দ্বিঘাত সমীকরণের তত্ত্ব (Theory of Quadratic Equation)

 দ্বিঘাত সমীকরণের তত্ত্ব (Theory of Quadratic Equation)

ভূমিকা ( Introduction )

যে সমীকরণে অজ্ঞাত রাশির বৃহত্তম সূচকের মান দুই হলে তাকে দুই ঘাতবিশিষ্ট বা দ্বিঘাত সমীকরণ(second degree or quadratic equation)বলে।একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ আকার হল $a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0$ যেখানে $a\left( { \ne 0} \right),b,c$ তিনটি ধ্রুবক রাশি।$a,b$ হল যথাক্রমে ${x^2},x$এর সহগ এবং cকে সমীকরণটির ধ্রুবক পদ বলে।

যে দ্বিঘাত সমীকরণে $b = 0$ হয় অর্থাৎ সমীকরণের সাধারণ আকার হয় $a \cdot {x^2} + c = 0$ তাকে বিশুদ্ধ দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।অন্যভাবে যে দ্বিঘাত সমীকরণে $b \ne 0$ হয় অর্থাৎ সমীকরণের সাধারণ আকার হয় $a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0$ তাকে মিশ্র দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।যেমন ${x^2} - 16 = 0,9{x^2} - 25 = 0$হল  বিশুদ্ধ দ্বিঘাত সমীকরণ কিন্তু $2{x^2} + 3x + 5 = 0$ হল  মিশ্র দ্বিঘাত সমীকরণ।

উপপাদ্য(Theorem)

উপপাদ্য ১৷$a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ $\alpha$ হলে $a \cdot {x^2} + b \cdot x + c$ রাশিমালার একটি উৎপাদক হবে $\left( {x - \alpha } \right)$ বিপরীতক্রমে $a \cdot {x^2} + b \cdot x + c$ রাশিমালার একটি উৎপাদক $\left( {x - \alpha } \right)$ হলে $a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0$ সমীকরণের একটি বীজ হবে $\alpha$ ।

প্রমান:  প্রশ্নানুযায়ী $\alpha$ হল $a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0$ সমীকরণের একটি বীজ।

$a \cdot {\alpha ^2} + b \cdot \alpha  + c = 0$

এখন

$\begin{array}{l} a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = (a \cdot {x^2} + b \cdot x + c) - \left( {a \cdot {\alpha ^2} + b \cdot \alpha  + c} \right)\\  = a\left( {{x^2} - {\alpha ^2}} \right) + b\left( {x - \alpha } \right)\\  = a\left( {x + \alpha } \right)\left( {x - \alpha } \right) + b\left( {x - \alpha } \right)\\  = \left( {x - \alpha } \right)\left\{ {a\left( {x + \alpha } \right) + b} \right\} \end{array}$

অতএব $\left( {x - \alpha } \right)$ হল $a \cdot {x^2} + b \cdot x + c$ রাশিমালার উৎপাদক।

বিপরীতক্রমে যদি $a \cdot {x^2} + b \cdot x + c$ রাশিমালার একটি উৎপাদক  $\left( {x - \alpha } \right)$হয় তাহলে আমরা লিখতে পারি

$a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = \left( {x - \alpha } \right)\left( {px + q} \right),\left( {p \ne 0} \right)$ যেখানে pও qহল ধ্রুবক।

উপরের সমীকরণে $x = \alpha$ বসিয়ে পাই।

$\begin{array}{l} a \cdot {\alpha ^2} + b \cdot \alpha  + c = \left( {\alpha  - \alpha } \right)\left( {p\alpha  + q} \right)\\  \Rightarrow a \cdot {\alpha ^2} + b \cdot \alpha  + c = 0 \cdot \left( {p\alpha  + q} \right)\\  \Rightarrow a \cdot {\alpha ^2} + b \cdot \alpha  + c = 0 \end{array}$

অতএব প্রমানিত $\alpha$ হল $a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0$এই সমীকরণের একটি বীজ।

উপপাদ্য ২৷একটি দ্বিঘাত সমীকরণে কেবলমাত্র দুটি বীজ থাকবে।

প্রমান:  $a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0,\left( {a \ne 0} \right)$হল একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

