সংক্ষিপ্তকরণ -[ Summarisation ]
(1) ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা : [tex] m \cdot n[/tex] সংখ্যক সংখ্যা [tex]m[/tex]- সংখ্যক সারি এবং [tex]n[/tex]- সংখ্যক স্তম্ভের মাধ্যমে আয়তাকারে সজ্জিত হলে সজ্জাকে একটি [tex]m \times n[/tex] ক্রমের ম্যাট্রিক্স বলা হয় । সজ্জাটিকে একটি বর্গ ( square ) ম্যাট্রিক্স বলা হয় যখন [tex] m = n[/tex] ; (অর্থাৎ [tex]m \ne n[/tex] হলে ) সজ্জাটিকে একটি আয়তকার ( rectangular ) ম্যাট্রিক্স বলে ।
(2) শূন্য ( null or zero ) ম্যাট্রিক্স : কোনো ম্যাট্রিক্সের প্রত্যেকটি পদ শূন্য হলে তাকে শূন্য ম্যাট্রিক্স বলা হয় এবং একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স 0 প্রতিক দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।
(3) একক (unit or identity) ম্যাট্রিক্স : কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রারম্ভিক কর্ণ বরাবর প্রত্যেকটি পদের মান 'এক ' ( অর্থাৎ 1 ) এবং অবশিষ্ট সব পদের মান শূন্য হলে তাকে একক ম্যাট্রিক্স বলা হয় এবং তা সাধারনত [tex]I[/tex] অক্ষর দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।
(4) ম্যাট্রিক্সের সমতা (equality of matrices): দুটি ম্যাট্রিক্স পরস্পর সমান বলা হবে যদি তারা একই ক্রমের হয় এবং তাদের অনুরূপ স্থানে একই পদ থাকে ; দুটি ম্যাট্রিক্স [tex]A[/tex] ও [tex]B[/tex] -এর সমতা [tex]A = B[/tex] দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।
(5) সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স ও নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স ( singular and non-singular matrices ): একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স [tex]A[/tex]-এর পদগুলি দিয়ে গঠিত নির্ণায়ককে [tex]A[/tex] ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক বলা হয় এবং তা det [tex]A[/tex] অথবা [tex]\left| A \right|[/tex] আকারে প্রকাশ করা হয় । det [tex]A=0 [/tex] হলে [tex]A[/tex] ম্যাট্রিক্সকে সিঙ্গুলার এবং det [tex]A \ne 0[/tex] হলে তাকে নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স বলা হয় ।
(6) পরিবর্ত ম্যাট্রিক্স (tanspose of a matrix) : মনে করা যাক [tex]A[/tex] একটি প্রদত্ত [tex]m \times n[/tex] ক্রমের ম্যাট্রিক্স ; [tex]A[/tex] ম্যাট্রিক্সের সারি ও স্তম্ভসমূহের পদগুলি যথাক্রমে স্তম্ভ ও সারি বরাবর লিখে যে [tex]m \times n[/tex] ক্রমের ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে [tex]A[/tex] ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত ম্যাট্রিক্স বলা হয় এবং তা [tex]{A^'}[/tex] বা [tex]{A^t}[/tex] বা [tex]{A^T}[/tex] প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।
(7) প্রতিসম ও বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স ( symmetric and skew symmetric ) : একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স [tex]A[/tex] -কে প্রতিসম বলা হবে যদি [tex]{A^T} = A[/tex] ; আবার [tex]{A^T} = - A[/tex] হলে , [tex]A[/tex] ম্যাট্রিক্স বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স বলা হয়, এখানে [tex]{A^T}[/tex] হল [tex]A[/tex] -এর পরিবর্ত ম্যাট্রিক্স ।
