সীমা ( Limit )

সীমা ( Limit )

সূচনা ( Introduction )

       আমরা জানি , শূন্য দ্বারা ভাগ গণিতে অসংজ্ঞাত ( undefined ) . এজন্য x = 1 বিন্দুতে $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}$ অপেক্ষকের মান অনির্ণেয়। অন্যভাবে বলা যায় x = 1 বিন্দুতে অপেক্ষকের মানের কোনো অস্তিত্ব থাকেনা। কিন্তু x এর মান 1 না হয়ে 1 এর খুব কাছাকাছি অর্থাৎ x = 0.99999999 বা x = 1.00000001 হলে অপক্ষকের সসীম মান পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ ,

$f\left( {0.99999999} \right) = \frac{{{{\left( {0.99999999} \right)}^2} - 1}}{{0.99999999 - 1}} = 1.99999999$

আবার x = 1.00000001 হলে ,

$f\left( {1.00000001} \right) = \frac{{{{\left( {1.00000001} \right)}^2} - 1}}{{1.00000001 - 1}} = 2.00000001$

    স্পষ্টত x এর মান 1 না হয়ে 1 এর খুব কাছাকাছি হলে f(x) এর মান 2 এর খুব নিকটবর্তী হয়। এই পর্যবেক্ষন থেকে গণিতবিদগণ সসীম ধারণার ( concept of limit ) অবতারণা করেন। বস্তুত সীমা নির্ধারণ এমন একটি প্রক্রিয়া যার মাধ্যমে অপেক্ষকের অসংজ্ঞাত বিন্দুর নিকটতর অঞ্চলে তার মানের অস্তিত সম্পর্কে মূল্যায়ন করা যায়। এই অধ্যায়ে চলের ও অপেক্ষকের  সীমা সম্মন্ধে আলোচনা করা হয়েছে।

 

চলের সীমা ( Limit of a Variable ) 

  মনে করি x একটি বাস্তব চল এবং a একটি বাস্তব ধ্রূবক। এখন $a + 1,a + \frac{1}{2},a + \frac{1}{3},..........$ অসীম ক্রম ( Infinite Sequence ) নেওয়া হল। যদি x  চল এই মানগুলো প্রদত্ত ক্রমে পরপর গ্রহণ করে এবং x এর গৃহীত মান ও a এর অন্তরের সাংখ্যমান ( numerical difference ) অর্থাৎ ।x - a। এর মান পূর্ব নির্দিষ্ট অতীব ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোকনা কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর করা যায় , তবে বলা যায় যে , x চল সর্বদা a অপেক্ষা বৃহত্তর থেকে ক্রমশ a এর দিকে অগ্রসর হচ্ছে। প্রতীকের সাহায্যে এটি $x \to a + 0$ বা $x \to a +$ আকারে প্রকাশ করা হয়। 

     আবার $a - 1,a - \frac{1}{2},a - \frac{1}{3},..........$ যদি অসীম ক্রম নেওয়া হয়।  যদি x  চল এই মানগুলো প্রদত্ত ক্রমে পরপর গ্রহণ করে এবং x এর গৃহীত মান ও a এর অন্তরের সাংখ্যমান ( numerical difference ) অর্থাৎ ।x - a। এর মান পূর্ব নির্দিষ্ট অতীব ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোকনা কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর করা যায় , তবে বলা যায় যে , x চল সর্বদা a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর থেকে ক্রমশ a এর দিকে অগ্রসর হচ্ছে। প্রতীকের সাহায্যে এটি $x \to a - 0$ বা $x \to a -$ আকারে প্রকাশ করা হয়। 

       সবশেষে , যদি x চল একদিক থেকে $a + 1,a + \frac{1}{2},a + \frac{1}{3},..........$ অসীম ক্রমের মানগুলো প্রদত্ত ক্রমে পরপর গ্রহণ করে এবং অপরদিক থেকে  $a - 1,a - \frac{1}{2},a - \frac{1}{3},..........$ অসীম ক্রমের মানগুলো প্রদত্ত ক্রমে পরপর গ্রহণ করে এবং x এর গৃহীত মান ও a এর অন্তরের সাংখ্যমান ( numerical difference ) অর্থাৎ ।x - a। এর মান পূর্ব নির্দিষ্ট অতীব ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোকনা কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর করা যায় , তবে বলা যায় যে , x চল সর্বদা a অপেক্ষা বৃহত্তর এবং অপরদিকে সর্বদা a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর  থেকে ক্রমশ a এর দিকে অগ্রসর হচ্ছে। এরূপ ক্ষেত্রে ,বলা হয় যে , x চলের সীমা a এবং প্রতীকের সাহায্যে এটি $x \to a$ বা $\lim x = a$ আকারে প্রকাশ করা হয়। 

 

দ্রষ্টব্য 

(১) $x \to a + 0$ ( অথবা $x \to a +$ ) হলে ,

(i) x এর গৃহীত মানসমূহ x এর থেকে বৃহত্তর হবে। 

(ii) x এর গৃহীত মান ও a এর অন্তরের সাংখ্যমান ( numerical difference ) অর্থাৎ ।x - a। এর মান পূর্ব নির্দিষ্ট অতীব ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোকনা কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর হবে। 

(iii) x এর গৃহীত মান সাধারণত a এর সমান হয় না। 

(২) $x \to a - 0$ ( অথবা $x \to a -$ ) হলে ,

(i) x এর গৃহীত মানসমূহ x এর থেকে ক্ষুদ্রতর হবে। 

(ii) x এর গৃহীত মান ও a এর অন্তরের সাংখ্যমান ( numerical difference ) অর্থাৎ ।x - a। এর মান পূর্ব নির্দিষ্ট অতীব ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোকনা কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর হবে। 

(iii) x এর গৃহীত মান সাধারণত a এর সমান হয় না। 

(৩)  $x \to a$ বা $\lim x = a$ হলে ,

(i) x এর গৃহীত মানসমূহ x এর থেকে বৃহত্তর বা ক্ষুদ্রতর হবে। 

(ii) x এর গৃহীত মান ও a এর অন্তরের সাংখ্যমান ( numerical difference ) অর্থাৎ ।x - a। এর মান পূর্ব নির্দিষ্ট অতীব ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোকনা কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর হবে। 

