দ্বিতীয় অধ্যায়ঃ উপবৃত্ত

দ্বিতীয় অধ্যায়ঃ উপবৃত্ত

সংক্ষিপ্তকরণ -[ Summarisation ]
(1) নিম্নলিখিত বিভিন্ন প্রকার উপবৃত্তের প্রয়োজনীয় ফলসমূহ উল্লেখ করা হল ।
উপবৃত্ত  [tex]{{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1[/tex]  যেখানে   [tex][{a^2} > {b^2}][/tex]

- পরাক্ষ হবে  x-অক্ষ ,
- উপাক্ষ হবে  y-অক্ষ ,
- পরাক্ষের সমীকরণ হবে y = 0 ,
- উপাক্ষের সমীকরণ হবে x = 0 ,
- পরাক্ষের দৈর্ঘ্য হবে 2a একক .
- উপাক্ষের দৈর্ঘ্য হবে 2b একক ,
- কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হবে (0,0) ,
- শীর্ষবিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক হবে  [tex]( \pm a,0)[/tex] ,
- উৎকেন্দ্রতা হবে [tex]e = \sqrt {1 - {{{b^2}} \over {{a^2}}}} [/tex] ,
- নাভি দুটির স্থানাঙ্ক হবে [tex]( \pm ae,0)[/tex] ,
- নাভি দুটির দুরত্ব হবে 2ae একক ,
- নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য হবে  [tex]{{2{b^2}} \over a}[/tex] একক ,
- নাভিলম্ব দুটির প্রান্তবিন্দু চারটির স্থানাঙ্ক হবে [tex]\left( {ae,{{{b^2}} \over a}} \right)[/tex] ,   [tex]\left( {ae, - {{{b^2}} \over a}} \right)[/tex] ,  [tex]\left( { - ae,{{{b^2}} \over a}} \right) [/tex] ,  [tex]\left( { - ae, -  {{{b^2}} \over a}} \right)[/tex] ,
- নাভিলম্ব দুটির সমীকরণ হবে  [tex]x =  \pm ae[/tex]
- নিয়ামক দুটির সমীকরণ হবে [tex]x =  \pm {a \over e}[/tex]
- নিয়ামক দুটির দুরত্ব  হবে [tex]{{2a} \over e}[/tex] একক
 

~~~~~~

উপবৃত্ত  [tex]{{{x^2}} \over {{b^2}}} + {{{y^2}} \over {{a^2}}} = 1[/tex]  যেখানে [tex][{a^2} > {b^2}][/tex]

- পরাক্ষ হবে  y-অক্ষ ,
- উপাক্ষ হবে  x-অক্ষ ,
- পরাক্ষের সমীকরণ হবে x = 0 ,
- উপাক্ষের সমীকরণ হবে y = 0 ,
- পরাক্ষের দৈর্ঘ্য হবে 2a একক .
- উপাক্ষের দৈর্ঘ্য হবে 2b একক ,
- কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হবে (0,0) ,
- শীর্ষবিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক হবে  [tex](0, \pm a)[/tex] ,
- উৎকেন্দ্রতা হবে [tex]e = \sqrt {1 - {{{b^2}} \over {{a^2}}}} [/tex] ,
- নাভি দুটির স্থানাঙ্ক হবে [tex](0, \pm ae)[/tex] ,
- নাভি দুটির দুরত্ব হবে 2ae একক ,
- নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য হবে  [tex]{{2{b^2}} \over a}[/tex] একক ,
- নাভিলম্ব দুটির প্রান্তবিন্দু চারটির স্থানাঙ্ক হবে [tex]\left( {{{{b^2}} \over a},ae} \right)[/tex]  , [tex]\left( { - {{{b^2}} \over a},ae} \right)[/tex]  , [tex]\left( {{{{b^2}} \over a}, - ae} \right)[/tex] , [tex]\left( { - {{{b^2}} \over a} - ae} \right)[/tex] ,
- নাভিলম্ব দুটির সমীকরণ হবে  [tex]y =  \pm ae[/tex]
- নিয়ামক দুটির সমীকরণ হবে [tex]y =  \pm {a \over e}[/tex]
- নিয়ামক দুটির দুরত্ব  হবে [tex]{{2a} \over e}[/tex] একক

