex] ( অথবা [tex]x \to a + [/tex] ) হলে ,

(i) x এর গৃহীত মানসমূহ x এর থেকে বৃহত্তর হবে। 

(ii) x এর গৃহীত মান ও a এর অন্তরের সাংখ্যমান ( numerical difference ) অর্থাৎ ।x - a। এর মান পূর্ব নির্দিষ্ট অতীব ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোকনা কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর হবে। 

(iii) x এর গৃহীত মান সাধারণত a এর সমান হয় না। 

(২) [tex]x \to a - 0[/tex] ( অথবা [tex]x \to a - [/tex] ) হলে ,

(i) x এর গৃহীত মানসমূহ x এর থেকে ক্ষুদ্রতর হবে। 

(ii) x এর গৃহীত মান ও a এর অন্তরের সাংখ্যমান ( numerical difference ) অর্থাৎ ।x - a। এর মান পূর্ব নির্দিষ্ট অতীব ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোকনা কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর হবে। 

(iii) x এর গৃহীত মান সাধারণত a এর সমান হয় না। 

(৩)  [tex]x \to a  [/tex] বা [tex]\lim x = a[/tex] হলে ,

(i) x এর গৃহীত মানসমূহ x এর থেকে বৃহত্তর বা ক্ষুদ্রতর হবে। 

(ii) x এর গৃহীত মান ও a এর অন্তরের সাংখ্যমান ( numerical difference ) অর্থাৎ ।x - a। এর মান পূর্ব নির্দিষ্ট অতীব ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোকনা কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর হবে। 

(iii) x এর গৃহীত মান সাধারণত a এর সমান হয় না। 

(৪) (i) [tex]x \to a  [/tex] কে x tends to a এই ভাবে পড়তে হয়। 

(ii) [tex]x \to a + 0[/tex] বা [tex]x \to a + [/tex] প্রতীকটিকে x ডানদিক থেকে a এর দিকে অগ্রসর হয় এইভাবে পড়তে হয়। 

(iii) [tex]x \to a - 0[/tex] বা [tex]x \to a - [/tex] প্রতীকটিকে x বামদিক থেকে a এর দিকে অগ্রসর হয় এইভাবে পড়তে হয়। 

 

অপেক্ষকের সীমাস্থ মান ( Limiting value of a function )

  মনে করি x একটি বাস্তব চল , a একটি বাস্তব ধ্রূবক এবং f(x) হল একটি একমান বিশিষ্ট অপেক্ষক। এখন x চল সর্বদা a অপেক্ষা বৃহত্তর মানসমূহ গ্রহণ করে সর্বদা a এর দিকে অগ্রসর হলে যদি প্রতিটি x এর মানের অনুরূপ f(x) এর মান পাওয়া যায় , এবং f(x) এর প্রাপ্ত মান একটি নির্দিষ্ট ধ্রূবক [tex]{l_1}[/tex] এর দিকে অগ্রসর হয় , তবে [tex]{l_1}[/tex] কে f(x) এর ডানপক্ষের সীমাস্থমান ( right hand limit ) বলা হবে। অন্যকথায় বলা যায় যখন [tex]x \to a + [/tex] তখন যদি [tex]{l_1}[/tex] ধ্রূবক পাওয়া যায় , যাতে f(x) এর প্রাপ্তমান ও [tex]{l_1}[/tex]  এর অন্তরের সংখ্যমান , অর্থাৎ [tex]\left| {f\left( x \right) - {l_1}} \right|[/tex] এর মান পূর্বনির্দিষ্ট ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোক না কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর হয় তখন [tex]{l_1}[/tex] কে f(x) অপেক্ষকের ডানদিকের সীমাস্থমান ( right hand limit ) বলে এবং তা [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } f\left( x \right) = {l_1}[/tex] বা [tex]f\left( {a + 0} \right) = {l_1}[/tex] প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 

   আবার x চল সর্বদা a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর মানসমূহ গ্রহণ করে সর্বদা a এর দিকে অগ্রসর হলে যদি প্রতিটি x এর মানের অনুরূপ f(x) এর মান পাওয়া যায় , এবং f(x) এর প্রাপ্ত মান একটি নির্দিষ্ট ধ্রূবক [tex]{l_2}[/tex] এর দিকে অগ্রসর হয় , তবে [tex]{l_2}[/tex] কে f(x) এর বামপক্ষের সীমাস্থমান (left hand limit ) বলা হবে। অন্যকথায় বলা যায় যখন [tex]x \to a - [/tex] তখন যদি [tex]{l_2}[/tex] ধ্রূবক পাওয়া যায় , যাতে f(x) এর প্রাপ্তমান ও [tex]{l_2}[/tex]  এর অন্তরের সংখ্যমান , অর্থাৎ [tex]\left| {f\left( x \right) - {l_2}} \right|[/tex] এর মান পূর্বনির্দিষ্ট ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোক না কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর হয় তখন [tex]{l_2}[/tex] কে f(x) অপেক্ষকের বামদিকের সীমাস্থমান ( left hand limit ) বলে এবং তা [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right) = {l_2}[/tex] বা [tex]f\left( {a - 0} \right) = {l_2}[/tex] প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 

   x চল সর্বদা a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর অথবা a অপেক্ষা বৃহত্তর মানসমূহ গ্রহণ করে সর্বদা a এর দিকে অগ্রসর হলে যদি প্রতিটি x এর মানের অনুরূপ f(x) এর মান পাওয়া যায় , এবং f(x) এর প্রাপ্ত মান একটি নির্দিষ্ট ধ্রূবক l এর দিকে অগ্রসর হয় , তবে l কে f(x) এর  সীমাস্থমান ( limiting value ) বলা হবে। অন্যকথায় বলা যায় যখন [tex]x \to a  [/tex] তখন যদি l ধ্রূবক পাওয়া যায় , যাতে f(x) এর প্রাপ্তমান ও l  এর অন্তরের সংখ্যমান , অর্থাৎ [tex]\left| {f\left( x \right) - l} \right|[/tex] এর মান পূর্বনির্দিষ্ট ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোক না কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর হয় তখন l কে f(x) অপেক্ষকের সীমাস্থমান ( limiting value ) বলে এবং তা [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = l[/tex] প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 

 

দ্রষ্টব্য 

(১) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a  } f\left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব আছে বলা হবে , যদি 

(i) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } f\left( x \right)[/tex] ও [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right)[/tex] উভয়ের অস্তিত্ব থাকে। 

