H.S. Exam 2008: -Mathematics Question Paper

Higher Secondary Examination- 2008

বিভাগ  ক :

1) নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও  ( বিকল্প প্রশ্ন গুলি লক্ষনিয়) :  [ 1 X 10 = 10 ]
(a) শূন্যস্থান পূরণ করো:  $\left|{\matrix{{{a_1}}&{{a_2}}\cr{{a_3}}&{{a_4}}\cr}}\right|$ 
-এই নির্ণায়কটির  ${a_2}$  উপাদানের  সহ-উৎপাদকটি  হবে ----------         ।

(b) ${(1 + x)^5}$  -এর বিস্তৃতির সহগগুলোর  যোগফল হবে
 (i) 16   (ii) 32  (iii) 64  (iv) 128

 (c)  ${x^2} - {y^2} = 4$  -এই পরাবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা হল  
    (i)  $2$   (ii)  $\sqrt 2$   (iii)   $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$  (iv)  $0$

অথবা,   ${(x - 1)^2} = 6 - y$   -এই অধিবৃত্তটির অক্ষ হল  
  (i) $x - 1 = 0$   (ii)  $x + 1 = 0$   (iii)  $y - 6 = 0$   (iv) $y + 6 = 0$

[d]   নীচের উত্তরটি  সত্য না  মিথ্যা  উল্লেখ  করো  :
        $f(x)$ একটি $n( \ge 1)$ ঘাতবিশিষ্ট বহুপদ রাশিমালা হলে ${f^'}(x)$ -এর ঘাত হবে  $(n + 1)$ ।
  অথবা  $y = (x - 1){e^x}$  হলে  $x = 1$ বিন্দুতে  $\frac{{dy}}{{dx}}$ -এর মান হবে  
     (i) $e$    (ii) $2e$   (iii) $1$   (iv) $0$

 [e]   শূন্যস্থান  পূরণ করো :  $y = 1 + \cos 2x$  হলে  $\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} + 4y =$          ---------।

[f]   $\int {{3^{ax}}} dx$   -এর মান নীচের কোনটি  ?
   (i) ${3^{ax + 1}}$     (ii) ${3^{ax}}$     (iii) ${3^{ax}}.{\log _e}{3^a}$   (iv) $\frac{{{3^{ax}}}}{{a{{\log }_e}3}}$  
 
 অথবা   শূন্যস্থান  পূরণ করো : $\int {\frac{{1 + \sin x}}{{{{(x - \cos x)}^2}}}dx}$  -এর মান হবে --------- ।

 [g]    নীচের  বিবৃতিটি সত্য না  মিথ্যা  উল্লেখ  করো  :
  $\int_0^1 {f(x)dx = } \int_0^c {f(x)dx + } \int_c^1 {f(x)dx}$, যখন  $c > 1$

 অথবা   নীচের  বিবৃতিটি সাধারনত সত্য না  মিথ্যা  উল্লেখ  করো  :
  $\int_0^a {f(x)dx = } \int_0^a {f(x - a)dx}$           

[h]    শূন্যস্থান  পূরণ করো :
 $\int {\frac{{{{\log }_e}x}}{x}} dx$ -এর মান ---------  ।

[i]   শূন্যস্থান  পূরণ করো :
  $x$ এর যে মানের জন্য  $y = {x^2} - 6x + 10$-এই বক্রটির স্পর্শক $x$ -অক্ষের সমান্তরাল তা হল   -----------।

[j]  সরলরেখায় চলমান একটি কণার $t$সেকেন্ড  সময়ে সরন $x = t - 6{t^2}$  ; তাহলে কণাটি স্থির অবস্থায় আসবে --------- সেকেন্ডে   ।

বিভাগ  খ :

2)   নির্দেশ  অনুযায়ী  নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও  :
(a)  যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও  :  [ 2 X 2 = 4 ]
     (i)   একটি পক্ষপাত-শূন্য ছক্কাকে  ৩ বার ফেলা হলে একবার অন্তত ছয় পাবার সম্ভাবনা নির্ণয় করো ।
     (ii)  ${6^{1/2}},{6^{1/4}},{6^{1/8}} \ldots$  অসীম পর্যন্ত --এর মান নির্ণয় করো ।
     (iii) ক্রেমারের নিয়মের সাহায্যে সমাধান কারো  :  
        $x + y - 3 = 0$
        $x + 2y - 5 = 0$

