Problem 0014 | Quadratic Equation

Submitted by Anonymous (not verified) on Wed, 02/20/2013 - 21:13

উদাহরন ১৪৷  যদি  x2+bx+ca=0 এবং x2+cx+ab=0  সমীকরণ দুটির শূন্য নয় এমন একটিমাত্র সাধারণ বীজ থাকে তবে প্রমান করো যে, তাদের অন্য বীজগুলি t2+at+bc=0  সমীকরণকে সিদ্ধ করবে।                                                     [Jt. Ent. ‘84]

সমাধানঃ মনে করি α  হল x2+bx+ca=0  এবং x2+cx+ab=0  সমীকরণ দুটির সাধারণ বীজ।

তবে আমরা পাই

α2+bα+ca=0(1)α2+cα+ab=0(2)(1)(2)α(bc)a(bc)=0α=a

অতএব a  হল সমীকরণ দুটির সাধারণ বীজ।

মনে করি x2+bx+ca=0 সমীকরণের অন্য বীজটি হল β  এবং x2+cx+ab=0 সমীকরণের অন্য বীজটি হল γ

তবে আমরা পাই

a+β=b(3),aβ=ca(4)a+γ=c(5),aγ=ab(6)

 aযেহেতু  x2+bx+ca=0 এই সমীকরণের বীজ, তাই

a2+ab+ac=0a(a+b+c)=0

অতএব হয় a=0 অথবা a+b+c=0

কিন্তু a=0 হতে পারে না কারণ তাহলে α=0 হবে, তা অসম্ভব।

সুতরাং a+b+c=0 হবে।

a+b+c=0b+c=a

(3) + (5) করে পাই

2α+β+γ=(b+c)2α+β+γ=a2a+β+γ=aβ+γ=a(7)

(4) ও (6)  গুণ করে পাই

a2βγ=ca2bβγ=cb(8)

অতএব  β,γ যে সমীকরণকে সিদ্ধ করবে তা হবে

t2(β+γ)t+βγ=0t2+at+bc=0(proved)

 

Comments

Related Items