(ii) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a  +} f\left( x \right)[/tex] = [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right)[/tex] হয়। 

(২) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a  } f\left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব থাকবে না , যদি 

(i) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } f\left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব না থাকে। 

(ii) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব না থাকে। 

(iii) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right)[/tex] হয়। 

(৩) এখানে অপেক্ষকের সীমার সংজ্ঞা স্বজ্ঞাত পদ্ধিতিতে দেওয়া হয়েছে। 

 

[tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a  } f\left( x \right)[/tex] এবং f(a) এর পার্থক্য [ Distinction between [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a  } f\left( x \right)[/tex] and f(a) ]

        [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a  } f\left( x \right)[/tex] প্রতীক দ্বারা f(x) অপেক্ষকের মান সূচিত হয় , যখন x চলের a অপেক্ষা বৃহত্তর বা ক্ষুদ্রতর মানসমূহ গ্রহণ করে ক্রমশ a এর দিকে অগ্রসর হয়। কিন্তু x এর মান a এর সমান হলে f(x) অপেক্ষকের মান কত হবে তা বিবেচনা করা হয় না। অন্যদিকে f(a) প্রতীক দ্বারা f(x) অপেক্ষকের মান সূচিত হয় , যখন x এর মান a এর সমান হয়। x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষকের সংজ্ঞা থেকে f(a) এর মান নির্ণয় করা হয়। 

     

 

(১) x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষক সংজ্ঞাত হলেও [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a  } f\left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব না থাকতেও পারে অনির্ণেয় হতে পারে। 

উদাহরণস্বরূপ মনে করি , [tex]f\left( x \right) = \sqrt {4 - x} [/tex] এবং [tex]x \to 4 + [/tex] . x চলের মান সর্বদা 4 অপেক্ষা বৃহত্তর রেখে ক্রমশ 4 এর দিকে অগ্রসর হলে প্রতিক্ষেত্রে f(x) এর অবাস্তব মান পাওয়া যায়। সুতরাং f(x) এর মান অবাস্তব যখন [tex]x \to 4 + [/tex] . আবার মনে করি , [tex]f\left( x \right) = \sqrt {4 - x} [/tex] এবং [tex]x \to 4 - [/tex] . x চলের মান সর্বদা 4 অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর রেখে ক্রমশ 4 এর দিকে অগ্রসর হলে , f(x) এর প্রাপ্তমান ক্রমশ শূন্য এর দিকে অগ্রসর হয়। অর্থাৎ  f(x) এর প্রাপ্তমান ও 0 এর অন্তরের সাংখ্যমান পূর্বনির্দিষ্ট ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোক না কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর করা যায় ; বা অন্যভাবে বলা যায় [tex]f\left( x \right) \to 0[/tex] যখন [tex]x \to 4 + [/tex] . অর্থাৎ [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 4 - } f\left( x \right) = 0[/tex] . x = 4 বিন্দুতে f(x) মান হবে 0 . সুতরাং দেখা যাচ্ছে  [tex]f\left( x \right) = \sqrt {4 - x} [/tex]  অপেক্ষকটির অস্তিত্ব [tex]x \to 4  [/tex] না থাকলেও f(x) এর মান কিন্তু x = 4 বিন্দুতে আছে। 

 

(২) x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষক অসংজ্ঞাত হলেও [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a  } f\left( x \right)[/tex] অস্তিত্ব থাকতে পারে। 

উদাহরণস্বরূপ মনে করি [tex]f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}[/tex] . এই অপেক্ষকের মানের অস্তিত্ব আছে কিনা তা নির্ণয়ের জন্য x চলের মান 2 অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর ও বৃহত্তর রেখে 2 এর দিকে অগ্রসর হলে x ও f(x) এর মানসমূহের নিম্নলিখিত তালিকা তৈরী করা হল। 

x 1.9 1.99 1.999 1.9999 2.1 2.01 2.001 2.0001
f(x) 3.9 3.99 3.999 3.9999 4.1 4.01 4.001 4.0001

তালিকা থেকে বোঝাযাচ্ছে x এর মান 2 এর দিকে ক্রমশ অগ্রসর হলে f(x) এর মান 4 এর দিকে অগ্রসর হয়। সুতরাং যখন [tex]x \to 2[/tex] তখন [tex]f\left( x \right) \to 4[/tex] অথবা [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 4[/tex] . কিন্তু x = 2 বিন্দুতে f(x) অপেক্ষক অনির্ণেয় বা অসংজ্ঞাত।  

 

(৩) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a  } f\left( x \right)[/tex] ও f(a) উভয়ের মানের অস্তিত্ব থাকতে পারে কিন্তু সমান নাও হতে পারে। 

উদাহরণস্বরূপ মনে করি [tex]f\left( x \right) = 1[/tex] যখন [tex]x \ne 0[/tex] এবং [tex]f\left( x \right) = 0[/tex] যখন [tex]x = 0[/tex] . এখন [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব নির্ণয় করতে হবে। 

[tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব আছে কিনা তা নির্ণয়ের জন্য x চলের মান শূন্য অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বা বৃহত্তর রেখে x ও f(x) এর মানসমূহের নিম্নলখিত তালিকা তৈরী করা হল। 

x 0.1 0.01 0.001 -0.1 -0.01 -0.001
f(x)  1 1 1 1 1 1

উপরের তালিকা থেকে দেখা যাচ্ছে x এর মান 0 এর দিকে ক্রমশ অগ্রসর হলে f(x) এর মান প্রতি ক্ষেত্রে 1 হয়  অর্থাৎ যখন [tex]x \to 0[/tex] তখন [tex]f\left( x \right) \to 1[/tex] . অতএব [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 1[/tex] . প্রদত্ত সংজ্ঞা থেকে পাই f(0) = 0 . আবার  [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 1[/tex] . অতএব [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) \ne f\left( 0 \right)[/tex] .

