H.S. Exam 2007: -Mathematics Question Paper

বিভাগ  ক :

1) নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও  ( বিকল্প প্রশ্ন গুলি লক্ষনিয়) :   1 X 10 = 10
(a)  ${(x + \frac{1}{x})^8}$  -এর বিস্তৃতির মধ্যপদ নীচের কোনটি  ?
(i) চতুর্থ     ( ii )  পঞ্চম     ( iii ) ষষ্ঠ     (iv )   সপ্তম
(b) শূন্যস্থান  পূরণ করো : $\left| {\matrix{ 3 & {1975} & {1978} \cr 4 & {1982} & {1986} \cr 5 & {1995} & {2000} \cr } } \right|$    নির্ণায়কটির মান -----------।

অথবা , নীচের  বিবৃতিটি সত্য না  মিথ্যা  উল্লেখ  করো  :
 " দুটি  অশূন্য ম্যাট্রিক্সের  গুনফল অবশ্যই একটি  অশূন্য ম্যাট্রিক্স হবে ।"
(c) শূন্যস্থান  পূরণ করো :
 $7{y^2} - 5x = 0$  অধিবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ ---------------  ।            
 অথবা,  $\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1$  উপবৃত্তটির  নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য নীচের কোনটি  ?

(i)  $\frac{144}{{13}}$  (ii) $\frac{288}{{13}}$ (iii) $\frac{169}{{144}}$  (iv) $\frac{5}{{13}}$

(d)  $y = {\log _e}{\log _e}x,x > 1$       হলে নীচের উত্তর গুলির কোনটি সঠিক  ?
(i) $x\frac{{dy}}{{dx}} = 1$   (ii) $(x{\log _e}x)\frac{{dy}}{{dx}} = 1$  (iii) $({\log _e}x)\frac{{dy}}{{dx}} = 1$  (iv)  $({\log _e}x)\frac{{dy}}{{dx}} = x$

 অথবা , যদি $x = a(\theta - \sin \theta )$ এবং $y = a(1 + \cos \theta$  হয় , তবে $\frac{{dy}}{{dx}}$ এর মান নীচের কোনটি  ?
(i)  $- \cot \frac{1}{2}\theta$  (ii) $- \cot \theta$  (iii) $- \tan \frac{1}{2}\theta$ (iv) $\cot\frac{1}{2}\theta$

(e)  $y = co{s^2}x$   হলে  $\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}$ এর মান নীচের কোনটি  ?

(i) $- 2\cos 2x$    (ii) $2\cos 2x$   (iii) $- \sin 2x$  (iv) $\cos 2x$

(f)  শূন্যস্থান  পূরণ  করো :  $\int {{{\tan }^2}} xdx$ =  ------- ।

(g)  নীচের  উক্তিটি সত্য না মিথ্যা  উল্লেখ  করো  :   $\int_0^2 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 4}}}$  - এর  মান $\frac{\pi }{{16}}$ ।

(h)  শূন্যস্থান  পূরণ  করো : $\int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {{{\sin }^5}xdx}$ = ---------।

(i)  নীচের  উক্তিটি সত্য না মিথ্যা  উল্লেখ  করো : (-8,-4) বিন্দুতে  ${y^2} = 8(x-6)$   অধিবৃত্তের স্পর্শকের প্রবনতা   -1  ।
 অথবা নীচের  উক্তিটি সত্য না মিথ্যা  উল্লেখ  করো : $x$ = 2 বিন্দুতে  $\int {(x) = (x - 1)(3 - x)}$  এর চরম  (extreme) মান আছে   ।
(j)  একটি মিনারের শীর্ষদেশ  থেকে এক খন্ড পাথর ফেলা হল । পাথর খন্ডটি  3 সেকেন্ড  পরে ভূমি স্পর্শ  করল । MKS পদ্ধতিতে  মিনারের উচ্চতা নীচের কোনটি ?  (g = 9.8  মিটার / বর্গ  সেকেন্ড ) ।
(i) 44   মিটার   (ii)  44.1 মিটার    (iii)  44.2   মিটার   (iv) 44.01 মিটার

বিভাগ  খ :

