মাত্রা (Dimensions)

মাত্রা (Dimensions) :

কোনো ভৌতরাশিতে (Physical quantities) মূল রাশিগুলি কীভাবে উপস্থিত থাকে তা ওই রাশির মাত্রা (Dimensions) নির্ধারণ করে ।

সংজ্ঞা : কোনো ভৌতরাশিতে (Physical quantities) গুণ বা ভাগের মাধ্যমে উপস্থিত বিভিন্ন মৌলিক রাশিগুলির চিহ্নের উপযুক্ত ঘাত সমন্বিত সাংকেতিক রাশিমালাকে ওই ভৌতরাশির মাত্রা (Dimensions) বলে ।

সকল ভৌতরাশির মাত্রা সাধারণত দৈর্ঘ্যের চিহ্ন [L], ভরের চিহ্ন [M] এবং সময়ের চিহ্ন [T] দ্বারা প্রকাশ করা হয় । [ভৌতরাশি] বললে ওই ভৌতরাশির মাত্রা বোঝায় ।

মাত্রীয় সংকেত : মাত্রার সাহায্যে কোনো ভৌতরাশিকে প্রকাশ করলে তাকে ওই ভৌতরাশির মাত্রীয় সংকেত বলে ।

কয়েকটি ভৌতরাশির মাত্রীয় সংকেত (Dimensional Formulae of some physical quantities) :

(i) [ক্ষেত্রফল] = [দৈর্ঘ্য] x [প্রস্থ] = [দৈর্ঘ্য² ] = [L²]

    $Area = \left[ L \right] \times \left[ L \right] = \left[ {{L^2}} \right]$

(ii) [আয়তন] = [দৈর্ঘ্য³] = [L³]

     $Volume = length \times length \times length = \left[ {{L^3}} \right]$

(iii) [ঘনত্ব] = [ভর] / [আয়তন] = $\frac{{\left[ M \right]}}{{\left[ {{L^3}} \right]}} = \left[ {M{L^{ - 3}}} \right]$

     $Density = {{mass} \over {Volumn}} = \frac{{\left[ M \right]}}{{\left[ {{L^3}} \right]}} = \left[ {M{L^{ - 3}}} \right]$

(iv) [বেগ] = [সরণ] / [সময়] = $\frac{{\left[ L \right]}}{{\left[ T \right]}} = \left[ {L{T^{ - 1}}} \right]$

     $Velocity = \frac{{distance}}{{time}} = \frac{{\left[ L \right]}}{{\left[ T \right]}} = \left[ {L{T^{ - 1}}} \right]$

(v) [ত্বরণ] = [বেগ] / [সময়] = $\frac{{\left[ {L{T^{ - 1}}} \right]}}{{\left[ T \right]}} = \left[ {L{T^{ - 2}}} \right]$

     $Acceleration = \frac{{velocity}}{{time}} = \frac{{\left[ {L{T^{ - 1}}} \right]}}{{\left[ T \right]}} = \left[ {L{T^{ - 2}}} \right]$

(vi) [ভরবেগ] = [ভর] x [বেগ] = [M] x [LT^-1] = [MLT^-1]

(vii) [বল] = [ভর] x [ত্বরণ] = [M] x [LT^-2] = [MLT^-2]

       $Force = mass \times acceleration = \left[ M \right]\left[ L \right]\left[ {{T^{ - 2}}} \right] = \left[ {ML{T^{ - 2}}} \right]$

(viii)  [কার্য] = [বল] x [সরণ] = [MLT^-2] x [L] = [ML²T^-2]

        $Work = Force \times distance = \left[ {ML{T^{ - 2}}} \right] \times \left[ L \right] = \left[ {M{L^2}{T^{ - 2}}} \right]$

(ix) [ক্ষমতা] = [কার্য] / [সময়] = $$\frac{{\left[ {M{L^2}{T^{ - 2}}} \right]}}{{\left[ T \right]}} = \left[ {M{L^2}{T^{ - 3}}} \right]$           