(৪) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a  } f\left( x \right)[/tex] ও f(a)  উভয়ের মানের অস্তিত্ব থাকতে পারে আবার সমান হতে পারে।

(৫) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a  } f\left( x \right)[/tex] ও f(a) উভয়ের মানের অস্তিত্ব নাও থাকতে পারে। 

 

অপেক্ষকের সীমার বৈশ্লেষিক ধারণা ( Analytical concept of limit of a Function )

   মনে করি x একটি বাস্তব চল , a একটি বাস্তব ধ্রূবক এবং f(x) হল একটি একমান বিশিষ্ট অপেক্ষক। গাণিতিক ভাবে , [tex]x \to a[/tex] হলে f(x) অপেক্ষকের সীমাস্থ মানকে l বলা হবে অর্থাৎ [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = l[/tex] . যদি যেকোনো প্রদত্ত ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা [tex]\varepsilon [/tex] এর ( যতই ক্ষুদ্র হোক না কেন ) জন্য এমন একটি ধনাত্মক সংখ্যা [tex]\delta [/tex] নির্ণয় করা সম্ভব হয় ( যেখানে [tex]\delta [/tex] এর মান [tex]\varepsilon [/tex] এর মানের উপর নির্ভরশীল ) , যাতে 

[tex]\left| {f\left( x \right) - l} \right| < \varepsilon [/tex] যেখানে [tex]0 < \left| {x - a} \right| < \delta [/tex] . 

এই অপেক্ষকের সীমার বৈশ্লেষিক ধারণাকে অনেক সময় সীমার মান নির্ণয়ে [tex]\left( {\delta ,\varepsilon } \right)[/tex] পদ্ধতি বলা হয়।

 

উদাহরণ 1.  [tex]\left( {\delta ,\varepsilon } \right)[/tex] সংজ্ঞার সাহায্যে প্রমাণ করো যে , [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2{x^2} - 18}}{{x - 3}} = 12[/tex] এবং [tex]\delta [/tex] এর মান নির্ণয় করো , যখন [tex]\varepsilon  = 0.01[/tex] .

সমাধান :-  মনে করি [tex]f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 18}}{{x - 3}}[/tex] .

অতএব 

[tex]\begin{array}{l}
f\left( x \right) - 12\\
 = \frac{{2{x^2} - 18}}{{x - 3}} - 12\\
 = \frac{{2{x^2} - 18 - 12x + 36}}{{x - 3}}\\
 = \frac{{2{x^2} - 12x + 18}}{{x - 3}}\\
 = \frac{{2\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)}}{{x - 3}}\\
 = \frac{{2{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{\left( {x - 3} \right)}}\\
 = 2\left( {x - 3} \right)
\end{array}[/tex]

এখন [tex]\varepsilon [/tex] একটি প্রদত্ত ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা হলে ,

[tex]\left| {f\left( x \right) - 12} \right| < \varepsilon [/tex] হবে , যখন [tex]0 < \left| {2\left( {x - 3} \right)} \right| < \varepsilon [/tex] .

বা , [tex]\left| {f\left( x \right) - 12} \right| < \varepsilon [/tex] হবে , যখন [tex]0 < \left| {x - 3} \right| < \delta [/tex] যেখানে [tex]\delta  = \frac{\varepsilon }{2}[/tex] . 

সুতরাং [tex]\left( {\delta ,\varepsilon } \right)[/tex] সংজ্ঞার সাহায্যে পাই ,

[tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 12 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2{x^2} - 18}}{{x - 3}} = 12[/tex] .

স্পষ্টতই [tex]\varepsilon  = 0.01[/tex] হলে [tex]\delta  = \frac{\varepsilon }{2} = \frac{{0.01}}{2} = 0.005[/tex] হবে।  

 

[tex]x \to  + \infty [/tex] এবং [tex]x \to  - \infty [/tex] এর অর্থ ( Meaning of [tex]x \to  + \infty [/tex] and [tex]x \to  - \infty [/tex] )

      যদি x চলরাশি সর্বদা ধনাত্মক মানসমূহ গ্রহণ করে সীমাহীনভাবে বৃদ্ধি পেতে থাকে , অর্থাৎ x এর গৃহীত মান আমাদের কল্পনায় আসা যেকোনো বৃহৎ ধনাত্মক মানের তুলনায় বৃহৎ হয় , তাহলে আমরা বলি যে x চল ধনাত্মক দিকে অসীমগামী এবং সেটি [tex]x \to  + \infty [/tex] প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 

    একইভাবে যদি x চলরাশি সর্বদা ঋণাত্মক মানসমূহ গ্রহণ করে সাংখ্যমানে সীমাহীনভাবে বৃদ্ধি পেতে থাকে , অর্থাৎ x এর গৃহীত মান আমাদের কল্পনায় আসা যেকোনো বৃহৎ ধনাত্মক সংখ্যা G হলে , যদি x এর গৃহীত মান (-G) অপেক্ষাও ক্ষুদ্র হয় , তাহলে আমরা বলি যে x চল ঋণাত্মক দিকে অসীমগামী এবং সেটি [tex]x \to  - \infty [/tex] প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 

 

[ [tex] + \infty , - \infty [/tex] দ্বারা কোনো সংখ্যা প্রকাশিত হয় না।  তারা শুধু প্রতীক মাত্র। x কর্তৃক গৃহীত ধনাত্মক মান অসীমের দিকে অগ্রসর হয় , তা বোঝানোর জন্য [tex] + \infty [/tex] এবং x কর্তৃক গৃহীত ঋণাত্মক মান সীমাহীনভাবে হ্রাস পায় তা বোঝানোর জন্য [tex] - \infty [/tex] ব্যবহার করা হয় ]

 

[tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty [/tex] এবং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) =  - \infty [/tex] এর অর্থ ( Meaning of [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty [/tex] and [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) =  - \infty [/tex] )

       মনে করি x একটি বাস্তব চল , a একটি বাস্তব ধ্রূবক এবং f(x) হল একটি একমান বিশিষ্ট অপেক্ষক। x চল a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বা a অপেক্ষা বৃহত্তর মানসমূহ গ্রহণ করে ক্রমশ a এর নিকট অগ্রসর হলে , যদি f(x) এর মানসমূহ ক্রমশ বৃহত্তর হতে থাকে এবং আমাদের কল্পনায় সম্ভব যেকোনো বৃহৎ ধনাত্মক সংখ্যা M অপেক্ষাও f(x) এর প্রাপ্তমান বৃহত্তর হয় , তবে আমরা বলি [tex]f\left( x \right) \to \infty [/tex] যখন [tex]x \to a[/tex] . সেটি [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty [/tex] প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 

    আবার , x চল a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বা a অপেক্ষা বৃহত্তর মানসমূহ গ্রহণ করে ক্রমশ a এর নিকট অগ্রসর হলে , যদি f(x) এর মানসমূহ সর্বদা ঋণাত্মক থেকে সাংখ্যমানে বৃহৎ থেকে ক্রমশ বৃহত্তর হতে থাকে এবং আমাদের কল্পনায় সম্ভব যেকোনো বৃহৎ ধনাত্মক সংখ্যা M হলে , যদি f(x) এর প্রাপ্তমান -M অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর হয় , তবে আমরা বলি যে [tex]f\left( x \right) \to  - \infty [/tex] যখন [tex]x \to a[/tex] . সেটি [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) =  - \infty [/tex] প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।  

 

উদাহরণ 2. দেখাও যে , [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \infty [/tex] .