(b)  যে কোনো একটি  প্রশ্নের  উত্তর দাও  : [ 2 X 1 = 2 ]
      (i) ${x^2} = 8y$ অধিবৃত্তের ওপর সেই সকল বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো যাদের অধিবৃত্তের নাভি থেকে দুরত্ব 4 একক  ।
      (ii)$9{x^2} + 4{y^2} + 18x - 16y = 11$  উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা নির্ণয় করো  ।

(c)  যে কোনো একটি  প্রশ্নের  উত্তর দাও  :  [ 2 X 1 = 2 ]
      (i) ${x^2} + {y^2} = t + \frac{1}{t}, {x^4} + {y^4} = {t^2} + \frac{1}{{{t^2}}}$ হলে দেখাও যে ,$\frac{{dy}} {{dx}} =  - \frac{1}{{{x^3}y}}$
      (ii) $y = {\tan ^{ - 1}}\frac{{1 + \tan x}}{{1 - \tan x}}$  হলে  $\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}$-এর মান নির্ণয় করো ।

(d)  যে কোনো একটি  প্রশ্নের  উত্তর দাও  :  [ 2 X 1 = 2 ]
      (i)  মান নির্ণয় করো : $\int {\frac{{1 + 2{x^2}}}{{{x^2}(1 + {x^2})}}} dx$
      (ii)  সমাকলন বিদ্যার মূল উপপাদ্যটি বিবৃত করো    ।

(e)  যে কোনো একটি  প্রশ্নের  উত্তর দাও  : [ 2 X 1 = 2 ]
      (i)  নীচের অবকল সমীকরণটির  ক্রম ( order )  এবং মাত্রা ( degree ) কত  ?
           $\frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}} = \sqrt[4]{{{x^2}\frac{{dy}}{{dx}} + 7}}$
      (ii) $y = mx + c$ সরলরেখাগোষ্ঠীর অবকল সমীকরণ নির্ণয় করো , যেখানে $m,c$ প্রচল  ।

[f]  যে কোনো তিনটি প্রশ্নের উত্তর দাও  : [ 2 X 3 = 6 ]
  (i) একটি গোলকাকার বেলুনের আয়তন  10 cm3/sec  হারে বৃদ্ধি পায় । সেই সময় তার উপরিতলের ক্ষেত্রফলের  পরিবর্তনের হার নির্ণয় করো যখন ব্যাসার্ধ 16 cm ।
 (ii) দেখাও যে , অপেক্ষখ  $f(x) = 4x - {x^2} - 1$ এর চরম মান 3   ।
 (iii) কলন বিদ্যার সাহায্যে $2x + 3y = 6$ এবং অক্ষদ্বয়ের দ্বারা সীমাবদ্ধ  অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো ( খসড়া চিত্র প্রয়োজন ) ।
 (iv) $y = mx + c$ সরলরেখাটি ${y^2} = 4x$ অধিবৃত্তের  ( 1,2 )  বিন্দুতে স্পর্শক হলে  m এর  মান নির্ণয় করো  ।
 (v) একটি বস্তুকণা $x = \frac{1}{2}vt$ সমীকরণকে সিদ্ধ করে সরলরেখায় গতিশীল , যেখানে যাত্রা শুরুর t সময় পরে সরন হল x  এবং বেগ হল  v  । প্রমান করো  যে , এটির ত্বরণ সর্বদাই  ধ্রুবক  ।

বিভাগ  গ :

3)  নির্দেশ  অনুযায়ী  নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও  :
(a)  যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও  :  [ 4 X 2 = 8 ]
(i) দেখাও যে ,$\left| {\matrix{ {a + b + 2c} & a & b \cr c & {b + c + 2a} & b \cr c & a & {c + a + 2b} \cr } } \right| = 2{(a + b + c)^3}$

