বিভাগ ক :
1) নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও ( বিকল্প প্রশ্ন গুলি লক্ষনিয়) : 1 X 10 = 10
(a) [tex]{(x + \frac{1}{x})^8}[/tex] -এর বিস্তৃতির মধ্যপদ নীচের কোনটি ?
(i) চতুর্থ ( ii ) পঞ্চম ( iii ) ষষ্ঠ (iv ) সপ্তম
(b) শূন্যস্থান পূরণ করো : [tex]\left| {\matrix{ 3 & {1975} & {1978} \cr 4 & {1982} & {1986} \cr 5 & {1995} & {2000} \cr } } \right|[/tex] নির্ণায়কটির মান -----------।
অথবা , নীচের বিবৃতিটি সত্য না মিথ্যা উল্লেখ করো :
" দুটি অশূন্য ম্যাট্রিক্সের গুনফল অবশ্যই একটি অশূন্য ম্যাট্রিক্স হবে ।"
(c) শূন্যস্থান পূরণ করো :
[tex]7{y^2} - 5x = 0[/tex] অধিবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ --------------- ।
অথবা, [tex]\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1 [/tex] উপবৃত্তটির নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য নীচের কোনটি ?
(i) [tex]\frac{144}{{13}}[/tex] (ii) [tex]\frac{288}{{13}}[/tex] (iii) [tex]\frac{169}{{144}}[/tex] (iv) [tex]\frac{5}{{13}}[/tex]
(d) [tex]y = {\log _e}{\log _e}x,x > 1[/tex] হলে নীচের উত্তর গুলির কোনটি সঠিক ?
(i) [tex]x\frac{{dy}}{{dx}} = 1[/tex] (ii) [tex](x{\log _e}x)\frac{{dy}}{{dx}} = 1 [/tex] (iii) [tex]({\log _e}x)\frac{{dy}}{{dx}} = 1[/tex] (iv) [tex]({\log _e}x)\frac{{dy}}{{dx}} = x[/tex]
অথবা , যদি [tex]x = a(\theta - \sin \theta )[/tex] এবং [tex]y = a(1 + \cos \theta[/tex] হয় , তবে [tex]\frac{{dy}}{{dx}}[/tex] এর মান নীচের কোনটি ?
(i) [tex]- \cot \frac{1}{2}\theta [/tex] (ii) [tex] - \cot \theta [/tex] (iii) [tex] - \tan \frac{1}{2}\theta [/tex] (iv) [tex]\cot\frac{1}{2}\theta [/tex]
(e) [tex]y = co{s^2}x[/tex] হলে [tex]\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}[/tex] এর মান নীচের কোনটি ?
(i) [tex] - 2\cos 2x[/tex] (ii) [tex]2\cos 2x[/tex] (iii) [tex] - \sin 2x[/tex] (iv) [tex]\cos 2x[/tex]
(f) শূন্যস্থান পূরণ করো : [tex]\int {{{\tan }^2}} xdx[/tex] = ------- ।
(g) নীচের উক্তিটি সত্য না মিথ্যা উল্লেখ করো : [tex]\int_0^2 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 4}}} [/tex] - এর মান [tex]\frac{\pi }{{16}}[/tex] ।
(h) শূন্যস্থান পূরণ করো : [tex]\int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {{{\sin }^5}xdx}[/tex] = ---------।
(i) নীচের উক্তিটি সত্য না মিথ্যা উল্লেখ করো : (-8,-4) বিন্দুতে [tex]{y^2} = 8(x-6)[/tex] অধিবৃত্তের স্পর্শকের প্রবনতা -1 ।
অথবা নীচের উক্তিটি সত্য না মিথ্যা উল্লেখ করো : [tex]x[/tex] = 2 বিন্দুতে [tex]\int {(x) = (x - 1)(3 - x)}[/tex] এর চরম (extreme) মান আছে ।
(j) একটি মিনারের শীর্ষদেশ থেকে এক খন্ড পাথর ফেলা হল । পাথর খন্ডটি 3 সেকেন্ড পরে ভূমি স্পর্শ করল । MKS পদ্ধতিতে মিনারের উচ্চতা নীচের কোনটি ? (g = 9.8 মিটার / বর্গ সেকেন্ড ) ।
(i) 44 মিটার (ii) 44.1 মিটার (iii) 44.2 মিটার (iv) 44.01 মিটার
বিভাগ খ :
2) নির্দেশ অনুযায়ী নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও :
(a) যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 2X2 = 4
(i) সম্ভাবনার প্রাচীন সংজ্ঞা ( classical defination of probability ) দাও ।
(ii) প্রমান করো : [tex]\frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{4.5}} + \frac{1}{{6.7}} + \ldots \ldots = 1 - {\log_e}2[/tex]
(iii) [tex]A = \left( {\matrix{ 1 & 5 \cr 1 & 3 \cr } } \right)[/tex] এবং [tex] B = \left( {\matrix{ 0 & 0 \cr 0 & 1 \cr } } \right)[/tex] ম্যাট্রিক্স দুটির ক্ষেত্রে AB = BA কিনা পরীক্ষা করো ।
(b) যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 2X1 = 2
(i) [tex]{x^2} = 4ay[/tex] অধিবৃত্তটি (3 , 4 ) বিন্দুগামী । অধিবৃত্তটির নাভির স্থানাঙ্ক কত ?