(iii) x এর গৃহীত মান সাধারণত a এর সমান হয় না। 

(৪) (i) $x \to a$ কে x tends to a এই ভাবে পড়তে হয়। 

(ii) $x \to a + 0$ বা $x \to a +$ প্রতীকটিকে x ডানদিক থেকে a এর দিকে অগ্রসর হয় এইভাবে পড়তে হয়। 

(iii) $x \to a - 0$ বা $x \to a -$ প্রতীকটিকে x বামদিক থেকে a এর দিকে অগ্রসর হয় এইভাবে পড়তে হয়। 

 

অপেক্ষকের সীমাস্থ মান ( Limiting value of a function )

  মনে করি x একটি বাস্তব চল , a একটি বাস্তব ধ্রূবক এবং f(x) হল একটি একমান বিশিষ্ট অপেক্ষক। এখন x চল সর্বদা a অপেক্ষা বৃহত্তর মানসমূহ গ্রহণ করে সর্বদা a এর দিকে অগ্রসর হলে যদি প্রতিটি x এর মানের অনুরূপ f(x) এর মান পাওয়া যায় , এবং f(x) এর প্রাপ্ত মান একটি নির্দিষ্ট ধ্রূবক ${l_1}$ এর দিকে অগ্রসর হয় , তবে ${l_1}$ কে f(x) এর ডানপক্ষের সীমাস্থমান ( right hand limit ) বলা হবে। অন্যকথায় বলা যায় যখন $x \to a +$ তখন যদি ${l_1}$ ধ্রূবক পাওয়া যায় , যাতে f(x) এর প্রাপ্তমান ও ${l_1}$  এর অন্তরের সংখ্যমান , অর্থাৎ $\left| {f\left( x \right) - {l_1}} \right|$ এর মান পূর্বনির্দিষ্ট ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোক না কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর হয় তখন ${l_1}$ কে f(x) অপেক্ষকের ডানদিকের সীমাস্থমান ( right hand limit ) বলে এবং তা $\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } f\left( x \right) = {l_1}$ বা $f\left( {a + 0} \right) = {l_1}$ প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 

   আবার x চল সর্বদা a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর মানসমূহ গ্রহণ করে সর্বদা a এর দিকে অগ্রসর হলে যদি প্রতিটি x এর মানের অনুরূপ f(x) এর মান পাওয়া যায় , এবং f(x) এর প্রাপ্ত মান একটি নির্দিষ্ট ধ্রূবক ${l_2}$ এর দিকে অগ্রসর হয় , তবে ${l_2}$ কে f(x) এর বামপক্ষের সীমাস্থমান (left hand limit ) বলা হবে। অন্যকথায় বলা যায় যখন $x \to a -$ তখন যদি ${l_2}$ ধ্রূবক পাওয়া যায় , যাতে f(x) এর প্রাপ্তমান ও ${l_2}$  এর অন্তরের সংখ্যমান , অর্থাৎ $\left| {f\left( x \right) - {l_2}} \right|$ এর মান পূর্বনির্দিষ্ট ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোক না কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর হয় তখন ${l_2}$ কে f(x) অপেক্ষকের বামদিকের সীমাস্থমান ( left hand limit ) বলে এবং তা $\mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right) = {l_2}$ বা $f\left( {a - 0} \right) = {l_2}$ প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 

   x চল সর্বদা a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর অথবা a অপেক্ষা বৃহত্তর মানসমূহ গ্রহণ করে সর্বদা a এর দিকে অগ্রসর হলে যদি প্রতিটি x এর মানের অনুরূপ f(x) এর মান পাওয়া যায় , এবং f(x) এর প্রাপ্ত মান একটি নির্দিষ্ট ধ্রূবক l এর দিকে অগ্রসর হয় , তবে l কে f(x) এর  সীমাস্থমান ( limiting value ) বলা হবে। অন্যকথায় বলা যায় যখন $x \to a$ তখন যদি l ধ্রূবক পাওয়া যায় , যাতে f(x) এর প্রাপ্তমান ও l  এর অন্তরের সংখ্যমান , অর্থাৎ $\left| {f\left( x \right) - l} \right|$ এর মান পূর্বনির্দিষ্ট ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোক না কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর হয় তখন l কে f(x) অপেক্ষকের সীমাস্থমান ( limiting value ) বলে এবং তা $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = l$ প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 

 

দ্রষ্টব্য 

(১) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a  } f\left( x \right)$ এর অস্তিত্ব আছে বলা হবে , যদি 

(i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } f\left( x \right)$ ও $\mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right)$ উভয়ের অস্তিত্ব থাকে। 

(ii) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a  +} f\left( x \right)$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right)$ হয়। 

(২) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a  } f\left( x \right)$ এর অস্তিত্ব থাকবে না , যদি 

(i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } f\left( x \right)$ এর অস্তিত্ব না থাকে। 

(ii) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right)$ এর অস্তিত্ব না থাকে। 

(iii) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right)$ হয়। 

(৩) এখানে অপেক্ষকের সীমার সংজ্ঞা স্বজ্ঞাত পদ্ধিতিতে দেওয়া হয়েছে। 

 

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a  } f\left( x \right)$ এবং f(a) এর পার্থক্য [ Distinction between $\mathop {\lim }\limits_{x \to a  } f\left( x \right)$ and f(a) ]

        $\mathop {\lim }\limits_{x \to a  } f\left( x \right)$ প্রতীক দ্বারা f(x) অপেক্ষকের মান সূচিত হয় , যখন x চলের a অপেক্ষা বৃহত্তর বা ক্ষুদ্রতর মানসমূহ গ্রহণ করে ক্রমশ a এর দিকে অগ্রসর হয়। কিন্তু x এর মান a এর সমান হলে f(x) অপেক্ষকের মান কত হবে তা বিবেচনা করা হয় না। অন্যদিকে f(a) প্রতীক দ্বারা f(x) অপেক্ষকের মান সূচিত হয় , যখন x এর মান a এর সমান হয়। x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষকের সংজ্ঞা থেকে f(a) এর মান নির্ণয় করা হয়। 

     

 

(১) x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষক সংজ্ঞাত হলেও $\mathop {\lim }\limits_{x \to a  } f\left( x \right)$ এর অস্তিত্ব না থাকতেও পারে অনির্ণেয় হতে পারে। 

