Problem 0013 | Quadratic Equations

উদাহরণ ১৩৷  (১)  k  এর যে সব মানের জন্য  {x^2} - kx - 21 = 0 এবং {x^2} - 3kx + 35 = 0  সমীকরণ দুটির একটি সাধারণ বীজ থাকবে তা নির্ণয় কর।                [H.S ‘87]

(২)  প্রমান করো যে, {x^2} + px + qr = 0  এবং  {x^2} + qx + pr = 0\left( {p \ne q,r \ne 0} \right) সমীকরণ দুটির একটি সাধারণ বীজ থাকলে  p + q + r = 0                               [H.S ‘99]

সমাধানঃ  (১)  মনে করি \alpha  হল {x^2} - kx - 21 = 0  এবং  {x^2} - 3kx + 35 = 0 সমীকরণ দুটির একটি সাধারণ বীজ।

অতএব

\begin{array}{l}<br />{\alpha ^2} - k\alpha  - 21 = 0 \to \left( 1 \right)\\<br />{\alpha ^2} - 3k\alpha  + 35 = 0 \to \left( 2 \right)\\<br />\left( 1 \right) - \left( 2 \right)\\<br />2k\alpha  - 56 = 0\\<br /> \Rightarrow 2k\alpha  = 56\\<br /> \Rightarrow k\alpha  = 28 \to \left( 3 \right)<br />\end{array}

 k\alpha- এর মান (1)  নং সমীকরণে বসিয়া পাই

\begin{array}{l}<br />{\alpha ^2} - 28 - 21 = 0\\<br /> \Rightarrow {\alpha ^2} - 49 = 0\\<br /> \Rightarrow \alpha  =  \pm 7<br />\end{array}

অতএব k -এর মান গুলি হবে

\begin{array}{l}<br />k\alpha  = 28\\<br /> \Rightarrow k = \frac{{28}}{\alpha } = \frac{{28}}{{ \pm 7}} =  \pm 4<br />\end{array}

(২)মনে করি \alpha  হল {x^2} + px + qr = 0  এবং {x^2} + qx + pr = 0\left( {p \ne q,r \ne 0} \right)  সমীকরণ দুটির একটি সাধারণ বীজ।

তাহলে আমরা পাই

\begin{array}{l}<br />{\alpha ^2} + p\alpha  + qr = 0 \to \left( 1 \right)\\<br />{\alpha ^2} + q\alpha  + pr = 0 \to \left( 2 \right)\\<br />\left( 1 \right) - \left( 2 \right)\\<br />\left( {p - q} \right)\alpha  + \left( {q - p} \right)r = 0\\<br /> \Rightarrow \alpha  = r \to \left( 3 \right)<br />\end{array}

 \alpha  = r (1)  নং সমীকরণে বসিয়ে পাই

\begin{array}{l}<br />{r^2} + pr + qr = 0\\<br /> \Rightarrow p + q + r = 0\left( {proved} \right)<br />\end{array}