দ্বিপদ উপপাদ্য (Binomial Theorem)
ভূমিকা (Introduction):- দ্বিপদ কথার অর্থ হল দুটি পদ । যে রাশিতে দুটি পদ থাকে তাকে দ্বিপদ রাশি বলা হয় । যেমন - 2x + 5, ax + b, ax - cy ইত্যাদি এরা প্রত্যেকে দ্বিপদ রাশি । আমরা দ্বিপদ রাশি (a + x) এর বর্গ কিংবা ঘনের অর্থাৎ [tex]{\left( {a + x} \right)^2}[/tex] কিংবা [tex]{\left( {a + x} \right)^3}[/tex] মান সহজেই নির্ণয় করতে পারি । কিন্তু [tex]{\left( {a + x} \right)^n}[/tex] (n যেকোন ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা) এর মান সহজে নির্ণয় করা যায় না । এই জাতীয় দ্বিপদ রাশির প্রকাশের জন্য একটি সাধারণ সূত্র ব্যবহার করি, এই সাধারণ সূত্রকেই বীজগণিতের ভাষায় দ্বিপদ উপপাদ্য (Binomial Theorem) বলে ।
দ্বিপদ উপপাদ্যের সাহায্যে আমরা সহজেই যেকোনো দ্বিপদ রাশির যেকোনো ঘাতের মান প্রকাশ করতে পারি । এই উপপাদ্যটি Sir Isaac Newton আবিষ্কার করেছেন ।
ধনাত্মক অখণ্ড সূচকের ক্ষেত্রে দ্বিপদ উপপাদ্য (Binomial Theorem for a Positive Integral Index)
উপপাদ্যের প্রতিপাদ্য বিষয় (Statement of the theorem)
n যেকোন ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা হলে (a + x) এই দ্বিপদ রাশির n তম ঘাতের বিস্তার হল
[tex]\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {a + x} \right)}^n} = {a^n} + {}^nC_1{a^{n - 1}}x + {}^nC_2{a^{n - 2}}{x^2} + {}^nC_3{a^{n - 3}}{x^3} + .............. + {}^nC_r{a^{n - r}}{x^r} + .......... + {x^n} \to (i)}\\
{or,{{\left( {a + x} \right)}^n} = {a^n} + n{a^{n - 1}}x + \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}{a^{n - 2}}{x^2} + \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}}{a^{n - 3}}{x^3} + ................ + \frac{{n!}}{{r!\left( {n - r} \right)!}}{a^{n - r}}{x^r} + .......... + {x^n} \to (ii)}
\end{array}[/tex]
a ও x এর যেকোন বাস্তব মানের জন্য ।
প্রমাণ :- আমরা জানি [tex]{\left( {a + x} \right)^2} = {a^2} + 2ax + {x^2} = {a^2} + {}^2C_1ax + {x^2}[/tex] ........... (i)
একই ভাবে
[tex]{\left( {a + x} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}x + 3a{x^2} + {x^3} = {a^3} + {}^3C_1{a^2}x + {}^3C_2a{x^2} + {x^3}[/tex] ..... (ii)
উপরের (i) ও (ii) থেকে পাই দ্বিপদ উপপাদ্য n = 2 অথবা n = 3 এর ক্ষেত্রে সত্য ।
এখন ধরা যাক যদি n = m এর ক্ষেত্রে দ্বিপদ উপপাদ্যটি সত্য, তাহলে
[tex]\eqalign{
& {\left( {a + x} \right)^m} = {a^m} + {}^mC_1{a^{m - 1}}x + {}^mC_2{a^{m - 2}}{x^2} + {}^mC_3{a^{m - 3}}{x^3} + ....... \cr
& ........... + C_r^m{a^{m - r}}{x^r} + ............ + {x^m}............(iii) \cr} [/tex]
এখন দেখাতে হবে (m +1) এর জন্য এই বিবৃতিটি সত্য দেখাতে হবে
[tex]\begin{array}{l}
{\left( {a + x} \right)^{m + 1}}\\
= {\left( {a + x} \right)^m}\left( {a + x} \right)\\
= \left( {{a^m} + {}^mC_1{a^{m - 1}}x + {}^mC{}_2{a^{m - 2}}{x^2} + {}^mC_3{a^{m - 3}}{x^3} + .................. + {}^mC_r{a^{m - r}}{x^r} + ............ + {x^m}} \right)\left( {a + x} \right)\\