উদাহরণস্বরূপ মনে করি , $f\left( x \right) = \sqrt {4 - x}$ এবং $x \to 4 +$ . x চলের মান সর্বদা 4 অপেক্ষা বৃহত্তর রেখে ক্রমশ 4 এর দিকে অগ্রসর হলে প্রতিক্ষেত্রে f(x) এর অবাস্তব মান পাওয়া যায়। সুতরাং f(x) এর মান অবাস্তব যখন $x \to 4 +$ . আবার মনে করি , $f\left( x \right) = \sqrt {4 - x}$ এবং $x \to 4 -$ . x চলের মান সর্বদা 4 অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর রেখে ক্রমশ 4 এর দিকে অগ্রসর হলে , f(x) এর প্রাপ্তমান ক্রমশ শূন্য এর দিকে অগ্রসর হয়। অর্থাৎ  f(x) এর প্রাপ্তমান ও 0 এর অন্তরের সাংখ্যমান পূর্বনির্দিষ্ট ধনাত্মক সংখ্যা ( সে যতই ক্ষুদ্র হোক না কেন ) অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর করা যায় ; বা অন্যভাবে বলা যায় $f\left( x \right) \to 0$ যখন $x \to 4 +$ . অর্থাৎ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4 - } f\left( x \right) = 0$ . x = 4 বিন্দুতে f(x) মান হবে 0 . সুতরাং দেখা যাচ্ছে  $f\left( x \right) = \sqrt {4 - x}$  অপেক্ষকটির অস্তিত্ব $x \to 4$ না থাকলেও f(x) এর মান কিন্তু x = 4 বিন্দুতে আছে। 

 

(২) x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষক অসংজ্ঞাত হলেও $\mathop {\lim }\limits_{x \to a  } f\left( x \right)$ অস্তিত্ব থাকতে পারে। 

উদাহরণস্বরূপ মনে করি $f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}$ . এই অপেক্ষকের মানের অস্তিত্ব আছে কিনা তা নির্ণয়ের জন্য x চলের মান 2 অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর ও বৃহত্তর রেখে 2 এর দিকে অগ্রসর হলে x ও f(x) এর মানসমূহের নিম্নলিখিত তালিকা তৈরী করা হল। 

x	1.9	1.99	1.999	1.9999	2.1	2.01	2.001	2.0001
f(x)	3.9	3.99	3.999	3.9999	4.1	4.01	4.001	4.0001

তালিকা থেকে বোঝাযাচ্ছে x এর মান 2 এর দিকে ক্রমশ অগ্রসর হলে f(x) এর মান 4 এর দিকে অগ্রসর হয়। সুতরাং যখন $x \to 2$ তখন $f\left( x \right) \to 4$ অথবা $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 4$ . কিন্তু x = 2 বিন্দুতে f(x) অপেক্ষক অনির্ণেয় বা অসংজ্ঞাত।  

 

(৩) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a  } f\left( x \right)$ ও f(a) উভয়ের মানের অস্তিত্ব থাকতে পারে কিন্তু সমান নাও হতে পারে। 

উদাহরণস্বরূপ মনে করি $f\left( x \right) = 1$ যখন $x \ne 0$ এবং $f\left( x \right) = 0$ যখন $x = 0$ . এখন $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)$ এর অস্তিত্ব নির্ণয় করতে হবে। 

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)$ এর অস্তিত্ব আছে কিনা তা নির্ণয়ের জন্য x চলের মান শূন্য অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বা বৃহত্তর রেখে x ও f(x) এর মানসমূহের নিম্নলখিত তালিকা তৈরী করা হল। 

x	0.1	0.01	0.001	-0.1	-0.01	-0.001
f(x)	1	1	1	1	1	1

উপরের তালিকা থেকে দেখা যাচ্ছে x এর মান 0 এর দিকে ক্রমশ অগ্রসর হলে f(x) এর মান প্রতি ক্ষেত্রে 1 হয়  অর্থাৎ যখন $x \to 0$ তখন $f\left( x \right) \to 1$ . অতএব $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 1$ . প্রদত্ত সংজ্ঞা থেকে পাই f(0) = 0 . আবার  $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 1$ . অতএব $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) \ne f\left( 0 \right)$ .

(৪) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a  } f\left( x \right)$ ও f(a)  উভয়ের মানের অস্তিত্ব থাকতে পারে আবার সমান হতে পারে।

(৫) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a  } f\left( x \right)$ ও f(a) উভয়ের মানের অস্তিত্ব নাও থাকতে পারে। 

 

অপেক্ষকের সীমার বৈশ্লেষিক ধারণা ( Analytical concept of limit of a Function )

   মনে করি x একটি বাস্তব চল , a একটি বাস্তব ধ্রূবক এবং f(x) হল একটি একমান বিশিষ্ট অপেক্ষক। গাণিতিক ভাবে , $x \to a$ হলে f(x) অপেক্ষকের সীমাস্থ মানকে l বলা হবে অর্থাৎ $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = l$ . যদি যেকোনো প্রদত্ত ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা $\varepsilon$ এর ( যতই ক্ষুদ্র হোক না কেন ) জন্য এমন একটি ধনাত্মক সংখ্যা $\delta$ নির্ণয় করা সম্ভব হয় ( যেখানে $\delta$ এর মান $\varepsilon$ এর মানের উপর নির্ভরশীল ) , যাতে 

$\left| {f\left( x \right) - l} \right| < \varepsilon$ যেখানে $0 < \left| {x - a} \right| < \delta$ . 

এই অপেক্ষকের সীমার বৈশ্লেষিক ধারণাকে অনেক সময় সীমার মান নির্ণয়ে $\left( {\delta ,\varepsilon } \right)$ পদ্ধতি বলা হয়।

 

উদাহরণ 1.  $\left( {\delta ,\varepsilon } \right)$ সংজ্ঞার সাহায্যে প্রমাণ করো যে , $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2{x^2} - 18}}{{x - 3}} = 12$ এবং $\delta$ এর মান নির্ণয় করো , যখন $\varepsilon  = 0.01$ .

সমাধান :-  মনে করি $f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 18}}{{x - 3}}$ .

অতএব 

$\begin{array}{l} f\left( x \right) - 12\\  = \frac{{2{x^2} - 18}}{{x - 3}} - 12\\  = \frac{{2{x^2} - 18 - 12x + 36}}{{x - 3}}\\  = \frac{{2{x^2} - 12x + 18}}{{x - 3}}\\  = \frac{{2\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)}}{{x - 3}}\\  = \frac{{2{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{\left( {x - 3} \right)}}\\  = 2\left( {x - 3} \right) \end{array}$

এখন $\varepsilon$ একটি প্রদত্ত ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা হলে ,

$\left| {f\left( x \right) - 12} \right| < \varepsilon$ হবে , যখন $0 < \left| {2\left( {x - 3} \right)} \right| < \varepsilon$ .