(ii) গাণিতিক আরোহ তত্ত্বের সাহায্যে প্রমাণ কারো :
     $1 + 3 + 5 +  \ldots  + (2n - 1) = {n^2}$
(iii) একটি থলিতে 10 টি বল আছে । তার মধ্যে 5 টি  সাদা , 2 টি লাল এবং 3 টি সবুজ রং-এর  । থলি থেকে  যথেচ্ছভাবে  2 টি  বল তোলা হল । তোলা  বল দুটির মধ্যে সাদা বল না থাকার সম্ভাবনা নির্ণয় কারো ।
(b)  যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও  :  [ 4 X 2 = 8 ]
(i) প্রমাণ করো যে , ${y^2} = 4ax$ অধিবৃত্তের নাভিলম্বের প্রান্তবিন্দুগুলির সঙ্গে তার অক্ষ এবং নিয়ামকের ছেদ বিন্দুর সরলরেখাগুলি সমকোণে অবস্থিত ।
(ii) যে উপবৃত্তের পরাক্ষ এবং উপাক্ষ  দুটি যথাক্রমে x- অক্ষ এবং y- অক্ষ বরাবর , উৎকেন্দ্রতা  $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$  এবং পরাক্ষ ও উপাক্ষের  দৈর্ঘ্যের বর্গের সমষ্টি 24 , তার সমীকরণ নির্ণয় করো ।
(iii) $4{x^2} + 8x = 5y + 6$ এই কনিকটির প্রকৃতি নিরূপণ করো এবং কনিকটির নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় করো ।
(c)  যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও  :   [4 X 2 = 8 ]
(i) প্রমান করো যে , $\int {{e^x}} \{ f(x) + {f^'}(x)\} dx = {e^x}f(x)$ । এর দ্বারা $\int {{e^x}} \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx$-এর মান নির্ণয় করো  ।
(ii) মান নির্ণয় করো :  ${\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\left( {1 + \frac{2}{n}} \right) \cdots {{\left( {1 + \frac{n}{n}} \right)}^{1/n}}} \right\}$
(iii) মান নির্ণয় করো :  $\int_0^a {\frac{{dx}}{{x + \sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}$

(d)  যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও  :  [ 4 X 2 = 8 ]
(i)  যদি কোনো বক্রের $(x,y)$ বিন্দুতে স্পর্শকের  প্রবণতা $\frac{{3y + 2x + 4}}{{4x + 6y + 5}}$  হয় এবং বক্রটি  $(0, - 1)$ বিন্দুগামী  হয় , তবে বক্রটির সমীকরণ নির্ণয় করো ।
(ii) সমাধান করো  :  $x\sqrt {1 - {y^2}} dx + y\sqrt {1 - {x^2}} dy = 0$
(iii) সমাধান করো :  $\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}$ প্রদত্ত  আছে $y = 2$ যখন  $x = 0$ এবং  $y = 3\pi$ যখন $x = 2$    ।

(e)  যে কোনো চারটি প্রশ্নের উত্তর দাও  :  [ 4 X 4 = 16 ]
(i) $x = a\sec \theta ,y = b\tan \theta$ বক্রের একটি স্পর্শকের ছেদিতাংশগুলির প্রত্যেকটি যদি একক দৈর্ঘ্যের হয় , তবে দেখাও যে ,  (a,b ) বিন্দুটি  ${x^2} - {y^2} = 1$  পরাবৃত্তের ওপর অবস্থিত ।   
(ii) $3x - 2y = 12$  সরলরেখাটি (0,0) বিন্দুগামী একটি বৃত্তকে (4,0) বিন্দুতে স্পর্শ করে । বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো ।
(iii)  দেখাও যে  ${\left( {\frac{1}{x}} \right)^x}$-এর চরম মান ${e^{1/e}}$ ।
(iv)  একটি খসড়া চিত্রে অধিবৃত্ত ${y^2} = 4x$ এবং সরলরেখা $y = x$-এর দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রটি চিহ্নিত করো এবং সমাকলের সাহায্যে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো ।
(v) সরলরেখায় গতিশীল একটি বস্তুকণার ক্ষেত্রে  $s = ut + \frac{1}{2}f{t^2}$ সূত্রটি প্রতিষ্ঠা করো  (চিহ্ন গুলি প্রচলিত অর্থ বহন করে ) ।
(vi)  20 ft দূরে একটি ইঁদূরকে  দেখে তাকে ধরার জন্য একটি বিড়াল স্থিতাবস্থা থেকে  $2 ft/{\sec ^2}$ সমত্বরণে তাকে ধাওয়া করল । যদি  ইঁদূরটি  8ft/sec সমবেগে দৌড়তে থাকে তবে কখন এবং কত দূরে গিয়ে বিড়ালটি ইঁদূরটিকে ধরতে পারবে তা নির্ণয় করো । ইঁদূর ও বিড়ালটি একই সরলরেখায় একই দিকে গতিশীল ।
(vii) দুটি ভারী বস্তুকণাকে একই দিকে বিন্দু থেকে উলম্বভাবে একই সময়ে ওপরদিকে  u এবং v গতিবেগে নিক্ষেপ করা হল । যদি কণা দুটির সর্বোচ্চ উচ্চতা যথাক্রমে H এবং 4H  হয় তবে v কে u -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো এবং কণা দুটির উৎক্ষেপন বিন্দু থেকে সর্বোচ্চ উচ্চতায় পৌঁছোনোর সময় দুটির অনুপাত নির্ণয় করো ।