$\begin{array}{l} a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\\  \Rightarrow {x^2} + \frac{b}{a} \cdot x + \frac{c}{a} = 0\\  \Rightarrow {x^2} + 2\frac{b}{{2a}} \cdot x + {\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2} - {\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2} + \frac{c}{a} = 0\\  \Rightarrow {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \left( {\frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} - \frac{c}{a}} \right) = 0\\  \Rightarrow {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \left( {\frac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}} \right) = 0\\  \Rightarrow {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - {\left( {\frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}} \right)^2} = 0\\  \Rightarrow \left( {x + \frac{b}{{2a}} + \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}} \right)\left( {x + \frac{b}{{2a}} - \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}} \right) = 0\\  \Rightarrow \left\{ {x - \left( {\frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}} \right)} \right\}\left\{ {x - \left( {\frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}} \right)} \right\} = 0\\  \Rightarrow \left( {x - \alpha } \right)\left( {x - \beta } \right) = 0 \end{array}$

যেখানে $\alpha  = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}},\beta  = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$

স্পষ্টতই দেখা যাচ্ছে উপরের সমীকরণের কেবলমাত্র দুটি বীজ আছে।

বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য

বাস্তব কিংবা জটিল সহগবিশিষ্ট প্রত্যেক বীজগণিতীয় সমীকরণের কমপক্ষে একটি বাস্তব অথবা কাল্পনিক বীজ থাকবে

উপপাদ্য ৩৷ কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের দুটির বেশি বীজ থাকতে পারেনা।

প্রমান : $a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0,\left( {a \ne 0} \right)$হল একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

মৌলিক উপপাদ্য অনুযায়ী মনে করি$\alpha$ হল উপরের দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ।

অতএব $\left( {x - \alpha } \right)$ হবে$\cdot {x^2} + b \cdot x + c$ এই রাশিমালার একটি উৎপাদক।

$a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = \left( {x - \alpha } \right)\left( {px + q} \right),\left( {p \ne 0} \right) \to \left( 1 \right)$

যেখানে pও qহল ধ্রুবক।

মৌলিক উপপাদ্য অনুযায়ী মনে করি $\beta$ হল $px + q = 0$ সমীকরণের বীজ।

$p\beta  + q = 0$ এবং $\left( {x - \beta } \right)$ হল $px + q$ রাশিমালার উৎপাদক।

$px + q = \left( {x - \beta } \right) \cdot r \to \left( 2 \right)$

যেখানে rহল ধ্রুবক($px + q$একঘাত রাশিকে$\left( {x - \beta } \right)$দিয়ে ভাগ করলে ধ্রুবক rপাওয়া যায়)।

(2)এর মান (1)কে বসিয়ে পাই

$a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = \left( {x - \alpha } \right) \cdot \left( {x - \beta } \right) \cdot r \to \left( 3 \right)$

(3)এর উভয়পক্ষে ${x^2}$ এর সহগ তুলনা করে পাই$r = a$

সুতরাং $a{x^2} + bx + c = a\left( {x - \alpha } \right)\left( {x - \beta } \right) \to \left( 4 \right)$

(4)নং সমীকরণ থেকে পাই $x = \alpha$ অথবা $x = \beta$ হলে $a{x^2} + bx + c = 0$ হয়।

অতএব $x = \alpha ,x = \beta$ হল $a{x^2} + bx + c = 0$ সমীকরণের দুটি বীজ।

এখন মনে করি $\gamma ,\left( {\gamma  \ne \alpha ,\gamma  \ne \beta } \right)$ হল উপরের সমীকরণের আরো একটি বীজ।

সুতরাং $\gamma$ (4)নং সমীকরণকে সিদ্ধ করবে

$a{\gamma ^2} + b\gamma  + c = a\left( {\gamma  - \alpha } \right)\left( {\gamma  - \beta } \right) \ne 0(a \ne 0)$

অতএব $\gamma$ $a{x^2} + bx + c = 0$ সমীকরণের বীজ হতে পারেনা।

সুতরাং প্রমানিত কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের দুটির বেশি বীজ থাকতে পারেনা।