বা , $\left| {f\left( x \right) - 12} \right| < \varepsilon$ হবে , যখন $0 < \left| {x - 3} \right| < \delta$ যেখানে $\delta  = \frac{\varepsilon }{2}$ . 

সুতরাং $\left( {\delta ,\varepsilon } \right)$ সংজ্ঞার সাহায্যে পাই ,

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 12 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2{x^2} - 18}}{{x - 3}} = 12$ .

স্পষ্টতই $\varepsilon  = 0.01$ হলে $\delta  = \frac{\varepsilon }{2} = \frac{{0.01}}{2} = 0.005$ হবে।  

 

$x \to  + \infty$ এবং $x \to  - \infty$ এর অর্থ ( Meaning of $x \to  + \infty$ and $x \to  - \infty$ )

      যদি x চলরাশি সর্বদা ধনাত্মক মানসমূহ গ্রহণ করে সীমাহীনভাবে বৃদ্ধি পেতে থাকে , অর্থাৎ x এর গৃহীত মান আমাদের কল্পনায় আসা যেকোনো বৃহৎ ধনাত্মক মানের তুলনায় বৃহৎ হয় , তাহলে আমরা বলি যে x চল ধনাত্মক দিকে অসীমগামী এবং সেটি $x \to  + \infty$ প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 

    একইভাবে যদি x চলরাশি সর্বদা ঋণাত্মক মানসমূহ গ্রহণ করে সাংখ্যমানে সীমাহীনভাবে বৃদ্ধি পেতে থাকে , অর্থাৎ x এর গৃহীত মান আমাদের কল্পনায় আসা যেকোনো বৃহৎ ধনাত্মক সংখ্যা G হলে , যদি x এর গৃহীত মান (-G) অপেক্ষাও ক্ষুদ্র হয় , তাহলে আমরা বলি যে x চল ঋণাত্মক দিকে অসীমগামী এবং সেটি $x \to  - \infty$ প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 

 

[ $+ \infty , - \infty$ দ্বারা কোনো সংখ্যা প্রকাশিত হয় না।  তারা শুধু প্রতীক মাত্র। x কর্তৃক গৃহীত ধনাত্মক মান অসীমের দিকে অগ্রসর হয় , তা বোঝানোর জন্য $+ \infty$ এবং x কর্তৃক গৃহীত ঋণাত্মক মান সীমাহীনভাবে হ্রাস পায় তা বোঝানোর জন্য $- \infty$ ব্যবহার করা হয় ]

 

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty$ এবং $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) =  - \infty$ এর অর্থ ( Meaning of $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty$ and $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) =  - \infty$ )

       মনে করি x একটি বাস্তব চল , a একটি বাস্তব ধ্রূবক এবং f(x) হল একটি একমান বিশিষ্ট অপেক্ষক। x চল a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বা a অপেক্ষা বৃহত্তর মানসমূহ গ্রহণ করে ক্রমশ a এর নিকট অগ্রসর হলে , যদি f(x) এর মানসমূহ ক্রমশ বৃহত্তর হতে থাকে এবং আমাদের কল্পনায় সম্ভব যেকোনো বৃহৎ ধনাত্মক সংখ্যা M অপেক্ষাও f(x) এর প্রাপ্তমান বৃহত্তর হয় , তবে আমরা বলি $f\left( x \right) \to \infty$ যখন $x \to a$ . সেটি $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty$ প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 

    আবার , x চল a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বা a অপেক্ষা বৃহত্তর মানসমূহ গ্রহণ করে ক্রমশ a এর নিকট অগ্রসর হলে , যদি f(x) এর মানসমূহ সর্বদা ঋণাত্মক থেকে সাংখ্যমানে বৃহৎ থেকে ক্রমশ বৃহত্তর হতে থাকে এবং আমাদের কল্পনায় সম্ভব যেকোনো বৃহৎ ধনাত্মক সংখ্যা M হলে , যদি f(x) এর প্রাপ্তমান -M অপেক্ষাও ক্ষুদ্রতর হয় , তবে আমরা বলি যে $f\left( x \right) \to  - \infty$ যখন $x \to a$ . সেটি $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) =  - \infty$ প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।  

 

উদাহরণ 2. দেখাও যে , $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \infty$ .

সমাধান :- মনে করি $f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$ .

x চলের মান 1 অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বা 1 অপেক্ষা বৃহত্তর রেখে 1 এর দিকে অগ্রসর হলে x ও f(x) এর যে মানসমূহ পাওয়া যায় তার একটি নিম্নলিখিত তালিকা এখানে তৈরি করা হল 

x	0.9	0.99	0.999	...	1.1	1.01	1.001	...
f(x)	100	10000	1000000	...	100	10000	1000000	...

উপরের তালিকার প্রথম অংশ থেকে সহজেই বোঝা যাচ্ছে x এর মান 1 অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর রেখে ক্রমশ 1 এর নিকট অগ্রসর হলে f(x) এর মান ক্রমশ বৃহত্তর হতে থাকে যা আমাদের কল্পনার আসা কোনো বৃহৎ ধনাত্মক সংখ্যা , তার থেকেও বৃহৎ হয়। অতএব $x \to 1-$ হলে $f\left( x \right) \to \infty$ হয়। সুতরাং $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 - } f\left( x \right) = \infty$ .

আবার উপরের তালিকার দ্বিতীয় অংশ থেকে সহজেই বোঝা যায় x এর মান 1 অপেক্ষা বৃহত্তর রেখে 1 এর নিকট অগ্রসর হলে f(x) এর মান ক্রমশ বৃহত্তর হতে থাকে যা আমাদের কল্পনার আসা কোনো বৃহৎ ধনাত্মক সংখ্যা , তার থেকেও বৃহৎ হয়। অতএব $x \to 1+$ হলে $f\left( x \right) \to \infty$ হয়। সুতরাং $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 + } f\left( x \right) = \infty$ .

স্পষ্টতই $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 - } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1 + } f\left( x \right) = \infty$ .

