স্থানাঙ্ক জ্যামিতি : দূরত্ব নির্ণয়

Submitted by arpita pramanik on Thu, 06/27/2019 - 11:37

স্থানাঙ্ক জ্যামিতি : দূরত্ব নির্ণয় (Co-ordinate Geometry : Distance formula)

সূচনা (Introduction)

আমরা graph কাগজে যেমন বিভিন্ন বিন্দুকে স্থাপন করতে পারি তেমনি ওই বিন্দু গুলির সাহায্যে বিভিন্ন জ্যামিতিক চিত্র , সরলরেখা অঙ্কন করা যায় । দেখা যাচ্ছে বিন্দু গুলির স্থানাঙ্ক জানা থাকলে সেগুলি যোগ করে বিভিন্ন সমতলিক জ্যামিতিক চিত্র পাওয়া যায় । আবার বিভিন্ন বীজগাণিতিক দুই চল বিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণের জ্যামিতিক আকার সম্মন্ধে ঠিক মতো ধারণা করা যায় । 

এইভাবে বীজগণিতের সাহায্যে বিভিন্ন জ্যামিতিক আকারের ধারণা গড়ে ওঠাকে স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (Co-ordinate Geometry) বলা হয় । 

অর্থাৎ স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে বীজগণিতের সাহায্যে জ্যামিতির ধারণা করতে পারি 

তাই স্থানাঙ্ক জ্যামিতি ব্যাপকতরভাবে বিজ্ঞানের বিভিন্ন শাখায় ব্যবহার করা হয় । 

 

মূলবিন্দু (0,0) থেকে অক্ষরেখার উপরে অবস্থিত যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় 

স্থানাঙ্ক

এখানে দুটি লম্ব অক্ষ হল XOX' ও YOY' এবং O(0,0) হল মূলবিন্দু  .

এখানে A(5,0) ও B(0,8) দুটি বিন্দু । আমরা পরিষ্কারভাবে বলতে পারি A ও B বিন্দু দুটি মূলবিন্দু থেকে যথাক্রমে 5 একক ও 8 একক দূরত্বে অবস্থিত । সুতরাং x অক্ষের উপরে অবস্থিত যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক তার ভুজের ধনাত্মক মান । অনুরূপে y অক্ষের উপরে অবস্থিত যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে কোটির ধনাত্মক মান । 

 

 

 

 

 

লম্ব অক্ষের উপর অবস্থিত যেকোনো দুটি বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় 

স্থানাঙ্ক মনে করি A(x,0) ও B(0,y) দুটি বিন্দু যথাক্রমে x অক্ষ ও y অক্ষের উপরে অবস্থিত । 

মূলবিন্দু থেকে A বিন্দুর দূরত্ব হল x একক অর্থাৎ OA = x একক 

অনুরূপে মূলবিন্দু থেকে B বিন্দুর দূরত্ব হল y একক অর্থাৎ OB = y একক 

এখন পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই 

[tex]\begin{array}{l}
{\left( {AB} \right)^2} = {\left( {OA} \right)^2} + {\left( {OB} \right)^2}\\
 \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {OA} \right)}^2} + {{\left( {OB} \right)}^2}}  = \sqrt {{x^2} + {y^2}} 
\end{array}[/tex]

 

উদাহরণ : রোহিত x অক্ষের উপরে একটি বিন্দু M(6,0) এবং y অক্ষের উপরে একটি বিন্দু N(0,8) নিয়েছে । এখন MN এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করে দেখি । 

স্থানাঙ্ক M বিন্দুর স্থানাঙ্ক (6,0) এবং N বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,8)

অতএব OM = 6 একক এবং ON = 8 একক 

অতএব 

[tex]\begin{array}{l}
MN\\
 = \sqrt {{6^2} + {8^2}} \\
 = \sqrt {36 + 64} \\
 = \sqrt {100} \\
 = 10
\end{array}[/tex]

অতএব MN = 10 একক । 

 

মূলবিন্দু থেকে যেকোনো বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় 

স্থানাঙ্ক মনে করি P(x,y) যেকোনো বিন্দু। মূলবিন্দু O(0,0) থেকে এর দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে । 

P(x,y) বিন্দু থেকে x অক্ষের উপর PM লম্ব টানা হল। অতএব M এর স্থানাঙ্ক হবে (x,0) .