(ii) একটি উপবৃত্তের উপাক্ষের দৈর্ঘ্য যদি নাভিলম্বের দৈর্ঘ্যর দ্বিগুণ হয় তবে অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা কত ?
(c) যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 2X1 = 2
(i) যদি [tex]y = {(\sec x)^{\tan x}}[/tex] হয় , তবে [tex]\frac{{dy}}{{dx}}[/tex] এর মান নির্ণয় করো ।
(ii) যদি [tex]{x^3} + {y^3} = 2xy[/tex] হয় , তবে (1,1) বিন্দুতে [tex]\frac{{dy}}{{dx}}[/tex] এর মান নির্ণয় করো ।
(d) নীচের যে-কোনো একটি সমাকলের মান নির্ণয় করো : 2X1 = 2
(i) [tex]\int {\frac{{2\sin x}}{{5 + 3\cos x}}} dx[/tex] (ii) [tex]\int {x{e^{2x}}} dx[/tex]
(e) যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :
(i) নীচের অবকল সমীকরণটির ক্রম ( order ) এবং মাত্রা (degree ) কত ?
[tex]{\left( {\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}} \right)^2} + 5{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^3} + 2y = 0[/tex]
(ii) যে সকল বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দুতে অবস্থিত তাদের অবকল সমীকরণ নির্ণয় করো ।
(f) যে কোনো তিনটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 2x3 = 6
(i) [tex]y = x + \frac{1}{x}[/tex] বক্রের ওপর অব্শ্স্থিত বিন্দু গুলির স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো , যে বিন্দুগুলিতে বক্রটির স্পর্শক [tex]x[/tex] অক্ষের সমান্তরাল ।
(ii) সময়ের সাপেক্ষে কোনো গোলকের ব্যাসার্ধের পরিবর্তনের হার [tex]\frac{1}{{2\pi }}[/tex] । যখন গোলকটির ব্যাসার্ধ 5 সেমি তখন সময়ের সাপেক্ষে ওর বক্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের পরিবর্তনের হার নির্ণয় করো ।
(iii) দেখাও যে, [tex]t[/tex] বাস্তব ও সসীম হলে, [tex]x(t) = \frac{{{e^t}}}{{1 + {e^t}}}[/tex] অপেক্ষটির কোনো চরম ( extreme ) মান নেই ।
(iv) [tex]y = {x^2}[/tex] বক্ররেখা , [tex]x[/tex] অক্ষ এবং [tex]x[/tex] = 2 সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো ।
(v) সরলরেখায় গতিশীল একটি বস্তুকণা [tex]t = 4{x^2} + 3x + 5[/tex] সমীকরণকে সিদ্ধ করে , যেখানে [tex]x[/tex] হল যাত্রা শুরুর [tex]t[/tex] সময় পরে বস্তুকণাটির সরন । বস্তুকণাটির বেগ নির্ণয় করো ।
বিভাগ গ :
3) নির্দেশ অনুযায়ী নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও : 4 x 2 = 8
(a) যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও :
(i) 100 টি পূর্ণসংখ্যা 1 ,2 ,3 ,....,100 এর মধ্য থেকে পক্ষপাতশূন্যভাবে একটি পূর্ণসংখ্যা নির্বাচন করা হল । এই নির্বাচিত পূর্ণসংখ্যাটি 5 অথবা 7 দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাবনা কত ?
