ষষ্ট অধ্যায়ঃ ম্যাট্রিক্স তত্ত্ব ( Theory of Matrix )

Submitted by arpita pramanik on Thu, 02/17/2011 - 14:29

সংক্ষিপ্তকরণ -[ Summarisation ]

 

(1)  ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা :  [tex] m \cdot n[/tex] সংখ্যক সংখ্যা [tex]m[/tex]- সংখ্যক সারি এবং  [tex]n[/tex]- সংখ্যক স্তম্ভের মাধ্যমে আয়তাকারে সজ্জিত হলে সজ্জাকে একটি  [tex]m \times n[/tex]  ক্রমের ম্যাট্রিক্স বলা হয় । সজ্জাটিকে একটি বর্গ ( square ) ম্যাট্রিক্স বলা হয় যখন [tex] m = n[/tex] ; (অর্থাৎ [tex]m \ne n[/tex] হলে ) সজ্জাটিকে একটি আয়তকার ( rectangular ) ম্যাট্রিক্স বলে  ।

 

(2)  শূন্য ( null or zero ) ম্যাট্রিক্স : কোনো ম্যাট্রিক্সের প্রত্যেকটি পদ শূন্য হলে তাকে  শূন্য ম্যাট্রিক্স বলা হয় এবং একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স 0 প্রতিক দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।

 

(3) একক  (unit or identity) ম্যাট্রিক্স : কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সের  প্রারম্ভিক  কর্ণ বরাবর  প্রত্যেকটি পদের মান 'এক ' ( অর্থাৎ 1 ) এবং অবশিষ্ট সব পদের মান শূন্য হলে তাকে একক ম্যাট্রিক্স বলা হয় এবং তা সাধারনত [tex]I[/tex] অক্ষর  দ্বারা প্রকাশ করা হয়  ।

 

(4) ম্যাট্রিক্সের সমতা (equality of matrices): দুটি ম্যাট্রিক্স পরস্পর সমান বলা হবে যদি তারা একই ক্রমের হয় এবং  তাদের অনুরূপ স্থানে একই পদ থাকে ; দুটি ম্যাট্রিক্স  [tex]A[/tex] ও  [tex]B[/tex] -এর সমতা [tex]A = B[/tex]  দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।

 

(5) সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স ও নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স  ( singular and non-singular matrices ): একটি বর্গ  ম্যাট্রিক্স  [tex]A[/tex]-এর পদগুলি দিয়ে গঠিত নির্ণায়ককে  [tex]A[/tex] ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক বলা হয় এবং তা det  [tex]A[/tex]  অথবা  [tex]\left| A \right|[/tex] আকারে প্রকাশ করা হয় ।  det [tex]A=0 [/tex] হলে [tex]A[/tex] ম্যাট্রিক্সকে  সিঙ্গুলার এবং  det [tex]A \ne 0[/tex]  হলে তাকে নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স বলা হয় ।

 

(6) পরিবর্ত ম্যাট্রিক্স (tanspose of a matrix) :  মনে করা যাক  [tex]A[/tex]  একটি প্রদত্ত  [tex]m \times n[/tex] ক্রমের ম্যাট্রিক্স ;  [tex]A[/tex] ম্যাট্রিক্সের সারি ও স্তম্ভসমূহের পদগুলি যথাক্রমে স্তম্ভ ও সারি বরাবর লিখে যে [tex]m \times n[/tex] ক্রমের ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে [tex]A[/tex] ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত ম্যাট্রিক্স বলা হয় এবং তা [tex]{A^'}[/tex]  বা [tex]{A^t}[/tex] বা [tex]{A^T}[/tex] প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।

 

(7)  প্রতিসম ও বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স  ( symmetric and skew symmetric ) :  একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স  [tex]A[/tex] -কে প্রতিসম বলা হবে যদি [tex]{A^T} = A[/tex] ; আবার  [tex]{A^T} =  - A[/tex]  হলে ,  [tex]A[/tex] ম্যাট্রিক্স  বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স বলা হয়, এখানে  [tex]{A^T}[/tex] হল [tex]A[/tex] -এর পরিবর্ত  ম্যাট্রিক্স ।

 

