Problem 0011 | Quadratic Equations

উদাহরণ ১১৷  দেখাও যে $a\left( {b - c} \right){x^2} + b\left( {c - a} \right)x + c\left( {a - b} \right) = 0$  সমীকরণের বীজ দুটি সমান হলে $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$  সামান্তর প্রগতিতে থাকবে।                  [H.S ‘96]

সমাধানঃ

মনে করি

   $\begin{array}{l} p = a\left( {b - c} \right),q = b\left( {c - a} \right),r = c\left( {a - b} \right)\\ p + q + r = a\left( {b - c} \right) + b\left( {c - a} \right) + c\left( {a - b} \right)\\  \Rightarrow p + q + r = ab - ac + bc - ab + ca - cb\\  \Rightarrow p + q + r = 0\\  \Rightarrow p + r =  - q \to \left( 1 \right) \end{array}$

নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে

$p{x^2} + qx + r = 0 \to \left( 2 \right)$

  (2) নং সমীকরণের বীজ দুটি সমান হওয়ার শর্ত হল নিরূপকটির মান যদি শূন্য হয়।

অতএব

$\begin{array}{l} {q^2} - 4pr = 0\\  \Rightarrow {\{  - \left( {p + r} \right)\} ^2} - 4pr = 0\left[ {by\left( 1 \right)} \right]\\  \Rightarrow {\left( {p + r} \right)^2} - 4pr = 0\\  \Rightarrow {\left( {p - r} \right)^2} = 0\\  \Rightarrow p = r\\  \Rightarrow a\left( {b - c} \right) = c\left( {a - b} \right)\\  \Rightarrow ab - ac = ac - bc\\  \Rightarrow ab + bc = 2ac\\  \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}\left( {proved} \right) \end{array}$