(ii) গাণিতিক আরোহ তত্ত্ব ( the principal of mathematical induction ) ব্যবহার করে প্রমান কারো , [tex]{1^2} + {2^2} + {3^2} + \ldots + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(n + 1)}}{6}[/tex] ।
(iii) ক্রেমারের নিয়মের সাহায্যে সমাধান কারো : [tex]x + y = 2 , y + z = 2 , z + x = 2 [/tex]
(b) যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 4 X 2 = 8
(i) অধিবৃত্ত [tex]{x^2} = 8y[/tex] এর ওপর এমন দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো যাদের নাভি থেকে প্রতেকটির দুরত্ব 4 একক হয় । ওই বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশ যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় করো ।
(ii) একটি উপবৃত্তের নাভি দুটির স্থানাঙ্ক [tex] (0, \pm 4) [/tex] এবং দুটি নিয়ামকের সমীকরণ [tex]y = \pm 9[/tex] হলে উপবৃত্তের সমীকরণ ও এর নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো ।
(iii) একটি পরাবৃত্ত এবং তার অনুবন্ধী পরাবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা যথাক্রমে [tex]{e_1}[/tex]ও [tex]{e_2}[/tex] হলে [tex]\frac{1}{{e_1^2}} + \frac{1}{{e_2^2}}[/tex] এর মান নির্ণয় করো ।
(c) নীচের যে-কোনো দুটি সমাকলের মান নির্ণয় করো : 4 X 2 = 8
(i) [tex][\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {3 - 2x - {x^2}} }}, - 3 < x < 1}[/tex] (ii) [tex]\int {{{\sin }^{ - 1}}} \sqrt {\frac{x}{{1 + x}}dx} [/tex] (iii) [tex]\int_0^{\pi /2} {} \frac{{{{\sin }^2}x}}{{\sin x + \cos x}}dx[/tex]
(d) যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 4 x 2 = 8
(i) যে বক্ররেখাটি [tex]\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{1 + {y^2}}}{{xy}}[/tex] অবকল সমীকরণকে সিদ্ধ করে এবং (1,0 ) বিন্দুগামী হয় তার নাভিগুলির স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো ।
(ii) সমাধান করো : [tex]\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{3x + 2y}}{{2x + 3y}}[/tex] ; প্রদত্ত আছে [tex]y = 0[/tex] যখন [tex]x = 1[/tex] ।
(iii) সমাধান করো : [tex]\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = (x + 1)(x + 2)[/tex] ; প্রদত্ত আছে [tex]y = - 1, \frac{{dy}}{{dx}} = 1[/tex] যখন [tex]x = 0[/tex] ।
(e) যে কোনো চারটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 4 x 4 = 16
(i) যদি [tex]y = mx + c , (c \ne 0)[/tex] সরলরেখাটি [tex]\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1[/tex] পরাবৃত্তের একটি স্পর্শক হয় , তবে প্রমাণ কারো যে ,
[tex]{c^2} = {a^2}{m^2} - {b^2}[/tex] এবং সে ক্ষেত্রে স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কারো ।
(ii) [tex]{y^2} = 3x[/tex] অধিবৃত্তের যে অভিলম্বটি [tex]y = 2x + 4[/tex] সরল রেখার ওপর লম্বভাবে থাকে , তার সমীকরণ নির্ণয় কারো ।
(iii) দেখাও যে , [tex]\frac{{(2x - 1)(x - 8)}}{{(x - 1)(x - 4)}}[/tex] এর লঘিষ্ঠ মানটি গরিষ্ঠ মানের থেকে বড়ো ।
(iv) প্রমাণ কারো যে , প্রদত্ত ক্ষেত্রবিশিষ্ঠ আয়তক্ষেত্রগুলির মধ্যে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা সবচেয়ে কম ।
(v) অধিবৃত্ত [tex]{y^2} = ax , a > 0 [/tex] এবং [tex]y = x [/tex] সরলরেখার দ্বারা প্রথম পাদের পরিবেষ্টিত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কারো ।