(8) একটি ম্যাট্রিক্সের স্কেলার গুণ (scalar multiplication of a matirx ): একটি ম্যাট্রিক্স [tex]A[/tex] এবং একটি স্কেলার [tex]k[/tex]-এর গুণফল হল একটি ম্যাট্রিক্স যার প্রত্যেকটি পদ [tex]A[/tex] ম্যাট্রিক্সের প্রত্যেকটি পদের [tex]k[/tex] গুণ এবং [tex]kA[/tex] আকারে প্রকাশ করা হয় ।
(9) দুটি ম্যাট্রিক্সের যোগফল ও বিয়োগফল ( addition and subtraction of two matrices ) : দুটি ম্যাট্রিক্স [tex]A[/tex] ও [tex]B[/tex] -এর যোগফল ও বিয়োগফল সংজ্ঞাত হয় যখন তারা একই ক্রমের ম্যাট্রিক্স । [tex]A[/tex] ও [tex]B[/tex] উভয়েই [tex]m \times n[/tex] ক্রমের ম্যাট্রিক্স হলে তাদের যোগফল [tex](A + B)[/tex] -ও [tex]m \times n[/tex] ক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে ,যার পদসমূহ [tex]A[/tex] ও [tex]B[/tex] -এর অনুরূপ পদ দুটির সমষ্টির সাহায্যে নির্ণয় করা হয় । [tex]A[/tex] ও [tex]B[/tex] ম্যাট্রিক্সের বিয়োগফল [tex]A[/tex] ম্যাট্রিক্সের সঙ্গে ঋণাত্মক [tex]B[/tex] ম্যাট্রিক্সের যোগফলের সাহায্যে সংজ্ঞাত হয় অর্থাৎ [tex]A - B = A + ( - B) = A + ( - 1)B[/tex] ।
(10) [tex]A,B,C[/tex] একই ক্রমের তিনটি ম্যাট্রিক্স হলে ,
(i) [tex]A + B = B + A[/tex]
(ii) [tex](A + B) + C = A + (B + C)[/tex]
(iii) [tex]k(A + B) = kA + kB[/tex] , যেখানে [tex]k[/tex] একটি স্কেলার
(iv) [tex]A + O = O + A = A[/tex]
(v) [tex]A + ( - A) = ( - A) + A = O[/tex] যেখানে [tex]O[/tex] হল শূন্য ম্যাট্রিক্স ।
(vi) [tex]A + C = B + C[/tex] হলে [tex]A = B[/tex] ।
(11) ম্যাট্রিক্সের গুণ (multiplication of matrices ): দুটি ম্যাট্রিক্স [tex]A[/tex] ও [tex]B[/tex] এর গুণফল [tex]AB[/tex] সংজ্ঞাত হয় যদি [tex]A[/tex] ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা (no of columns) [tex]B[/tex] ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যার (no of rows ) সমান হয় ।
[tex]A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}[/tex] এবং [tex]B ={\left[ {{b_{ij}}} \right]_{p \times n}}[/tex] হলে [tex]AB[/tex] গুণফল ম্যাট্রিক্স [tex]m \times n[/tex] ক্রমের হবে এবং তার [tex]i[/tex] -তম সারি ও [tex]j[/tex]-তম স্তম্ভের সংযোগস্থলের পদটি , [tex]A[/tex] ম্যাট্রিক্সের [tex]i[/tex] -তম সারির পদগুলি [tex]B[/tex] ম্যাট্রিক্সের [tex]j[/tex] -তম স্তম্ভের অনুরূপ পদগুলি পরপর গুণ করে ও গুণফল গুলির সমষ্টি নিয়ে , নির্ণয় করা হয় ।
(12) [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] ও [tex]C[/tex] তিনটি ম্যাট্রিক্স হলে ,
(i) সাধারণভাবে [tex]AB \ne BA[/tex] অর্থাৎ ম্যাট্রিক্সের গুণ সাধারণভাবে বিনিময় নিয়ম (commutative law) সিদ্ধ করে না ।
(ii) [tex](AB)C = A(BC)[/tex] , যখন সংশ্লিষ্ট গুণফলগুলি সংজ্ঞাত ।
(iii) [tex]A(B + C) = AB + AC[/tex] যখন সংশ্লিষ্ট যোগফলগুলি ও গুণফলগুলি সংজ্ঞাত ।
(iv) [tex]CA = CB[/tex] হলে [tex]A = B[/tex] হবে এমন স্থিরতা নেই ।