বিকল্প পদ্ধতি

যদি সম্ভব হয় মনে করি

 $a{x^2} + bx + c = 0,(a \ne 0) \to \left( 1 \right)$

সমীকরণের তিনটি বীজ হল $\alpha ,\beta ,\gamma \left( {\alpha  \ne \beta  \ne \gamma } \right)$

$\begin{array}{l} a{\alpha ^2} + b\alpha  + c = 0 \to \left( 2 \right)\\ a{\beta ^2} + b\beta  + c = 0 \to \left( 3 \right)\\ a{\gamma ^2} + b\gamma  + c = 0 \to \left( 4 \right) \end{array}$

এখন (2)-(3)করে পাই

$\begin{array}{l} (a{\alpha ^2} + b\alpha  + c) - \left( {a{\beta ^2} + b\beta  + c} \right) = 0\\  \Rightarrow a\left( {\alpha  + \beta } \right)\left( {\alpha  - \beta } \right) + b\left( {\alpha  - \beta } \right) = 0\\  \Rightarrow \left( {\alpha  - \beta } \right)\left\{ {a\left( {\alpha  + \beta } \right) + b} \right\} = 0,\left( {\alpha  \ne \beta } \right)\\  \Rightarrow \left\{ {a\left( {\alpha  + \beta } \right) + b} \right\} = 0 \to \left( 5 \right) \end{array}$

অনুরূপে (3)-(4)করে পাই

$\left\{ {a\left( {\beta  + \gamma } \right) + b} \right\} = 0 \to \left( 6 \right)$

(5)-(6)করে পাই

$\begin{array}{l} \{ a\left( {\alpha  + \beta } \right) + b\}  - \left\{ {a\left( {\beta  + \gamma } \right) + b} \right\} = 0\\  \Rightarrow a\left( {\alpha  - \gamma } \right) = 0\\  \Rightarrow \alpha  - \gamma  = 0,\left( {a \ne 0} \right)\\  \Rightarrow \alpha  = \gamma  \to \left( 7 \right) \end{array}$

(7)থেকে বোঝা যায় (1)এর কেবলমাত্র দুটি বীজ থাকবে।

উপপাদ্য ৪৷বাস্তব সহগ বিশিষ্ট কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ কাল্পনিক রাশি হলে অন্য বীজটি প্রতিযোগী কাল্পনিক রাশি হবে।

প্রমান  $a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0,\left( {a \ne 0} \right) \to \left( 1 \right)$

হল একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

যেখানে $a,b,c$ সহগ গুলি বাস্তব এবং এদের একটি কাল্পনিক বীজ হল $(\alpha  + i\beta )$($\alpha ,\beta$ হল বাস্তব ও $i = \sqrt { - 1}$ ) ।

অতএব $(\alpha  + i\beta )$ (1)নং সমীকরণকে সিদ্ধ করবে।

$\begin{array}{l} a{\left( {\alpha  + i\beta } \right)^2} + b\left( {\alpha  + i\beta } \right) + c = 0\\  \Rightarrow a\left( {{\alpha ^2} + 2i\alpha \beta  - {\beta ^2}} \right) + b\left( {\alpha  + i\beta } \right) + c = 0\\  \Rightarrow a({\alpha ^2} - {\beta ^2}) + b\alpha  + c + i\left( {2a\alpha \beta  + b\beta } \right) = 0\\  \Rightarrow a\left( {{\alpha ^2} - {\beta ^2}} \right) + b\alpha  + c = 0 \to \left( 2 \right)\\ 2a\alpha \beta  + b\beta  = 0 \to \left( 3 \right)\\ \left( {p + iq = 0 \Rightarrow p = 0,q = 0} \right) \end{array}$

আমরা $x = \left( {\alpha  - i\beta } \right)$ $,\left( {a{x^2} + bx + c} \right)$ রাশিতে বসিয়ে পাই।

$\begin{array}{l} a{\left( {\alpha  - i\beta } \right)^2} + b\left( {\alpha  - i\beta } \right) + c\\  = a\left( {{\alpha ^2} - 2i\alpha \beta  - {\beta ^2}} \right) + b\left( {\alpha  - i\beta } \right) + c\\  = a({\alpha ^2} - {\beta ^2}) + b\alpha  + c - i\left( {2a\alpha \beta  + b\beta } \right)\\  = 0 \end{array}$