অতএব $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \infty  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \infty$

 

উদাহরণ 3. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}$ এর মান নির্ণয় করো। 

সমাধান :- মনে করি $f\left( x \right) = \frac{1}{x}$ . 

x চলের মান 0 অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বা 0 অপেক্ষা বৃহত্তর রেখে 0 এর দিকে অগ্রসর হলে x ও f(x) এর যে মানসমূহ পাওয়া যায় তার একটি নিম্নলিখিত তালিকা এখানে তৈরি করা হল 

x	0.1	0.01	0.001	...	-0.1	-0.01	-0.001	...
f(x)	10	100	1000	...	-10	-100	-1000	...

উপরের তালিকার প্রথম অংশ থেকে সহজেই বোঝা যাচ্ছে x এর মান 0 অপেক্ষা বৃহত্তর রেখে ক্রমশ 0 এর নিকট অগ্রসর হলে f(x) এর মান ক্রমশ বৃহত্তর হতে থাকে যা আমাদের কল্পনার আসা কোনো বৃহৎ ধনাত্মক সংখ্যা , তার থেকেও বৃহৎ হয়। অতএব $x \to 0+$ হলে $f\left( x \right) \to \infty$ হয়। সুতরাং $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } f\left( x \right) = \infty$ .

আবার উপরের তালিকার দ্বিতীয় অংশ থেকে সহজেই বোঝা যায় x এর মান 0 অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর রেখে 0 এর নিকট অগ্রসর হলে f(x) এর মানসমূহ সর্বদা ঋণাত্মক থেকে সাংখ্যমানে বৃহৎ থেকে ক্রমশ বৃহত্তর হতে থাকে  যা আমাদের কল্পনার আসা কোনো বৃহৎ ধনাত্মক সংখ্যা , তার থেকেও বৃহৎ হয়। অতএব $x \to 0-$ হলে $f\left( x \right) \to -\infty$ হয়। সুতরাং $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0- } f\left( x \right) = -\infty$ .

স্পষ্টতই $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 - } f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } f\left( x \right)$.

সুতরাং $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}$ এর মানের অস্তিত্ব নেই।

 

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = a$ এবং $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = b$ এর অর্থ ( Meaning of $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = a$ and $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = b$ )

   x চল সর্বদা ধনাত্মক মানসমূহ গ্রহণ করে সীমাহীনভাবে বৃদ্ধি পেতে থাকলে যদি একটি নির্দিষ্ট সসীম রাশি a পাওয়া যায় , যাতে f(x) এর প্রাপ্ত মান  ও a এর অন্তরের সাংখ্যমান অর্থাৎ ।f(x) - a। এর মান যে কোনো ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা সে যতই ক্ষুদ্র হোক না কেন তা থেকেও ক্ষুদ্রতর হয় , তবে আমরা বলি যে যখন $x \to \infty$ তখন f(x) এর সীমাস্থ মান হবে l . সেটি $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = a$ প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়। 

   আবার x চল সর্বদা ঋণাত্মক মানসমূহ গ্রহণ করে সাংখ্যমানে সীমাহীনভাবে বৃদ্ধি পেতে থাকলে যদি একটি নির্দিষ্ট সসীম রাশি b পাওয়া যায় , যাতে f(x) এর প্রাপ্ত মান  ও b এর অন্তরের সাংখ্যমান অর্থাৎ ।f(x) - b। এর মান যে কোনো ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা সে যতই ক্ষুদ্র হোক না কেন তা থেকেও ক্ষুদ্রতর হয় , তবে আমরা বলি যে যখন $x \to  - \infty$ তখন f(x) এর সীমাস্থ মান হবে l . সেটি $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = b$ প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়। 

 

মৌলিক সীমা উপপাদ্যসমূহ ( Fundamental Limit Theorems )

  সীমা সংক্রান্ত প্রশ্নাবলীর সমাধানের জন্য প্রায় কয়েকটি উপপাদ্য ব্যবহৃত হয় , এদেরকে মৌলিক সীমা উপপাদ্য বলা হয়। 

উপপাদ্য ১. মনে করি x একটি বাস্তব চল , $f\left( x \right)$ ও $\phi \left( x \right)$ হল x এর দুটি একমান বিশিষ্ট অপেক্ষক , a , l , m তিনটি নির্দিষ্ট সসীম রাশি এবং $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = l$ ও $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right) = m$ তাহলে ,

(i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} cf\left( x \right) = c \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = cl$ যেখানে c একটি সসীম ধ্রূবক। 

(ii) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) + \phi \left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right) = l + m$

(iii) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) - \phi \left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right) = l - m$

(iv) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) \times \phi \left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) \times \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right) = l \times m$

(v) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{\phi \left( x \right)}}} \right] = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right)}} = \frac{l}{m}$ যেখানে $m \ne 0$ 

উপপাদ্য ২. $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = l$ , $\mathop {\lim }\limits_{y \to l} \phi \left( y \right) = \phi \left( l \right)$ হলে [ যেখানে $y = f\left( x \right)$ এবং a , l ও $\phi \left( l \right)$ নির্দিষ্ট সসীম রাশি ] , $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left\{ {f\left( x \right)} \right\}$ এর অস্তিত্ব থাকবে এবং $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left\{ {f\left( x \right)} \right\} = \phi \left\{ {\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)} \right\} = \phi \left( l \right)$ .

উপপাদ্য ৩. x = a এর নিকটতর অঞ্চলে ( কিন্তু $x \ne a$ ) $f\left( x \right) \le \phi \left( x \right)$ হলে , $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) \le \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right)$ হবে। 

উপপাদ্য ৪. x = a এর নিকটতর অঞ্চলে ( কিন্তু $x \ne a$ ) $f\left( x \right) \le \phi \left( x \right) \le \psi \left( x \right)$ এবং $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = l$ এবং $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \psi \left( x \right) = l$ ( যেখানে a ও l নির্দিষ্ট সসীম রাশি ) , $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right)$ এর অস্তিত্ব থাকবে এবং $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right) = l$ হবে। 

 

উদাহরণ 4. দেখাও যে $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} - 3x + 5} \right) = 3$

সমাধান :- 

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} - 3x + 5} \right)\\  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x \times x - \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 3x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 5\\  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x - 3\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x + 5 \end{array}$

[ উপপাদ্য ১ এর সাহায্যে পাই ]

$\begin{array}{l}  = 2 \times 2 - 3 \times 2 + 5\\  = 4 - 6 + 5\\  = 3 \end{array}$

 

উদাহরণ 5. মান নির্ণয় করো $\mathop {\lim }\limits_{y \to  - 1} \frac{{{y^2} - 3y + 6}}{{2{y^2} + 5y}}$ .