= {a^{m + 1}} + {}^mC_1{a^{m - 1 + 1}}x + {}^mC_2{a^{m - 2 + 1}}{x^2} + {}^mC_3{a^{m - 3 + 1}}{x^3} + ............... + {}^mC_r{a^{m - r + 1}}{x^r} + .......... + {x^m}a + {a^m}x + {}^mC_1{a^{m - 1}}{x^2} + {}^mC{}_2{a^{m - 2}}{x^3} + {}^mC_3{a^{m - 3}}{x^4} + .................. + {}^mC_r{a^{m - r}}{x^{r + 1}} + ........ + {x^{m + 1}}\\
= {a^{m + 1}} + {a^m}\left( { {}^mC_1 + 1} \right)x + {a^{m - 1}}\left( { {}^mC_2 + {}^mC_1} \right){x^2} + {a^{m - 2}}\left( { {}^mC_3 + {}^mC_2} \right){x^3} + .............. + {a^{m + 1 - r}}\left( { {}^mC_r + {}^mC_{r - 1}} \right){x^r} + ............. + {x^{m + 1}}\\
= {a^{m + 1}} + {}^{m+1}C_1{a^{m + 1 - 1}}x + {}^{m+1}C_2{a^{m + 1 - 2}}{x^2} + ........ + {}^{m+1}C_r{a^{m + 1 - r}}{x^r} + ......{x^{m + 1}}\\
= {\left( {a + x} \right)^{m + 1}}
\end{array}[/tex]
স্পটতই দেখা যাচ্ছে n = (m +1) এর জন্য বিবৃতিটি সত্য যদি n = m এর জন্য বিবৃতিটি সত্য হয় । এখন n = 2 এর জন্য বিবৃতিটি সত্য, এবং যদি n = m এর জন্য বিবৃতিটি সত্য হলে n = (m +1) এর জন্য বিবৃতিটি সত্য হবে । অতএব গাণিতিক আরোহণ তত্ত্বের সাহায্যে আমরা বলতে পারি n যে কোন স্বাভাবিক সংখ্যার জন্য বিবৃতিটি সত্য হবে । অতএব
[tex]\eqalign{
& {\left( {a + x} \right)^n} = {a^n} + {}^nC_1{a^{n - 1}}x + {}^nC_2{a^{n - 2}}{x^2} + {}^nC_3{a^{n - 3}}{x^3} + ....... \cr
& ........... + C_r^n{a^{n - r}}{x^r} + ............ + {x^n} \cr} [/tex]
দ্রষ্টব্য
(i) যদি কোন রাশিকে একটি শ্রেণীর আকারে প্রকাশ করা হয় তবে ওই শ্রেণীকে বলা হয় বিস্তৃতি (Expansion) ।.
(ii) যেহেতু [tex]{}^n{C_0} = {}^n{C_n} = 1 [/tex] এবং [tex]{x^0} = {a^0} = 1[/tex] সুতরাং [tex]{\left( {a - x} \right)^n}[/tex] এর বিস্তৃতি নিম্নলিখিত আকারে লেখা যায়
[tex]{\left( {a + x} \right)^n} = {}^n{C_0}{a^n}{x^0} + {}^n{C_1}{a^{n - 1}}{x^1} + {}^n{C_2}{a^{n - 2}}{x^2} + ............ + {}^n{C_r}{a^{n - r}}{x^r} + .......... + {}^n{C_n}{a^0}{x^n}[/tex]
(i) [tex]{\left( {a - x} \right)^n}[/tex] এর বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা হল (n + 1) ।
(ii) যেকোন x এর সূচক ওই পদটির ক্রমিক অবস্থান অপেক্ষা 1 কম । যেকোন পদে a ও x এর সূচকের সমষ্টি সর্বদাই n ।
কয়েকটি বিশেষ দ্বিপদ রাশির বিস্তৃতি (Expansions of some Important Binomial Expressions)
(1) [tex]{\left( {1 + x} \right)^n}[/tex] এর বিস্তৃতি (n যেকোন অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যা)
[tex]{\left( {a + x} \right)^n}[/tex] এর বিস্তৃতিতে a = 1 বসিয়ে পাই
[tex]{\left( {1 + x} \right)^n} = 1 + {}^n{C_1}x + {}^n{C_2}{x^2} + {}^n{C_3}{x^3} + ........... + {}^n{C_r}{x^r} + .............. + {x^n}[/tex]