[(2)ও (3)থেকে পাই]

অতএব$\left( {\alpha  - i\beta } \right)$ $,\left( {a{x^2} + bx + c} \right)$রাশিকে সিদ্ধ করছে।সুতরাং $\left( {\alpha  - i\beta } \right)$হল(1)নং সমীকরণের অন্য আর একটি বীজ।বিপরীভাবে আমরা দেখাতে পারি যদি $\left( {\alpha  - i\beta } \right)$(1)নং সমীকরণের একটি বীজ হয় তবে অন্যটি হবে $(\alpha  + i\beta )$।

কিন্তু $\left( {\alpha  + i\beta } \right),\left( {\alpha  - i\beta } \right)$ হল প্রতিযোগী কাল্পনিক রাশি।অতএব প্রমানিত বাস্তব সহগ বিশিষ্ট কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ কাল্পনিক রাশি হলে অন্য বীজটি প্রতিযোগী কাল্পনিক রাশি হবে।

উপপাদ্য ৫৷ মূলদ সহগ বিশিষ্ট কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অমূলদ রাশি হলে অন্য বীজটি প্রতিযোগী অমূলদ রাশি হবে।

প্রমান  $a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0,\left( {a \ne 0} \right) \to \left( 1 \right)$

হল একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

যেখানে $a,b,c$ সহগ গুলি মূলদ এবং এদের একটি অমূলদ বীজ  হল $p + \sqrt q$ (যেখানে pমূলদ রাশি $\sqrt q$  হল অমূলদ রাশি)।

অতএব $p + \sqrt q$(1)নং সমীকরণকে সিদ্ধ করবে।

$\begin{array}{l} a{\left( {p + \sqrt q } \right)^2} + b\left( {p + \sqrt q } \right) + c = 0\\  \Rightarrow a\left( {{p^2} + 2p\sqrt q  + q} \right) + bp + b\sqrt q  + c = 0\\  \Rightarrow a\left( {{p^2} + q} \right) + bp + c + \left( {2p + b} \right)\sqrt q  = 0\\  \Rightarrow a\left( {{p^2} + q} \right) + bp + c = 0 \to \left( 2 \right)\\ \left( {2p + b} \right) = 0 \to \left( 3 \right) \end{array}$

এখন $x = (p - \sqrt q )$ কে $,\left( {a{x^2} + bx + c} \right)$রাশিতে বসিয়ে পাই

$\begin{array}{l} a{\left( {p - \sqrt q } \right)^2} + b\left( {p - \sqrt q } \right) + c\\  = a\left( {{p^2} - 2p\sqrt q  + q} \right) + bp - b\sqrt q  + c\\  = a\left( {{p^2} + q} \right) + bp + c - \left( {2p + b} \right)\sqrt q \\  = 0 - 0\\  = 0 \end{array}$ [(2)ও (3)থেকে পাই]

অতএব $\left( {p - \sqrt q } \right)$ হল (1)নং সমীকরণের অন্য আর একটি বীজ।বিপরীভাবে আমরা দেখাতে পারি যদি $\left( {p - \sqrt q } \right)$ (1)নং সমীকরণের একটি বীজ হয় তবে অন্যটি হবে$p + \sqrt q$ ।কিন্তু $\left( {p + \sqrt q } \right),\left( {p - \sqrt q } \right)$  হল প্রতিযোগী অমূলদ রাশি।অতএব প্রমানিত মূলদ সহগ বিশিষ্ট কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অমূলদ রাশি হলে অন্য বীজটি প্রতিযোগী অমূলদ রাশি হবে।

দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ ও সহগের সম্বন্ধ নির্ণয়(To find the relation between roots and coefficient of a Quadratic equation)

  $a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0,\left( {a \ne 0} \right) \to \left( 1 \right)$

হল একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।${x^2},x$ এর সহগ হল যথাক্রমে $a,b$ এবং cহল ধ্রুবক ।মনে করি $\alpha ,\beta$  হল (1)নং সমীকরণের দুটি বীজ।