সমাধান :- 

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{y \to  - 1} \frac{{{y^2} - 3y + 6}}{{2{y^2} + 5y}}\\  = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{y \to  - 1} \left( {{y^2} - 3y + 6} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{y \to  - 1} \left( {2{y^2} + 5y} \right)}} \end{array}$

[ উপপাদ্য ১ এর (v) এর সাহায্য নিয়ে পাই ]

$\begin{array}{l}  = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{y \to  - 1} {y^2} - \mathop {\lim }\limits_{y \to  - 1} 3y + \mathop {\lim }\limits_{y \to  - 1} 6}}{{\mathop {\lim }\limits_{y \to  - 1} 2{y^2} + \mathop {\lim }\limits_{y \to  - 1} 5y}}\\  = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2} - 3\left( { - 1} \right) + 6}}{{2{{\left( { - 1} \right)}^2} + 5\left( { - 1} \right)}}\\  = \frac{{1 + 3 + 6}}{{2 - 5}}\\  = \frac{{10}}{{ - 3}} =  - \frac{{10}}{3} \end{array}$

 

উদাহরণ 6. মান নির্ণয় করো $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \sin \left( {2{x^2} - x - 1} \right)$ .

সমাধান :- 

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \sin \left( {2{x^2} - x - 1} \right)\\  = \sin \left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2{x^2} - x - 1} \right)} \right] \end{array}$

[ উপপাদ্য ২ এর সাহায্যে পাই ]

$\begin{array}{l}  = \sin \left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 2{x^2} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 1} \right]\\  = \sin \left[ {2{{\left( 1 \right)}^2} - 1 - 1} \right]\\  = \sin \left[ {2 - 2} \right]\\  = \sin 0\\  = 0 \end{array}$

 

উদাহরণ 7. দেখাও যে $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \sqrt {{x^3} + 3{x^2} - x + 3}  = 3$

সমাধান :- 

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \sqrt {{x^3} + 3{x^2} - x + 3} \\  = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {{x^3} + 3{x^2} - x + 3} \right)}  \end{array}$

[ উপপাদ্য ২ এর সাহায্যে পাই ]

$\begin{array}{l}  = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} {x^3} + \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} 3{x^2} - \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} 3} \\  = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^3} + 3{{\left( { - 2} \right)}^2} - \left( { - 2} \right) + 3} \\  = \sqrt { - 8 + 3 \times 4 + 2 + 3} \\  = \sqrt { - 8 + 12 + 5} \\  = \sqrt 9  = 3 \end{array}$

 

কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ সীমা ( Some important limits )

(A) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}} = n{a^{n - 1}}$ , যেখানে n = যে কোনো মূলদ সংখ্যা। 

প্রমাণ :- প্রথমত , মনে করি , n = ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। তাহলে ,

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\left( {x - a} \right)\left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} \cdot a + {x^{n - 3}} \cdot {a^2} + ......... + x \cdot {a^{n - 2}} + {a^{n - 1}}} \right)}}{{\left( {x - a} \right)}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} \cdot a + {x^{n - 3}} \cdot {a^2} + ......... + x \cdot {a^{n - 2}} + {a^{n - 1}}} \right)\\  = {a^{n - 1}} + {a^{n - 2}} \cdot a + {a^{n - 3}} \cdot {a^2} + ........ + a \cdot {a^{n - 2}} + {a^{n - 1}}\\  = {a^{n - 1}} + {a^{n - 1}} + {a^{n - 1}} + ......... + {a^{n - 1}}\\  = n{a^{n - 1}} \end{array}$

দ্বিতীয়ত , মনে করি n = ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা = -m , যেখানে m হল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। তাহলে ,

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^{ - m}} - {a^{ - m}}}}{{x - a}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\frac{1}{{{x^m}}} - \frac{1}{{{a^m}}}}}{{x - a}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\frac{{ - \left( {{x^m} - {a^m}} \right)}}{{{{\left( {ax} \right)}^m}}}}}{{x - a}}\\  =  - \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\left( {{x^m} - {a^m}} \right)}}{{\left( {x - a} \right)}} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{1}{{{{\left( {ax} \right)}^m}}}\\  =  - \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {{x^{m - 1}} + {x^{m - 2}} \cdot a + {x^{m - 3}} \cdot {a^2} + ....... + x \cdot {a^{m - 2}} + {a^{m - 1}}} \right) \times \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{1}{{{{\left( {ax} \right)}^m}}}\\  =  - \left( {{a^{m - 1}} + {a^{m - 2}} \cdot a + {a^{m - 3}} \cdot a + ...... + a \cdot {a^{m - 2}} + {a^{m - 1}}} \right) \times \frac{1}{{{{\left( {a \cdot a} \right)}^m}}}\\  =  - \left( {{a^{m - 1}} + {a^{m - 1}} + ....... + {a^{m - 1}}} \right) \times \frac{1}{{{a^{2m}}}}\\  =  - m{a^{m - 1}} \times \frac{1}{{{a^{2m}}}}\\  =  - m{a^{m - 1 - 2m}}\\  =  - m{a^{ - m - 1}}\\  = n{a^{n - 1}} \end{array}$

তৃতীয়ত , মনে করি , $n = \frac{p}{q}$ , যেখানে $q \ne 0$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং p ধনাত্মক বা ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা। 

আবার মনে করি ${x^{\frac{1}{q}}} = y$ এবং ${a^{\frac{1}{q}}} = b$ যেখানে y এবং b বাস্তব। 

$\begin{array}{l} x \to a\\  \Rightarrow {y^q} \to {b^q}\\  \Rightarrow y \to b \end{array}$

অতএব যখন $x \to a$ তখন $y \to b$ .

