Problem 0013 | Quadratic Equations

Submitted by Anonymous (not verified) on Wed, 02/20/2013 - 20:34

উদাহরণ ১৩৷  (১)  k  এর যে সব মানের জন্য  [tex]{x^2} - kx - 21 = 0[/tex] এবং [tex]{x^2} - 3kx + 35 = 0[/tex]  সমীকরণ দুটির একটি সাধারণ বীজ থাকবে তা নির্ণয় কর।                [H.S ‘87]

(২)  প্রমান করো যে, [tex]{x^2} + px + qr = 0[/tex]  এবং  [tex]{x^2} + qx + pr = 0\left( {p \ne q,r \ne 0} \right)[/tex] সমীকরণ দুটির একটি সাধারণ বীজ থাকলে  [tex]p + q + r = 0[/tex]                               [H.S ‘99]

সমাধানঃ  (১)  মনে করি [tex]\alpha [/tex]  হল [tex]{x^2} - kx - 21 = 0[/tex]  এবং  [tex]{x^2} - 3kx + 35 = 0[/tex] সমীকরণ দুটির একটি সাধারণ বীজ।

অতএব

[tex]\begin{array}{l}
{\alpha ^2} - k\alpha  - 21 = 0 \to \left( 1 \right)\\
{\alpha ^2} - 3k\alpha  + 35 = 0 \to \left( 2 \right)\\
\left( 1 \right) - \left( 2 \right)\\
2k\alpha  - 56 = 0\\
 \Rightarrow 2k\alpha  = 56\\
 \Rightarrow k\alpha  = 28 \to \left( 3 \right)
\end{array}[/tex]

 [tex]k\alpha [/tex]- এর মান (1)  নং সমীকরণে বসিয়া পাই

[tex]\begin{array}{l}
{\alpha ^2} - 28 - 21 = 0\\
 \Rightarrow {\alpha ^2} - 49 = 0\\
 \Rightarrow \alpha  =  \pm 7
\end{array}[/tex]

অতএব [tex]k[/tex] -এর মান গুলি হবে

[tex]\begin{array}{l}
k\alpha  = 28\\
 \Rightarrow k = \frac{{28}}{\alpha } = \frac{{28}}{{ \pm 7}} =  \pm 4
\end{array}[/tex]

(২)মনে করি [tex]\alpha [/tex]  হল [tex]{x^2} + px + qr = 0[/tex]  এবং [tex]{x^2} + qx + pr = 0\left( {p \ne q,r \ne 0} \right)[/tex]  সমীকরণ দুটির একটি সাধারণ বীজ।

তাহলে আমরা পাই

[tex]\begin{array}{l}
{\alpha ^2} + p\alpha  + qr = 0 \to \left( 1 \right)\\
{\alpha ^2} + q\alpha  + pr = 0 \to \left( 2 \right)\\
\left( 1 \right) - \left( 2 \right)\\
\left( {p - q} \right)\alpha  + \left( {q - p} \right)r = 0\\
 \Rightarrow \alpha  = r \to \left( 3 \right)
\end{array}[/tex]

 [tex]\alpha  = r[/tex] (1)  নং সমীকরণে বসিয়ে পাই

[tex]\begin{array}{l}
{r^2} + pr + qr = 0\\
 \Rightarrow p + q + r = 0\left( {proved} \right)
\end{array}[/tex]

Comments

Related Items