(2) [tex]{\left( {a - x} \right)^n}[/tex] এর বিস্তৃতি (n যেকোন অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যা)
[tex]{\left( {a + x} \right)^n}[/tex] এর বিস্তৃতিতে x = -x বসিয়ে পাই
[tex]\begin{array}{l}
{\left( {a - x} \right)^n} = {a^n} + {}^n{C_1}{a^{n - 1}}\left( { - x} \right) + {}^n{C_2}{a^{n - 2}}{\left( { - x} \right)^2} + {}^n{C_3}{a^{n - 3}}{\left( { - x} \right)^3} + ........... + {}^n{C_r}{a^{n - r}}{\left( { - x} \right)^r} + ......... + {\left( { - x} \right)^n}\\
\Rightarrow {\left( {a - x} \right)^n} = {a^n} - {}^n{C_1}{a^{n - 1}}x + {}^n{C_2}{a^{n - 2}}{x^2} - {}^n{C_3}{a^{n - 3}}{x^3} + ......... + {}^n{C_r}{a^{n - r}}{\left( { - x} \right)^r} + ......... + {\left( { - x} \right)^n}
\end{array}[/tex]
(3) [tex]{\left( {1 - x} \right)^n}[/tex] এর বিস্তৃতি (n যেকোন অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যা)
[tex]{\left( {1 + x} \right)^n}[/tex] এর বিস্তৃতিতে x = -x বসিয়ে পাই
[tex]\begin{array}{l}
{\left( {1 - x} \right)^n} = 1 + {}^n{C_1}\left( { - x} \right) + {}^n{C_2}{\left( { - x} \right)^2} + {}^n{C_3}{\left( { - x} \right)^3} + ........... + {}^n{C_r}{\left( { - x} \right)^r} + ......... + {\left( { - x} \right)^n}\\
\Rightarrow {\left( {1 - x} \right)^n} = 1 - {}^n{C_1}x + {}^n{C_2}{x^2} - {}^n{C_3}{x^3} + ......... + {}^n{C_r}{\left( { - x} \right)^r} + ......... + {\left( { - x} \right)^n}
\end{array}[/tex]
বিস্তৃতির সাধারণ পদ নির্ণয় (To find the general term of Expansion)
[tex]{\left( {a + x} \right)^n}[/tex] এর বিস্তৃতিতে (n যেকোন অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যা) (r + 1) তম পদটিকে সাধারণ পদ বলে । সাধারণত এই পদকে [tex]{t_{r + 1}}[/tex] দ্বারা সূচিত করা হয় ।
[tex]{\left( {a + x} \right)^n} = {a^n} + {}^n{C_1}{a^{n - 1}}x + {}^n{C_2}{a^{n - 2}}{x^2} + ............ + {}^n{C_r}{a^{n - r}}{x^r} + .......... + {x^n}[/tex]
উপরের বিস্তৃতি থেকে দেখা যায় যে
[tex]\begin{array}{l}
{t_1} = {}^n{C_0}{a^{n - 0}}{x^0}\\
{t_2} = {}^n{C_1}{a^{n - 1}}{x^1}\\
{t_3} ={}^n{C_2}{a^{n - 2}}{x^2}\\
{t_4} = {}^n{C_3}{a^{n - 3}}{x^3}
\end{array}[/tex]
এবং সাধারণভাবে [tex]{t_{r + 1}} = (r + 1) তম পদ = {}^n{C_r}{a^{n - r}}{x^r}[/tex]
দ্রষ্টব্য
(i) [tex]{\left( {1 + x} \right)^n}[/tex] এর বিস্তৃতিতে (r +1) তম পদ = [tex]{t_{r + 1}} = {}^n{C_r}{x^r}[/tex]
(ii) [tex]{\left( {1 - x} \right)^n}[/tex] এর বিস্তৃতিতে (r +1) তম পদ = [tex]{t_{r + 1}} = {-1^r}{}^n{C_r}{x^r}[/tex]
(iii) [tex]{\left( {a - x} \right)^n}[/tex] এর বিস্তৃতিতে (r +1) তম পদ = [tex]{t_{r + 1}} = {-1^r}{}^n{C_r}{a^{n - r}}{x^r}[/tex]
বিস্তৃতির মধ্যমপদ নির্ণয় (To find the middle term of Expansion)