(8) একটি ম্যাট্রিক্সের স্কেলার গুণ (scalar multiplication of a matirx ):  একটি ম্যাট্রিক্স [tex]A[/tex] এবং একটি স্কেলার [tex]k[/tex]-এর গুণফল হল একটি ম্যাট্রিক্স  যার প্রত্যেকটি পদ  [tex]A[/tex]  ম্যাট্রিক্সের  প্রত্যেকটি পদের [tex]k[/tex] গুণ এবং [tex]kA[/tex] আকারে প্রকাশ করা হয় ।

 

(9) দুটি ম্যাট্রিক্সের যোগফল ও বিয়োগফল ( addition and subtraction of two matrices ) :  দুটি ম্যাট্রিক্স  [tex]A[/tex] ও [tex]B[/tex] -এর যোগফল ও বিয়োগফল সংজ্ঞাত হয় যখন তারা একই ক্রমের ম্যাট্রিক্স  । [tex]A[/tex]  ও [tex]B[/tex] উভয়েই  [tex]m \times n[/tex]  ক্রমের  ম্যাট্রিক্স হলে তাদের যোগফল [tex](A + B)[/tex] -ও [tex]m \times n[/tex] ক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে ,যার পদসমূহ [tex]A[/tex] ও [tex]B[/tex] -এর অনুরূপ পদ দুটির সমষ্টির সাহায্যে নির্ণয় করা হয় । [tex]A[/tex] ও [tex]B[/tex]  ম্যাট্রিক্সের  বিয়োগফল [tex]A[/tex] ম্যাট্রিক্সের সঙ্গে ঋণাত্মক [tex]B[/tex] ম্যাট্রিক্সের যোগফলের সাহায্যে সংজ্ঞাত হয় অর্থাৎ [tex]A - B = A + ( - B) = A + ( - 1)B[/tex]  ।

 

(10)  [tex]A,B,C[/tex]  একই ক্রমের তিনটি ম্যাট্রিক্স হলে ,
    (i)   [tex]A + B = B + A[/tex]
   (ii)   [tex](A + B) + C = A + (B + C)[/tex]
  (iii)   [tex]k(A + B) = kA + kB[/tex] , যেখানে [tex]k[/tex] একটি স্কেলার
  (iv)   [tex]A + O = O + A = A[/tex]
  (v)    [tex]A + ( - A) = ( - A) + A = O[/tex]  যেখানে [tex]O[/tex] হল শূন্য ম্যাট্রিক্স ।
  (vi)   [tex]A + C = B + C[/tex]  হলে [tex]A = B[/tex] ।

 

(11)  ম্যাট্রিক্সের গুণ (multiplication of matrices ):  দুটি  ম্যাট্রিক্স [tex]A[/tex] ও [tex]B[/tex] এর গুণফল [tex]AB[/tex]  সংজ্ঞাত হয় যদি [tex]A[/tex] ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা (no of columns) [tex]B[/tex] ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যার (no of rows ) সমান হয় ।

[tex]A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}[/tex] এবং [tex]B ={\left[ {{b_{ij}}} \right]_{p \times n}}[/tex] হলে [tex]AB[/tex] গুণফল ম্যাট্রিক্স [tex]m \times n[/tex] ক্রমের হবে এবং তার [tex]i[/tex] -তম সারি ও [tex]j[/tex]-তম স্তম্ভের সংযোগস্থলের  পদটি , [tex]A[/tex] ম্যাট্রিক্সের [tex]i[/tex] -তম সারির পদগুলি  [tex]B[/tex] ম্যাট্রিক্সের [tex]j[/tex] -তম  স্তম্ভের অনুরূপ পদগুলি পরপর গুণ করে ও গুণফল গুলির সমষ্টি নিয়ে , নির্ণয় করা হয় ।

 