সমাধান :- মনে করি [tex]f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}[/tex] .

x চলের মান 1 অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বা 1 অপেক্ষা বৃহত্তর রেখে 1 এর দিকে অগ্রসর হলে x ও f(x) এর যে মানসমূহ পাওয়া যায় তার একটি নিম্নলিখিত তালিকা এখানে তৈরি করা হল 

x 0.9 0.99 0.999 ... 1.1 1.01 1.001 ...
f(x) 100 10000 1000000 ... 100 10000 1000000 ...

উপরের তালিকার প্রথম অংশ থেকে সহজেই বোঝা যাচ্ছে x এর মান 1 অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর রেখে ক্রমশ 1 এর নিকট অগ্রসর হলে f(x) এর মান ক্রমশ বৃহত্তর হতে থাকে যা আমাদের কল্পনার আসা কোনো বৃহৎ ধনাত্মক সংখ্যা , তার থেকেও বৃহৎ হয়। অতএব [tex]x \to 1-[/tex] হলে [tex]f\left( x \right) \to \infty [/tex] হয়। সুতরাং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 - } f\left( x \right) = \infty [/tex] .

আবার উপরের তালিকার দ্বিতীয় অংশ থেকে সহজেই বোঝা যায় x এর মান 1 অপেক্ষা বৃহত্তর রেখে 1 এর নিকট অগ্রসর হলে f(x) এর মান ক্রমশ বৃহত্তর হতে থাকে যা আমাদের কল্পনার আসা কোনো বৃহৎ ধনাত্মক সংখ্যা , তার থেকেও বৃহৎ হয়। অতএব [tex]x \to 1+[/tex] হলে [tex]f\left( x \right) \to \infty [/tex] হয়। সুতরাং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 + } f\left( x \right) = \infty [/tex] .

স্পষ্টতই [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 - } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1 + } f\left( x \right) = \infty [/tex] .

অতএব [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \infty  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \infty [/tex]

 

উদাহরণ 3. [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}[/tex] এর মান নির্ণয় করো। 

সমাধান :- মনে করি [tex]f\left( x \right) = \frac{1}{x}[/tex] . 

x চলের মান 0 অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বা 0 অপেক্ষা বৃহত্তর রেখে 0 এর দিকে অগ্রসর হলে x ও f(x) এর যে মানসমূহ পাওয়া যায় তার একটি নিম্নলিখিত তালিকা এখানে তৈরি করা হল 

x 0.1 0.01 0.001 ... -0.1 -0.01 -0.001 ...
f(x) 10 100 1000 ... -10 -100 -1000 ...

উপরের তালিকার প্রথম অংশ থেকে সহজেই বোঝা যাচ্ছে x এর মান 0 অপেক্ষা বৃহত্তর রেখে ক্রমশ 0 এর নিকট অগ্রসর হলে f(x) এর মান ক্রমশ বৃহত্তর হতে থাকে যা আমাদের কল্পনার আসা কোনো বৃহৎ ধনাত্মক সংখ্যা , তার থেকেও বৃহৎ হয়। অতএব [tex]x \to 0+[/tex] হলে [tex]f\left( x \right) \to \infty [/tex] হয়। সুতরাং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } f\left( x \right) = \infty [/tex] .

আবার উপরের তালিকার দ্বিতীয় অংশ থেকে সহজেই বোঝা যায় x এর মান 0 অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর রেখে 0 এর নিকট অগ্রসর হলে f(x) এর মানসমূহ সর্বদা ঋণাত্মক থেকে সাংখ্যমানে বৃহৎ থেকে ক্রমশ বৃহত্তর হতে থাকে  যা আমাদের কল্পনার আসা কোনো বৃহৎ ধনাত্মক সংখ্যা , তার থেকেও বৃহৎ হয়। অতএব [tex]x \to 0-[/tex] হলে [tex]f\left( x \right) \to -\infty [/tex] হয়। সুতরাং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0- } f\left( x \right) = -\infty [/tex] .

স্পষ্টতই [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 - } f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } f\left( x \right)[/tex].

সুতরাং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}[/tex] এর মানের অস্তিত্ব নেই।

 

[tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = a[/tex] এবং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = b[/tex] এর অর্থ ( Meaning of [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = a[/tex] and [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = b[/tex] )

   x চল সর্বদা ধনাত্মক মানসমূহ গ্রহণ করে সীমাহীনভাবে বৃদ্ধি পেতে থাকলে যদি একটি নির্দিষ্ট সসীম রাশি a পাওয়া যায় , যাতে f(x) এর প্রাপ্ত মান  ও a এর অন্তরের সাংখ্যমান অর্থাৎ ।f(x) - a। এর মান যে কোনো ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা সে যতই ক্ষুদ্র হোক না কেন তা থেকেও ক্ষুদ্রতর হয় , তবে আমরা বলি যে যখন [tex]x \to \infty [/tex] তখন f(x) এর সীমাস্থ মান হবে l . সেটি [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = a[/tex] প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়। 

   আবার x চল সর্বদা ঋণাত্মক মানসমূহ গ্রহণ করে সাংখ্যমানে সীমাহীনভাবে বৃদ্ধি পেতে থাকলে যদি একটি নির্দিষ্ট সসীম রাশি b পাওয়া যায় , যাতে f(x) এর প্রাপ্ত মান  ও b এর অন্তরের সাংখ্যমান অর্থাৎ ।f(x) - b। এর মান যে কোনো ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা সে যতই ক্ষুদ্র হোক না কেন তা থেকেও ক্ষুদ্রতর হয় , তবে আমরা বলি যে যখন [tex]x \to  - \infty [/tex] তখন f(x) এর সীমাস্থ মান হবে l . সেটি [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = b[/tex] প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়। 

 

মৌলিক সীমা উপপাদ্যসমূহ ( Fundamental Limit Theorems )

  সীমা সংক্রান্ত প্রশ্নাবলীর সমাধানের জন্য প্রায় কয়েকটি উপপাদ্য ব্যবহৃত হয় , এদেরকে মৌলিক সীমা উপপাদ্য বলা হয়। 