[tex]{\left( {a - x} \right)^n}[/tex] এর বিস্তৃতিতে (n যেকোন অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যা) পদসংখ্যা হল (n+1) । সুতরাং n মান যদি যুগ্ম হয় তাহলে পদসংখ্যা হয় অযুগ্ম । তখন মধ্যমপদের সংখ্যা হবে একটি । আবার n এর মান যদি অযুগ্ম হয় তাহলে পদসংখ্যা হয় যুগ্ম । তখন মধ্যমপদের সংখ্যা হয় দুটি ।
n এর মান যখন যুগ্ম
মনে করি n = 2m, যেখানে m যেকোন ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা । সুতরাং [tex]{\left( {a + x} \right)^n}[/tex] এর বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা হবে (2m + 1).স্পটতই মধ্যম পদটি হবে (m + 1) তম পদ । কারণ (m + 1) তম পদের উভয় পাশে m সংখ্যক করে পদ থাকে । অতএব নির্ণেয় মধ্যমপদ হল (m + 1) তম পদ বা [tex]\left( {\frac{n}{2} + 1} \right)[/tex] তম পদ এবং পদটি হল
[tex]{t_{\frac{n}{2} + 1}} = {}^n{C_{\frac{n}{2}}}{a^{n - \frac{n}{2}}}{x^{\frac{n}{2}}} = {}^n{C_{\frac{n}{2}}}{a^{\frac{n}{2}}}{x^{\frac{n}{2}}}[/tex]
n এর মান যখন অযুগ্ম
মনে করি n = (2m + 1), যেখানে m যেকোন ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা । সুতরাং [tex]{\left( {a + x} \right)^n}[/tex] এর বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা হবে (2m + 1+1) = (2m + 2) । এক্ষেত্রে বিস্তৃতিতে দুটি মধ্যমপদ থাকবে এবং এই পদদুটি হবে (m + 1) তম এবং (m + 2 ) তম । কারণ এই পদ দুটির উভয়পাশে m সংখ্যক পদ আছে ।
এখন [tex]n = \left( {2m + 1} \right) \Rightarrow m = \frac{{n - 1}}{2}[/tex]
অতএব নির্ণেয় মধ্যমপদ দুটি হল
[tex]\left( {\frac{{n - 1}}{2} + 1} \right)[/tex] তম , [tex]\left( {\frac{{n - 1}}{2} + 2} \right)[/tex] তম পদ
প্রথম মধ্যমপদ = [tex]\left( {\frac{{n - 1}}{2} + 1} \right) [/tex] তম পদ
[tex] \Rightarrow {t_{\frac{{n - 1}}{2} + 1}} = {}^n{C_{\frac{{n - 1}}{2}}}{a^{n - \frac{{n - 1}}{2}}}{x^{\frac{{n - 1}}{2}}} = {}^n{C_{\frac{{n - 1}}{2}}}{a^{\frac{{n + 1}}{2}}}{x^{\frac{{n - 1}}{2}}}[/tex]
দ্বিতীয় মধ্যমপদ = [tex]\left( {\frac{{n + 1}}{2} + 1} \right) [/tex] তম পদ
[tex] \Rightarrow {t_{\frac{{n + 1}}{2} + 1}} = {}^n{C_{\frac{{n + 1}}{2}}}{a^{n - \frac{{n + 1}}{2}}}{x^{\frac{{n + 1}}{2}}} = {}^n{C_{\frac{{n + 1}}{2}}}{a^{\frac{{n - 1}}{2}}}{x^{\frac{{n + 1}}{2}}}[/tex]
[tex]{\left( {a + x} \right)^n}[/tex] বা [tex]{\left( {1 + x} \right)^n}[/tex] এর বিস্তৃতিতে প্রথম ও শেষ দিক থেকে সমদূরবর্তী পদের সহগ সমান হবে (In the Expansion [tex]{\left( {a + x} \right)^n}[/tex] or [tex]{\left( {1 + x} \right)^n}[/tex], the coefficients of terms Equidistant from the beginning and the end are equal)
স্পটতই [tex]{\left( {a + x} \right)^n}[/tex] বা [tex]{\left( {1 + x} \right)^n}[/tex] এর বিস্তৃতিতে প্রথম (r + 1) তম পদের সহগ হল [tex]{}^n{C_r}[/tex] । আবার শেষের দিক থেকে (r + 1) তম পদের সহগ হল [tex]{}^n{C_{n -r }}[/tex] ।
সূত্রানুযায়ী [tex]{}^n{C_r}[/tex] = [tex]{}^n{C_{n -r }}[/tex]
অতএব প্রথম দিক থেকে (r + 1) তম পদের সহগ = শেষের দিক থেকে (r + 1) তম পদের সহগ ।