(12) [tex]A[/tex], [tex]B[/tex]  ও  [tex]C[/tex]  তিনটি ম্যাট্রিক্স হলে ,
(i) সাধারণভাবে [tex]AB \ne BA[/tex] অর্থাৎ ম্যাট্রিক্সের গুণ সাধারণভাবে বিনিময় নিয়ম (commutative law) সিদ্ধ করে না ।
(ii) [tex](AB)C = A(BC)[/tex] , যখন সংশ্লিষ্ট গুণফলগুলি সংজ্ঞাত  ।
(iii) [tex]A(B + C) = AB + AC[/tex]  যখন সংশ্লিষ্ট  যোগফলগুলি ও গুণফলগুলি সংজ্ঞাত  ।
(iv) [tex]CA = CB[/tex]  হলে [tex]A = B[/tex] হবে এমন স্থিরতা নেই ।
(v)  [tex]A \cdot O = O \cdot A = O[/tex]  যেখানে [tex]O[/tex]  হল শূন্য ম্যাট্রিক্স ।
(vi) [tex]A \cdot I = I \cdot A = A[/tex]   যেখানে [tex]I[/tex]  হল একক ম্যাট্রিক্স ।
(vii) [tex]A \ne O[/tex] ও [tex]B \ne O[/tex] হলেও [tex]AB = O[/tex]  হতে পারে যেখানে  [tex]O[/tex] হল  শূন্য ম্যাট্রিক্স ।

 

(13) A বর্গ ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত [tex]{A^T}[/tex] এবং [tex]A \cdot {A^T} = {A^T} \cdot A = 1[/tex] হলে A -কে লম্ব (orthogonal) ম্যাট্রিক্স বলা হয় ।

14) A ও B  ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত যথাক্রমে [tex]{A^T}[/tex] ও [tex]{B^T}[/tex]  হলে ,
(i)   [tex]{({A^T})^T} = A[/tex]
(ii)  [tex]{(A + B)^T} = {A^T} + {B^T}[/tex]
(iii) [tex]{(A - B)^T} = {A^T} - {B^T}[/tex]
(iv  [tex]{(AB)^T} = {B^T} \cdot {A^T}[/tex]

(15)  একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A- কে একটি প্রতিসম  (symmetric) ম্যাট্রিক্স এবং একটি বিপ্রাতিসম (skew-symmetric) ম্যাট্রিক্সের সমষ্টির আকারে প্রকাশ করা যায় অর্থাৎ ,
   [tex]A = {1 \over 2}(A + {A^T}) + {1 \over 2}(A - {A^T})[/tex]
    যেখানে [tex]{1 \over 2}(A + {A^T})[/tex] একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স এবং  [tex]{1 \over 2}(A - {A^T})[/tex] একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স ।

(16)  অ্যাডজয়েন্ট বা অ্যাডজুগেট  ম্যাট্রিক্স ( adjoint or adjugate matrix ) A বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক [tex]\left| A \right|[/tex] এবং [tex]\left| A \right|[/tex] -র পদগুলির সহগুণনীয়কগুলি (co-factors) দ্বারা প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত (transpose) ম্যাট্রিক্সকে A ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট বলা হয় এবং তা Adj A  বা  Adj A  প্রতীক  দ্বারা  প্রকাশ করা হয় ।

(17) বিলোম বা বিপরীত ম্যাট্রিক্স ( inverse of a matrix ):  দুটি একই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স A ও B যদি এমন ভাবে সম্বন্ধযুক্ত হয় যে , [tex]AB = BA = I[/tex], যেখানে I  হল একই ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স তবে B ম্যাট্রিক্সকে A  ম্যাট্রিক্সের বিপরীত অথবা A ম্যাট্রিক্সকে B ম্যাট্রিক্সের বিপরীত বলা হয় ।  A ম্যাট্রিক্সের বিলোম বা বিপরীত [tex]{A^{ - 1}}[/tex] প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়  ।

(18) A বর্গ ম্যাট্রিক্সের বিপরীতের অস্তিত্ব থাকে যখন [tex]\left| A \right| \ne 0[/tex] এবং  [tex]{A^{ - 1}} = {{AdjA} \over {\left| A \right|}}[/tex] হয় ।

(19) A ও B দুটি  বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং  [tex]\left| A \right| \ne 0[/tex]  ও [tex]\left| B \right| \ne 0[/tex]  হলে
(i)   [tex]{A^{ - 1}}A = A \cdot {A^{ - 1}} = I[/tex]
(ii)  [tex]{({A^{ - 1}})^{ - 1}} = A[/tex]
(iii) [tex]{({A^{ - 1}})^T} = {({A^T})^{ - 1}}[/tex]
(iv) [tex]{(AB)^{ - 1}} = {B^{ - 1}} \cdot {A^{ - 1}}[/tex]

 

 

 

Related Items