~~~~~~

উপবৃত্ত  [tex]{{{{(x - a)}^2}} \over {{a^2}}} + {{{{(y - \beta )}^2}} \over {{b^2}}} = 1[/tex] যেখানে [tex][{a^2} > {b^2}][/tex]
 

- পরাক্ষ হবে  x-অক্ষের সমান্তরাল  ,
- উপাক্ষ হবে  y-অক্ষের সমান্তরাল  ,
- পরাক্ষের সমীকরণ হবে y = [tex]\beta [/tex] ,
- উপাক্ষের সমীকরণ হবে x = a ,
- পরাক্ষের দৈর্ঘ্য হবে 2a একক .
- উপাক্ষের দৈর্ঘ্য হবে 2b একক ,
- কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হবে (a,[tex]\beta [/tex]) ,
- শীর্ষবিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক হবে  [tex](a \pm a,\beta )[/tex] ,
- উৎকেন্দ্রতা হবে [tex]e = \sqrt {1 - {{{b^2}} \over {{a^2}}}} [/tex] ,
- নাভি দুটির স্থানাঙ্ক হবে [tex](a \pm ae,\beta )[/tex] ,
- নাভি দুটির দুরত্ব হবে 2ae একক ,
- নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য হবে  [tex]{{2{b^2}} \over a}[/tex] একক ,
- নাভিলম্ব দুটির প্রান্তবিন্দু চারটির স্থানাঙ্ক হবে [tex]\left( {a \pm ae,\beta  \pm {{{b^2}} \over a}}\right)[/tex]  ,
- নাভিলম্ব দুটির সমীকরণ হবে  [tex]x = a \pm ae[/tex]
- নিয়ামক দুটির সমীকরণ হবে  [tex]x = a \pm {a \over e}[/tex]
- নিয়ামক দুটির দুরত্ব  হবে [tex]{{2a} \over e}[/tex] একক

~~~~~~
উপবৃত্ত  [tex]{{{{(x - a)}^2}} \over {{b^2}}} + {{{{(y - \beta )}^2}} \over {{a^2}}} = 1[/tex]  যেখানে [tex][{a^2} > {b^2}][/tex]
 

- পরাক্ষ হবে  y-অক্ষের সমান্তরাল  ,
- উপাক্ষ হবে  x-অক্ষের সমান্তরাল  ,
- পরাক্ষের সমীকরণ হবে x = a ,
- উপাক্ষের সমীকরণ হবে y  = [tex]\beta [/tex] ,
- পরাক্ষের দৈর্ঘ্য হবে 2a একক .
- উপাক্ষের দৈর্ঘ্য হবে 2b একক ,
- কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হবে (a,[tex]\beta [/tex]) ,
- শীর্ষবিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক হবে  [tex]\left( {a,\beta  \pm a} \right) [/tex] ,
- উৎকেন্দ্রতা হবে [tex]e = \sqrt {1 - {{{b^2}} \over {{a^2}}}} [/tex] ,
- নাভি দুটির স্থানাঙ্ক হবে [tex]\left( {a,\beta  \pm ae} \right)[/tex] ,
- নাভি দুটির দুরত্ব হবে 2ae একক ,
- নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য হবে  [tex]{{2{b^2}} \over a}[/tex] একক ,
- নাভিলম্ব দুটির প্রান্তবিন্দু চারটির স্থানাঙ্ক হবে [tex]\left( {a \pm {{{b^2}} \over a},\beta  \pm ae} \right)[/tex]  ,
- নাভিলম্ব দুটির সমীকরণ হবে  [tex]y = \beta \pm ae[/tex]
- নিয়ামক দুটির সমীকরণ হবে  [tex]y = \beta  \pm {a \over e} [/tex]
- নিয়ামক দুটির দুরত্ব  হবে [tex]{{2a} \over e}[/tex] একক