সুতরাং প্রমাণিত প্রথম ও শেষ দিক থেকে সমদূরবর্তী পদের সহগ সমান হবে ।
দ্বিপদ সহগ সমূহের ধর্ম (Properties of Binomial Coefficients)
অনেক সময় দ্বিপদ সহগ সমূহ [tex]{}^n{C_0},{}^n{C_1},{}^n{C_2},.............,{}^n{C_r},..............,{}^n{C_n}[/tex] গুলিকে সংক্ষেপে [tex]{C_0},{C_1},{C_2},.............,{C_r},..............,{C_n}[/tex] এই আকারে লেখা হয় ।
সুতরাং
[tex]\begin{array}{l}
{\left( {1 + x} \right)^n} = {}^n{C_0} + {}^n{C_1}x + {}^n{C_2}{x^2} + ................ + {}^n{C_r}{x^r} + ............ + {}^n{C_n}{x^n}\\
\Rightarrow {\left( {1 + x} \right)^n} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2} + ................ + {C_r}{x^r} + ............. + {C_n}{x^n}
\end{array}[/tex]
দ্বিপদ সহগ সমূহের নিম্নলিখিত দুটি বৈশিষ্ট আছে ।
(১) [tex]{\left( {1 + x} \right)^n}[/tex] এর বিস্তৃতিতে সহগ সমূহের সমষ্টি = [tex]{2^n}[/tex]
আমরা জানি
[tex]{\left( {1 + x} \right)^n} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2} + ................ + {C_r}{x^r} + ............. + {C_n}{x^n}[/tex]
এখন x = 1 বসিয়ে পাই
[tex]\begin{array}{l}
{\left( {1 + 1} \right)^n} = {C_0} + {C_1} + {C_2} + ................ + {C_r} + ............. + {C_n}\\
\Rightarrow {2^n} = {C_0} + {C_1} + {C_2} + ................ + {C_r} + ............. + {C_n}
\end{array}[/tex]
অতএব [tex]{\left( {1 + x} \right)^n}[/tex] এর বিস্তৃতিতে সহগ সমূহের সমষ্টি = [tex]{2^n}[/tex] প্রমাণিত ।
(২) [tex]{\left( {1 + x} \right)^n}[/tex] এর বিস্তৃতিতে জোড় স্থানীয় সহগ সমূহের সমষ্টি = বিজোড় স্থানীয় সহগ সমূহের সমষ্টি = [tex]{2^{n - 1}}[/tex]
আমরা জানি
[tex]{\left( {1 + x} \right)^n} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2} + ................ + {C_r}{x^r} + ............. + {C_n}{x^n}[/tex]............. (i)
এখন (i) কে x এর স্থানে -x বসিয়ে পাই
[tex]{\left( {1 - x} \right)^n} = {C_0} - {C_1}x + {C_2}{x^2} - ............. + {\left( { - 1} \right)^r}{C_r}{x ^r}+ ......... + {\left( { - 1} \right)^n}{x^n}..........(ii)[/tex]
(i) + (ii) করে পাই
[tex]{\left( {1 + x} \right)^n} + {\left( {1 - x} \right)^n} = 2\left[ {{C_0} + {C_2}{x^2} + {C_4}{x^4} + ..........} \right][/tex].............. (iii)
(iii) নং সমীকরণে x = 1 বসিয়ে পাই
[tex]\begin{array}{l} {\left( {1 + 1} \right)^n} + {\left( {1 - 1} \right)^n} = 2\left[ {{C_0} + {C_2}{1^2} + {C_4}{1^4} + ..........} \right]\\ \Rightarrow {2^n} + 0 = 2\left[ {{C_0} + {C_2} + {C_4} + ...........} \right]\\ \Rightarrow {C_0} + {C_2} + {C_4} + ........... = {2^{n - 1}} \end{array}[/tex]
অর্থাৎ বিজোড় স্থানীয় পদগুলির সমষ্টি হবে [tex]{2^{n - 1}}[/tex] ।
অনুরূপে (i) - (ii) করে জোড় স্থানীয় পদগুলির সমষ্টি = [tex]{2^{n - 1}}[/tex] পাই ।
