Problem 0013 | Quadratic Equations

উদাহরণ ১৩৷  (১)  k  এর যে সব মানের জন্য  ${x^2} - kx - 21 = 0$ এবং ${x^2} - 3kx + 35 = 0$  সমীকরণ দুটির একটি সাধারণ বীজ থাকবে তা নির্ণয় কর।                [H.S ‘87]

(২)  প্রমান করো যে, ${x^2} + px + qr = 0$  এবং  ${x^2} + qx + pr = 0\left( {p \ne q,r \ne 0} \right)$ সমীকরণ দুটির একটি সাধারণ বীজ থাকলে  $p + q + r = 0$                               [H.S ‘99]

সমাধানঃ  (১)  মনে করি $\alpha$  হল ${x^2} - kx - 21 = 0$  এবং  ${x^2} - 3kx + 35 = 0$ সমীকরণ দুটির একটি সাধারণ বীজ।

অতএব

$\begin{array}{l} {\alpha ^2} - k\alpha  - 21 = 0 \to \left( 1 \right)\\ {\alpha ^2} - 3k\alpha  + 35 = 0 \to \left( 2 \right)\\ \left( 1 \right) - \left( 2 \right)\\ 2k\alpha  - 56 = 0\\  \Rightarrow 2k\alpha  = 56\\  \Rightarrow k\alpha  = 28 \to \left( 3 \right) \end{array}$

 $k\alpha$- এর মান (1)  নং সমীকরণে বসিয়া পাই

$\begin{array}{l} {\alpha ^2} - 28 - 21 = 0\\  \Rightarrow {\alpha ^2} - 49 = 0\\  \Rightarrow \alpha  =  \pm 7 \end{array}$

অতএব $k$ -এর মান গুলি হবে

$\begin{array}{l} k\alpha  = 28\\  \Rightarrow k = \frac{{28}}{\alpha } = \frac{{28}}{{ \pm 7}} =  \pm 4 \end{array}$

(২)মনে করি $\alpha$  হল ${x^2} + px + qr = 0$  এবং ${x^2} + qx + pr = 0\left( {p \ne q,r \ne 0} \right)$  সমীকরণ দুটির একটি সাধারণ বীজ।

তাহলে আমরা পাই

$\begin{array}{l} {\alpha ^2} + p\alpha  + qr = 0 \to \left( 1 \right)\\ {\alpha ^2} + q\alpha  + pr = 0 \to \left( 2 \right)\\ \left( 1 \right) - \left( 2 \right)\\ \left( {p - q} \right)\alpha  + \left( {q - p} \right)r = 0\\  \Rightarrow \alpha  = r \to \left( 3 \right) \end{array}$

 $\alpha  = r$ (1)  নং সমীকরণে বসিয়ে পাই

$\begin{array}{l} {r^2} + pr + qr = 0\\  \Rightarrow p + q + r = 0\left( {proved} \right) \end{array}$