উপপাদ্য ১. মনে করি x একটি বাস্তব চল , [tex]f\left( x \right)[/tex] ও [tex]\phi \left( x \right)[/tex] হল x এর দুটি একমান বিশিষ্ট অপেক্ষক , a , l , m তিনটি নির্দিষ্ট সসীম রাশি এবং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = l[/tex] ও [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right) = m[/tex] তাহলে ,

(i) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} cf\left( x \right) = c \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = cl[/tex] যেখানে c একটি সসীম ধ্রূবক। 

(ii) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) + \phi \left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right) = l + m[/tex]

(iii) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) - \phi \left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right) = l - m[/tex]

(iv) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) \times \phi \left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) \times \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right) = l \times m[/tex]

(v) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{\phi \left( x \right)}}} \right] = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right)}} = \frac{l}{m}[/tex] যেখানে [tex]m \ne 0[/tex] 

উপপাদ্য ২. [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = l[/tex] , [tex]\mathop {\lim }\limits_{y \to l} \phi \left( y \right) = \phi \left( l \right)[/tex] হলে [ যেখানে [tex]y = f\left( x \right)[/tex] এবং a , l ও [tex]\phi \left( l \right)[/tex] নির্দিষ্ট সসীম রাশি ] , [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left\{ {f\left( x \right)} \right\}[/tex] এর অস্তিত্ব থাকবে এবং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left\{ {f\left( x \right)} \right\} = \phi \left\{ {\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)} \right\} = \phi \left( l \right)[/tex] .

উপপাদ্য ৩. x = a এর নিকটতর অঞ্চলে ( কিন্তু [tex]x \ne a[/tex] ) [tex]f\left( x \right) \le \phi \left( x \right)[/tex] হলে , [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) \le \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right)[/tex] হবে। 

উপপাদ্য ৪. x = a এর নিকটতর অঞ্চলে ( কিন্তু [tex]x \ne a[/tex] ) [tex]f\left( x \right) \le \phi \left( x \right) \le \psi \left( x \right)[/tex] এবং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = l[/tex] এবং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \psi \left( x \right) = l[/tex] ( যেখানে a ও l নির্দিষ্ট সসীম রাশি ) , [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব থাকবে এবং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right) = l[/tex] হবে। 

 

উদাহরণ 4. দেখাও যে [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} - 3x + 5} \right) = 3[/tex]

সমাধান :- 

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} - 3x + 5} \right)\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x \times x - \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 3x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 5\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x - 3\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x + 5
\end{array}[/tex]

[ উপপাদ্য ১ এর সাহায্যে পাই ]

[tex]\begin{array}{l}
 = 2 \times 2 - 3 \times 2 + 5\\
 = 4 - 6 + 5\\
 = 3
\end{array}[/tex]

 

উদাহরণ 5. মান নির্ণয় করো [tex]\mathop {\lim }\limits_{y \to  - 1} \frac{{{y^2} - 3y + 6}}{{2{y^2} + 5y}}[/tex] .

সমাধান :- 

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{y \to  - 1} \frac{{{y^2} - 3y + 6}}{{2{y^2} + 5y}}\\
 = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{y \to  - 1} \left( {{y^2} - 3y + 6} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{y \to  - 1} \left( {2{y^2} + 5y} \right)}}
\end{array}[/tex]

[ উপপাদ্য ১ এর (v) এর সাহায্য নিয়ে পাই ]

[tex]\begin{array}{l}
 = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{y \to  - 1} {y^2} - \mathop {\lim }\limits_{y \to  - 1} 3y + \mathop {\lim }\limits_{y \to  - 1} 6}}{{\mathop {\lim }\limits_{y \to  - 1} 2{y^2} + \mathop {\lim }\limits_{y \to  - 1} 5y}}\\
 = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2} - 3\left( { - 1} \right) + 6}}{{2{{\left( { - 1} \right)}^2} + 5\left( { - 1} \right)}}\\
 = \frac{{1 + 3 + 6}}{{2 - 5}}\\
 = \frac{{10}}{{ - 3}} =  - \frac{{10}}{3}
\end{array}[/tex]

 

উদাহরণ 6. মান নির্ণয় করো [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \sin \left( {2{x^2} - x - 1} \right)[/tex] .

সমাধান :- 

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \sin \left( {2{x^2} - x - 1} \right)\\
 = \sin \left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2{x^2} - x - 1} \right)} \right]
\end{array}[/tex]

[ উপপাদ্য ২ এর সাহায্যে পাই ]

[tex]\begin{array}{l}
 = \sin \left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 2{x^2} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 1} \right]\\
 = \sin \left[ {2{{\left( 1 \right)}^2} - 1 - 1} \right]\\
 = \sin \left[ {2 - 2} \right]\\
 = \sin 0\\
 = 0
\end{array}[/tex]

 

উদাহরণ 7. দেখাও যে [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \sqrt {{x^3} + 3{x^2} - x + 3}  = 3[/tex]

সমাধান :- 

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \sqrt {{x^3} + 3{x^2} - x + 3} \\
 = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {{x^3} + 3{x^2} - x + 3} \right)} 
\end{array}[/tex]

[ উপপাদ্য ২ এর সাহায্যে পাই ]

[tex]\begin{array}{l}
 = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} {x^3} + \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} 3{x^2} - \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} 3} \\
 = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^3} + 3{{\left( { - 2} \right)}^2} - \left( { - 2} \right) + 3} \\
 = \sqrt { - 8 + 3 \times 4 + 2 + 3} \\
 = \sqrt { - 8 + 12 + 5} \\
 = \sqrt 9  = 3
\end{array}[/tex]

 

কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ সীমা ( Some important limits )

(A) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}} = n{a^{n - 1}}[/tex] , যেখানে n = যে কোনো মূলদ সংখ্যা। 

প্রমাণ :- প্রথমত , মনে করি , n = ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। তাহলে ,

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\left( {x - a} \right)\left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} \cdot a + {x^{n - 3}} \cdot {a^2} + ......... + x \cdot {a^{n - 2}} + {a^{n - 1}}} \right)}}{{\left( {x - a} \right)}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} \cdot a + {x^{n - 3}} \cdot {a^2} + ......... + x \cdot {a^{n - 2}} + {a^{n - 1}}} \right)\\
 = {a^{n - 1}} + {a^{n - 2}} \cdot a + {a^{n - 3}} \cdot {a^2} + ........ + a \cdot {a^{n - 2}} + {a^{n - 1}}\\
 = {a^{n - 1}} + {a^{n - 1}} + {a^{n - 1}} + ......... + {a^{n - 1}}\\
 = n{a^{n - 1}}
\end{array}[/tex]