[tex]{\left( {a + x} \right)^n}[/tex] এর বিস্তৃতিতে বৃহত্তম পদ নির্ণয় ( a > 0 , x > 0 এবং n ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা) [To find the greatest term in the Expansion of [tex]{\left( {a + x} \right)^n}[/tex] ( a > 0 , x> 0 and n is positive integer)]
[tex]{\left( {a + x} \right)^n}[/tex] বিস্তৃতির ( r + 1 ) তম ও r তম পদ যথাক্রমে [tex]{t_{r + 1}}[/tex] ও [tex]{t_r}[/tex] ।
যেখানে [tex]{t_{r + 1}} = {}^n{C_r}{a^{n - r}}{x^r} এবং {t_r} = {}^n{C_{r - 1}}{a^{n - r + 1}}{x^{r - 1}}[/tex] ।
এখন [tex]\frac{{{t_{r + 1}}}}{{{t_r}}} = \frac{{{}^n{C_r}{a^{n - r}}{x^r}{t_r}}}{{{}^n{C_{r - 1}}{a^{n - r + 1}}{x^{r - 1}}}} = \frac{{{}^n{C_r}}}{{{}^n{C_{r - 1}}}}\frac{x}{a} = \left( {\frac{{n - r + 1}}{r}} \right)\frac{x}{a}[/tex]
স্পষ্টতই [tex]{t_{r + 1}} > {t_r}[/tex] হবে যখন [tex]\left( {\frac{{n - r + 1}}{r}} \right)\frac{x}{a} > 1[/tex]............... (i)
[tex]\begin{array}{l}
\left( {\frac{{n - r + 1}}{r}} \right)\frac{x}{a} > 1\\
\Rightarrow \frac{{n - r + 1}}{r} > \frac{a}{x}\\
\Rightarrow \frac{{n + 1}}{r} - 1 > \frac{a}{x}\\
\Rightarrow \frac{{n + 1}}{r} > \frac{{a + x}}{x}\\
\Rightarrow r < \frac{{x\left( {n + 1} \right)}}{{a + x}}
\end{array}[/tex]
একইভাবে যদি [tex]{t_{r + 1}} = {t_r}[/tex] হয় তবে [tex]{r = \frac{{x\left( { n + 1} \right)}}{{a + x}}}[/tex] ................... (ii)
এবং যদি [tex]{r > \frac{{x\left( { n + 1} \right)}}{{a + x}}}[/tex] তখন [tex]{t_{r + 1}} < {t_r}[/tex] ............ (iii) হবে ।
এখন [tex]\frac{{x\left( {n + 1} \right)}}{{a + x}}[/tex] এর মান একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা বা ধনাত্মক ভগ্নাংশ হতে পারে ।
[tex]\frac{{x\left( {n + 1} \right)}}{{a + x}}[/tex] এর মান যখন একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা
প্রথমত : ধরা যাক [tex]\frac{{x\left( {n + 1} \right)}}{{a + x}}[/tex] = m যেখানে m যেকোন ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা ।
তাহলে [tex]{t_{r + 1}} > {t_r}[/tex] হবে যখন r < m হবে । অর্থাৎ r = 1 ,2 ,3 ,4 ,.........., (m - 1) হলে [tex]{t_{r + 1}} > {t_r}[/tex] হবে ।
সুতরাং [tex]\begin{array}{l}
{t_2} > {t_1},{t_3} > {t_2},{t_4} > {t_3},.............{t_m} > {t_{m - 1}}\\
\Rightarrow {t_1} < {t_2} < {t_3} < {t_4} < ..........{t_{m - 1}} < {t_m}..............(iv)
\end{array}[/tex]
যখন r = m হয় তখন [tex]{t_{m + 1}} = {t_m}[/tex] হবে ।
আবার যদি r > m হয়, তখন [tex]{t_{r + 1}} < {t_r}[/tex] হবে ।
অর্থাৎ r = (m + 1), (m + 2), (m +3)............... হলে ,
[tex]\begin{array}{l}
{t_{m + 2}} < {t_{m + 1}},{t_{m + 3}} < {t_{m + 2}},{t_{m + 4}} < {t_{m + 3}}...............\\
\Rightarrow {t_{m + 1}} > {t_{m + 2}} > {t_{m + 3}} > {t_{m + 4}}............
