Problem 0010 | Quadratic Equations

Submitted by Anonymous (not verified) on Wed, 02/20/2013 - 20:00

উদাহরণ ১০৷ [tex]p{x^2} - 2qx + p = 0[/tex]   সমীকরণের বীজ দুটি বাস্তব ও অসমান হলে দেখাও যে,  [tex]q{x^2} - 2px + q = 0[/tex] সমীকরণের বীজ দুটি কাল্পনিক হবে এবং বিপরীতক্রমেও তা সত্য ( p, q বাস্তব)

                                                         [H.S ‘93]

সমাধানঃ  [tex]p{x^2} - 2qx + p = 0[/tex]  সমীকরণের বীজ দুটি বাস্তব ও অসমান।

অতএব নিরূপকটি ধনাত্মক হবে।

[tex]\begin{array}{l}
{\left( { - 2q} \right)^2} - 4{p^2} > 0\\
 \Rightarrow 4{q^2} - 4{p^2} > 0\\
 \Rightarrow 4\left( {{q^2} - {p^2}} \right) > 0\\
 \Rightarrow {q^2} > {p^2} \to \left( 1 \right)
\end{array}[/tex]

 [tex]q{x^2} - 2px + q = 0[/tex] সমীকরণের নিরূপকটি হল

[tex]\begin{array}{l}
{\left( { - 2p} \right)^2} - 4{q^2}\\
 = 4{p^2} - 4{q^2}\\
 = 4\left( {{p^2} - {q^2}} \right) < 0\left[ {by\left( 1 \right)} \right]
\end{array}[/tex]

সুতরাং প্রমানিত  [tex]q{x^2} - 2px + q = 0[/tex] সমীকরণের বীজ দুটি কাল্পনিক হবে।

বিপরীতক্রমে যদি [tex]q{x^2} - 2px + q = 0[/tex]  সমীকরণের বীজ দুটি কাল্পনিক হয়। অতএব যদি [tex]{q^2} > {p^2}[/tex] হয়,

 [tex]p{x^2} - 2qx + p = 0[/tex] সমীকরণের বীজ দুটি বাস্তব ও অসমান হবে।

Comments

Related Items