(vi) ভুপৃষ্ঠ থেকে উলম্বরেখায় ওপরের দিকে প্রক্ষিপ্ত একটি বস্তুকনার h উচ্চতায় উঠতে t সেকেন্ড সময় লাগে এবং পরবর্তী t' সেকেন্ড আবার ভুপৃষ্ঠে ফিরে আসে । দেখাও যে , [tex]h = \frac{1}{2}gtt' [/tex]
(vii) সরলরেখায় গতিশীল কোনো কণা [tex]x = \frac{1}{2}t\left( {1 + \frac{{dx}}{{dt}}} \right) [/tex] সমীকরণ বজায় রেখে চললে দেখাও যে , কণাটি সমত্বরণে চলে ।
বিভাগ ঘ :
4) নির্দেশ অনুযায়ী নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও : 6 X 4 = 24
{(a) ও (b) এর মধ্যে যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও । }
{(c) ও (d) এর মধ্যে যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও । }
{(e) , (f) , (g) ও (h) এর মধ্যে যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও । }
[a] (i) একটি অসম্বন্ধ পরীক্ষা ( random experiment ) E এর সাথে সংশ্লিষ্ট যে-কোনো দুটি ঘটনা (event) A এবং B হলে প্রমাণ করো যে [tex]P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)[/tex]
(ii) [tex]{\left( {\frac{3}{2}{x^2} - \frac{1}{{3x}}} \right)^9}[/tex] -এর বিস্তৃতিতে [tex]x[/tex] -বর্জিত পদটি নির্ণয় করো । 3 + 3 = 6
[b] (i) [tex]1 + \frac{{{3^2}}}{{2!}} + \frac{{{3^4}}}{{4!}} + \frac{{{3^6}}}{{6!}} + \ldots [/tex] অসীম শ্রেণিটির যোগফল নির্ণয় কারো ।
(ii) [tex] a, b, c, [/tex] তিনটি অশূন্য বাস্তব সংখ্যা হলে দেখাও যে , [tex]\left| {\matrix{ {1 + a} & 1 & 1 \cr 1 & {1 + b} & 1 \cr 1 & 1 & {1 + c} \cr } } \right| = abc\left( {1 + {1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c}} \right)[/tex] 3 + 3 = 6
[c] (i) [tex]\frac{{dy}}{{dx}}[/tex] -এর মান নির্ণয় কারো , যখন [tex]{e^{xy}} - 4xy = 4 [/tex] ।
(ii) [tex]y = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{t}{{\sqrt {1 - {t^2}} }}} \right)[/tex] এবং [tex]x = {\sec ^{ - 1}}\left( {\frac{t} {{\sqrt {2{t^2} - 1} }}} \right)[/tex] হলে [tex]\frac{{dy}}{{dx}}[/tex] এর মান নির্ণয় কারো । 3 + 3 = 6
[d] (i) [tex]f(x) = {\left( {\frac{{1 + x}}{{2 + x}}} \right)^{3 + 2x}}[/tex] হলে [tex]f'(0)[/tex] -এর মান নির্ণয় করো ।
(ii) [tex]y = \sin (2{\sin ^{ - 1}}x[/tex] হলে প্রমান করো যে , [tex](1 - {x^2})\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = x\frac{{dy}} {{dx}} - 4y[/tex] ( ধরে নাও [tex]\frac{{dy}}{{dx}} \ne 0[/tex] ) 3 + 3 = 6
[e] (i) মান নির্ণয় করো যে : [tex]\int {\frac{{x{e^x}}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx} [/tex]
(ii) দেখাও যে , [tex]{\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{{2n + 1}} + \frac{1}{{2n + 2}} + \ldots + \frac{1}{{3n}}} \right\} = {\log _e}\frac{3}{2}[/tex] 3 + 3 = 6
[f] মান নির্ণয় করো :
(i) [tex]\int {\frac{{x + 1}}{{{x^2} + 4x + 5}}dx} [/tex] (ii) [tex]\int_0^{\pi /2} {\frac{{dx}}{{5 + 4\sin x}}} [/tex] 3 + 3 = 6
[g] (i) মান নির্ণয় করো : [tex]\int {\frac{{4{e^x} + 6{e^{ - x}}}}{{9{e^x} - 4{e^{ - x}}}}dx} [/tex]
(ii) যোগফলের সীমারূপে নির্দিস্ট সমাকলের সাহায্যে [tex]\int_0^2 {{e^x}dx} [/tex] -এর মান নির্ণয় করো । 3 + 3 = 6
[h] মান নির্ণয় করো :
(i) [tex]\int {\frac{{dx}}{{{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x}},(a,b > 0)} [/tex]
(ii) [tex]\int_2^3 {\frac{{dx}}{{\sqrt {(x - 1)(5 - x)} }}} [/tex] 3 + 3 = 6