উদাহরণ ১০৷ [tex]p{x^2} - 2qx + p = 0[/tex] সমীকরণের বীজ দুটি বাস্তব ও অসমান হলে দেখাও যে, [tex]q{x^2} - 2px + q = 0[/tex] সমীকরণের বীজ দুটি কাল্পনিক হবে এবং বিপরীতক্রমেও তা সত্য ( p, q বাস্তব)
[H.S ‘93]
সমাধানঃ [tex]p{x^2} - 2qx + p = 0[/tex] সমীকরণের বীজ দুটি বাস্তব ও অসমান।
অতএব নিরূপকটি ধনাত্মক হবে।
[tex]\begin{array}{l}
{\left( { - 2q} \right)^2} - 4{p^2} > 0\\
\Rightarrow 4{q^2} - 4{p^2} > 0\\
\Rightarrow 4\left( {{q^2} - {p^2}} \right) > 0\\
\Rightarrow {q^2} > {p^2} \to \left( 1 \right)
\end{array}[/tex]
[tex]q{x^2} - 2px + q = 0[/tex] সমীকরণের নিরূপকটি হল
[tex]\begin{array}{l}
{\left( { - 2p} \right)^2} - 4{q^2}\\
= 4{p^2} - 4{q^2}\\
= 4\left( {{p^2} - {q^2}} \right) < 0\left[ {by\left( 1 \right)} \right]
\end{array}[/tex]
সুতরাং প্রমানিত [tex]q{x^2} - 2px + q = 0[/tex] সমীকরণের বীজ দুটি কাল্পনিক হবে।
বিপরীতক্রমে যদি [tex]q{x^2} - 2px + q = 0[/tex] সমীকরণের বীজ দুটি কাল্পনিক হয়। অতএব যদি [tex]{q^2} > {p^2}[/tex] হয়,
[tex]p{x^2} - 2qx + p = 0[/tex] সমীকরণের বীজ দুটি বাস্তব ও অসমান হবে।