(v) [tex]A \cdot O = O \cdot A = O[/tex] যেখানে [tex]O[/tex] হল শূন্য ম্যাট্রিক্স ।
(vi) [tex]A \cdot I = I \cdot A = A[/tex] যেখানে [tex]I[/tex] হল একক ম্যাট্রিক্স ।
(vii) [tex]A \ne O[/tex] ও [tex]B \ne O[/tex] হলেও [tex]AB = O[/tex] হতে পারে যেখানে [tex]O[/tex] হল শূন্য ম্যাট্রিক্স ।
(13) A বর্গ ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত [tex]{A^T}[/tex] এবং [tex]A \cdot {A^T} = {A^T} \cdot A = 1[/tex] হলে A -কে লম্ব (orthogonal) ম্যাট্রিক্স বলা হয় ।
14) A ও B ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত যথাক্রমে [tex]{A^T}[/tex] ও [tex]{B^T}[/tex] হলে ,
(i) [tex]{({A^T})^T} = A[/tex]
(ii) [tex]{(A + B)^T} = {A^T} + {B^T}[/tex]
(iii) [tex]{(A - B)^T} = {A^T} - {B^T}[/tex]
(iv [tex]{(AB)^T} = {B^T} \cdot {A^T}[/tex]
(15) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A- কে একটি প্রতিসম (symmetric) ম্যাট্রিক্স এবং একটি বিপ্রাতিসম (skew-symmetric) ম্যাট্রিক্সের সমষ্টির আকারে প্রকাশ করা যায় অর্থাৎ ,
[tex]A = {1 \over 2}(A + {A^T}) + {1 \over 2}(A - {A^T})[/tex]
যেখানে [tex]{1 \over 2}(A + {A^T})[/tex] একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স এবং [tex]{1 \over 2}(A - {A^T})[/tex] একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স ।
(16) অ্যাডজয়েন্ট বা অ্যাডজুগেট ম্যাট্রিক্স ( adjoint or adjugate matrix ) A বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক [tex]\left| A \right|[/tex] এবং [tex]\left| A \right|[/tex] -র পদগুলির সহগুণনীয়কগুলি (co-factors) দ্বারা প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত (transpose) ম্যাট্রিক্সকে A ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট বলা হয় এবং তা Adj A বা Adj A প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।
(17) বিলোম বা বিপরীত ম্যাট্রিক্স ( inverse of a matrix ): দুটি একই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স A ও B যদি এমন ভাবে সম্বন্ধযুক্ত হয় যে , [tex]AB = BA = I[/tex], যেখানে I হল একই ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স তবে B ম্যাট্রিক্সকে A ম্যাট্রিক্সের বিপরীত অথবা A ম্যাট্রিক্সকে B ম্যাট্রিক্সের বিপরীত বলা হয় । A ম্যাট্রিক্সের বিলোম বা বিপরীত [tex]{A^{ - 1}}[/tex] প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।
(18) A বর্গ ম্যাট্রিক্সের বিপরীতের অস্তিত্ব থাকে যখন [tex]\left| A \right| \ne 0[/tex] এবং [tex]{A^{ - 1}} = {{AdjA} \over {\left| A \right|}}[/tex] হয় ।
(19) A ও B দুটি বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং [tex]\left| A \right| \ne 0[/tex] ও [tex]\left| B \right| \ne 0[/tex] হলে
(i) [tex]{A^{ - 1}}A = A \cdot {A^{ - 1}} = I[/tex]
(ii) [tex]{({A^{ - 1}})^{ - 1}} = A[/tex]
(iii) [tex]{({A^{ - 1}})^T} = {({A^T})^{ - 1}}[/tex]
(iv) [tex]{(AB)^{ - 1}} = {B^{ - 1}} \cdot {A^{ - 1}}[/tex]
- 5484 views
