দ্বিতীয় অধ্যায়ঃ উপবৃত্ত

দ্বিতীয় অধ্যায়ঃ উপবৃত্ত

সংক্ষিপ্তকরণ -[ Summarisation ]
(1) নিম্নলিখিত বিভিন্ন প্রকার উপবৃত্তের প্রয়োজনীয় ফলসমূহ উল্লেখ করা হল ।
উপবৃত্ত  ${{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1$  যেখানে   $[{a^2} > {b^2}]$

- পরাক্ষ হবে  x-অক্ষ ,
- উপাক্ষ হবে  y-অক্ষ ,
- পরাক্ষের সমীকরণ হবে y = 0 ,
- উপাক্ষের সমীকরণ হবে x = 0 ,
- পরাক্ষের দৈর্ঘ্য হবে 2a একক .
- উপাক্ষের দৈর্ঘ্য হবে 2b একক ,
- কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হবে (0,0) ,
- শীর্ষবিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক হবে  $( \pm a,0)$ ,
- উৎকেন্দ্রতা হবে $e = \sqrt {1 - {{{b^2}} \over {{a^2}}}}$ ,
- নাভি দুটির স্থানাঙ্ক হবে $( \pm ae,0)$ ,
- নাভি দুটির দুরত্ব হবে 2ae একক ,
- নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য হবে  ${{2{b^2}} \over a}$ একক ,
- নাভিলম্ব দুটির প্রান্তবিন্দু চারটির স্থানাঙ্ক হবে $\left( {ae,{{{b^2}} \over a}} \right)$ ,   $\left( {ae, - {{{b^2}} \over a}} \right)$ ,  $\left( { - ae,{{{b^2}} \over a}} \right)$ ,  $\left( { - ae, -  {{{b^2}} \over a}} \right)$ ,
- নাভিলম্ব দুটির সমীকরণ হবে  $x =  \pm ae$
- নিয়ামক দুটির সমীকরণ হবে $x =  \pm {a \over e}$
- নিয়ামক দুটির দুরত্ব  হবে ${{2a} \over e}$ একক
 

~~~~~~

উপবৃত্ত  ${{{x^2}} \over {{b^2}}} + {{{y^2}} \over {{a^2}}} = 1$  যেখানে $[{a^2} > {b^2}]$

- পরাক্ষ হবে  y-অক্ষ ,
- উপাক্ষ হবে  x-অক্ষ ,
- পরাক্ষের সমীকরণ হবে x = 0 ,
- উপাক্ষের সমীকরণ হবে y = 0 ,
- পরাক্ষের দৈর্ঘ্য হবে 2a একক .
- উপাক্ষের দৈর্ঘ্য হবে 2b একক ,
- কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হবে (0,0) ,
- শীর্ষবিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক হবে  $(0, \pm a)$ ,
- উৎকেন্দ্রতা হবে $e = \sqrt {1 - {{{b^2}} \over {{a^2}}}}$ ,
- নাভি দুটির স্থানাঙ্ক হবে $(0, \pm ae)$ ,
- নাভি দুটির দুরত্ব হবে 2ae একক ,
- নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য হবে  ${{2{b^2}} \over a}$ একক ,
- নাভিলম্ব দুটির প্রান্তবিন্দু চারটির স্থানাঙ্ক হবে $\left( {{{{b^2}} \over a},ae} \right)$  , $\left( { - {{{b^2}} \over a},ae} \right)$  , $\left( {{{{b^2}} \over a}, - ae} \right)$ , $\left( { - {{{b^2}} \over a} - ae} \right)$ ,
- নাভিলম্ব দুটির সমীকরণ হবে  $y =  \pm ae$
- নিয়ামক দুটির সমীকরণ হবে $y =  \pm {a \over e}$
- নিয়ামক দুটির দুরত্ব  হবে ${{2a} \over e}$ একক

~~~~~~

উপবৃত্ত  ${{{{(x - a)}^2}} \over {{a^2}}} + {{{{(y - \beta )}^2}} \over {{b^2}}} = 1$ যেখানে $[{a^2} > {b^2}]$
 

- পরাক্ষ হবে  x-অক্ষের সমান্তরাল  ,
- উপাক্ষ হবে  y-অক্ষের সমান্তরাল  ,
- পরাক্ষের সমীকরণ হবে y = $\beta$ ,
- উপাক্ষের সমীকরণ হবে x = a ,
- পরাক্ষের দৈর্ঘ্য হবে 2a একক .
- উপাক্ষের দৈর্ঘ্য হবে 2b একক ,
- কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হবে (a,$\beta$) ,
- শীর্ষবিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক হবে  $(a \pm a,\beta )$ ,
- উৎকেন্দ্রতা হবে $e = \sqrt {1 - {{{b^2}} \over {{a^2}}}}$ ,
- নাভি দুটির স্থানাঙ্ক হবে $(a \pm ae,\beta )$ ,
- নাভি দুটির দুরত্ব হবে 2ae একক ,
- নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য হবে  ${{2{b^2}} \over a}$ একক ,
- নাভিলম্ব দুটির প্রান্তবিন্দু চারটির স্থানাঙ্ক হবে $\left( {a \pm ae,\beta  \pm {{{b^2}} \over a}}\right)$  ,
- নাভিলম্ব দুটির সমীকরণ হবে  $x = a \pm ae$
- নিয়ামক দুটির সমীকরণ হবে  $x = a \pm {a \over e}$
- নিয়ামক দুটির দুরত্ব  হবে ${{2a} \over e}$ একক

~~~~~~
উপবৃত্ত  ${{{{(x - a)}^2}} \over {{b^2}}} + {{{{(y - \beta )}^2}} \over {{a^2}}} = 1$  যেখানে $[{a^2} > {b^2}]$
 

- পরাক্ষ হবে  y-অক্ষের সমান্তরাল  ,
- উপাক্ষ হবে  x-অক্ষের সমান্তরাল  ,
- পরাক্ষের সমীকরণ হবে x = a ,
- উপাক্ষের সমীকরণ হবে y  = $\beta$ ,
- পরাক্ষের দৈর্ঘ্য হবে 2a একক .
- উপাক্ষের দৈর্ঘ্য হবে 2b একক ,
- কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হবে (a,$\beta$) ,
- শীর্ষবিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক হবে  $\left( {a,\beta  \pm a} \right)$ ,
- উৎকেন্দ্রতা হবে $e = \sqrt {1 - {{{b^2}} \over {{a^2}}}}$ ,
- নাভি দুটির স্থানাঙ্ক হবে $\left( {a,\beta  \pm ae} \right)$ ,
- নাভি দুটির দুরত্ব হবে 2ae একক ,
- নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য হবে  ${{2{b^2}} \over a}$ একক ,
- নাভিলম্ব দুটির প্রান্তবিন্দু চারটির স্থানাঙ্ক হবে $\left( {a \pm {{{b^2}} \over a},\beta  \pm ae} \right)$  ,
- নাভিলম্ব দুটির সমীকরণ হবে  $y = \beta \pm ae$
- নিয়ামক দুটির সমীকরণ হবে  $y = \beta  \pm {a \over e}$
- নিয়ামক দুটির দুরত্ব  হবে ${{2a} \over e}$ একক