Higher Secondary Examination- 2008
বিভাগ ক :
1) নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও ( বিকল্প প্রশ্ন গুলি লক্ষনিয়) : [ 1 X 10 = 10 ]
(a) শূন্যস্থান পূরণ করো: [tex]\left|{\matrix{{{a_1}}&{{a_2}}\cr{{a_3}}&{{a_4}}\cr}}\right|[/tex]
-এই নির্ণায়কটির [tex]{a_2}[/tex] উপাদানের সহ-উৎপাদকটি হবে ---------- ।
(b) [tex]{(1 + x)^5}[/tex] -এর বিস্তৃতির সহগগুলোর যোগফল হবে
(i) 16 (ii) 32 (iii) 64 (iv) 128
(c) [tex]{x^2} - {y^2} = 4[/tex] -এই পরাবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা হল
(i) [tex]2[/tex] (ii) [tex] \sqrt 2 [/tex] (iii) [tex]\frac{1}{{\sqrt 2 }} [/tex] (iv) [tex] 0 [/tex]
অথবা, [tex]{(x - 1)^2} = 6 - y[/tex] -এই অধিবৃত্তটির অক্ষ হল
(i) [tex] x - 1 = 0 [/tex] (ii) [tex] x + 1 = 0 [/tex] (iii) [tex] y - 6 = 0 [/tex] (iv) [tex] y + 6 = 0 [/tex]
[d] নীচের উত্তরটি সত্য না মিথ্যা উল্লেখ করো :
[tex]f(x) [/tex] একটি [tex]n( \ge 1) [/tex] ঘাতবিশিষ্ট বহুপদ রাশিমালা হলে [tex]{f^'}(x) [/tex] -এর ঘাত হবে [tex] (n + 1) [/tex] ।
অথবা [tex]y = (x - 1){e^x} [/tex] হলে [tex]x = 1 [/tex] বিন্দুতে [tex]\frac{{dy}}{{dx}} [/tex] -এর মান হবে
(i) [tex]e[/tex] (ii) [tex] 2e [/tex] (iii) [tex]1 [/tex] (iv) [tex] 0 [/tex]
[e] শূন্যস্থান পূরণ করো : [tex]y = 1 + \cos 2x [/tex] হলে [tex]\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} + 4y = [/tex] ---------।
[f] [tex]\int {{3^{ax}}} dx [/tex] -এর মান নীচের কোনটি ?
(i) [tex]{3^{ax + 1}} [/tex] (ii) [tex]{3^{ax}} [/tex] (iii) [tex]{3^{ax}}.{\log _e}{3^a} [/tex] (iv) [tex] \frac{{{3^{ax}}}}{{a{{\log }_e}3}}[/tex]
অথবা শূন্যস্থান পূরণ করো : [tex]\int {\frac{{1 + \sin x}}{{{{(x - \cos x)}^2}}}dx} [/tex] -এর মান হবে --------- ।
[g] নীচের বিবৃতিটি সত্য না মিথ্যা উল্লেখ করো :
[tex]\int_0^1 {f(x)dx = } \int_0^c {f(x)dx + } \int_c^1 {f(x)dx}[/tex], যখন [tex] c > 1[/tex]
অথবা নীচের বিবৃতিটি সাধারনত সত্য না মিথ্যা উল্লেখ করো :
[tex]\int_0^a {f(x)dx = } \int_0^a {f(x - a)dx}[/tex]
[h] শূন্যস্থান পূরণ করো :
[tex]\int {\frac{{{{\log }_e}x}}{x}} dx[/tex] -এর মান --------- ।
[i] শূন্যস্থান পূরণ করো :
[tex]x[/tex] এর যে মানের জন্য [tex]y = {x^2} - 6x + 10[/tex]-এই বক্রটির স্পর্শক [tex]x[/tex] -অক্ষের সমান্তরাল তা হল -----------।
[j] সরলরেখায় চলমান একটি কণার [tex] t [/tex]সেকেন্ড সময়ে সরন [tex]x = t - 6{t^2}[/tex] ; তাহলে কণাটি স্থির অবস্থায় আসবে --------- সেকেন্ডে ।
বিভাগ খ :
2) নির্দেশ অনুযায়ী নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও :
(a) যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও : [ 2 X 2 = 4 ]
(i) একটি পক্ষপাত-শূন্য ছক্কাকে ৩ বার ফেলা হলে একবার অন্তত ছয় পাবার সম্ভাবনা নির্ণয় করো ।
(ii) [tex]{6^{1/2}},{6^{1/4}},{6^{1/8}} \ldots [/tex] অসীম পর্যন্ত --এর মান নির্ণয় করো ।
(iii) ক্রেমারের নিয়মের সাহায্যে সমাধান কারো :
[tex]x + y - 3 = 0[/tex]
[tex]x + 2y - 5 = 0[/tex]
(b) যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : [ 2 X 1 = 2 ]
