পিথাগোরাসের উপপাদ্য

পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)

পিথাগোরাসের উপপাদ্য :- কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান । 

ধরা যাক [tex]ABC[/tex] একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার [tex]\angle A[/tex] সমকোণ ।

প্রমাণ করতে হবে [tex]B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}[/tex]

অঙ্কন : সমকৌনিক বিন্দু A থেকে অতিভুজ BC এর উপরে AD লম্ব অঙ্কন করা হল যা BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে । 

প্রমাণ : সমকোণী ত্রিভুজ ABC এর অতিভুজ BC এর উপরে AD লম্ব । 

অতএব ত্রিভুজ ABD ও ত্রিভুজ ABC সদৃশ 

সুতরাং [tex]\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BD}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2} = BD \cdot BC[/tex] ......(i)

আবার ত্রিভুজ CAD ও ত্রিভুজ CBA সদৃশ 

সুতরাং [tex]\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{DC}}{{AC}} \Rightarrow A{C^2} = BC \cdot DC[/tex].............(ii)

এখন (i) + (ii) করে পাই 

[tex]\begin{array}{l}
A{B^2} + A{C^2}\\
 = BD \cdot BC + BC \cdot DC\\
 = BC \cdot \left( {BD + DC} \right)\\
 = BC \cdot BC\\
 = B{C^2}
\end{array}[/tex]

অতএব প্রমাণিত [tex]B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}[/tex]

আজ থেকে অনেক পূর্বে ( প্রায় 800 BC ) একজন প্রাচীন ভারতীয় গণিতজ্ঞ বৌদ্ধায়ন পিথাগোরাসের উপপাদ্যটিকে নিন্মরূপে বলেছিলেন । তিনি বলেছিলেন একটি আয়তকার চিত্রের কর্ণের উপর বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল উহার উভয় বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান । 

[ The diagonal of a rectangle produces by itself the same area as produced by its both sides ( i.e length and breath )]

এই জন্য এই উপপাদ্যটিকে কখনও কখনও বৌদ্ধায়নের উপপাদ্য বলা হয় । 

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য  :- কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে, ত্রিভুজটি সমকোণী হবে, যার বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণ সমকোণ হবে ।

মনে করি ABC ত্রিভুজের AB বাহুর উপরে অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল BC ও AC বাহুর উপরে অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সঙ্গে সমান। অর্থাৎ , [tex]A{B^2} = B{C^2} + A{C^2}[/tex]

প্রমাণ করতে হবে [tex]\angle ACB = {90^ \circ }[/tex] = 1 সমকোণ 

অঙ্কন : CB এর সমান করে FE সরলরেখা অঙ্কন করলাম। FE বাহুর উপরে F বিন্দুতে লম্ব অঙ্কন করলাম এবং সেই লম্ব থেকে CA বাহুর সমান করে FD অংশ কেটে নিলাম এবং DE বিন্দুদ্বয় যোগ করলাম। 

প্রমাণ : 

[tex]\begin{array}{l}
A{B^2} = B{C^2} + A{C^2}\\
 = E{F^2} + D{F^2}
\end{array}[/tex]

( যেহেতু অঙ্কনানুসারে EF = BC এবং AC = DF )

[tex] = D{E^2}[/tex]

এখন ত্রিভুজ ABC ও ত্রিভুজ DEF এর AB = DE , BC = EF এবং AC = DF 

অতএব ত্রিভুজ ABC [tex] \cong [/tex] ত্রিভুজ DEF 

অতএব [tex]\angle ACB = \angle DFE = {90^ \circ }[/tex]= 1 সমকোণ ( যেহেতু [tex]DF \bot EF[/tex] অঙ্কনানুসারে )

অতএব [tex]\angle ACB = {90^ \circ }[/tex] = 1 সমকোণ 

উদাহরণ 1.  [tex]ABC[/tex] সমকোণী ত্রিভুজের [tex] \angle ABC[/tex] = এক সমকোণ এবং [tex]AB = 5[/tex] সেমি এবং [tex]BC =12[/tex] সেমি । [tex]ABC[/tex] ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ কত ?

সমাধান : যেহেতু [tex] \angle ABC[/tex] = এক সমকোণ, সুতরাং [tex]AC[/tex] হল [tex] \triangle ABC[/tex] -এর পরিবৃত্তের ব্যাস । এখন সমকোণী ত্রিভুজ [tex]ABC[/tex] থেকে পাই —

[tex]AC^2=BC^2+AB^2= \left( {12} \right)^2+5^2=144+25[/tex]

         [tex]=169=\left( {13} \right)^2[/tex] 

[tex]\therefore AC=13[/tex]

[tex]\therefore \triangle ABC [/tex]-এর পরিব্যাসার্ধ =[tex]{{13} \over 2}[/tex] সেমি = [tex] 6.5[/tex] সেমি.  

উদাহরণ 2.  [tex]ABC[/tex] সমকোণী ত্রিভুজের [tex] \angle B[/tex] সমকোণ এবং [tex]BD \bot AC[/tex] হলে নীচের সম্পর্কগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক হবে ?

(i) [tex]BC^2+DC^2=AC^2[/tex]

(ii) [tex]AB^2-BC^2=AD^2-CD^2[/tex]

(iii) [tex]BC^2-BD^2=AB^2-AD^2[/tex]

সমাধান : [tex]\triangle ABD[/tex] সমকোণী ত্রিভুজ

[tex]\therefore AB^2=BD^2+AD^2[/tex]

আবার সমকোণী ত্রিভুজ [tex]BCD[/tex]-এর [tex]BC^2=BD^2+CD^2[/tex]

[tex]\therefore AB^2-BC^2= \left( BD^2+AD^2 \right) - \left( BD^2+CD^2 \right) =AD^2-CD^2 [/tex]

[tex]\therefore[/tex] (ii) সম্পর্কটি সঠিক ।

*****