উদাহরন ১৪৷ যদি x2+bx+ca=0 এবং x2+cx+ab=0 সমীকরণ দুটির শূন্য নয় এমন একটিমাত্র সাধারণ বীজ থাকে তবে প্রমান করো যে, তাদের অন্য বীজগুলি t2+at+bc=0 সমীকরণকে সিদ্ধ করবে। [Jt. Ent. ‘84]
সমাধানঃ মনে করি α হল x2+bx+ca=0 এবং x2+cx+ab=0 সমীকরণ দুটির সাধারণ বীজ।
তবে আমরা পাই
α2+bα+ca=0→(1)α2+cα+ab=0→(2)(1)−(2)α(b−c)−a(b−c)=0⇒α=a
অতএব a হল সমীকরণ দুটির সাধারণ বীজ।
মনে করি x2+bx+ca=0 সমীকরণের অন্য বীজটি হল β এবং x2+cx+ab=0 সমীকরণের অন্য বীজটি হল γ ।
তবে আমরা পাই
a+β=−b→(3),aβ=ca→(4)a+γ=−c→(5),aγ=ab→(6)
aযেহেতু x2+bx+ca=0 এই সমীকরণের বীজ, তাই
a2+ab+ac=0⇒a(a+b+c)=0
অতএব হয় a=0 অথবা a+b+c=0
কিন্তু a=0 হতে পারে না কারণ তাহলে α=0 হবে, তা অসম্ভব।
সুতরাং a+b+c=0 হবে।
a+b+c=0⇒b+c=−a
(3) + (5) করে পাই
2α+β+γ=−(b+c)⇒2α+β+γ=a⇒2a+β+γ=a⇒β+γ=−a→(7)
(4) ও (6) গুণ করে পাই
a2βγ=ca2b⇒βγ=cb→(8)
অতএব β,γ যে সমীকরণকে সিদ্ধ করবে তা হবে
t2−(β+γ)t+βγ=0⇒t2+at+bc=0(proved)