(i) [tex]{x^2} = 8y[/tex] অধিবৃত্তের ওপর সেই সকল বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো যাদের অধিবৃত্তের নাভি থেকে দুরত্ব 4 একক ।
(ii)[tex]9{x^2} + 4{y^2} + 18x - 16y = 11[/tex] উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা নির্ণয় করো ।
(c) যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : [ 2 X 1 = 2 ]
(i) [tex]{x^2} + {y^2} = t + \frac{1}{t}, {x^4} + {y^4} = {t^2} + \frac{1}{{{t^2}}}[/tex] হলে দেখাও যে ,[tex]\frac{{dy}} {{dx}} = - \frac{1}{{{x^3}y}}[/tex]
(ii) [tex]y = {\tan ^{ - 1}}\frac{{1 + \tan x}}{{1 - \tan x}}[/tex] হলে [tex]\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}[/tex]-এর মান নির্ণয় করো ।
(d) যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : [ 2 X 1 = 2 ]
(i) মান নির্ণয় করো : [tex]\int {\frac{{1 + 2{x^2}}}{{{x^2}(1 + {x^2})}}} dx[/tex]
(ii) সমাকলন বিদ্যার মূল উপপাদ্যটি বিবৃত করো ।
(e) যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : [ 2 X 1 = 2 ]
(i) নীচের অবকল সমীকরণটির ক্রম ( order ) এবং মাত্রা ( degree ) কত ?
[tex]\frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}} = \sqrt[4]{{{x^2}\frac{{dy}}{{dx}} + 7}}[/tex]
(ii) [tex]y = mx + c[/tex] সরলরেখাগোষ্ঠীর অবকল সমীকরণ নির্ণয় করো , যেখানে [tex]m,c[/tex] প্রচল ।
[f] যে কোনো তিনটি প্রশ্নের উত্তর দাও : [ 2 X 3 = 6 ]
(i) একটি গোলকাকার বেলুনের আয়তন 10 cm3/sec হারে বৃদ্ধি পায় । সেই সময় তার উপরিতলের ক্ষেত্রফলের পরিবর্তনের হার নির্ণয় করো যখন ব্যাসার্ধ 16 cm ।
(ii) দেখাও যে , অপেক্ষখ [tex]f(x) = 4x - {x^2} - 1[/tex] এর চরম মান 3 ।
(iii) কলন বিদ্যার সাহায্যে [tex]2x + 3y = 6[/tex] এবং অক্ষদ্বয়ের দ্বারা সীমাবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো ( খসড়া চিত্র প্রয়োজন ) ।
(iv) [tex]y = mx + c[/tex] সরলরেখাটি [tex]{y^2} = 4x[/tex] অধিবৃত্তের ( 1,2 ) বিন্দুতে স্পর্শক হলে m এর মান নির্ণয় করো ।
(v) একটি বস্তুকণা [tex]x = \frac{1}{2}vt[/tex] সমীকরণকে সিদ্ধ করে সরলরেখায় গতিশীল , যেখানে যাত্রা শুরুর t সময় পরে সরন হল x এবং বেগ হল v । প্রমান করো যে , এটির ত্বরণ সর্বদাই ধ্রুবক ।
বিভাগ গ :
3) নির্দেশ অনুযায়ী নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও :
(a) যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও : [ 4 X 2 = 8 ]
(i) দেখাও যে ,[tex]\left| {\matrix{ {a + b + 2c} & a & b \cr c & {b + c + 2a} & b \cr c & a & {c + a + 2b} \cr } } \right| = 2{(a + b + c)^3}[/tex]
(ii) গাণিতিক আরোহ তত্ত্বের সাহায্যে প্রমাণ কারো :
[tex]1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1) = {n^2}[/tex]
(iii) একটি থলিতে 10 টি বল আছে । তার মধ্যে 5 টি সাদা , 2 টি লাল এবং 3 টি সবুজ রং-এর । থলি থেকে যথেচ্ছভাবে 2 টি বল তোলা হল । তোলা বল দুটির মধ্যে সাদা বল না থাকার সম্ভাবনা নির্ণয় কারো ।
(b) যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও : [ 4 X 2 = 8 ]
(i) প্রমাণ করো যে , [tex]{y^2} = 4ax[/tex] অধিবৃত্তের নাভিলম্বের প্রান্তবিন্দুগুলির সঙ্গে তার অক্ষ এবং নিয়ামকের ছেদ বিন্দুর সরলরেখাগুলি সমকোণে অবস্থিত ।
