উদাহরন ১৪৷ যদি [tex]{x^2} + bx + ca = 0[/tex] এবং [tex]{x^2} + cx + ab = 0[/tex] সমীকরণ দুটির শূন্য নয় এমন একটিমাত্র সাধারণ বীজ থাকে তবে প্রমান করো যে, তাদের অন্য বীজগুলি [tex]{t^2} + at + bc = 0[/tex] সমীকরণকে সিদ্ধ করবে। [Jt. Ent. ‘84]
সমাধানঃ মনে করি [tex]\alpha [/tex] হল [tex]{x^2} + bx + ca = 0[/tex] এবং [tex]{x^2} + cx + ab = 0[/tex] সমীকরণ দুটির সাধারণ বীজ।
তবে আমরা পাই
[tex]\begin{array}{l}
{\alpha ^2} + b\alpha + ca = 0 \to \left( 1 \right)\\
{\alpha ^2} + c\alpha + ab = 0 \to \left( 2 \right)\\
\left( 1 \right) - \left( 2 \right)\\
\alpha \left( {b - c} \right) - a\left( {b - c} \right) = 0\\
\Rightarrow \alpha = a
\end{array}[/tex]
অতএব [tex]a[/tex] হল সমীকরণ দুটির সাধারণ বীজ।
মনে করি [tex]{x^2} + bx + ca = 0[/tex] সমীকরণের অন্য বীজটি হল [tex]\beta [/tex] এবং [tex]{x^2} + cx + ab = 0[/tex] সমীকরণের অন্য বীজটি হল [tex]\gamma [/tex] ।
তবে আমরা পাই
[tex]\begin{array}{l}
a + \beta = - b \to \left( 3 \right),a\beta = ca \to \left( 4 \right)\\
a + \gamma = - c \to \left( 5 \right),a\gamma = ab \to \left( 6 \right)
\end{array}[/tex]
[tex]a[/tex]যেহেতু [tex]{x^2} + bx + ca = 0[/tex] এই সমীকরণের বীজ, তাই
[tex]\begin{array}{l}
{a^2} + ab + ac = 0\\
\Rightarrow a\left( {a + b + c} \right) = 0
\end{array}[/tex]
অতএব হয় [tex]a = 0[/tex] অথবা [tex]a + b + c = 0[/tex]
কিন্তু [tex]a = 0[/tex] হতে পারে না কারণ তাহলে [tex]\alpha = 0[/tex] হবে, তা অসম্ভব।
সুতরাং [tex]a + b + c = 0[/tex] হবে।
[tex]a + b + c = 0 \Rightarrow b + c = - a[/tex]
(3) + (5) করে পাই
[tex]\begin{array}{l}
2\alpha + \beta + \gamma = - \left( {b + c} \right)\\
\Rightarrow 2\alpha + \beta + \gamma = a\\
\Rightarrow 2a + \beta + \gamma = a\\
\Rightarrow \beta + \gamma = - a \to \left( 7 \right)
\end{array}[/tex]
(4) ও (6) গুণ করে পাই
[tex]\begin{array}{l}
{a^2}\beta \gamma = c{a^2}b\\
\Rightarrow \beta \gamma = cb \to \left( 8 \right)
\end{array}[/tex]
অতএব [tex]\beta ,\gamma [/tex] যে সমীকরণকে সিদ্ধ করবে তা হবে
[tex]\begin{array}{l}
{t^2} - \left( {\beta + \gamma } \right)t + \beta \gamma = 0\\
\Rightarrow {t^2} + at + bc = 0\left( {proved} \right)
\end{array}[/tex]