Problem 0010 | Quadratic Equations

উদাহরণ ১০৷ $p{x^2} - 2qx + p = 0$   সমীকরণের বীজ দুটি বাস্তব ও অসমান হলে দেখাও যে,  $q{x^2} - 2px + q = 0$ সমীকরণের বীজ দুটি কাল্পনিক হবে এবং বিপরীতক্রমেও তা সত্য ( p, q বাস্তব)

                                                         [H.S ‘93]

সমাধানঃ  $p{x^2} - 2qx + p = 0$  সমীকরণের বীজ দুটি বাস্তব ও অসমান।

অতএব নিরূপকটি ধনাত্মক হবে।

$\begin{array}{l} {\left( { - 2q} \right)^2} - 4{p^2} > 0\\  \Rightarrow 4{q^2} - 4{p^2} > 0\\  \Rightarrow 4\left( {{q^2} - {p^2}} \right) > 0\\  \Rightarrow {q^2} > {p^2} \to \left( 1 \right) \end{array}$

 $q{x^2} - 2px + q = 0$ সমীকরণের নিরূপকটি হল

$\begin{array}{l} {\left( { - 2p} \right)^2} - 4{q^2}\\  = 4{p^2} - 4{q^2}\\  = 4\left( {{p^2} - {q^2}} \right) < 0\left[ {by\left( 1 \right)} \right] \end{array}$

সুতরাং প্রমানিত  $q{x^2} - 2px + q = 0$ সমীকরণের বীজ দুটি কাল্পনিক হবে।

বিপরীতক্রমে যদি $q{x^2} - 2px + q = 0$  সমীকরণের বীজ দুটি কাল্পনিক হয়। অতএব যদি ${q^2} > {p^2}$ হয়,

 $p{x^2} - 2qx + p = 0$ সমীকরণের বীজ দুটি বাস্তব ও অসমান হবে।