এখন 

$\begin{array}{l} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}}\\  = \frac{{{x^{\frac{p}{q}}} - {a^{\frac{p}{q}}}}}{{x - a}}\\  = \frac{{{{\left( {{x^{\frac{1}{q}}}} \right)}^p} - {{\left( {{a^{\frac{1}{q}}}} \right)}^p}}}{{x - a}}\\  = \frac{{{y^p} - {b^p}}}{{{y^q} - {b^q}}}\\  = \frac{{\frac{{{y^p} - {b^p}}}{{y - b}}}}{{\frac{{{y^q} - {b^q}}}{{y - b}}}} \end{array}$

অতএব 

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{y \to b} \frac{{\frac{{{y^p} - {b^p}}}{{y - b}}}}{{\frac{{{y^q} - {b^q}}}{{y - b}}}}\\  = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{y \to b} \frac{{{y^p} - {b^p}}}{{y - b}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{y \to b} \frac{{{y^q} - {b^q}}}{{y - b}}}}\\  = \frac{{p{b^{p - 1}}}}{{q{b^{q - 1}}}}\\  = \frac{p}{q} \cdot {b^{p - 1 - q + 1}}\\  = n{a^{\frac{{p - q}}{q}}}\\  = n{a^{\frac{p}{q} - 1}}\\  = n{a^{n - 1}} \end{array}$

 

উদাহরণ 8. মান নির্ণয় করো $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{\frac{1}{2}}} - 1}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^{\frac{1}{3}}} - 1}}$    [H.S.  '90]

সমাধান :- মনে করি 1 + x = z , অতএব যখন $x \to 0$ তখন $z \to 1$ .

এখন 

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{\frac{1}{2}}} - 1}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^{\frac{1}{3}}} - 1}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \frac{{{z^{\frac{1}{2}}} - 1}}{{{z^{\frac{1}{3}}} - 1}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \frac{{{{\left( {{z^{\frac{1}{3}}}} \right)}^{\frac{3}{2}}} - {{\left( {{1^{\frac{1}{3}}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}{{{z^{\frac{1}{3}}} - 1}}\\  = \frac{3}{2} \times {1^{\frac{3}{2} - 1}}\\ \left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}} = n{a^{n - 1}}} \right]\\  = \frac{3}{2} \end{array}$

(B) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1$ , যেখানে x রেডিয়ানে মাপা হয়। 

 

উদাহরণ 9. মান নির্ণয় করো $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{{\mathop{\rm tanx}\nolimits} }^ \circ }}}{x}$

সমাধান :- আমরা জানি ${180^ \circ } = \pi  \Rightarrow {x^ \circ } = \frac{{\pi x}}{{180}}$ .

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{{\mathop{\rm tanx}\nolimits} }^ \circ }}}{x}\\  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan \frac{{\pi x}}{{180}}}}{x}\\  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin \frac{{\pi x}}{{180}}}}{{\cos \frac{{\pi x}}{{180}}}}}}{x}\\  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \frac{{\pi x}}{{180}}}}{{x\cos \frac{{\pi x}}{{180}}}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \frac{{\pi x}}{{180}}}}{{\frac{{\pi x}}{{180}}}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{\pi }{{180}}}}{{\cos \frac{{\pi x}}{{180}}}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{\sin z}}{z} \cdot \frac{\pi }{{180}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sec \frac{{\pi x}}{{180}} \end{array}$

[ যেখানে $\frac{{\pi x}}{{180}} = z$ যখন $x \to 0$ তখন $z \to 0$ .]

$\begin{array}{l}  = 1 \cdot \frac{\pi }{{180}}\sec \frac{{\pi  \times 0}}{{180}}\\  = \frac{\pi }{{180}} \end{array}$

(C) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^n} - 1}}{x} = n$ , যেখানে n যে কোনো মূলদ রাশি। 

প্রমাণ :- আমরা (A) থেকে পাই $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}} = n{a^{n - 1}}$

এখন x = 1 + x এবং a = 1 বসিয়ে পাই 

$\begin{array}{l} x \to a\\  \Rightarrow x + 1 \to 1\\  \Rightarrow x \to 0 \end{array}$

অতএব যখন $x \to a$ তখন $x \to 0$

এখন 

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}} = n{a^{n - 1}}\\  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^n} - 1}}{{1 + x - 1}} = n{\left( 1 \right)^{n - 1}}\\  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^n} - 1}}{x} = n \end{array}$

(D) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1$

(E) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}{\log _e}\left( {1 + x} \right) = 1$

প্রমাণ :- মনে করি ${\log _e}\left( {1 + x} \right) = z$

অতএব 

$\begin{array}{l} {e^z} = 1 + x\\  \Rightarrow x = {e^z} - 1 \end{array}$

এখন 

$\begin{array}{l} x \to 0\\  \Rightarrow {e^z} - 1 \to 0\\  \Rightarrow {e^z} \to 1\\  \Rightarrow z \to 0 \end{array}$

যখন $x \to 0$ তখন $z \to 0$ .

অতএব 

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}{\log _e}\left( {1 + x} \right)\\  = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{1}{{{e^z} - 1}} \cdot z\\  = \frac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{{e^z} - 1}}{z}}}\\  = \frac{1}{1} = 1 \end{array}$

[ D এর সাহায্যে পাই ]

(F) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e$

প্রমাণ :- আমরা জানি 

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}{\log _e}\left( {1 + x} \right) = 1\\  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\log _e}{\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = 1\\  \Rightarrow {\log _e}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = 1\\  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e \end{array}$

(G) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} = e$

প্রমাণ :- 

আমরা জানি $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e$ ( F এর সাহায্যে পাই )

এখন $x = \frac{1}{y}$ বসালে। যখন $x \to 0$ তখন $y \to \infty$ .

অতএব 

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e\\  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{y \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{y}} \right)^y} = e \end{array}$

(H) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - 1}}{x} = {\log _e}a$    ( a > 0 )

প্রমাণ :- ${a^x} = {e^z}$ হলে , 

$\begin{array}{l} {a^x} = {e^z}\\  \Rightarrow {\log _e}{a^x} = {\log _e}{e^z}\\  \Rightarrow x{\log _e}a = z \end{array}$

যখন $x \to 0$ তখন $z \to 0$

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - 1}}{x}\\  = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{{e^z} - 1}}{{\frac{z}{{{{\log }_e}a}}}}\\  = {\log _e}a \cdot \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{{e^z} - 1}}{z}\\  = {\log _e}a \end{array}$

 

সংক্ষিপ্তকরণ ( Summarisation )

(১) $x \to a$ অর্থাৎ $\lim x = a$ হলে ,

(i) x চলের মান a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বা a অপেক্ষা বৃহত্তর হবে , কিন্তু x এর মান a এর সমান হবে না। 

(ii) x এর গৃহীত মান এবং a এর অন্তরের সাংখ্যমান , অর্থাৎ ।x - a। এর মান পূর্বনির্দিষ্ট ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা অপেক্ষা ক্ষুদ্র হবে। 

(২) $x \to a +$ বা $x \to a + 0$ হলে বুঝতে হবে x এর মান সর্বদা a অপেক্ষা বৃহত্তর মান গ্রহণ করে a এর নিকট অগ্রসর হবে , কিন্তু a এর সমান হবে না। 