2)   নির্দেশ  অনুযায়ী  নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও  :
(a)  যে কোনো দুটি  প্রশ্নের  উত্তর দাও  :   2X2 = 4
  (i)   সম্ভাবনার প্রাচীন সংজ্ঞা  ( classical defination of probability )  দাও  ।
  (ii)   প্রমান করো  :  $\frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{4.5}} + \frac{1}{{6.7}} + \ldots \ldots = 1 - {\log_e}2$
  (iii)  $A = \left( {\matrix{ 1 & 5 \cr 1 & 3 \cr } } \right)$   এবং  $B = \left( {\matrix{ 0 & 0 \cr 0 & 1 \cr } } \right)$    ম্যাট্রিক্স দুটির  ক্ষেত্রে  AB = BA  কিনা পরীক্ষা করো ।

(b)  যে কোনো দুটি  প্রশ্নের  উত্তর দাও  :    2X1 = 2
(i)   ${x^2} = 4ay$ অধিবৃত্তটি  (3 , 4 ) বিন্দুগামী  ।  অধিবৃত্তটির নাভির  স্থানাঙ্ক কত  ?
(ii)  একটি উপবৃত্তের  উপাক্ষের দৈর্ঘ্য যদি  নাভিলম্বের  দৈর্ঘ্যর  দ্বিগুণ হয় তবে  অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা কত  ?

(c) যে কোনো দুটি  প্রশ্নের  উত্তর দাও  :    2X1 = 2
(i)  যদি  $y = {(\sec x)^{\tan x}}$  হয় , তবে $\frac{{dy}}{{dx}}$  এর মান নির্ণয় করো  ।
(ii) যদি  ${x^3} + {y^3} = 2xy$   হয় , তবে (1,1)  বিন্দুতে  $\frac{{dy}}{{dx}}$ এর মান নির্ণয় করো  ।

(d) নীচের যে-কোনো একটি সমাকলের মান নির্ণয় করো   :     2X1 = 2
(i)  $\int {\frac{{2\sin x}}{{5 + 3\cos x}}} dx$   (ii)  $\int {x{e^{2x}}} dx$

(e) যে কোনো একটি প্রশ্নের  উত্তর দাও  :
(i) নীচের অবকল সমীকরণটির ক্রম ( order )  এবং মাত্রা  (degree ) কত  ?
${\left( {\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}} \right)^2} + 5{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^3} + 2y = 0$
(ii) যে সকল  বৃত্তের  কেন্দ্র মূলবিন্দুতে অবস্থিত তাদের  অবকল সমীকরণ  নির্ণয় করো   ।

(f) যে কোনো তিনটি  প্রশ্নের  উত্তর দাও  :     2x3 = 6
(i) $y = x + \frac{1}{x}$ বক্রের ওপর অব্শ্স্থিত বিন্দু গুলির স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো , যে বিন্দুগুলিতে বক্রটির স্পর্শক $x$ অক্ষের সমান্তরাল ।
(ii)   সময়ের সাপেক্ষে  কোনো গোলকের ব্যাসার্ধের পরিবর্তনের হার  $\frac{1}{{2\pi }}$ । যখন গোলকটির  ব্যাসার্ধ 5 সেমি তখন  সময়ের সাপেক্ষে ওর বক্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের পরিবর্তনের হার নির্ণয় করো  ।
(iii)  দেখাও  যে,  $t$ বাস্তব ও  সসীম  হলে, $x(t) = \frac{{{e^t}}}{{1 + {e^t}}}$  অপেক্ষটির  কোনো চরম ( extreme )  মান নেই  ।
(iv) $y = {x^2}$ বক্ররেখা , $x$ অক্ষ  এবং $x$ = 2 সরলরেখা  দ্বারা সীমাবদ্ধ  অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো  ।
(v)  সরলরেখায় গতিশীল একটি বস্তুকণা $t = 4{x^2} + 3x + 5$   সমীকরণকে সিদ্ধ করে , যেখানে $x$ হল যাত্রা শুরুর $t$  সময় পরে  বস্তুকণাটির  সরন ।  বস্তুকণাটির বেগ  নির্ণয় করো  ।

