Problem 0012 | Quadratic Equation

উদাহরণ ১২৷    $a,b,c$  বাস্তব হলে প্রমান করো যে , $\frac{1}{{x - a}} + \frac{1}{{x - b}} + \frac{1}{{x - c}} = 0$  সমীকরণের বীজগুলি সর্বদা বাস্তব এবং  $a = b = c$ না হলে বীজ দুটি সমান হতে পারে না।                 [Jt. Ent. ‘86]

সমাধানঃ   সমীকরণটি হল

$\begin{array}{l} \frac{1}{{x - a}} + \frac{1}{{x - b}} + \frac{1}{{x - c}} = 0\\  \Rightarrow \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) + \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0\\  \Rightarrow {x^2} - x\left( {a + b} \right) + ab + {x^2} - x\left( {b + c} \right) + bc + {x^2} - x\left( {c + a} \right) + ca = 0\\  \Rightarrow 3{x^2} - x\left( {a + b + b + c + c + a} \right) + ab + bc + ca = 0\\  \Rightarrow 3{x^2} - 2x\left( {a + b + c} \right) + ab + bc + ca = 0 \to \left( 1 \right) \end{array}$

(1) নং সমীকরণের নিরূপক হল

$\begin{array}{l} 4{\left( {a + b + c} \right)^2} - 4 \times 3\left( {ab + bc + ca} \right)\\  = 4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc} \right) - 12\left( {ab + bc + ca} \right)\\  = 4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - 4\left( {ab + bc + ca} \right)\\  = 4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right)\\  = 2\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ac} \right)\\  = 2\left[ {\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ca + {a^2}} \right)} \right]\\  = 2\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] \to \left( 1 \right)\\  = 0 \end{array}$

অতএব দেখা যাচ্ছে নিরূপকের মান ধনাত্মক। সুতরাং সমীকরণের বীজ গুলি সর্বদা বাস্তব হবে।

যদি $a = b = c$  হয় তবে (1)  নং থেকে পাই

$\begin{array}{l} 2\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + \left( {c - {a^2}} \right)} \right]\\  = 2\left[ {{{\left( {a - a} \right)}^2} + {{\left( {b - b} \right)}^2} + {{\left( {c - c} \right)}^2}} \right]\\  = 0 \end{array}$

তাহলে নিরূপকের মান শূন্য হবে। সুতরাং $a = b = c$  হলে বীজ দুটি সমান হবে, না হলে হবে না।