বিভাগ  ঘ :
4)   নির্দেশ  অনুযায়ী  নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও  :  [ 6 X 4 = 24]
     {(a) ও (b)  এর মধ্যে  যে কোনো একটি  প্রশ্নের  উত্তর দাও । }
     {(c) ও (d)  এর মধ্যে  যে কোনো একটি  প্রশ্নের  উত্তর দাও । }
     {(e) , (f) , (g) ও (h)  এর মধ্যে  যে কোনো দুটি  প্রশ্নের  উত্তর দাও । }

[a] (i) ${(1 + x)^{16}}.{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^5}$ এই বিস্তৃতির  x  নিরপেক্ষ পদটি বের করো  ।   
    (ii) ${(1 + x)^{14}}$-এর বিস্তৃতির r -তম , (r+1) -তম এবং (r+2) -তম পদগুলি সমান্তর প্রগতিতে থাকলে r -এর মান নির্ণয় করো  ।   [ 3 + 3 = 6 ]
[b] (i) $a{x^2} + bx + c = 0$ দ্বিঘাত সমীকরণের প্রত্যেকটি  সহগ 1,2  এবং  3  পূর্ণসংখ্যাগুলি থেকে যদৃচ্ছভাবে নির্বাচন করা হল । সমীকরণটির সমান বীজ থাকার সম্ভাবনা  নির্ণয় করো ।
    (ii) যদি $y = x - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4} +  \cdots (\left| x \right| < 1)$ হয় , তাহলে প্রমাণ করো যে , $x = y + \frac{{{y^2}}}{{2!}} + \frac{{{y^3}}}{{3!}} +  \cdots$  ।   [ 3 + 3 = 6 ]
[c] (i) $\frac{{dy}}{{dx}}$ -এর  মান নির্ণয় করো, যেখানে  ${x^y} + {y^x} = 1$    ।
    (ii)  যদি $\cos y = x\cos (a + y)$  হয় , তবে প্রমাণ করো যে $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{{{\cos }^2}(a + y)}}{{\sin a}}$  যেখানে  $a( \ne n\pi )$ একটি ধ্রুবক  ।   [3 + 3 = 6]
[d] (i) $y = {\log _{\sin x}}(\sec x) + {10^{{x^2}}}$  হলে $\frac{{dy}}{{dx}}$-এর মান নির্ণয় করো ।
    (ii) যদি $y = a\cos ({\log _e}x) + b\sin ({\log _e}x)$ হয় ,তবে প্রমাণ করো যে

${x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} + x\frac{{dy}}{{dx}} + y = 0$   ।   [3 + 3 = 6]
[e] (i) মান নির্ণয় করো : $\int_a^b {\sqrt {(x - a)(b - x)} } dx, a < b$
    (ii) মান নির্ণয় করো : $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 1}  - \sqrt {x - 1} }}}$  ।  [ 3 + 3 = 6]
[f] (i) মান নির্ণয় করো : $\int {\sin ({{\log }_e}x)dx,x > 0}$
    (ii) মান নির্ণয় করো : $\int {\frac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt[4]{{{x^3}}}}}} dx$  ।  [ 3 + 3 = 6]
[g] (i) মান নির্ণয় করো : $\int_0^\pi  {\frac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}} dx$
    (ii) মান নির্ণয় করো : $\int {(3x - 2)\sqrt {{x^2} + x + 1} }  dx$   ।  [ 3 + 3 = 6]
[h] (i) নির্দিষ্ট  সমাকলের সংজ্ঞার সাহায্যে $\int_1^2 {(2x + 5)dx}$-এর মান নির্ণয় করো  ।
    (ii) $r = 2(1 - \cos \theta )$ হলে , দেখাও যে $\int_0^\pi  {\sqrt {{r^2} + {{\left( {\frac{{dr}}{{d\theta }}} \right)}^2}} d\theta }  = 8$   ।  [ 3 + 3 = 6]