(৩)  $x \to a -$ বা $x \to a - 0$ হলে বুঝতে হবে x এর মান সর্বদা a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর  গ্রহণ করে a এর নিকট অগ্রসর হবে , কিন্তু a এর সমান হবে না। 

(৪) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = l$ এর অর্থ :- x চলের মান a অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বা a অপেক্ষা বৃহত্তর মানসমূহ গ্রহণ করে ক্রমশ a এর নিকট অগ্রসর হলে f(x) এর যে মানসমূহ  পাওয়া যায় তা ক্রমশ l এর নিকট অগ্রসর হয়। যেখানে ল একটি নির্দিষ্ট ধ্রূবক। l কে f(x) অপেক্ষকের সীমাস্থ মান বলা হয় এবং f(x) ও l এর অন্তরের সাংখ্যমান অর্থাৎ । f(x) - l।  এর মান আমাদের পূর্বনির্দিষ্ট ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হবে। 

(৫) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } f\left( x \right)$ কে f(x) অপেক্ষকের x = a বিন্দুতে ডানপক্ষের সীমা বলা হয়। 

(৬) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right)$ কে f(x) অপেক্ষকের x = a বিন্দুতে বামপক্ষের সীমা বলা হয়। 

(৭) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a } f\left( x \right)$ এর অস্তিত্ব আছে বলা হবে যদি $\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } f\left( x \right)$ ও  $\mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right)$ এর অস্তিত্ব থাকে এবং  $\mathop {\lim }\limits_{x \to a + } f\left( x \right)$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to a - } f\left( x \right)$ .

(৮) মৌলিক সীমা উপপাদ্য 

(i)

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {{f_1}\left( x \right) \pm {f_2}\left( x \right) \pm {f_3}\left( x \right) \pm ......} \right]\\  = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_1}\left( x \right) \pm \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_2}\left( x \right) \pm \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_3}\left( x \right) \pm ........ \end{array}$

(ii)

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {{f_1}\left( x \right) \cdot {f_2}\left( x \right) \cdot {f_3}\left( x \right) \cdot ......} \right]\\  = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_1}\left( x \right) \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_2}\left( x \right) \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_3}\left( x \right) \cdot ........ \end{array}$

(iii) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{\phi \left( x \right)}}} \right] = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right)}}$      [$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left( x \right) \ne 0$]

(iv) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \phi \left\{ {f\left( x \right)} \right\} = \phi \left\{ {\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)} \right\}$

(৯) 

(i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}} = n{a^{n - 1}}$

(ii) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1$

(iii) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^n} - 1}}{x} = n$ 

(iv) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1$

(v) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}{\log _e}\left( {1 + x} \right) = 1$

(vi) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e$

(vii) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} = e$

(viii) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - 1}}{x} = {\log _e}a$    ( a > 0 )

(১০) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)$ তে x - a = h বা , x = a + h বসিয়ে এটিতে $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f\left( a + h \right)$ আকারে লেখা যায় , অর্থাৎ $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f\left( {a + h} \right)$ .

(১১) যদি $x \to 0$ হলে , $u \to 0$ হয় এবং $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = l$ হয় , তবে $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} f\left( u \right) = l$ হবে। 

(১২) যদি $x \to \infty$ এবং $z = \frac{1}{x}$ হয় , তবে $z \to 0 +$ হবে। 

সুতরাং , $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0 + } f\left( {\frac{1}{z}} \right)$ 

 

উদাহরণ 10. মান নির্ণয় করো $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + ax}  - \sqrt {1 - ax} }}{x}$     [H.S  '86]

সমাধান :- 

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + ax}  - \sqrt {1 - ax} }}{x}\\  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {1 + ax}  - \sqrt {1 - ax} } \right)\left( {\sqrt {1 + ax}  + \sqrt {1 - ax} } \right)}}{{x\left( {\sqrt {1 + ax}  + \sqrt {1 - ax} } \right)}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {1 + ax} \right) - \left( {1 - ax} \right)}}{{x\left( {\sqrt {1 + ax}  + \sqrt {1 - ax} } \right)}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2ax}}{{x\left( {\sqrt {1 + ax}  + \sqrt {1 - ax} } \right)}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2a}}{{\left( {\sqrt {1 + ax}  + \sqrt {1 - ax} } \right)}}\\  = \frac{{2a}}{{\sqrt {1 + a \cdot 0}  + \sqrt {1 - a \cdot 0} }}\\  = \frac{{2a}}{2}\\  = a \end{array}$

 

উদাহরণ 11. $f\left( x \right) = \frac{1}{x}$ হলে , $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {1 + h} \right) - f\left( 1 \right)}}{h}$ সীমার মান নির্ণয় করো। 

সমাধান :- যেহেতু $f\left( x \right) = \frac{1}{x}$ অতএব $f\left( {1 + h} \right) = \frac{1}{{1 + h}}$ এবং $f\left( 1 \right) = \frac{1}{1} = 1$ .

এখন 

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {1 + h} \right) - f\left( 1 \right)}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{1}{{1 + h}} - 1}}{h}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{1 - 1 - h}}{{h\left( {1 + h} \right)}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{ - h}}{{h\left( {1 + h} \right)}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{ - 1}}{{1 + h}}\\  = \frac{{ - 1}}{{1 + 0}} =  - 1 \end{array}$

 

উদাহরণ 12. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{3x}} - 1}}{{\log \left( {1 + 5x} \right)}}$   [H.S.  '96]

সমাধান :-

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{3x}} - 1}}{{\log \left( {1 + 5x} \right)}}\\  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{{e^{3x}} - 1}}{{3x}}}}{{\frac{{\log \left( {1 + 5x} \right)}}{{5x}}}} \times \frac{3}{5}\\  = \frac{3}{5} \times \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{3x}} - 1}}{{3x}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{5x}}\log \left( {1 + 5x} \right)}}\\  = \frac{3}{5} \times \frac{{\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{{e^u} - 1}}{u}}}{{\mathop {\lim }\limits_{v \to 0} \frac{1}{v}\log \left( {1 + v} \right)}} \end{array}$

[ যেখানে 3x = u এবং 5x = v যখন $x \to 0$ তখন $u \to 0$ ও $v \to 0$ ]

$\begin{array}{l}  = \frac{3}{5} \times \frac{1}{1}\\  = \frac{3}{5} \end{array}$