Problem 0013 | Quadratic Equations

Submitted by Publisher on Wed, 02/20/2013 - 20:34

উদাহরণ ১৩৷  (১)  k  এর যে সব মানের জন্য  [tex]{x^2} - kx - 21 = 0[/tex] এবং [tex]{x^2} - 3kx + 35 = 0[/tex]  সমীকরণ দুটির একটি সাধারণ বীজ থাকবে তা নির্ণয় কর।                [H.S ‘87]

(২)  প্রমান করো যে, [tex]{x^2} + px + qr = 0[/tex]  এবং  [tex]{x^2} + qx + pr = 0\left( {p \ne q,r \ne 0} \right)[/tex] সমীকরণ দুটির একটি সাধারণ বীজ থাকলে  [tex]p + q + r = 0[/tex]                               [H.S ‘99]

সমাধানঃ  (১)  মনে করি [tex]\alpha [/tex]  হল [tex]{x^2} - kx - 21 = 0[/tex]  এবং  [tex]{x^2} - 3kx + 35 = 0[/tex] সমীকরণ দুটির একটি সাধারণ বীজ।

অতএব

[tex]\begin{array}{l}
{\alpha ^2} - k\alpha  - 21 = 0 \to \left( 1 \right)\\
{\alpha ^2} - 3k\alpha  + 35 = 0 \to \left( 2 \right)\\
\left( 1 \right) - \left( 2 \right)\\
2k\alpha  - 56 = 0\\
 \Rightarrow 2k\alpha  = 56\\
 \Rightarrow k\alpha  = 28 \to \left( 3 \right)
\end{array}[/tex]

 [tex]k\alpha [/tex]- এর মান (1)  নং সমীকরণে বসিয়া পাই

[tex]\begin{array}{l}
{\alpha ^2} - 28 - 21 = 0\\
 \Rightarrow {\alpha ^2} - 49 = 0\\
 \Rightarrow \alpha  =  \pm 7
\end{array}[/tex]

অতএব [tex]k[/tex] -এর মান গুলি হবে

[tex]\begin{array}{l}
k\alpha  = 28\\
 \Rightarrow k = \frac{{28}}{\alpha } = \frac{{28}}{{ \pm 7}} =  \pm 4
\end{array}[/tex]

(২)মনে করি [tex]\alpha [/tex]  হল [tex]{x^2} + px + qr = 0[/tex]  এবং [tex]{x^2} + qx + pr = 0\left( {p \ne q,r \ne 0} \right)[/tex]  সমীকরণ দুটির একটি সাধারণ বীজ।

তাহলে আমরা পাই

[tex]\begin{array}{l}
{\alpha ^2} + p\alpha  + qr = 0 \to \left( 1 \right)\\
{\alpha ^2} + q\alpha  + pr = 0 \to \left( 2 \right)\\
\left( 1 \right) - \left( 2 \right)\\
\left( {p - q} \right)\alpha  + \left( {q - p} \right)r = 0\\
 \Rightarrow \alpha  = r \to \left( 3 \right)
\end{array}[/tex]

 [tex]\alpha  = r[/tex] (1)  নং সমীকরণে বসিয়ে পাই

[tex]\begin{array}{l}
{r^2} + pr + qr = 0\\
 \Rightarrow p + q + r = 0\left( {proved} \right)
\end{array}[/tex]

Comments

Related Items

NEET-UG 2013 Full & Final Syallabus.

National Eligibility cum Entrance Test (NEET) for admission to MBBS Course in each academic year. Syllabus for this Examination, Physics, Chemistry and Biology.

Problem 0014 | Quadratic Equation

উদাহরন ১৪৷  যদি  [tex]{x^2} + bx + ca = 0[/tex] এবং [tex]{x^2} + cx + ab = 0[/tex]  সমীকরণ দুটির শূন্য নয় এমন একটিমাত্র সাধারণ বীজ থাকে তবে প্রমান করো যে, তাদের অন্য বীজগুলি [tex]{t^2} + at + bc = 0[/tex]  সমীকরণকে সিদ্ধ করবে।                                                     [Jt. Ent.

Problem 0012 | Quadratic Equation

উদাহরণ ১২৷    [tex]a,b,c[/tex]  বাস্তব হলে প্রমান করো যে , [tex]\frac{1}{{x - a}} + \frac{1}{{x - b}} + \frac{1}{{x - c}} = 0[/tex]  সমীকরণের বীজগুলি সর্বদা বাস্তব এবং  [tex]a = b = c[/tex] না হলে বীজ দুটি সমান হতে পারে না।                 [Jt. Ent. ‘86]

সমাধানঃ   সমীকরণটি হল

Problem 0011 | Quadratic Equations

উদাহরণ ১১৷  দেখাও যে [tex]a\left( {b - c} \right){x^2} + b\left( {c - a} \right)x + c\left( {a - b} \right) = 0[/tex]  সমীকরণের বীজ দুটি সমান হলে [tex]\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}[/tex]  সামান্তর প্রগতিতে থাকবে।                  [H.S ‘96]

সমাধানঃ

মনে করি

Problem 0010 | Quadratic Equations

উদাহরণ ১০৷ [tex]p{x^2} - 2qx + p = 0[/tex]   সমীকরণের বীজ দুটি বাস্তব ও অসমান হলে দেখাও যে,  [tex]q{x^2} - 2px + q = 0[/tex] সমীকরণের বীজ দুটি কাল্পনিক হবে এবং বিপরীতক্রমেও তা সত্য ( p, q বাস্তব)

                                                         [H.S ‘93]