এখন OM = x একক এবং PM = y একক । 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই 

[tex]\begin{array}{l}
O{P^2} = O{M^2} + P{M^2}\\
 \Rightarrow OP = \sqrt {O{M^2} + P{M^2}}  = \sqrt {{x^2} + {y^2}} 
\end{array}[/tex]

মূলবিন্দু থেকে  P(x,y) বিন্দুর দূরত্ব হল [tex]\sqrt {{x^2} + {y^2}} [/tex] একক । 

 

উদাহরণ : মূলবিন্দু থেকে (3,4) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় করো 

স্থানাঙ্ক মূলবিন্দু থেকে (3,4) বিন্দুর দূরত্ব 

[tex] = \sqrt {{3^2} + {4^2}} [/tex] একক 

[tex] = \sqrt {9 + 16} [/tex] একক 

[tex] = \sqrt {25} [/tex] একক 

= 5 একক 

 

 

যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় 

স্থানাঙ্ক মনে করি A ও B দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক হল যথাক্রমে [tex]\left( {{x_1},{y_1}} \right)[/tex] এবং [tex]\left( {{x_2},{y_2}} \right)[/tex] .

আমাদের A ও B বিন্দু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে । 

A ও B বিন্দু থেকে x অক্ষের উপরে দুটি লম্ব যথাক্রমে AM ও BN অঙ্কন করা হল ।

A বিন্দু থেকে BN এর উপর AP লম্ব অঙ্কন করলাম । 

 A ও B দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক হল যথাক্রমে [tex]\left( {{x_1},{y_1}} \right)[/tex] এবং [tex]\left( {{x_2},{y_2}} \right)[/tex] .

অতএব [tex]OM = {x_1}[/tex] এবং [tex]ON = {x_2}[/tex]

[tex]AM = {y_1}[/tex] এবং [tex]BN = {y_2}[/tex]

AP = MN = ON - OM = [tex]{x_2} - {x_1}[/tex]

এবং BP = BN - PN = BN - AM = [tex]{y_2} - {y_1}[/tex]

অতএব সমকোণী ত্রিভুজ ABP তে পিথাগোরাগের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই 

[tex]\begin{array}{l}
AB\\
 = \sqrt {A{P^2} + B{P^2}} \\
 = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} 
\end{array}[/tex]

অতএব [tex]A\left( {{x_1},{y_1}} \right)[/tex] ও [tex]B\left( {{x_2},{y_2}} \right)[/tex] বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হল 

[tex]\sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} [/tex] একক .

 

উদাহরণ : (2,4) ও (5,7) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় করো 

এখানে [tex]{x_1} = 2[/tex] , [tex]{y_1} = 4[/tex] , [tex]{x_2} = 5[/tex] এবং [tex]{y_2} = 7[/tex]

অতএব নির্ণেয় দূরত্ব 

[tex] = \sqrt {{{\left( {5 - 2} \right)}^2} + {{\left( {7 - 4} \right)}^2}} [/tex] একক 

[tex] = \sqrt {{3^2} + {3^2}} [/tex] একক 

[tex] = \sqrt {9 + 9} [/tex] একক 

[tex] = \sqrt {18} [/tex] একক 

[tex] = 9\sqrt 2 [/tex] একক 

*****

Comments

Related Items

বিভিন্ন প্রকার রাশিমালা

বীজগাণিতিক রাশিমালা ( Algebraical Expression ) দুইপ্রকার সরল রাশি ( Simple Expression ) বা এক পদীয় ( Monomial ) জটিল রাশি ( Complex Expression ), জটিল রাশি ( Complex Expression ) আবার তিন প্রকার

বহুপদী সংখ্যামালার ধর্ম

দুটি বহুপদীয় রাশির যোগফল , বিয়োগফল ও গুণফল সর্বদা বহুপদীয় রাশি হয়। যদি কোনো বহুপদী রাশিমালা অপেক্ষক f(x) এমন হয় যে f(a) = 0 তখন অপেক্ষকটি ( x-a ) দ্বারা বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ বহুপদী সংখ্যামালা সর্বদাই তার উৎপাদক দ্বারা বিভাজ্য হবে।

ভাগশেষ উপপাদ্য

f(x) একটি বহুপদী সংখ্যামালা যার মাত্রা Equation1 এবং a যেকোনো একটি বাস্তব সংখ্যা। f(x) কে ( x-a ) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে f(a) .

গুণনীয়ক উপপাদ্য (Factor Theorem)

যদি f(x) কোনো একটি বহুপদী সংখ্যামালা যার মাত্রা Equation 1 এবং a যেকোনো একটি বাস্তব সংখ্যা হয় , তাহলে

বহুপদী সংখ্যামালা সংক্রান্ত অংকের সমাধান

বহুপদী সংখ্যামালা সংক্রান্ত অংকের সমাধান (Solution of Polynomials )