দ্বিতীয়ত , মনে করি n = ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা = -m , যেখানে m হল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। তাহলে ,

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^{ - m}} - {a^{ - m}}}}{{x - a}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\frac{1}{{{x^m}}} - \frac{1}{{{a^m}}}}}{{x - a}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\frac{{ - \left( {{x^m} - {a^m}} \right)}}{{{{\left( {ax} \right)}^m}}}}}{{x - a}}\\
 =  - \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\left( {{x^m} - {a^m}} \right)}}{{\left( {x - a} \right)}} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{1}{{{{\left( {ax} \right)}^m}}}\\
 =  - \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {{x^{m - 1}} + {x^{m - 2}} \cdot a + {x^{m - 3}} \cdot {a^2} + ....... + x \cdot {a^{m - 2}} + {a^{m - 1}}} \right) \times \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{1}{{{{\left( {ax} \right)}^m}}}\\
 =  - \left( {{a^{m - 1}} + {a^{m - 2}} \cdot a + {a^{m - 3}} \cdot a + ...... + a \cdot {a^{m - 2}} + {a^{m - 1}}} \right) \times \frac{1}{{{{\left( {a \cdot a} \right)}^m}}}\\
 =  - \left( {{a^{m - 1}} + {a^{m - 1}} + ....... + {a^{m - 1}}} \right) \times \frac{1}{{{a^{2m}}}}\\
 =  - m{a^{m - 1}} \times \frac{1}{{{a^{2m}}}}\\
 =  - m{a^{m - 1 - 2m}}\\
 =  - m{a^{ - m - 1}}\\
 = n{a^{n - 1}}
\end{array}[/tex]

তৃতীয়ত , মনে করি , [tex]n = \frac{p}{q}[/tex] , যেখানে [tex]q \ne 0[/tex] ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং p ধনাত্মক বা ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা। 

আবার মনে করি [tex]{x^{\frac{1}{q}}} = y[/tex] এবং [tex]{a^{\frac{1}{q}}} = b[/tex] যেখানে y এবং b বাস্তব। 

[tex]\begin{array}{l}
x \to a\\
 \Rightarrow {y^q} \to {b^q}\\
 \Rightarrow y \to b
\end{array}[/tex]

অতএব যখন [tex]x \to a[/tex] তখন [tex]y \to b[/tex] .

এখন 

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}}\\
 = \frac{{{x^{\frac{p}{q}}} - {a^{\frac{p}{q}}}}}{{x - a}}\\
 = \frac{{{{\left( {{x^{\frac{1}{q}}}} \right)}^p} - {{\left( {{a^{\frac{1}{q}}}} \right)}^p}}}{{x - a}}\\
 = \frac{{{y^p} - {b^p}}}{{{y^q} - {b^q}}}\\
 = \frac{{\frac{{{y^p} - {b^p}}}{{y - b}}}}{{\frac{{{y^q} - {b^q}}}{{y - b}}}}
\end{array}[/tex]

অতএব 

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{y \to b} \frac{{\frac{{{y^p} - {b^p}}}{{y - b}}}}{{\frac{{{y^q} - {b^q}}}{{y - b}}}}\\
 = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{y \to b} \frac{{{y^p} - {b^p}}}{{y - b}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{y \to b} \frac{{{y^q} - {b^q}}}{{y - b}}}}\\
 = \frac{{p{b^{p - 1}}}}{{q{b^{q - 1}}}}\\
 = \frac{p}{q} \cdot {b^{p - 1 - q + 1}}\\
 = n{a^{\frac{{p - q}}{q}}}\\
 = n{a^{\frac{p}{q} - 1}}\\
 = n{a^{n - 1}}
\end{array}[/tex]

 

উদাহরণ 8. মান নির্ণয় করো [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{\frac{1}{2}}} - 1}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^{\frac{1}{3}}} - 1}}[/tex]    [H.S.  '90]

সমাধান :- মনে করি 1 + x = z , অতএব যখন [tex]x \to 0[/tex] তখন [tex]z \to 1[/tex] .

এখন 

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{\frac{1}{2}}} - 1}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^{\frac{1}{3}}} - 1}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \frac{{{z^{\frac{1}{2}}} - 1}}{{{z^{\frac{1}{3}}} - 1}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \frac{{{{\left( {{z^{\frac{1}{3}}}} \right)}^{\frac{3}{2}}} - {{\left( {{1^{\frac{1}{3}}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}{{{z^{\frac{1}{3}}} - 1}}\\
 = \frac{3}{2} \times {1^{\frac{3}{2} - 1}}\\
\left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}} = n{a^{n - 1}}} \right]\\
 = \frac{3}{2}
\end{array}[/tex]

(B) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1[/tex] , যেখানে x রেডিয়ানে মাপা হয়। 

 

উদাহরণ 9. মান নির্ণয় করো [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{{\mathop{\rm tanx}\nolimits} }^ \circ }}}{x}[/tex]

সমাধান :- আমরা জানি [tex]{180^ \circ } = \pi  \Rightarrow {x^ \circ } = \frac{{\pi x}}{{180}}[/tex] .

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{{\mathop{\rm tanx}\nolimits} }^ \circ }}}{x}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan \frac{{\pi x}}{{180}}}}{x}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin \frac{{\pi x}}{{180}}}}{{\cos \frac{{\pi x}}{{180}}}}}}{x}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \frac{{\pi x}}{{180}}}}{{x\cos \frac{{\pi x}}{{180}}}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \frac{{\pi x}}{{180}}}}{{\frac{{\pi x}}{{180}}}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{\pi }{{180}}}}{{\cos \frac{{\pi x}}{{180}}}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{\sin z}}{z} \cdot \frac{\pi }{{180}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sec \frac{{\pi x}}{{180}}
\end{array}[/tex]

[ যেখানে [tex]\frac{{\pi x}}{{180}} = z[/tex] যখন [tex]x \to 0[/tex] তখন [tex]z \to 0[/tex] .]