$\begin{array}{l} a{x^2} + bx + c = 0\\  \Rightarrow {x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\\  \Rightarrow {x^2} + 2\frac{b}{{2a}}x + \frac{c}{a} = 0\\  \Rightarrow {x^2} + 2\frac{b}{{2a}}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} + \frac{c}{a} - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = 0\\  \Rightarrow {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \left( {\frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} - \frac{c}{a}} \right) = 0\\  \Rightarrow {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \left( {\frac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}} \right)\\  \Rightarrow x + \frac{b}{{2a}} =  \pm \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\\  \Rightarrow x =  - \frac{b}{{2a}} \pm \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\\  \Rightarrow x = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \end{array}$

মনে করি $\alpha  = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}},\beta  = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$

$\begin{array}{l} \alpha  + \beta  =  - \frac{b}{a} \to \left( 2 \right)\\ \alpha \beta  = \left( {\frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}} \right) \times \left( {\frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}} \right)\\  = \frac{{{b^2} - {b^2} + 4ac}}{{4{a^2}}}\\  = \frac{c}{a}\\  \Rightarrow \alpha \beta  = \frac{c}{a} \to \left( 3 \right) \end{array}$

(2)ও (3)থেকে আমরা বীজ ও সহগের মধ্যে সম্বন্ধ পাই।

দুটি বীজ জানা থাকলে দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন(Formation of the Quadratic equation whose roots are given)

  $a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0,\left( {a \ne 0} \right) \to \left( 1 \right)$

হল একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ আকার।।মনে করি $\alpha ,\beta$  হল সমীকরণের দুটি বীজ।

এখন

$\begin{array}{l} a{x^2} + bx + c = 0\\  \Rightarrow {x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\\  \Rightarrow {x^2} - \left( { - \frac{b}{a}} \right)x + \frac{c}{a} = 0\\  \Rightarrow {x^2} - \left( {\alpha  + \beta } \right)x + \alpha \beta  = 0\left[ {\left( {\alpha  + \beta } \right) =  - \frac{b}{a},\alpha \beta  = \frac{c}{a}} \right] \end{array}$

অতএব ${x^2} -$ (দুটি বীজের সমষ্টি)$x +$ (বীজ দুটির গুনফল)$= 0$

অতএব প্রমানিত কোনো সমীকরণের দুটি দেওয়া থাকলে সমীকরণটি নির্ণয় করা যায়।

দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজের প্রকৃতি নির্ণয় (To find the nature of the roots of a Quadratic Equation)

সাধারণ আকারের দ্বিঘাত সমীকরণ হল

$a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0,\left( {a \ne 0} \right) \to \left( 1 \right)$

যদি$\alpha ,\beta$  হল (1)নং সমীকরণের দুটি বীজ তবে

$\alpha  = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}},\beta  = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$

মনে করি  $a,b,c$ হল বাস্তব মূলদ সংখ্যা।$\alpha ,\beta$ ‌প্রকৃতি ${b^2} - 4ac$ দ্বারা নির্ণীত হয় বলে ${b^2} - 4ac$ কে নিরূপক(discriminant)বলা হয়।নিরূপকের উপর ভিত্তি করে দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের প্রকৃতি কী রূপ হতে পারে তা নিম্নেআালচনা করা হল।

১৷ যদি নিরূপক ধনাত্মক হয় অর্থাৎ ${b^2} - 4ac > 0$ তবে (1)নং সমীকরণের দুটি বীজ $\left( {\alpha ,\beta } \right)$ বাস্তব এবং অসমান হবে।

২৷ যদি নিরূপকের মান শূন্য অর্থাৎ ${b^2} - 4ac = 0$ হয় তবে(1)নং সমীকরণের দুটি বীজ $\left( {\alpha ,\beta } \right)$ বাস্তব এবং সমান হবে।

৩৷  যদি নিরূপক ঋনাত্মক হয় অর্থাৎ${b^2} - 4ac < 0$ হয় তবে(1)নং সমীকরণের দুটি বীজ $\left( {\alpha ,\beta } \right)$ অবাস্তব এবং অসমান হবে।

৪৷ যদি নিরূপকটি ধনাত্মক পূর্ণবর্গ হয় তবে (1)নং সমীকরণের দুটি বীজ $\left( {\alpha ,\beta } \right)$ বাস্তব ,মূলদ এবং অসমান হবে।