বিভাগ গ  :
3)   নির্দেশ  অনুযায়ী  নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও  :    4 x 2 = 8
(a)  যে কোনো দুটি  প্রশ্নের  উত্তর দাও  :    
(i) 100 টি পূর্ণসংখ্যা 1 ,2 ,3 ,....,100 এর মধ্য থেকে পক্ষপাতশূন্যভাবে একটি পূর্ণসংখ্যা নির্বাচন করা হল । এই নির্বাচিত পূর্ণসংখ্যাটি 5  অথবা  7  দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাবনা কত  ?
(ii)  গাণিতিক আরোহ তত্ত্ব  ( the principal of mathematical induction )  ব্যবহার  করে  প্রমান কারো ,  ${1^2} + {2^2} + {3^2} + \ldots + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(n + 1)}}{6}$ ।
(iii)  ক্রেমারের নিয়মের সাহায্যে সমাধান কারো  : $x + y = 2 , y + z = 2 , z + x = 2$
(b)  যে কোনো দুটি  প্রশ্নের  উত্তর দাও  :    4 X 2 = 8
 (i)  অধিবৃত্ত  ${x^2} = 8y$ এর  ওপর এমন দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো যাদের  নাভি থেকে  প্রতেকটির  দুরত্ব 4 একক  হয়  । ওই  বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশ  যে  বৃত্তের ব্যাস তার  সমীকরণ নির্ণয়  করো ।

(ii)  একটি উপবৃত্তের নাভি  দুটির  স্থানাঙ্ক $(0, \pm 4)$ এবং  দুটি নিয়ামকের সমীকরণ $y = \pm 9$ হলে উপবৃত্তের সমীকরণ ও এর নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো ।

(iii) একটি পরাবৃত্ত এবং  তার অনুবন্ধী পরাবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা যথাক্রমে  ${e_1}$ও  ${e_2}$   হলে  $\frac{1}{{e_1^2}} + \frac{1}{{e_2^2}}$   এর মান নির্ণয় করো ।

(c) নীচের যে-কোনো দুটি  সমাকলের মান নির্ণয় করো   :    4 X 2 = 8
(i)  $[\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {3 - 2x - {x^2}} }}, - 3 < x < 1}$    (ii) $\int {{{\sin }^{ - 1}}} \sqrt {\frac{x}{{1 + x}}dx}$     (iii) $\int_0^{\pi /2} {} \frac{{{{\sin }^2}x}}{{\sin x + \cos x}}dx$

(d)  যে কোনো দুটি  প্রশ্নের  উত্তর দাও  :    4 x 2 = 8
(i) যে বক্ররেখাটি  $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{1 + {y^2}}}{{xy}}$   অবকল  সমীকরণকে  সিদ্ধ করে  এবং  (1,0 )    বিন্দুগামী হয় তার নাভিগুলির স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো ।
(ii)  সমাধান করো :  $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{3x + 2y}}{{2x + 3y}}$ ;  প্রদত্ত আছে  $y = 0$   যখন  $x = 1$   ।
(iii)  সমাধান করো : $\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = (x + 1)(x + 2)$  ;  প্রদত্ত আছে $y = - 1, \frac{{dy}}{{dx}} = 1$    যখন  $x = 0$    ।

(e) যে কোনো চারটি  প্রশ্নের  উত্তর দাও  :   4 x 4 = 16
(i)  যদি $y = mx + c ,  (c \ne 0)$  সরলরেখাটি $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$  পরাবৃত্তের একটি স্পর্শক হয় , তবে প্রমাণ কারো যে ,

${c^2} = {a^2}{m^2} - {b^2}$  এবং  সে ক্ষেত্রে  স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কারো ।

(ii) ${y^2} = 3x$   অধিবৃত্তের যে অভিলম্বটি  $y = 2x + 4$    সরল রেখার ওপর লম্বভাবে  থাকে , তার সমীকরণ নির্ণয় কারো ।

(iii)   দেখাও যে , $\frac{{(2x - 1)(x - 8)}}{{(x - 1)(x - 4)}}$    এর লঘিষ্ঠ মানটি গরিষ্ঠ মানের থেকে  বড়ো  ।

(iv)  প্রমাণ কারো যে , প্রদত্ত ক্ষেত্রবিশিষ্ঠ আয়তক্ষেত্রগুলির  মধ্যে বর্গক্ষেত্রের  পরিসীমা সবচেয়ে কম ।

(v)  অধিবৃত্ত  ${y^2} = ax ,  a > 0$  এবং $y = x$   সরলরেখার দ্বারা প্রথম পাদের পরিবেষ্টিত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল  নির্ণয় কারো  ।

(vi)  ভুপৃষ্ঠ থেকে উলম্বরেখায়  ওপরের দিকে প্রক্ষিপ্ত একটি বস্তুকনার h  উচ্চতায় উঠতে   t  সেকেন্ড সময় লাগে এবং পরবর্তী  t' সেকেন্ড আবার ভুপৃষ্ঠে ফিরে আসে  । দেখাও যে , $h = \frac{1}{2}gtt'$