(ii) যে উপবৃত্তের পরাক্ষ এবং উপাক্ষ দুটি যথাক্রমে x- অক্ষ এবং y- অক্ষ বরাবর , উৎকেন্দ্রতা [tex]\frac{1}{{\sqrt 2 }}[/tex] এবং পরাক্ষ ও উপাক্ষের দৈর্ঘ্যের বর্গের সমষ্টি 24 , তার সমীকরণ নির্ণয় করো ।
(iii) [tex]4{x^2} + 8x = 5y + 6[/tex] এই কনিকটির প্রকৃতি নিরূপণ করো এবং কনিকটির নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় করো ।
(c) যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও : [4 X 2 = 8 ]
(i) প্রমান করো যে , [tex]\int {{e^x}} \{ f(x) + {f^'}(x)\} dx = {e^x}f(x)[/tex] । এর দ্বারা [tex]\int {{e^x}} \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx[/tex]-এর মান নির্ণয় করো ।
(ii) মান নির্ণয় করো : [tex]{\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\left( {1 + \frac{2}{n}} \right) \cdots {{\left( {1 + \frac{n}{n}} \right)}^{1/n}}} \right\}[/tex]
(iii) মান নির্ণয় করো : [tex]\int_0^a {\frac{{dx}}{{x + \sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}[/tex]
(d) যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও : [ 4 X 2 = 8 ]
(i) যদি কোনো বক্রের [tex](x,y)[/tex] বিন্দুতে স্পর্শকের প্রবণতা [tex]\frac{{3y + 2x + 4}}{{4x + 6y + 5}}[/tex] হয় এবং বক্রটি [tex](0, - 1)[/tex] বিন্দুগামী হয় , তবে বক্রটির সমীকরণ নির্ণয় করো ।
(ii) সমাধান করো : [tex]x\sqrt {1 - {y^2}} dx + y\sqrt {1 - {x^2}} dy = 0 [/tex]
(iii) সমাধান করো : [tex]\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} [/tex] প্রদত্ত আছে [tex]y = 2 [/tex] যখন [tex]x = 0[/tex] এবং [tex]y = 3\pi [/tex] যখন [tex]x = 2[/tex] ।
(e) যে কোনো চারটি প্রশ্নের উত্তর দাও : [ 4 X 4 = 16 ]
(i) [tex]x = a\sec \theta ,y = b\tan \theta[/tex] বক্রের একটি স্পর্শকের ছেদিতাংশগুলির প্রত্যেকটি যদি একক দৈর্ঘ্যের হয় , তবে দেখাও যে , (a,b ) বিন্দুটি [tex]{x^2} - {y^2} = 1[/tex] পরাবৃত্তের ওপর অবস্থিত ।
(ii) [tex]3x - 2y = 12[/tex] সরলরেখাটি (0,0) বিন্দুগামী একটি বৃত্তকে (4,0) বিন্দুতে স্পর্শ করে । বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো ।
(iii) দেখাও যে [tex]{\left( {\frac{1}{x}} \right)^x}[/tex]-এর চরম মান [tex]{e^{1/e}}[/tex] ।
(iv) একটি খসড়া চিত্রে অধিবৃত্ত [tex]{y^2} = 4x[/tex] এবং সরলরেখা [tex]y = x[/tex]-এর দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রটি চিহ্নিত করো এবং সমাকলের সাহায্যে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো ।
(v) সরলরেখায় গতিশীল একটি বস্তুকণার ক্ষেত্রে [tex]s = ut + \frac{1}{2}f{t^2}[/tex] সূত্রটি প্রতিষ্ঠা করো (চিহ্ন গুলি প্রচলিত অর্থ বহন করে ) ।
(vi) 20 ft দূরে একটি ইঁদূরকে দেখে তাকে ধরার জন্য একটি বিড়াল স্থিতাবস্থা থেকে [tex]2 ft/{\sec ^2}[/tex] সমত্বরণে তাকে ধাওয়া করল । যদি ইঁদূরটি 8ft/sec সমবেগে দৌড়তে থাকে তবে কখন এবং কত দূরে গিয়ে বিড়ালটি ইঁদূরটিকে ধরতে পারবে তা নির্ণয় করো । ইঁদূর ও বিড়ালটি একই সরলরেখায় একই দিকে গতিশীল ।
