পরিমাপ সংক্রান্ত গাণিতিক উদাহরণ (Mathematical Example) :
1. D1 ও D2 ঘনত্বের দুটি পদার্থকে সমভরে মেশানো হলে মিশ্রণের ঘনত্ব কত হবে ?
ধরা যাক, মিশ্রিত পদার্থ দুটির প্রতিটির ভর m ।
এতএব, মিশ্রণে পদার্থ দুটির আয়তন [tex]\frac{m}{{{D_1}}}[/tex] ও [tex]\frac{m}{{{D_2}}}[/tex] ।
এতএব, এই দুটি পদার্থের মিশ্রণের আয়তন = [tex]\frac{m}{{{D_1}}} + \frac{m}{{{D_2}}} = m\left( {\frac{{{D_1} + {D_2}}}{{{D_1}{D_2}}}} \right)[/tex]
এবং মিশ্রণের ভর = [tex]m + m = 2m[/tex]
এতএব মিশ্রণের ঘনত্ব = ভর / আয়তন = [tex]\frac{{2m}}{{m\left( {\frac{{{D_1} + {D_2}}}{{{D_1}{D_2}}}} \right)}} = \frac{{2{D_1}{D_2}}}{{2{D_1} + {D_2}}}[/tex]
2. দুটি তরলের ঘনত্ব যথাক্রমে 1.2 g/cm3 ও 0.8 g/cm3 । তরল দুটিকে সমভরে মেশানো হলে মিশ্রণের ঘনত্ব কত হবে ?
ধরা যাক, উভয় তরলের m g নিয়ে মিশ্রণ তৈরি করা হয়েছে ।
প্রথম তরলের আয়তন = [tex]\frac{m}{{1.2}}c{m^3}[/tex]
দ্বিতীয় তরলের আয়তন = [tex]\frac{m}{{0.8}}c{m^3}[/tex]
[tex]\therefore[/tex] তরল দুটির মিশ্রণের আয়তন [tex](V) = \left( {\frac{m}{{1.2}} + \frac{m}{{0.8}}} \right)c{m^3}[/tex]
মিশ্রণের ভর [tex](M) = (m + m) = 2mg[/tex]
[tex]\therefore[/tex] মিশ্রণের ঘনত্ব [tex] d = \frac{M}{V} = \frac{{2m}}{{\frac{m}{{1.2}} + \frac{m}{{0.8}}}}[/tex]
বা, [tex]d = \frac{{2 \times 1.2 \times 0.8}}{{1.2 + 0.8}}g/c{m^3} = 0.96g/c{m^3}[/tex]
3. 4°C তাপমাত্রায় 40 g জলে একটি পাত্র সম্পূর্ণ ভরতি হয় । ওই পাত্রটিতে 32 g কেরোসিন ধরলে কেরোসিনের ঘনত্ব কত ?
4°C তাপমাত্রায় 1 g জলের আয়তন 1 cm3 । সুতরাং ওই তাপমাত্রায় 40 g জলের আয়তন 40cm3 ।
প্রশ্নানুসারে পাত্রটির আয়তন 40 cm3 ।
অর্থাৎ 32 g কেরোসিনের আয়তন 40 cm3 ।
সুতরাং কেরোসিনের ঘনত্ব = ভর /আয়তন = [tex]\frac{{32}}{{40}} = \frac{4}{5} = 0.8g/c{m^3}[/tex]
4. একটি মাপনী চোঙে 60 cm3 জল আছে । একটি কর্ক ও পেরেককে একসাথে বেঁধে ওই চোঙের জলে ডোবালে কর্ক ও পেরেক সমেত জলের আয়তন 80 cm3 । শুধু পেরেকটিকে ওই চোঙের জলে ডোবালে পেরেক সমেত জলের আয়তন হয় 66 cm3 । কর্কের ভর 7g হলে ঘনত্ব কত ?
প্রদত্ত, কর্ক + পেরেক + জলের আয়তন = 80 cm3
এবং পেরেক + জলের আয়তন = 66 cm3
এতএব শুধু কর্কের আয়তন = 80 - 66 = 14 cm3
যেহেতু কর্কের ভর 7g,
এতএব কর্কের ঘনত্ব = ভর / আয়তন = [tex]\frac{7}{{14}} = 0.5g/c{m^3}[/tex]
5. CGS পদ্ধতিতে পারদের ঘনত্ব 13.6 g/cm3 হলে SI তে পারদের ঘনত্ব কত ?
CGS পদ্ধতিতে পারদের ঘনত্ব d = 13.6 g/cm3 আবার 1 g/cm3 = 1000 kg/m3
[tex]\therefore[/tex] SI তে পারদের ঘনত্ব = 13.6 x 1000 kg/m3 = 13600 kg/m3
6. একটি জলের ট্যাংকের দৈর্ঘ্য 1.2 m, প্রস্থ 1 m ও উচ্চতা 0.8 m । ট্যাংকের জলের আয়তন কত লিটার ?
ট্যাংকের জলের আয়তন = 1.2 m x 1 m x 0.8 m
= 0.96 m3 = 0.96 x 1000 L = 960 L
7. লোহার তৈরি একটি নিরেট গোলকের ব্যাস 21 m । লোহার ঘনত্ব 7.8 g/cm3 হলে গোলকের ভর কত ?
প্রশ্নানুযায়ী গোলকের ব্যাস = 21 cm
[tex]\therefore[/tex] গোলকটির ব্যাসার্ধ [tex]r = \frac {{21}}{2}cm[/tex];
লোহার ঘনত্ব d = 7.8 g/cm3
[tex]\therefore[/tex] গোলকের আয়তন [tex]V = \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{4}{3} \times \frac{{22}}{7} \times {\left( {\frac{{21}}{2}} \right)^3} = 4851[/tex] cm3
[tex]\therefore[/tex] লোহার গোলকটির ভর [tex]m = d \times V = 7.8g/c{m^3} \times 4851c{m^3} = 37837.8g = 37.84kg[/tex] (approximate)
8. দুটি তরলের ঘনত্ব যথাক্রমে 1.2 g/cm3 ও 1.5 g/cm3 । তরল দুটিকে সম-আয়তনে মেশানো হলে মিশ্রণের ঘনত্ব কত হবে ?
ধরা যাক, উভয় তরলের V cm3 আয়তন নিয়ে মিশ্রণ তৈরি করা হয়েছে ।
প্রথম তরলের ভর = প্রথম তরলের ভর x তরলটির আয়তন = 1.2 V g
দ্বিতীয় তরলের ভর = দ্বিতীয় তরলের ভর x তরলটির আয়তন = 1.5 V g
[tex]\therefore[/tex] তরল দুটির মিশ্রণের ভর [tex]m = (1.2V + 1.5V)g = 2.7Vg[/tex]
মিশ্রণের আয়তন [tex]{V_1} = (V + V)c{m^3} = 2Vc{m^3}[/tex]
[tex]\therefore[/tex] মিশ্রণের ঘনত্ব [tex]\frac{m}{{{V_1}}} = \frac{{2.7Vg}}{{2Vc{m^3}}} = 1.35g/c{m^3}[/tex]
*****
