পরিমাপ সংক্রান্ত গাণিতিক উদাহরণ

পরিমাপ সংক্রান্ত গাণিতিক উদাহরণ (Mathematical Example) :

1.  D₁ ও D₂ ঘনত্বের দুটি পদার্থকে সমভরে মেশানো হলে মিশ্রণের ঘনত্ব কত হবে ?

ধরা যাক, মিশ্রিত পদার্থ দুটির প্রতিটির ভর m ।

এতএব, মিশ্রণে পদার্থ দুটির আয়তন $\frac{m}{{{D_1}}}$ ও $\frac{m}{{{D_2}}}$ । 

এতএব, এই দুটি পদার্থের মিশ্রণের আয়তন = $\frac{m}{{{D_1}}} + \frac{m}{{{D_2}}} = m\left( {\frac{{{D_1} + {D_2}}}{{{D_1}{D_2}}}} \right)$

এবং মিশ্রণের ভর = $m + m = 2m$

এতএব মিশ্রণের ঘনত্ব = ভর / আয়তন = $\frac{{2m}}{{m\left( {\frac{{{D_1} + {D_2}}}{{{D_1}{D_2}}}} \right)}} = \frac{{2{D_1}{D_2}}}{{2{D_1} + {D_2}}}$

2. দুটি তরলের ঘনত্ব যথাক্রমে 1.2 g/cm³ ও 0.8 g/cm³ । তরল দুটিকে সমভরে মেশানো হলে মিশ্রণের ঘনত্ব কত হবে ?

ধরা যাক, উভয় তরলের m g নিয়ে মিশ্রণ তৈরি করা হয়েছে ।

প্রথম তরলের আয়তন = $\frac{m}{{1.2}}c{m^3}$

দ্বিতীয় তরলের আয়তন = $\frac{m}{{0.8}}c{m^3}$

$\therefore$ তরল দুটির মিশ্রণের আয়তন $(V) = \left( {\frac{m}{{1.2}} + \frac{m}{{0.8}}} \right)c{m^3}$

মিশ্রণের ভর $(M) = (m + m) = 2mg$

$\therefore$ মিশ্রণের ঘনত্ব $d = \frac{M}{V} = \frac{{2m}}{{\frac{m}{{1.2}} + \frac{m}{{0.8}}}}$

বা, $d = \frac{{2 \times 1.2 \times 0.8}}{{1.2 + 0.8}}g/c{m^3} = 0.96g/c{m^3}$

3. 4°C তাপমাত্রায় 40 g জলে একটি পাত্র সম্পূর্ণ ভরতি হয় । ওই পাত্রটিতে 32 g কেরোসিন ধরলে কেরোসিনের ঘনত্ব কত ?

4°C তাপমাত্রায় 1 g জলের আয়তন 1 cm³ । সুতরাং ওই তাপমাত্রায় 40 g জলের আয়তন 40cm³  ।     

প্রশ্নানুসারে পাত্রটির আয়তন 40 cm³ ।

অর্থাৎ 32 g কেরোসিনের আয়তন 40 cm³ ।

সুতরাং কেরোসিনের ঘনত্ব = ভর /আয়তন = $\frac{{32}}{{40}} = \frac{4}{5} = 0.8g/c{m^3}$

4. একটি মাপনী চোঙে 60 cm³ জল আছে । একটি কর্ক ও পেরেককে একসাথে বেঁধে ওই চোঙের জলে ডোবালে কর্ক ও পেরেক সমেত জলের আয়তন 80 cm³ । শুধু পেরেকটিকে ওই চোঙের জলে ডোবালে পেরেক সমেত জলের আয়তন হয় 66 cm³ । কর্কের ভর 7g হলে ঘনত্ব কত ?

প্রদত্ত, কর্ক + পেরেক + জলের আয়তন = 80 cm³ 

এবং পেরেক + জলের আয়তন = 66 cm³ 

এতএব শুধু কর্কের আয়তন = 80 - 66 = 14 cm³

যেহেতু কর্কের ভর 7g,

এতএব কর্কের ঘনত্ব = ভর / আয়তন = $\frac{7}{{14}} = 0.5g/c{m^3}$  

5. CGS পদ্ধতিতে পারদের ঘনত্ব 13.6 g/cm³ হলে SI তে পারদের ঘনত্ব কত ? 

CGS পদ্ধতিতে পারদের ঘনত্ব d = 13.6 g/cm³ আবার 1 g/cm³ = 1000 kg/m³ 

$\therefore$ SI তে পারদের ঘনত্ব = 13.6 x 1000 kg/m³ = 13600 kg/m³

6. একটি জলের ট্যাংকের দৈর্ঘ্য 1.2 m, প্রস্থ 1 m ও উচ্চতা 0.8 m । ট্যাংকের জলের আয়তন কত লিটার ?

ট্যাংকের জলের আয়তন = 1.2 m x 1 m x 0.8 m

= 0.96 m³ = 0.96 x 1000 L = 960 L 

7.  লোহার তৈরি একটি নিরেট গোলকের ব্যাস 21 m । লোহার ঘনত্ব 7.8 g/cm³ হলে গোলকের ভর কত ?

প্রশ্নানুযায়ী গোলকের ব্যাস = 21 cm

$\therefore$ গোলকটির ব্যাসার্ধ $r = \frac {{21}}{2}cm$;

লোহার ঘনত্ব d = 7.8 g/cm³

$\therefore$ গোলকের আয়তন $V = \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{4}{3} \times \frac{{22}}{7} \times {\left( {\frac{{21}}{2}} \right)^3} = 4851$ cm³ 

$\therefore$ লোহার গোলকটির ভর $m = d \times V = 7.8g/c{m^3} \times 4851c{m^3} = 37837.8g = 37.84kg$ (approximate)

8. দুটি তরলের ঘনত্ব যথাক্রমে 1.2 g/cm³ ও 1.5 g/cm³ । তরল দুটিকে সম-আয়তনে মেশানো হলে মিশ্রণের ঘনত্ব কত হবে ?

ধরা যাক, উভয় তরলের V cm³ আয়তন নিয়ে মিশ্রণ তৈরি করা হয়েছে ।

প্রথম তরলের ভর = প্রথম তরলের ভর x তরলটির আয়তন = 1.2 V g

দ্বিতীয় তরলের ভর = দ্বিতীয় তরলের ভর x তরলটির আয়তন = 1.5 V g

$\therefore$ তরল দুটির মিশ্রণের ভর $m = (1.2V + 1.5V)g = 2.7Vg$

মিশ্রণের আয়তন ${V_1} = (V + V)c{m^3} = 2Vc{m^3}$

$\therefore$ মিশ্রণের ঘনত্ব $\frac{m}{{{V_1}}} = \frac{{2.7Vg}}{{2Vc{m^3}}} = 1.35g/c{m^3}$

*****