(vii) দুটি ভারী বস্তুকণাকে একই দিকে বিন্দু থেকে উলম্বভাবে একই সময়ে ওপরদিকে u এবং v গতিবেগে নিক্ষেপ করা হল । যদি কণা দুটির সর্বোচ্চ উচ্চতা যথাক্রমে H এবং 4H হয় তবে v কে u -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো এবং কণা দুটির উৎক্ষেপন বিন্দু থেকে সর্বোচ্চ উচ্চতায় পৌঁছোনোর সময় দুটির অনুপাত নির্ণয় করো ।
বিভাগ ঘ :
4) নির্দেশ অনুযায়ী নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও : [ 6 X 4 = 24]
{(a) ও (b) এর মধ্যে যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও । }
{(c) ও (d) এর মধ্যে যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও । }
{(e) , (f) , (g) ও (h) এর মধ্যে যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও । }
[a] (i) [tex]{(1 + x)^{16}}.{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^5}[/tex] এই বিস্তৃতির x নিরপেক্ষ পদটি বের করো ।
(ii) [tex]{(1 + x)^{14}}[/tex]-এর বিস্তৃতির r -তম , (r+1) -তম এবং (r+2) -তম পদগুলি সমান্তর প্রগতিতে থাকলে r -এর মান নির্ণয় করো । [ 3 + 3 = 6 ]
[b] (i) [tex]a{x^2} + bx + c = 0[/tex] দ্বিঘাত সমীকরণের প্রত্যেকটি সহগ 1,2 এবং 3 পূর্ণসংখ্যাগুলি থেকে যদৃচ্ছভাবে নির্বাচন করা হল । সমীকরণটির সমান বীজ থাকার সম্ভাবনা নির্ণয় করো ।
(ii) যদি [tex]y = x - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4} + \cdots (\left| x \right| < 1)[/tex] হয় , তাহলে প্রমাণ করো যে , [tex]x = y + \frac{{{y^2}}}{{2!}} + \frac{{{y^3}}}{{3!}} + \cdots [/tex] । [ 3 + 3 = 6 ]
[c] (i) [tex]\frac{{dy}}{{dx}}[/tex] -এর মান নির্ণয় করো, যেখানে [tex]{x^y} + {y^x} = 1[/tex] ।
(ii) যদি [tex]\cos y = x\cos (a + y)[/tex] হয় , তবে প্রমাণ করো যে [tex]\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{{{\cos }^2}(a + y)}}{{\sin a}} [/tex] যেখানে [tex]a( \ne n\pi )[/tex] একটি ধ্রুবক । [3 + 3 = 6]
[d] (i) [tex]y = {\log _{\sin x}}(\sec x) + {10^{{x^2}}}[/tex] হলে [tex]\frac{{dy}}{{dx}}[/tex]-এর মান নির্ণয় করো ।
(ii) যদি [tex]y = a\cos ({\log _e}x) + b\sin ({\log _e}x)[/tex] হয় ,তবে প্রমাণ করো যে
[tex]{x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} + x\frac{{dy}}{{dx}} + y = 0 [/tex] । [3 + 3 = 6]
[e] (i) মান নির্ণয় করো : [tex]\int_a^b {\sqrt {(x - a)(b - x)} } dx, a < b [/tex]
(ii) মান নির্ণয় করো : [tex]\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 1} - \sqrt {x - 1} }}} [/tex] । [ 3 + 3 = 6]
[f] (i) মান নির্ণয় করো : [tex]\int {\sin ({{\log }_e}x)dx,x > 0} [/tex]
(ii) মান নির্ণয় করো : [tex]\int {\frac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt[4]{{{x^3}}}}}} dx [/tex] । [ 3 + 3 = 6]
[g] (i) মান নির্ণয় করো : [tex]\int_0^\pi {\frac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}} dx [/tex]
(ii) মান নির্ণয় করো : [tex]\int {(3x - 2)\sqrt {{x^2} + x + 1} } dx [/tex] । [ 3 + 3 = 6]
[h] (i) নির্দিষ্ট সমাকলের সংজ্ঞার সাহায্যে [tex]\int_1^2 {(2x + 5)dx} [/tex]-এর মান নির্ণয় করো ।
(ii) [tex]r = 2(1 - \cos \theta ) [/tex] হলে , দেখাও যে [tex]\int_0^\pi {\sqrt {{r^2} + {{\left( {\frac{{dr}}{{d\theta }}} \right)}^2}} d\theta } = 8 [/tex] । [ 3 + 3 = 6]