আর যদি নিরূপকটি ধনাত্মক কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে তবে (1)নং সমীকরণের দুটি বীজ $\left( {\alpha ,\beta } \right)$ বাস্তব ,অমূলদ এবং অসমান হবে।

৫৷ যদি aঅথবা bএর কোনো একটির মান অমূলদ হয় তবে ${b^2} - 4ac$ বা নিরূপকের মান পূর্ণবর্গ হলেও (1)নং সমীকরণের দুটি বীজ $\left( {\alpha ,\beta } \right)$ অমূলদ হবে।

দ্বিঘাত সীকরণের এক বা একাধিক সহগ শূন্য হলে বীজ দুটির প্রকৃতি নির্ণয়(To find the nature of roots of a Quadratic equation when one or more coefficients are zero)

সাধারণ আকারের দ্বিঘাত সমীকরণ হল

$a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0,\left( {a \ne 0} \right) \to \left( 1 \right)$

মনে করি a,b,cবাস্তব ও মূলদ।

যদি c=0হয় তবে (1)নং সমীকরণ থেকে পাই

$\begin{array}{l} a{x^2} + bx = 0\\  \Rightarrow x\left( {ax + b} \right) = 0 \end{array}$

$x = 0$ বা$ax + b = 0 \Rightarrow x =  - \frac{b}{a}$

সুতরাং দ্বিঘাত সমীকরণের ধ্রুবক পদ শূন্য হলে একটি বীজ শূন্য এবং অন্যটি বাস্তব ও মূলদ হয়।

যদি b=0হয় তবে (1)নং সমীকরণ থেকে পাই

$\begin{array}{l} a{x^2} + c = 0\\  \Rightarrow {x^2} =  - \frac{c}{a}\\  \Rightarrow x =  \pm \sqrt { - \frac{c}{a}} \end{array}$

সুতরাং দ্বিঘাত সমীকরণের xএর সহগ পদ শূন্য হলে বীজ দুটির মান সমান হবে কিন্তু তারা বিপরীত চিহ্ন যুক্ত হয়।

যদি a=0হয় তখনও বীজের প্রকৃতি নির্ণয় করা যায়

মনে করি $x = \frac{1}{y}$ তাহলে সমীকরণ থেকে পাই

$\begin{array}{l} a\frac{1}{{{y^2}}} + b\frac{1}{y} + c = 0\\  \Rightarrow a + by + c{y^2} = 0 \to \left( 2 \right)\\  \Rightarrow by + c{y^2} = 0,\left( {a = 0} \right)\\  \Rightarrow y\left( {b + cy} \right) = 0 \end{array}$

অতএব $y = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{y} = \frac{1}{0}$ বা$y =  - \frac{b}{c} \Rightarrow x = \frac{1}{y} =  - \frac{c}{b}$

এক্ষেত্রে একটি বীজের মান পাওয়া যায় সেটি বাস্তব ও মূলদ অন্যটি অনির্ণেয়।

যখন $a = b = 0$ (2)নং সমীকরণ থেকে পাই

$\begin{array}{l} c{y^2} = 0\\  \Rightarrow y = 0,0\\  \Rightarrow x = \frac{1}{y} = \frac{1}{0},\frac{1}{0} \end{array}$

(1)নং সমীকরণের দুটি বীজ অনির্ণেয়।

যখন $a = c = 0$ (1)নং সমীকরণ থেকে পাই

এক্ষেত্রে একটি বীজের মান শূন্য অন্যটি অনির্ণেয়।

যখন $b = c = 0$ (1)নং সমীকরণ থেকে পাই

$\begin{array}{l} a{x^2} = 0\\  \Rightarrow x = 0,0 \end{array}$

এক্ষেত্রে দুটি বীজের মান শূন্য।

যখন $a = b = c = 0$ (1)নং সমীকরণ থেকে পাই

$0 \cdot {x^2} + 0 \cdot x + 0 = 0$

এটি xএর যেকোনো মানে সিদ্ধ।

এক্ষেত্রে সমীকরণকে একটি অভেদ রূপে প্রকাশ করা যায়।