(vii)  সরলরেখায় গতিশীল কোনো কণা $x = \frac{1}{2}t\left( {1 + \frac{{dx}}{{dt}}} \right)$  সমীকরণ বজায় রেখে চললে দেখাও যে , কণাটি  সমত্বরণে  চলে  ।
বিভাগ  ঘ :
4)   নির্দেশ  অনুযায়ী  নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও  :     6 X 4 = 24
 {(a) ও (b)  এর মধ্যে  যে কোনো একটি  প্রশ্নের  উত্তর দাও । }
 {(c) ও (d)  এর মধ্যে  যে কোনো একটি  প্রশ্নের  উত্তর দাও । }
 {(e) , (f) , (g) ও (h)  এর মধ্যে  যে কোনো দুটি  প্রশ্নের  উত্তর দাও । }

[a] (i)  একটি অসম্বন্ধ পরীক্ষা  ( random experiment ) E এর সাথে সংশ্লিষ্ট যে-কোনো দুটি ঘটনা (event)  A এবং   B  হলে প্রমাণ করো যে            $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

 (ii)  ${\left( {\frac{3}{2}{x^2} - \frac{1}{{3x}}} \right)^9}$   -এর বিস্তৃতিতে   $x$  -বর্জিত পদটি নির্ণয় করো   ।   3 + 3 = 6

 [b] (i) $1 + \frac{{{3^2}}}{{2!}} + \frac{{{3^4}}}{{4!}} + \frac{{{3^6}}}{{6!}} + \ldots$  অসীম শ্রেণিটির যোগফল নির্ণয়  কারো    ।

 (ii)   $a, b, c,$  তিনটি  অশূন্য বাস্তব সংখ্যা হলে দেখাও  যে ,  $\left| {\matrix{ {1 + a} & 1 & 1 \cr 1 & {1 + b} & 1 \cr 1 & 1 & {1 + c} \cr } } \right| = abc\left( {1 + {1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c}} \right)$    3 + 3 = 6

[c] (i)   $\frac{{dy}}{{dx}}$  -এর মান নির্ণয় কারো , যখন   ${e^{xy}} - 4xy = 4$   ।

(ii)   $y = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{t}{{\sqrt {1 - {t^2}} }}} \right)$  এবং    $x = {\sec ^{ - 1}}\left( {\frac{t} {{\sqrt {2{t^2} - 1} }}} \right)$  হলে  $\frac{{dy}}{{dx}}$  এর মান নির্ণয় কারো  ।    3 + 3 = 6

[d] (i)   $f(x) = {\left( {\frac{{1 + x}}{{2 + x}}} \right)^{3 + 2x}}$  হলে  $f'(0)$  -এর মান নির্ণয় করো  ।
 (ii)   $y = \sin (2{\sin ^{ - 1}}x$  হলে  প্রমান করো  যে ,  $(1 - {x^2})\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = x\frac{{dy}} {{dx}} - 4y$    ( ধরে নাও  $\frac{{dy}}{{dx}} \ne 0$ )    3 + 3 = 6
 [e]  (i)  মান নির্ণয় করো যে :  $\int {\frac{{x{e^x}}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx}$
  (ii)  দেখাও যে , ${\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{{2n + 1}} + \frac{1}{{2n + 2}} + \ldots + \frac{1}{{3n}}} \right\} = {\log _e}\frac{3}{2}$    3 + 3 = 6

[f]    মান নির্ণয় করো :
 (i)  $\int {\frac{{x + 1}}{{{x^2} + 4x + 5}}dx}$     (ii)   $\int_0^{\pi /2} {\frac{{dx}}{{5 + 4\sin x}}}$    3 + 3 = 6

[g] (i)  মান নির্ণয় করো : $\int {\frac{{4{e^x} + 6{e^{ - x}}}}{{9{e^x} - 4{e^{ - x}}}}dx}$
 (ii)  যোগফলের সীমারূপে নির্দিস্ট সমাকলের সাহায্যে  $\int_0^2 {{e^x}dx}$  -এর মান নির্ণয় করো  ।    3 + 3 = 6

[h]   মান নির্ণয় করো :
 (i)  $\int {\frac{{dx}}{{{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x}},(a,b > 0)}$

 (ii)   $\int_2^3 {\frac{{dx}}{{\sqrt {(x - 1)(5 - x)} }}}$     3 + 3 = 6