[tex]\begin{array}{l}
 = 1 \cdot \frac{\pi }{{180}}\sec \frac{{\pi  \times 0}}{{180}}\\
 = \frac{\pi }{{180}}
\end{array}[/tex]

(C) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^n} - 1}}{x} = n[/tex] , যেখানে n যে কোনো মূলদ রাশি। 

প্রমাণ :- আমরা (A) থেকে পাই [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}} = n{a^{n - 1}}[/tex]

এখন x = 1 + x এবং a = 1 বসিয়ে পাই 

[tex]\begin{array}{l}
x \to a\\
 \Rightarrow x + 1 \to 1\\
 \Rightarrow x \to 0
\end{array}[/tex]

অতএব যখন [tex]x \to a[/tex] তখন [tex]x \to 0[/tex]

এখন 

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}} = n{a^{n - 1}}\\
 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^n} - 1}}{{1 + x - 1}} = n{\left( 1 \right)^{n - 1}}\\
 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^n} - 1}}{x} = n
\end{array}[/tex]

(D) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1[/tex]

(E) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}{\log _e}\left( {1 + x} \right) = 1[/tex]

প্রমাণ :- মনে করি [tex]{\log _e}\left( {1 + x} \right) = z[/tex]

অতএব 

[tex]\begin{array}{l}
{e^z} = 1 + x\\
 \Rightarrow x = {e^z} - 1
\end{array}[/tex]

এখন 

[tex]\begin{array}{l}
x \to 0\\
 \Rightarrow {e^z} - 1 \to 0\\
 \Rightarrow {e^z} \to 1\\
 \Rightarrow z \to 0
\end{array}[/tex]

যখন [tex]x \to 0[/tex] তখন [tex]z \to 0[/tex] .

অতএব 

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}{\log _e}\left( {1 + x} \right)\\
 = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{1}{{{e^z} - 1}} \cdot z\\
 = \frac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{{e^z} - 1}}{z}}}\\
 = \frac{1}{1} = 1
\end{array}[/tex]

[ D এর সাহায্যে পাই ]

(F) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e[/tex]

প্রমাণ :- আমরা জানি 

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}{\log _e}\left( {1 + x} \right) = 1\\
 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\log _e}{\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = 1\\
 \Rightarrow {\log _e}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = 1\\
 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e
\end{array}[/tex]

(G) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} = e[/tex]

প্রমাণ :- 

আমরা জানি [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e[/tex] ( F এর সাহায্যে পাই )

এখন [tex]x = \frac{1}{y}[/tex] বসালে। যখন [tex]x \to 0[/tex] তখন [tex]y \to \infty [/tex] .

অতএব 

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e\\
 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{y \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{y}} \right)^y} = e
\end{array}[/tex]

(H) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - 1}}{x} = {\log _e}a[/tex]    ( a > 0 )

প্রমাণ :- [tex]{a^x} = {e^z}[/tex] হলে , 

[tex]\begin{array}{l}
{a^x} = {e^z}\\
 \Rightarrow {\log _e}{a^x} = {\log _e}{e^z}\\
 \Rightarrow x{\log _e}a = z
\end{array}[/tex]

যখন [tex]x \to 0[/tex] তখন [tex]z \to 0[/tex]

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - 1}}{x}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{{e^z} - 1}}{{\frac{z}{{{{\log }_e}a}}}}\\
 = {\log _e}a \cdot \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{{e^z} - 1}}{z}\\
 = {\log _e}a
\end{array}[/tex]

 

সংক্ষিপ্তকরণ ( Summarisation )

(১) [tex]x \to a[/tex] অর্থাৎ [tex]\lim x = a[/tex] হলে ,

(i) x চলের মান a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বা a অপেক্ষা বৃহত্তর হবে , কিন্তু x এর মান a এর সমান হবে না। 

(ii) x এর গৃহীত মান এবং a এর অন্তরের সাংখ্যমান , অর্থাৎ ।x - a। এর মান পূর্বনির্দিষ্ট ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা অপেক্ষা ক্ষুদ্র হবে। 

(২) [tex]x \to a + [/tex] বা [tex]x \to a + 0[/tex] হলে বুঝতে হবে x এর মান সর্বদা a অপেক্ষা বৃহত্তর মান গ্রহণ করে a এর নিকট অগ্রসর হবে , কিন্তু a এর সমান হবে না। 

(৩)  [tex]x \to a - [/tex] বা [tex]x \to a - 0[/tex] হলে বুঝতে হবে x এর মান সর্বদা a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর  গ্রহণ করে a এর নিকট অগ্রসর হবে , কিন্তু a এর সমান হবে না। 

(৪) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = l[/tex] এর অর্থ :- x চলের মান a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বা a অপেক্ষা বৃহত্তর মানসমূহ গ্রহণ করে ক্রমশ a এর নিকট অগ্রসর হলে f(x) এর যে মানসমূহ  পাওয়া যায় তা ক্রমশ l এর নিকট অগ্রসর হয়। যেখানে ল একটি নির্দিষ্ট ধ্রূবক। l কে f(x) অপেক্ষকের সীমাস্থ মান বলা হয় এবং f(x) ও l এর অন্তরের সাংখ্যমান অর্থাৎ । f(x) - l।  এর মান আমাদের পূর্বনির্দিষ্ট ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হবে। 

(৫) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } f\left( x \right)[/tex] কে f(x) অপেক্ষকের x = a বিন্দুতে ডানপক্ষের সীমা বলা হয়। 

(৬) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right)[/tex] কে f(x) অপেক্ষকের x = a বিন্দুতে বামপক্ষের সীমা বলা হয়। 

(৭) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a } f\left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব আছে বলা হবে যদি [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } f\left( x \right)[/tex] ও  [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right)[/tex] এর অস্তিত্ব থাকে এবং  [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } f\left( x \right)[/tex] = [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right)[/tex] .

(৮) মৌলিক সীমা উপপাদ্য 

(i)

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {{f_1}\left( x \right) \pm {f_2}\left( x \right) \pm {f_3}\left( x \right) \pm ......} \right]\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_1}\left( x \right) \pm \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_2}\left( x \right) \pm \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_3}\left( x \right) \pm ........
\end{array}[/tex]

(ii)

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {{f_1}\left( x \right) \cdot {f_2}\left( x \right) \cdot {f_3}\left( x \right) \cdot ......} \right]\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_1}\left( x \right) \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_2}\left( x \right) \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_3}\left( x \right) \cdot ........
\end{array}[/tex]

(iii) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{\phi \left( x \right)}}} \right] = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right)}}[/tex]      [[tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right) \ne 0[/tex]]

(iv) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left\{ {f\left( x \right)} \right\} = \phi \left\{ {\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)} \right\}[/tex]

(৯) 

(i) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}} = n{a^{n - 1}}[/tex]

(ii) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1[/tex]

(iii) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^n} - 1}}{x} = n[/tex] 

(iv) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1[/tex]

(v) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}{\log _e}\left( {1 + x} \right) = 1[/tex]

(vi) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e[/tex]

(vii) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} = e[/tex]

(viii) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - 1}}{x} = {\log _e}a[/tex]    ( a > 0 )

(১০) [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)[/tex] তে x - a = h বা , x = a + h বসিয়ে এটিতে [tex]\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f\left( a + h \right)[/tex] আকারে লেখা যায় , অর্থাৎ [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f\left( {a + h} \right)[/tex] .