\end{array}[/tex]
(i), (ii), (iii), (vi) থেকে দেখা যাচ্ছে [tex]\frac{{x\left( {n + 1} \right)}}{{a + x}}[/tex] = m, একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হলে m তম এবং (m + 1) তম পদ দুটি সমান হবে এবং তাদের যেকোন একটিই নির্ণেয় বৃহত্তম পদ হবে ।
দ্বিতীয়ত : ধরা যাক [tex]\frac{{x\left( {n + 1} \right)}}{{a + x}}[/tex] = m + ধনাত্মক প্রকৃত ভগ্নাংশ, যেখানে m = 0 বা যেকোন ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা ।
তাহলে [tex]{t_{r + 1}} > {t_r}; যখন r \le m[/tex]
অর্থাৎ [tex]r = 1,2,3,................m, হলে {t_{r + 1}} > {t_r}[/tex] হবে ।
অতএব [tex]{t_2} > {t_1},{t_3} > {t_2},{t_4} > {t_5}............{t_{m + 1}} > {t_m}[/tex]
অর্থাৎ [tex]{t_1} < {t_2} < {t_3} < {t_4} < .......... < {t_m} < {t_{m + 1}}[/tex] ................... (v)
আবার [tex]{t_{r + 1}} < {t_r}; যখন r \ge m + 1[/tex]
অর্থাৎ [tex]r = m+1,m+2,m+3,................[/tex], হলে [tex]{t_{r + 1}} < {t_r}[/tex] হবে ।
অতএব [tex]{t_m+2} > {t_m+1},{t_m+3} > {t_m+2},{t_m+4} > {t_m+5} ............ [/tex]
অর্থাৎ [tex]{t_m+1} < {t_m+2} < {t_m+3} < {t_m+4} < .......... [/tex] ........................ (vi)
এখন (v) ও (vi) থেকে পাই
[tex]{t_1} < {t_2} < {t_3} < {t_4} ........... < {t_m} < {t_{m + 1}} > {t_{m + 2}} > {t_{m + 3}} .......... [/tex]
স্পষ্টতই [tex]{t_{m + 1}}[/tex] পদের মান হবে বৃহত্তম ।
সুতরাং [tex]\frac{{\left( {n + 1} \right)x}}{{a + x}}=[/tex] [m + ( একটি ধনাত্মক প্রকৃত ভগ্নাংশ হলে )], ( m + 1) তম পদের মান বৃহত্তম হবে ।
সংক্ষিপ্তকরণ :-
(1) n ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা হলে,
[tex]{(a + x)^n} = {a^n} + {}^n{c_1} \cdot {a^{n - 1}}{x^1} + {}^n{c_2} \cdot {a^{n - 2}}{x^2} + \cdots + {}^n{c_r} \cdot {a^{n - r}}{x^r} + \cdots + {x^n} [/tex] .... (1)
(2) (1) n যুগ্ম হলে, (1) বিস্তৃতির একটি মাধ্যম পদ থাকবে এবং মাধ্যম পদটি হবে [tex]\left( {\frac{n}{2} + 1} \right)[/tex] -তম পদ ;
(2) n অযুগ্ম হলে, (1) বিস্তৃতির দুটি মাধ্যম পদ থাকবে এবং পদটি দুটি যথাক্রমে [tex]\left( {\frac{{n - 1}}{2} + 1} \right)[/tex] -তম এবং [tex]\left( {\frac{{n + 1}}{2} + 1} \right)[/tex] -তম পদ হবে ।
(3) [tex]{(a + x)^n}[/tex] -এর বিস্তৃতিতে m -তম অথবা, (m + 1) -তম পদ বৃহত্তম হবে যদি , [tex]\frac{{(n + 1)x}}{{a + x}}[/tex] = একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা m হয়, পক্ষান্তরে, [tex]\frac{{(n + 1)x}}{{a + x}}[/tex] = [একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (m) + একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ হলে ] , (m + 1) -তম পদটি বৃহত্তম পদ হবে ।
(4) (1) বিস্তৃতির সাধারণ পদ = [tex](r + 1)[/tex] তম পদ = [tex]{t_{r + 1}} = {}^n{c_r} \cdot {a^{n - r}}{x^r}[/tex] ।
******
- 3945 views