উদাহরণ ১৩৷ (১) k এর যে সব মানের জন্য [tex]{x^2} - kx - 21 = 0[/tex] এবং [tex]{x^2} - 3kx + 35 = 0[/tex] সমীকরণ দুটির একটি সাধারণ বীজ থাকবে তা নির্ণয় কর। [H.S ‘87]
(২) প্রমান করো যে, [tex]{x^2} + px + qr = 0[/tex] এবং [tex]{x^2} + qx + pr = 0\left( {p \ne q,r \ne 0} \right)[/tex] সমীকরণ দুটির একটি সাধারণ বীজ থাকলে [tex]p + q + r = 0[/tex] [H.S ‘99]
সমাধানঃ (১) মনে করি [tex]\alpha [/tex] হল [tex]{x^2} - kx - 21 = 0[/tex] এবং [tex]{x^2} - 3kx + 35 = 0[/tex] সমীকরণ দুটির একটি সাধারণ বীজ।
অতএব
[tex]\begin{array}{l}
{\alpha ^2} - k\alpha - 21 = 0 \to \left( 1 \right)\\
{\alpha ^2} - 3k\alpha + 35 = 0 \to \left( 2 \right)\\
\left( 1 \right) - \left( 2 \right)\\
2k\alpha - 56 = 0\\
\Rightarrow 2k\alpha = 56\\
\Rightarrow k\alpha = 28 \to \left( 3 \right)
\end{array}[/tex]
[tex]k\alpha [/tex]- এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়া পাই
[tex]\begin{array}{l}
{\alpha ^2} - 28 - 21 = 0\\
\Rightarrow {\alpha ^2} - 49 = 0\\
\Rightarrow \alpha = \pm 7
\end{array}[/tex]
অতএব [tex]k[/tex] -এর মান গুলি হবে
[tex]\begin{array}{l}
k\alpha = 28\\
\Rightarrow k = \frac{{28}}{\alpha } = \frac{{28}}{{ \pm 7}} = \pm 4
\end{array}[/tex]
(২)মনে করি [tex]\alpha [/tex] হল [tex]{x^2} + px + qr = 0[/tex] এবং [tex]{x^2} + qx + pr = 0\left( {p \ne q,r \ne 0} \right)[/tex] সমীকরণ দুটির একটি সাধারণ বীজ।
তাহলে আমরা পাই
[tex]\begin{array}{l}
{\alpha ^2} + p\alpha + qr = 0 \to \left( 1 \right)\\
{\alpha ^2} + q\alpha + pr = 0 \to \left( 2 \right)\\
\left( 1 \right) - \left( 2 \right)\\
\left( {p - q} \right)\alpha + \left( {q - p} \right)r = 0\\
\Rightarrow \alpha = r \to \left( 3 \right)
\end{array}[/tex]
[tex]\alpha = r[/tex] (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই
[tex]\begin{array}{l}
{r^2} + pr + qr = 0\\
\Rightarrow p + q + r = 0\left( {proved} \right)
\end{array}[/tex]