(১১) যদি [tex]x \to 0[/tex] হলে , [tex]u \to 0[/tex] হয় এবং [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = l[/tex] হয় , তবে [tex]\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} f\left( u \right) = l[/tex] হবে। 

(১২) যদি [tex]x \to \infty [/tex] এবং [tex]z = \frac{1}{x}[/tex] হয় , তবে [tex]z \to 0 + [/tex] হবে। 

সুতরাং , [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0 + } f\left( {\frac{1}{z}} \right)[/tex] 

 

উদাহরণ 10. মান নির্ণয় করো [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + ax}  - \sqrt {1 - ax} }}{x}[/tex]     [H.S  '86]

সমাধান :- 

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + ax}  - \sqrt {1 - ax} }}{x}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {1 + ax}  - \sqrt {1 - ax} } \right)\left( {\sqrt {1 + ax}  + \sqrt {1 - ax} } \right)}}{{x\left( {\sqrt {1 + ax}  + \sqrt {1 - ax} } \right)}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {1 + ax} \right) - \left( {1 - ax} \right)}}{{x\left( {\sqrt {1 + ax}  + \sqrt {1 - ax} } \right)}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2ax}}{{x\left( {\sqrt {1 + ax}  + \sqrt {1 - ax} } \right)}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2a}}{{\left( {\sqrt {1 + ax}  + \sqrt {1 - ax} } \right)}}\\
 = \frac{{2a}}{{\sqrt {1 + a \cdot 0}  + \sqrt {1 - a \cdot 0} }}\\
 = \frac{{2a}}{2}\\
 = a
\end{array}[/tex]

 

উদাহরণ 11. [tex]f\left( x \right) = \frac{1}{x}[/tex] হলে , [tex]\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {1 + h} \right) - f\left( 1 \right)}}{h}[/tex] সীমার মান নির্ণয় করো। 

সমাধান :- যেহেতু [tex]f\left( x \right) = \frac{1}{x}[/tex] অতএব [tex]f\left( {1 + h} \right) = \frac{1}{{1 + h}}[/tex] এবং [tex]f\left( 1 \right) = \frac{1}{1} = 1[/tex] .

এখন 

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {1 + h} \right) - f\left( 1 \right)}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{1}{{1 + h}} - 1}}{h}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{1 - 1 - h}}{{h\left( {1 + h} \right)}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{ - h}}{{h\left( {1 + h} \right)}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{ - 1}}{{1 + h}}\\
 = \frac{{ - 1}}{{1 + 0}} =  - 1
\end{array}[/tex]

 

উদাহরণ 12. [tex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{3x}} - 1}}{{\log \left( {1 + 5x} \right)}}[/tex]   [H.S.  '96]

সমাধান :-

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{3x}} - 1}}{{\log \left( {1 + 5x} \right)}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{{e^{3x}} - 1}}{{3x}}}}{{\frac{{\log \left( {1 + 5x} \right)}}{{5x}}}} \times \frac{3}{5}\\
 = \frac{3}{5} \times \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{3x}} - 1}}{{3x}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{5x}}\log \left( {1 + 5x} \right)}}\\
 = \frac{3}{5} \times \frac{{\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{{e^u} - 1}}{u}}}{{\mathop {\lim }\limits_{v \to 0} \frac{1}{v}\log \left( {1 + v} \right)}}
\end{array}[/tex]

[ যেখানে 3x = u এবং 5x = v যখন [tex]x \to 0[/tex] তখন [tex]u \to 0[/tex] ও [tex]v \to 0[/tex] ]

[tex]\begin{array}{l}
 = \frac{3}{5} \times \frac{1}{1}\\
 = \frac{3}{5}
\end{array}[/tex]

 

 

 

Comments

Related Items

অন্তরকলনবিদ্যা ( Differential Calculus )

গণিতশাস্ত্রে একটি গুরুত্বপূর্ণ শাখা হল কলনবিদ্যা। গণিতের বিভিন্ন শাখার বিকাশে তথা বিজ্ঞানের বিভিন্ন জায়গায় কলনবিদ্যার প্রয়োগ আছে। ব্রিটিশ বিজ্ঞানী নিউটন ( Newton ) এবং জার্মান বিজ্ঞানী লাইবনিৎস ( Leibnitz ) উভয়কে কলনবিদ্যার ...

লগারিদম (Logarithm)

লগারিদমের সংজ্ঞা (Definition of Logarithm), লগারিদমের সাধারণ সূত্রাবলি (General laws of logarithm), সূত্রবলিরপ্রমাণ (Proof of laws), সংক্ষিপ্তকরণ (Summarisation)

বিন্যাস ও সমবায় ( Permutation and Combination )

কতগুলি প্রদত্ত বস্তুর মধ্যে থেকে কয়েকটি বা সবগুলি একসঙ্গে নিয়ে যতভাবে সাজানো যায়, তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি বিন্যাস (Permutation) বলে এবং কতগুলি প্রদত্ত বস্তু থেকে কয়েকটি বা সবগুলি একসঙ্গে নিয়ে যতগুলি বিভিন্ন দল বা নির্বাচন (Group or Selection) গঠন করা হয়, তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি সমবায় (Combination) বলে ।

দ্বিঘাত সমীকরণের তত্ত্ব (Theory of Quadratic Equation)

যে সমীকরণে অজ্ঞাত রাশির বৃহত্তম সূচকের মান দুই হলে তাকে দুই ঘাতবিশিষ্ট বা দ্বিঘাত সমীকরণ, বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য উপপাদ্য, ৩৷ কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের দুটির বেশি বীজ থাকতে পারেনা।

জটিল রাশি (Complex Number)

অনুবন্দী বা প্রতিযোগী জটিল রাশি (Conjugate Complex Number), জটিল রাশির মডিউলাস ও অ্যামপ্লিচিউড বা আরগুমেন্ট (Modulus and Amplitude or Argument of a Complex Number)