      $Power = \frac{{work}}{{time}} = \frac{{\left[ {M{L^2}{T^{ - 2}}} \right]}}{{\left[ T \right]}} = \left[ {M{L^2}{T^{ - 3}}} \right]$

(x) [চাপ] = [বল] / [ক্ষেত্রফল] = $\frac{{\left[ {ML{T^{ - 2}}} \right]}}{{\left[ {{L^2}} \right]}} = \left[ {M{L^{ - 1}}{T^{ - 2}}} \right]$     

     $Pressure = \frac{{Force}}{{area}} = \frac{{\left[ {ML{T^{ - 2}}} \right]}}{{\left[ {{L^2}} \right]}} = \left[ {M{L^{ - 1}}{T^{ - 2}}} \right]$

কোনো ভৌতরাশির মাত্রীয় সংকেত জানা থাকলে সহজেই রাশিটির একক লেখা সম্ভব । যেমন, আয়তনের মাত্রীয় সংকেত [L³] হওয়ায় এর SI একক মিটার³ (m³) বা ঘনমিটার । অনুরূপে বেগের মাত্রীয় সংকেত [LT^-1] হওয়ায় এর SI একক মিটার/সেকেন্ড (ms^-1) ।

এককহীন ভৌতরাশির মাত্রা থাকে না । এদের মাত্রীয় সংকেতকে [M⁰L⁰T⁰] এরূপ লেখা যায় । তবে বিশেষ ক্ষেত্রে মাত্রা ছাড়াও একক থাকতে পারে । যেমন রেডিয়ান এককে প্রকাশিত কোণের মাত্রা নেই ।

মাত্রীয় সমীকরণ (Dimensional Equation) : কোনো ভৌতরাশির মাত্রাকে মৌলিক রাশিগুলির মাত্রার সঙ্গে সমন্বিত করে যে সমীকরণের আকারে প্রকাশ করা হয় তাকে ওই ভৌতরাশির মাত্রীয় সমীকরণ বলে । যেমন, কোনো ভৌতরাশি X-এর মাত্রীয় সমীকরণ [X] = [M^aL^bT^c] যেখানে, a, b, এবং c যথাক্রমে ভর, দৈর্ঘ্য ও সময়ের ঘাত নির্দেশ করে ।

মাত্রীয় সমীকরণের সাহায্যে —

(i) এক পদ্ধতির একক থেকে অন্য পদ্ধতির এককে যাওয়া যায়,

(ii) সমীকরণের সত্যতা প্রমাণ করা যায় ।

(iii) কোনো সমীকরণে ধ্রুবক বা চলরাশির মাত্রা নির্ধারণ করা যায় ।

20N বলকে ডাইন প্রকাশ করো ।

বলের মাত্রীয় সমীকরণ [F] = [MLT^-2] ; নিউটন ও ডাইন এককে বলের মান n₁ এবং n₂ হলে,

${n_2} = {n_1}\left[ {\frac{{{M_1}}}{{{M_2}}}} \right]\left[ {\frac{{{L_1}}}{{{L_2}}}} \right]{\left[ {\frac{{{T_1}}}{{{T_2}}}} \right]^2} = 20\left[ {\frac{{Kg}}{g}} \right]\left[ {\frac{m}{{cm}}} \right]{\left[ {\frac{s}{s}} \right]^2} = 20 \times 1000 \times 100 \times 1 = 2 \times {10^6}$ dyne     

► সরল দোলকের দোলনকালে T = $2\pi \sqrt {\frac{1}{g}}$ সমীকরণটির সত্যতা যাচাই করো । (I = কার্যকর দৈর্ঘ্য, g = অভিকর্ষজ ত্বরণ ) ।

বামদিকের মাত্রা = [T], ডানদিকের মাত্রা $\left[ {\sqrt {\frac{1}{g}} } \right] = {\left[ {\frac{L}{{L{T^{ - 2}}}}} \right]^{\frac{1}{2}}} = {\left[ {{T^2}} \right]^{\frac{1}{2}}} = \left[ T \right]$

দুইদিকের মাত্রা একই হওয়ায় সমীকরণটি সঠিক ।

*****